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4 有理数的乘方
第1课时 有理数的乘方
教学目标
课题 第1课时 有理数的乘方 授课人
素养目标 1.在现实背景中，感受有理数乘方的必要性，理解有理数乘方的意义。 2.通过观察、推理，得出有理数乘方的符号表示，培养学生的符号意识。 3.能准确说出有理数乘方的底数、指数和幂；能进行有理数的乘方运算。
教学重点 有理数乘方的概念及意义。
教学难点 有理数乘法运算与乘方间的联系；负数、分数的乘方运算；归纳和总结出有理数的乘方法则。
教学活动
教学步骤 师生活动
活动一：创设情境，新课导入 设计意图 以细胞分裂为情境，引入有理数的乘方。 【情境引入】 上面表示细胞分裂后的个数的式子有哪些相同点 它们都是乘法，它们各自的因数都相同，因数的个数等于分裂的次数。 今天我们将学习多个相同因数的乘法运算——乘方。 【教学建议】 教学时可借助图形或动画呈现细胞分裂时数量的变化，使学生直观地感受细胞分裂后数量的增长。
活动二：问题引入，自主探究 设计意图 借助活动一引入乘方的概念，认识乘方的组成。 探究点1 乘方的意义 问题 活动一中的运算能不能像小学学过的平方、立方那样简写呢？ 概念引入： 【对应训练】 教材P59随堂练习第1题。 【教学建议】 乘方是一种运算，幂是乘方运算的结果，但教学中不必过于强调乘方与幂的区别。在现阶段，指数n为正整数，底数ɑ为有理数。一个数可以看作这个数本身的一次方。
设计意图 巩固乘方和幂的意义，正确进行乘方运算，探讨有理数乘方符号的规律。 探究点2 有理数的乘方运算 问题1 你能举出有关乘方运算的实例吗？与同伴进行交流。 学生可以从生活经验、其他学科知识等方面举出例子，如消息传递、折纸、细胞分裂、正方形的面积、正方体的体积等。（答案不唯一） 问题2 （-3）2与-32有什么不同？结果相等吗？ 注意：底数是负数或分数时，必须加上括号。 例（教材P59例1）计算： 分析：可根据乘方的意义，先把乘方转化为乘法，再根据乘法的运算法则来计算；或者先确定幂的符号，再用乘法求幂的绝对值。 问题3 结合例题，再尝试写出一些其他例子，比较后思考，是什么决定了乘方结果的符号？它们是如何决定结果的符号的？ 教师总结： 底数和指数决定了乘方结果的符号.正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0。 【对应训练】 教材P59随堂练习第2题。 【教学建议】 负数的乘方，在书写时一定要把整个负数（连同符号）用小括号括起来，如-3的4次方记为（-3）4，而-34是3的4次方的相反数，显然这两个式子的形式、意义、结果都是不同的。 【教学建议】 问题3的结论是在“多个有理数相乘，积的符号的确定”的基础上，进一步特殊化得到的，教学时要向学生讲清楚原理。
活动三：重点突破，提升探究 设计意图 通过实例感受当底数大于1时，乘方运算的结果增长得很快。 例 有一张厚度为0.1mm的纸，将它对折1次后，厚度为2×0.1mm。 （1）将这张纸对折2次后，厚度为多少毫米？ （2）假设可以将这张纸对折20次，那么对折20次后厚度为多少毫米？ （3）每层楼平均高度为3m，这张纸对折20次后大约有多少层楼高？ 分析： 解：（1）22×0.1=0.4（mm）。 因此，将这张纸对折2次后，厚度为0.4mm。 （2）220×0.1=104857.6（mm）。 因此，这张纸对折20次后厚度为104857.6mm。 （3）104857.6（mm）≈105（m），105÷3=35（层）。 因此，这张纸对折20次后大约有35层楼高。 【对应训练】 教材P62习题2.4第7题 【教学建议】 可以先让学生猜测这一结果，再实际进行计算，加深学生对乘方意义的理解。同时教师可以带领学生探究当0＜ɑ＜1时，ɑn的结果随指数的变化情况。
活动四：随堂训练，课堂总结 【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题： 1.乘方的概念是什么？请写出一个乘方的例子，指出其中的底数、指数和幂所表示的意义。 2.乘方在书写的时候要注意什么？ 3.如何进行有理数乘方的运算？ 4.有理数乘方的符号变化有什么特点？ 【知识结构】 【作业布置】 1.教材P61～63习题2.4第1，2，5，6，8，10，11题。
板书设计
教学反思 本节课的重点是乘方及其运算的教学，通过实例感悟底数大于1时乘方运算结果的增长变化。首先，选取的情境应尽量联系学生生活且易于学生接受和理解，其中的数量关系比较容易探究，同时还要对本章的教学活动“有用”。其次，学生在底数为负数和分数时幂的表示中出错常常是由于概念不清，因此结合乘方的意义对学生易混淆的几种形式进行辨析，以达到在理解的基础上记忆的目的。乘方的运算同样应是在理解概念的基础上进行。
解题大招一 利用偶次幂的非负性解决问题
（1）一个数的偶次幂和绝对值都是非负数。
（2）若几个非负数的和为0，则每个非负数都是0。
（3）若一个数的正整数次幂为0，则这个数为0。
解题大招二 互为相反数的两个数的幂与几个特殊值的幂的相关结论的应用
培优点一 与乘方有关的规律探究题
关于循环规律的探究，先根据特殊数找出循环的规律，明确循环周期，然后利用余数与循环规律相比较，找出对应的结果。
例1 探索规律：31=3，个位数字是3；32=9，个位数字是9；33=27，个位数字是7；34=81，个位数字是1；35=243，个位数字是3；36=729，个位数字是9；….那么37的个位数字是7，3100的个位数字是1。
【解析】由题意可知，3n（n是正整数）的个位数字只出现了3，9，7，1这四个数，且按这一顺序每4个一循环，因此，欲求37，3100的个位数字是多少，关键看共有几个循环，余数是几.因为7÷4=1……3，所以37的个位数字是7，而100÷4=25，故3100的个位数字是1。
培优点二 有关幂的运算的探究题
例2 阅读以下内容，并解决所提出的问题。
我们知道：23=2×2×2，25=2×2×2×2×2，所以23×25=（2×2×2）×（2×2×2×2×2）=28。
（1）用相同的方法计算：53×54=57；ɑ3×ɑ4=ɑ7。
（2）归纳以上的学习过程，可猜测结论：ɑm×ɑn=ɑm+n（m,n均为正整数）。
（3）利用以上结论计算以下各题：
①1099×10100=10199；②x3×x4×x5=x12。
【解析】
（1）53×54=（5×5×5）×（5×5×5×5）=57；ɑ3×ɑ4=（ɑ×ɑ×ɑ）×（ɑ×ɑ×ɑ×ɑ）=ɑ7。
（3）①1099×10100=1099+100=10199；②x3×x4×x5=x3+4×x5=x7×x5=x7+5=x12。

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