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第二章 有理数的运算
2.1 有理数的加法与减法
2.1.1 有理数的加法
第1课时 有理数的加法
教学目标
课题 2.1.1 第1课时 有理数的加法 授课人
素养目标 结合数轴理解有理数加法的意义，初步掌握有理数加法法则，并能准确地进行有理数的简单加法运算，提高抽象能力与运算能力.能运用有理数加法法则解决简单问题，增强应用意识.体会用归纳、类比的思想方法探索有理数加法法则.
教学重点 了解有理数加法的意义，会根据有理数加法法则进行有理数的简单加法运算.
教学难点 掌握有理数的加法中异号两数的加法运算.
教学活动
教学步骤 师生活动
活动一：创设情境，导入新课 【情境导入】（教材P24引言） 李明同学经常对家里的生活垃圾分类，并卖出积攒的可回收物.这样既保护了环境，又增加了零花钱.下表是他某个月零花钱的部分收支情况.这里，“结余12.0”和“结余－3.2”是怎么得到的？分别计算18.5＋（－6.5），12.0＋（－15.2）.我们发现里面有负数，这节课我们就来学习有理数的加法. 【教学建议】先让学生思考，可以和小组成员适当地交流讨论，指定学生代表到黑板上列出算式，其余学生可在练习本上写出.完成后教师引导学生观察列出算式的特征，学生列出减法算式也给予肯定，进而引入新课.
设计意图
在实际情境中，找准新知识的起点，提出疑问，激发学生的学习兴趣和求知欲，使学生快速地进入学习状态，同时又让学生体会到数学源于生活又应用于生活.
活动二：合作交流，探究新知 探究点 有理数加法法则小学学过的加法运算涉及正数与正数相加、正数与0相加以及0与0相加.引入负数后，在有理数范围内，加法有哪几种情况？教师总结：共三种类型，（1）同号两个数相加；（2）异号两个数相加；（3）一个数与0相加.接下来我们来学习这三种类型的加法.首先看下面的问题：一个物体沿着一条直线做左右方向的运动，我们规定向右为正，向左为负.例如，将向右运动5 m记作5 m，向左运动5 m记作－5 m.1.同号两数相加（1）如果物体沿着一条直线先向右运动5 m，再向右运动3 m，那么两次运动的最后结果是什么？可以用怎样的算式表示？两次运动后，物体从起点向右运动了8 m.写成算式就是5＋3＝8. ①若将物体的运动起点放在原点O，则这个算式可以用数轴表示如下： （2）如果物体沿着一条直线先向左运动5 m，再向左运动3 m，那么两次运动的最后结果是什么？可以用怎样的算式表示？两次运动后，物体从起点向左运动了8 m.写成算式就是（－5）＋（－3）＝－8. ②这个算式也可以用数轴表示如下，其中假设原点O为物体的运动起点.①说一说你是如何通过运动方向和运动距离确定这两个算式的？②观察算式①②两边数的符号和绝对值，你能总结出同号两数相加的法则吗？ 符号相同的两个数相加，和的符号不变，且和的绝对值等于加数的绝对值的和. 试一试：确定下表中算式的结果符号.2.异号两数相加（1）如果物体沿着一条直线先向左运动3 m，再向右运动5 m，那么两次运动的最后结果是什么？如何用算式表示？两次运动后，物体从起点向右运动了2 m.写成算式就是（－3）＋5＝2. ③（2）如果物体沿着一条直线先向右运动3 m，再向左运动5 m，那么两次运动的最后结果是什么？如何用算式表示？两次运动后，物体从起点向左运动了2 m.写成算式就是3＋（－5）＝－2. ④（3）①你能用数轴表示算式③④吗？（－3）＋5＝2. ③3＋（－5）＝－2. ④ ②说一说你是如何通过运动方向和运动距离确定这两个算式的？③观察算式③④两边数的符号和绝对值，你能总结出绝对值不相等的异号两数相加的法则吗？绝对值不相等、符号相反的两个数相加，和的符号与绝对值较大的加数的符号相同，且和的绝对值等于加数的绝对值中较大者与较小者的差.试一试：确定下表中算式的结果符号.（4）如果物体沿着一条直线先向右运动5 m，再向左运动5 m，那么两次运动的最后结果是什么？如何用算式表示？用数轴又如何表示？结合相反数的概念你能得出什么结论？两次运动后，物体仍在起点处.写成算式就是5＋（－5）＝0. ⑤用数轴表示如下： 结论：互为相反数的两个数相加，结果为0.3.一个数与0相加（1）如果物体第1 s向右运动5 m，第2 s原地不动，那么2 s后运动的最后结果是什么？如何用算式表示？2 s后，物体从起点向右运动了5 m.写成算式就是5＋0＝5. ⑥（2）如果物体第1 s向左运动5 m，第2 s原地不动，那么2 s后运动的最后结果是什么？如何用算式表示？2 s后，物体从起点向左运动了5 m.写成算式就是（－5）＋0＝－5. ⑦（3）类似地，根据算式⑥⑦能得到什么结论？一个数与0相加，结果仍是这个数.思考 从算式①～⑦可知，在有理数的加法运算中，既要考虑符号，又要考虑绝对值.你能从这些算式中归纳出有理数加法的运算法则吗？归纳总结：显然，两个有理数相加，和是一个有理数.例1 （教材P27例1） 计算：（－3）＋（－9）； （2）（－8）＋0； （3）12＋（－8）； （4）（－4.7）＋3.9；（5）（－）＋（＋）.分析提问：以（1）（3）为例，说一说每一步的理由.解：（1）（－3）＋（－9）＝－（3＋9）＝－12；（2）（－8）＋0＝－8；（3）12＋（－8）＝＋（12－8）＝4；（4）（－4.7）＋3.9＝－（4.7－3.9）＝－0.8；（5）（－）＋（＋）＝0. 教师总结：在运算过程中，“先定和的符号，再算和的绝对值”，是一种有效的方法.思考：任何一个数加上一个正数，和与原来的数有怎样的大小关系？加上一个负数呢？请你先借助数轴直观地得出结论，再利用有理数的加法法则进行说明【对应训练】教材P28练习第2，3题. 【教学建议】给学生充分的时间交流讨论这个问题，列举出所有可能的情况，教师引导并总结出三种类型.【教学建议】教师在一条直线上的两次运动的实例中要说明以下几点：（1）原点O是第一次运动的起点；（2）第二次运动的起点是第一次运动的终点；（3）由第二次运动的终点与原点的相对位置得出两次运动的结果；（4）如果用正数表示向右运动，用负数表示向左运动，就可以用算式描述相应的运动问题.教学时强调关键词“两次运动”“从起点向右”等，总结结论时提醒学生紧紧围绕“符号”“绝对值”两个因素进行思考，看结果的符号、绝对值与相加的两个数的符号、绝对值的关系.【教学建议】异号两数相加的情况是本节内容的难点之一，但让学生模仿前面的做法，可以独立完成.有困难的话可以提醒学生先画数轴表示，然后把数轴表示的过程翻译成算式表示，就可以得到结果，注意检查学生数轴上的表示与算式的对应性.【教学建议】告诉学生距离相同、方向相反的两次运动可以看成是一种特例，并由此提醒学生：异号两数相加的结果可能是正数，也可能是负数，还可能是0.【教学建议】告诉学生“原地不动”转化到算式中就是“＋0”的意思.【教学建议】可以先让学生回顾每种情况的结果，总结得出结论的方法，即：看和的符号、绝对值与两个加数的符号、绝对值的关系，得出相应的结论.在此基础上，教师引导学生总结出完整的加法法则.【教学建议】指定学生代表上台解答例1，并说一说每一步的理由，其他同学在纸上作答.【教学建议】先让学生交流讨论，再指定学生代表回答，教师酌情引导，总结出结论.【教学建议】对应训练的第2题可让全班学生一起口答，第3题指定学生代表上台作答.
设计意图
从小学学过的加法运算出发，提出引入负数后的加法问题，再通过实例明确有理数加法的意义，引入有理数加法法则.
设计意图
让学生经历探索有理数加法法则的全过程，在交流中学习、掌握新知识，提高学生分类和归纳概括的能力.
设计意图
在计算中应用刚习得的加法法则，学以致用，巩固新知，提高学生的运算能力.
活动三：知识升华，巩固提升 例2 一只蜗牛沿着一棵树向上爬行，白天向上爬了1.5 m，夜间下滑了0.3 m.白天和夜间蜗牛一共向上爬了多少米？怎么用算式表示这个结果？解：规定向上为正，向下为负.1.5＋（－0.3）＝＋（1.5－0.3）＝1.2（m）.答：蜗牛一共向上爬了1.2 m. 【对应训练】教材P28练习第1，4题. 【教学建议】由例2告诉学生：当题中出现具有相反意义的量时，可以用正数和负数表示它们.可引导学生用不同的规定方法，发现得到的最终结果是相同的.对应训练可指定几个学生代表回答.
设计意图
通过实际情境，加深学生对有理数加法法则的理解与运用.
活动四：随堂训练，课堂总结 【课堂总结】 师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：有理数加法法则是什么？【知识结构】 【作业布置】 1.教材P34习题2.1第1题.
板书设计 2.1 有理数的加法与减法2.1.1 有理数的加法第1课时 有理数的加法1.同号两数相加 2.异号两数相加 3.一个数与0相加
教学反思 本节课从实际情境出发，激发学生的求知欲，再通过回忆与分类讨论，引出本节课的主要内容.通过物体沿正反方向的移动，感受正数、负数相加的不同情况，感受符号和绝对值的变化情况，贴近学生的生活，有利于引发学生思考，更直观地感受两个有理数相加的法则，有效地突破了本节课的难点.学生通过自主探究、合作交流的方式，对两个有理数加法运算的过程进行总结，为加法法则的归纳奠定了基础，同时学生也通过实际问题情境，经历了探索发现并获取知识和技能的全过程，培养了学生的归纳、类比和概括的能力.
解题大招 利用有理数加法法则进行计算
（1）加数是带分数的，有时可先化为假分数，再进行运算.
（2）一个分数与一个小数相加，先统一形式，再进行运算.
（3）最后结果若是分数，能约分的一定要约分.
解：（1）原式＝＋（－）＝0；
（2）原式＝（－1.5）＋（－2.5）＝－（1.5＋2.5）＝－4；
（3）原式＝（－）＋＝－（－）＝－；
（4）原式＝（－2）＋3＝（－）＋＝＋（－）＝＝.
培优点 利用分类讨论思想计算有理数的加法
例 （1）已知|x|＝3，|y|＝4，则x＋y的值为 ±1或 ±7 .
（2）已知|a|＝1，|b|＝5，a＞b，则a＋b的值为 －4或－6 .
解析：（1）因为|x|＝3，所以x＝3或－3.因为|y|＝4，所以y＝4或－4.①当x＝3，y＝4时，x＋y＝7；②当x＝3，y＝－4时，x＋y＝－1；③当x＝－3，y＝4时，x＋y＝1；④当x＝－3，y＝－4时，x＋y＝－7.综上，x＋y的值为±1或±7.
（2）因为|a|＝1，所以a＝1或－1.因为|b|＝5，所以b＝5或－5.又因为a＞b，所以b＝－5.①当a＝1，b＝－5时，a＋b＝－4；②当a＝－1，b＝－5时，a＋b＝－6.综上，a＋b的值为－4或－6.

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