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4.2 整式的加法与减法
第1课时 合并同类项
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教学目标
课题 4.2 第1课时 合并同类项 授课人
素养目标 1.理解多项式中同类项的概念，会识别同类项.2.掌握合并同类项的法则.3.体会合并同类项给计算求值带来的简化作用，提升运算能力.
教学重点 同类项的概念，合并同类项的法则.
教学难点 找出同类项并合并.
教学活动
教学步骤 师生活动
活动一：创设情境，引入新知 【情境引入】 数能进行加减运算，整式中的每个字母都表示数，这样，整式与数一样，也可以进行加减运算.我们来看本章引言中的问题（2）.汽车从香港口岸到西人工岛包含两段路程，一段为香港口岸到东人工岛，另一段为海底隧道.如果汽车通过海底隧道需要a`h，那么从香港口岸到东人工岛所需时间是1.25a h，香港口岸到西人工岛的全长（单位：km）是72a＋96×1.25a，即72a＋120a.如何计算72a＋120a呢？下面我们类比数的运算，讨论整式72a，120a的加法运算. 【教学建议】这里明确指出“类比数的运算”，教学中要注意落实，使学生体会“数式通性”.
设计意图
引入合并同类项的课题.
活动二：类比探究，学习新知 探究点1同类项问题1（教材P95探究（1）） 运用运算律计算：72×2＋120×2＝（72＋120）×2＝192×2＝384 ；72×（－2）＋120×（－2）＝（72＋120）×（－2）＝192×（－2）＝－384 .可以用分配律简便计算，计算过程及结果如上. 问题2 （教材P95探究（2）） 根据问题1中的方法完成下面的运算，并说明其中的道理：72a＋120a＝（72＋120）a＝192a .运算过程及结果如上，道理如下：问题3 （教材P96探究） 填空：（1）72a－120a＝（72－120）a＝－48a ；（2）3m2＋2m2＝（3＋2）m2＝5m2 ；（3）3xy2－4xy2＝（3－4）xy2＝－xy2 . 【教学建议】（1）可以给学生说明，问题1中的两个式子，是72a＋120a，a取2和－2时的算式.（2）教学时要注意引导学生：类比数的运算进行式的运算.让学生体会由数到式、由具体到一般的思想方法.
设计意图
类比数的运算，得出式的运算方法，强化运算能力.
教学步骤 师生活动
设计意图 问题4 在问题3中，每一组算式中的两项，它们含有的字母有什么特点？概念引入：像72a与－120a，3m2与2m2，3xy2与－4xy2这样，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫作同类项.几个常数项也是同类项.【对应训练】判断每一组是不是同类项，不是则为前者配一个同类项.（1）2x2y与－3x2y； 是 （3）－3pq与3pq； 是 （2）2abc与3ab； 不是，3abc （4）－4m2n与5mn2. 不是，5m2n 【教学建议】对于问题3及对应训练，教师可向学生强调：同类项只与字母及其指数有关，与系数无关，与字母在单项式中的排列顺序也无关.
引出同类项的概念.
设计意图 探究点2 合并同类项问题1 观察探究点1中问题3中的三组式子，它们的系数在运算中有什么规律？你能从中得到什么启示？规律：等号左边各项的系数的和等于运算结果的系数.启示：多项式中的字母表示的是数，所以我们也可以利用交换律、结合律、分配律把多项式中的同类项进行合并. 问题2 对于式子4x2＋2x＋7＋3x－8x2－2，你认为如何进行同类项的合并？4x2＋2x＋7＋3x－8x2－2＝4x2－8x2＋2x＋3x＋7－2 （交换律）＝（4x2－8x2）＋（2x＋3x）＋（7－2）（结合律）＝（4－8）x2＋（2＋3）x＋（7－2） （分配律）＝－4x2＋5x＋5. （合并同类项） 知识引入：合并同类型的概念：把多项式中的同类项合并成一项，叫作合并同类项.合并同类项的法则：合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，字母连同它的指数不变.例 （教材P96例1） 合并下列各式的同类项：（1）xy2－xy2；（2）4a2＋3b2＋2ab－4a2－4b2.解：（1）xy2－xy2＝（1－）xy2＝xy2；（2）4a2＋3b2＋2ab－4a2－4b2……找＝（4a2－4a2）＋（3b2－4b2）＋2ab……移＝（4－4）a2＋（3－4）b2＋2ab……合＝－b2＋2ab.……排 【对应训练】教材P98练习第1题. 【教学建议】（1）交换多项式中项的位置时，要提醒学生注意项的符号.（2）教师适时带着学生总结合并同类项的步骤：一找：找出同类项，当项数较多时，通常在同类项的下面画相同的标记，画标记时要连同该项前面的符号一起画；二移：运用加法交换律、结合律将多项式中的同类项结合；三合：利用合并同类项法则，合并同类项；四排：合并后的结果按某一个字母降幂（或升幂）的顺序排列.（3）合并同类项时，只能把同类项合并成一项，在问题2中，原式子化为－4x2＋5x＋5后，不再有同类项，就不能再合并了.【教学建议】4a2－4a2＝（4－4）a2＝0·a2＝0.教学时可以向学生解释0·a2＝0的原因（a表示数，对于0·a2，无论a取何有理数，0·a2都等于0）.
根据运算律，得出合并同类项的法则.
设计意图
加强对合并同类项法则的掌握，强化运算能力.
教学步骤 师生活动
活动三：熟练运用，巩固提升 例1 （教材P97例2） （1）求多项式2x2－5x＋x2＋4x－3x2－2的值，其中x＝?；（2）求多项式3a＋abc－c2－3a＋c2的值，其中a＝－，b＝2，c＝－3.分析：在求多项式的值时，可以先将多项式中的同类项合并，然后再求值，这样做往往可以简化计算.解：（1） 2x2－5x＋x2＋4x－3x2－2＝（2＋1－3）x2＋（－5＋4）x－2＝－x－2.当x＝时，原式＝－－2＝－.（2）3a＋abc－c2－3a＋c2＝（3－3）a＋abc＋（－＋）c2＝abc.当a＝－，b＝2，c＝－3时，原式＝（－）×2×（－3）＝1. 例2 （教材P97例3） （1）水库水位第一天连续下降了a h，平均每小时下降2 cm?；第二天连续上升了a h，平均每小时上升0.5 cm，这两天水位总的变化情况如何？（2）某商店原有5袋大米，每袋大米为x kg.上午售出3袋，下午又购进同样包装的大米4袋.进货后这个商店有大米多少千克？解：（1）把下降的水位变化量记为负，上升的水位变化量记为正，则第一天水位的变化量是－2a cm，第二天水位的变化量是0.5a cm.由－2a＋0.5a＝（－2＋0.5）a＝－1.5a可知，这两天水位总的变化情况为下降了1.5a`cm.（2）把进货的数量记为正，售出的数量记为负，则上午大米质量的变化量是?－3x kg?，下午大米质量的变化量是4x kg.由5x－3x＋4x＝（5－3＋4）x＝6x可知，进货后这个商店有大米6x kg. 【对应训练】教材P98练习第2，3题. 【教学建议】教学时，可让学生直接代入求值，并与例题的解答方法比较，使学生对“先化简，再求值，可以简化计算”有深刻印象.【教学建议】让学生注意题中用负数表示了相反意义的量.
设计意图
进一步巩固对合并同类项的掌握，并体会它在简化计算方面的作用
设计意图
通过合并同类项解决实际问题，强化应用意识.
活动四：随堂训练，课堂总结 【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：1.什么是同类项？2.合并同类项的法则是怎样的？3.合并同类项依据的运算律是什么？4.合并同类项可以简化计算吗？ 【知识结构】.
教学步骤 师生活动
【作业布置】 1.教材P102习题4.2第1，8，9，10，11题.
板书设计
教学反思 合并同类项是从具体的数字运算发展到代数式运算的一个转折，教学中需要学生通过本节课内容的学习，初步了解代数式运算的特点，体会代数式运算与数字运算的异同，初步完成由数字运算到代数式运算的思维转变；同时合并同类项又是今后其他代数式运算及解方程、解不等式的不可或缺的一个环节，因此要特别重视.教学时要让学生通过探索，充分理解合并同类项的运算法则，并在应用时互相纠偏补缺.
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解题大招一 对合并同类项的理解
如果两个单项式能合并成一项，那么这两个单项式必为同类项.再根据同类项的特征解题即可.
例1 请写出一个能与－5x3y合并成一项的单项式： 6x3y（答案不唯一） .
解析：因为所求单项式能与－5x3y合并成一项，所以这个单项式与－5x3y是同类项.根据同类项的概念，观察单项式－5x3y含有的字母及各个字母的指数，那么这个单项式可以是6x3y（答案不唯一）.
例2 若单项式－2a1+mb2与5a3bn－1的和仍是单项式，求mn的值.
解：因为单项式－2a1＋mb2与5a3bn－1的和仍是单项式，
所以－2a1＋mb2与5a3bn－1是同类项.
所以1＋m＝3，2＝n－1，
所以m＝2，n＝3，
所以mn＝23＝8.
解题大招二 合并同类项的应用
准确找出题中的数量关系，用字母表示相关量列算式，再合并同类项求解.
例3 李明家住房的结构如图所示（图中长度单位：m），李明打算把卧室和客厅铺上木地板.
（1）请你帮他算一算，他至少需买多少平方米的木地板？
（2）如果他选用的木地板的价格是m元/m2，那么购买所需的木地板需要多少钱？
解：（1）客厅的面积为：4b·2a＝8ab（m2）.
卧室的面积为：（4a－2a）·2b＝4ab（m2）.
所以需买木地板的面积为：8ab＋4ab＝12ab（m2）.
（2）如果他选用的木地板的价格是m元/m2，那么购买所需的木地板需要12abm元.
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培优点 多项式中的“无关”问题
例 刘伟和李明同学在解这样一道题：“当x＝，y＝2025时，求多项式8x3－5x3y＋3x2y＋2x3＋5x3y－3x2y－10x3＋9的值.”刘伟认为条件“x＝，y＝2025”是多余的，李明却认为题中的多项式含有x，y，不给出x，y的值无法计算，你认为谁说得对？请说明理由.
分析：首先找出待求多项式中的同类项，然后合并同类项，若合并后的结果不含x，y，则原多项式的值与x，y无关.
解：刘伟说得对.
理由：因为原式＝（8x3＋2x3－10x3）＋（－5x3y＋5x3y）＋（3x2y－3x2y）＋9＝9，
所以结果与x，y的取值无关，所以刘伟说得对.

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