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第二章 有理数及其运算
1 认识有理数
第1课时 有理数
教学目标
课题 第1课时 有理数 授课人
素养目标 1.在具体情境中，进一步认识负数，理解负数的意义。 2.经历用正数和负数表示具有相反意义的量的过程，体会负数是实际生活的需要。 3.会判断一个数是正数还是负数，能按一定的标准对有理数进行分类，理解有理数的意义。
教学重点 能理解正数、负数的概念，会判断一个数是正数还是负数。
教学难点 1.会用正数、负数表示具有相反意义的量。 2.有理数的分类及其标准。
教学活动
教学步骤 师生活动
活动一：创设情境，新课导入 设计意图 借助温度计，引导学生回顾小学学过的负数，为引入新知做准备。 【情境引入】 你能用小学学过的数，表示下面温度计所指示的温度吗？ 今天我们将进一步认识负数，理解正数、负数的意义。 【教学建议】 教师可让学生列举生活中的其他有关负数的实例，认识到学习负数相关知识的必要性。
活动二：问题引入，自主探究 设计意图 借助比赛得分的情境，用正数、负数表示得分情况。 探究点1用正数、负数表示具有相反意义的量 问题1 某班举行知识竞赛，评分标准是：答对1题加1分，答错1题扣1分，不回答得0分；每个参赛队的基本分均为0分。下表是用如图所示的表情表示的两个参赛队的答题情况。 （1）你能用适当的方式表示每个队答题得分的情况吗？试完成下表： 参赛队答对题的得分答错题的得分不回答题的得分第一队+6-30第二队+8-20
学生根据自己的理解填写。 【教学建议】 问题1中第（1）个问题教师宜让学生各自根据评分标准的理解进行填写，答案可以多样，目的是要引出用负数表示的必要性。
教学步骤 师生活动
设计意图 通过对实例的分析，使学生认识到正数、负数可以用来表示现实生活中具有相反意义的量；通过“自定标准”让学生体会不同“基准”对表示结果的影响。 （2）如果用“+1”表示答对1题的得分，用“-1”表示答错1题的得分，那么你如何填写（1）中的表？ 见上表。 问题2 下表是2023年1月1日四个城市的气温情况。你能说出表中各数的实际意义吗？ 城市北京昆明西安哈尔滨气温-7℃～5℃7℃～13℃-2℃～2℃-19℃～-14℃
表中的负数表示零下，正数表示零上。 问题3 珠穆朗玛峰的海拔大约是8848.86m，吐鲁番盆地最低处的海拔大约是-154.31m。8848.86m，-154.31m的实际意义分别是什么？ 8848.86m表示高于海平面8848.86m， -154.31m表示低于海平面-154.31m。 问题4 观察教材P24图2-2，请你说说-0.5%，2.4%等数的实际意义，并与同伴进行交流。 -0.5%表示下跌0.5%，2.4%表示上涨2.4%。 通过上面的几个问题，我们发现： 为了表示具有相反意义的量，我们可以把其中一个量规定为正的，把与这个量意义相反的量规定为负的，并分别用“+”“-”来表示。 像+3，+15，+2.4%，…都是正数，正数前面的“+”可以省略不写。 像-2，-8，-0.5%，…都是负数。0既不是正数，也不是负数。 追问 你认为具有相反意义的量有哪些特点？ 成对出现，属性相同（同类量），意义相反。 思考 选定一个身体高度作为标准，用正负数和0表示你们班每名同学的身高与选定的身高标准的差。你是怎样表示的？从你的表示能看出谁最高吗 表示方法不唯一。如：以全班同学的平均身高为标准，超出的部分记作正数，不足的部分记作负数，其中最大的正数所对应的同学最高。 【对应训练】 1.下列不是具有相反意义的量的是（C） A.前进5m和后退7m B.收入30元和支出10元 C.长高2cm和减重3kg D.超过5g和不足2g 2.教材P25随堂练习第1题。 【教学建议】 教学时，可引导学生对表格中正数、负数的含义加以分析，使学生不只看到“负数”，还体会到用负数表示的量在具体问题中的实际意义。引入负数之后，“0”的意义就不仅仅表示“没有”了，它还是正数和负数的分界，是“基准”。 【教学建议】 教学中应鼓励学生根据不同的理由选定不同的标准，同时引导学生发现不同的标准会导致不同的表示结果，进一步体会0的意义和作用。
教学步骤 师生活动
设计意图 将数扩充到有理数范围后，通过分类及小数与分数之间的转化加深学生对有理数的理解。 探究点2　有理数的概念及分类 问题1 你能将所学的数进行分类吗？与同伴进行交流。 概念引入： 整数与分数统称有理数。 问题2 5.2，-3.5这样的小数为什么被归类为分数？ 因为这些小数可以化为分数，所以我们也把它们看成分数。 问题3 和在数量上存在什么样的关系？由此你有什么发现？ 和相等。发现：无限循环小数也可以化为分数，因此无限循环小数也可以看成分数。 【对应训练】 教材P25随堂练习第2题。 【教学建议】 对于有理数的分类，学生可能会对分数与小数的关系有疑惑，教师可举例说明有限小数和无限循环小数都可以化为分数。无限循环小数转化为分数的具体方法需要理解方程的相关知识，本课时不做要求。
活动三：重点突破，提升探究 设计意图 通过实例，让学生认识到“基准”，能在一定的背景下说明正数或负数表示的量的实际意义。 例 （教材P24例1）（1）某人转动转盘，如果用+5圈表示沿逆时针方向转了5圈，那么沿顺时针方向转了12圈怎样表示？ （2）在某次乒乓球质量检测中，如果一个乒乓球的质量高于标准质量0.02g记作+0.02g，那么-0.03g表示什么？ （3）某大米包装袋上标注着“净含量：10kg±50g”，这里的“10kg±50g”表示什么？ 解：（1）沿顺时针方向转了12圈记作-12圈； （2）-0.03g表示乒乓球的质量低于标准质量0.03g； （3）每袋大米的标准质量应为10kg，但实际每袋大米可能有50g的误差，即每袋大米的净含量最多是10kg+50g，最少是10kg-50g。 【对应训练】 教材P31习题2.1第2题。 【教学建议】 教师注意重点介绍，并不是所有的“基准”都必须为零。
活动四：课堂总结 【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题： 1.如何区分正数和负数？ 2.如何用正数和负数表示一对具有相反意义的量？ 3.什么是有理数？有理数有哪几种常见的分类方式？请举例说明。
教学步骤 师生活动
【知识结构】 【作业布置】 1.教材P31～33习题2.1第1，3，4，9题。
板书设计 1 认识有理数 第1课时 有理数 1.正数与负数。 2.用正数和负数可以表示具有相反意义的量。 3.有理数的概念及分类。
教学反思 　 本节课是有理数全章的第一节，为以后“数”的学习奠定基础。学生在日常生活中已经有用正数和负数表示量的经验，但是体会它们的意义却是首次。在教学过程中，可用贴近学生生活实际的问题情境作为导入，让学生在生活实际背景中学习和感受正数、负数的意义，学会用正数、负数表示具有相反意义的量。通过对负数的进一步认识，体会数系的扩张，进而归纳出有理数的概念，并对有理数分类。
解题大招一 用正数、负数表示具有相反意义的量
当题目中已明确“一种意义”的量对应的是正数(负数)时，我们就可以判断“与之具有相反意义”的量所对应的是负数(正数)。如果没有明确哪种意义的量用正数表示，那么我们可以任选一种意义的量用正数表示，而另一种意义的量必须用负数表示。
例1 （1）在知识竞赛中，如果用-10分表示扣10分，那么加20分记作（C）
A.+10分 B.-10分 C.+20分 D.-20分
（2）如果风车顺时针旋转66°记作+66°，那么逆时针旋转78°记作（A）
A.-78° B.78° C.-12° D.12°
（3）我国古代数学名著《九章算术》中对正数和负数的概念注有“今两算得失相反，要令正负以名之”.如：库管员把仓库运进30t粮食记作“+30t”，则“-30t”表示运出 30t粮食 。
解题大招二 有理数的分类
除了教材中给出的分类方式，有理数还存在其他分类方式，如：
拓展：（1）小数的分类：
（2）
名称 范围
非负数 正数和0
非正数 负数和0
非正整数 负整数和0
非负整数（也叫自然数） 正整数和0
例2
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
（2）下列各数中，是正整数的是（A）
A.3 B.2.1 C.0 D.-2
（3）下列有理数中，既是正数又是分数的是（D）
A.-5.2 B.0 C.2 D.
培优点 有理数概念的开放性题
例 在如图所示的方格中填入相应的数，使它符合下列语句的要求：
5
（1）5的正上方是一个负整数；
（2）5的左上方是一个正分数；
（3）一个既不是正数又不是负数的数在5的正下方；
（4）5的左边是一个负分数；
（5）剩下的四格请分别填上正数和负数，使方格中正数与负数的个数相同。
解：答案不唯一，示例如图②所示。

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