资源简介

第3课时 数轴
教学目标
课题 第3课时 数轴 授课人
素养目标 1.通过与温度计的类比认识数轴，能正确画出数轴。 2.能用数轴上的点表示有理数，初步感受数形结合的思想方法。 3.知道互为相反数的两个数在数轴上的位置关系，理解绝对值在数轴上的定义。 4.能利用数轴比较有理数的大小。
教学重点 数轴的概念，在数轴上表示有理数。
教学难点 正确的画出数轴，了解有理数和数轴上的点的对应关系。
教学活动
教学步骤 师生活动
活动一：创设情境，新课导入 设计意图 借助探究温度计上刻度的特点，为如何画数轴做铺垫。 【情境引入】 观察下面的三个温度计，回答问题： （1）图中温度计上显示的温度各是多少？ 依次是5℃，0℃和-10℃。 （2）温度计上的刻度有什么特点？ ①刻度都标在一条直线上；②有一点表示0℃；③0℃以上的刻度表示零上温度，0℃以下的刻度表示零下温度，即刻度表示温度具有方向性；④刻度是均匀的，相邻刻度间的距离相等等。 类比温度计，我们能否用直线上的点表示有理数呢？接下来的学习，想必会让你得到答案。 【教学建议】 温度计上刻度的特点可让学生自由表述，引导总结出对应数轴三要素的特点即可，方便后续画数轴及引入数轴的概念。
活动二：问题引入，自主探究 设计意图 通过合作学习，明确数轴的概念及三要素，掌握数轴的画法。 探究点1 数轴的概念及画法 问题1 如何用直线上的点表示有理数？ 在一条水平直线上取一点（称为原点）表示0，选取某一长度作为单位长度，规定这条直线上向右的方向为正方向，那么相反方向就是负方向。原点右边的点可以表示正数，原点左边的点可以表示负数。这样，所有有理数就都可以用直线上的点表示了。 概念引入： 像这样，规定了原点、单位长度和正方向的直线称为数轴。 如图，通常将数轴画成水平直线，并选择向右的方向为正方向。 问题2 那么我们具体怎样操作，才能画出一条数轴呢？ 【教学建议】 此处是类比温度计上刻度的特点，简单说明了如何用直线上的点表示有理数，至于数轴的具体画法，教师可在授课时与学生共同总结。
教学步骤 师生活动
设计意图 用绝对值的概念来求一个数的绝对值，利用从“特殊到一般”的思想归纳出绝对值的性质。 画数轴的步骤如下： 1画直线画一条直线（通常画成水平位置）2取原点在这条直线上取一点作为原点，这点表示03定方向通常规定直线上向右的方向为正方向，并用箭头表示出来4确定单位长度，标数字选取适当的长度作为单位长度，从原点向右，每隔一个单位长度取一点，依次标上1，2，3，…；从原点向左，每隔一个单位长度取一点，依次标上-1，-2，-3，…
问题3 结合画数轴的过程说明：+3是如何在数轴上表示的？-4呢？ 在数轴上，+3可以用位于原点右边3个单位长度的点表示，-4可以用位于原点左边4个单位长度的点表示。 【对应训练】 判断下面所画数轴是否正确，并说明理由。 理由让学生讲述。 【教学建议】 画数轴时需注意：①三要素缺一不可；②原点可取直线上任一点，取定后就不再改变；③正方向要用箭头表示；④单位长度应结合实际需要选取，取定后就不再改变,并且刻度要均匀。
设计意图 将用数轴上的点表示整数，扩充到表示其他有理数，探究有理数与数轴上的点的关系。同时借助数轴探究相反数和绝对值的几何意义。 探究点2　有理数与数轴上的点的关系 问题 用数轴上的哪个点表示？-1.5呢？其他数呢？ 可以用数轴上位于原点右边个单位长度的点表示；-1.5可以用数轴上位于原点左边1.5个单位长度的点表示；其他数均可按此方法用数轴上的点表示。 教师总结： 任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。 例 （教材P29例4）（1）如图，数轴上点A，B，C，D分别表示什么数？ （2）画出数轴，并用数轴上的点表示下列各数： 解：（1）点A表示-2，点B表示2，点C表示0，点D表示-1。 （2）如图所示。 【教学建议】 引导学生探究如何用数轴上的点表示分数，进而扩展到有理数.注意：数轴上的点并不一定都表示有理数，在教学中不必专门向学生说明。 【教学建议】 例题中的两个问题分别是由“形”到“数”和由“数”到“形”的思维过程，授课时应注意让学生感受数与形之间的对应关系，加深对数轴的认识。
教学步骤 师生活动
思考 观察例题图中表示3与-3的两个点，它们在数轴上的位置有什么关系？表示与的两个点呢？表示5与-5的两个点呢？ 教师总结： 在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的两侧，且到原点的距离相等。一个数的绝对值就是这个数所对应的点到原点的距离。 【对应训练】 1.教材P30随堂练习第2，3题。 2.数轴上的点A到原点的距离是5，则点A表示的数为 5或-5 。 【教学建议】 “思考”借助数轴引出在数轴上表示互为相反数的两个点的位置关系以及绝对值的几何意义，有利于学生进一步理解相反数和绝对值。
设计意图 通过数轴上点的位置关系比较大小，感受数形结合的数学思想的进一步应用。 探究点3 利用数轴比较有理数的大小 问题 将例题（2）中的各数按照从小到大的顺序排列，并用“＜”连接起来；观察它们在数轴上对应点的位置，你有什么发现？与同伴进行交流。 这些数从小到大的顺序与它们在数轴上对应点的位置沿数轴正方向的顺序（即从左到右的顺序）是一致的。 数轴上的点表示的数的大小关系，我们可以这样表示： 教师总结： 数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大。 【对应训练】 教材P30随堂练习第1题。 【教学建议】 由学生自主探究，教师可提醒学生将各数的大小关系与各数在数轴上的位置关系进行比较，最终得出一般性结论。
活动三：重点突破，提升探究 设计意图 通过点在数轴上的移动，进一步认识有理数与数轴上的点的对应关系，理解数形结合思想。 例 如图，在数轴上有A，B，C三个点，试回答下列问题： （1）点A，B，C分别表示什么数？ （2）将点A向左移动7个单位长度后，此时点A表示的数是多少？它在点C的左边还是右边？ （3）将点C先向右移动9个单位长度，再向左移动3个单位长度后，此时点C表示的数是多少？ 【教学建议】 学生分小组交流作答，由学生代表发言介绍解题方法，教师对方法进行优化总结，对于第（3）小问，可结合运动过程逐步确认表示的数。
教学步骤 师生活动
解：（1）点A表示的数是1，点B表示的数是-2，点C表示的数是-7。 （2）如图，将点A向左移动7个单位长度后，此时点A表示的数为-6，它在点C的右边。 （3）如图，此时点C表示的数是-1。 【对应训练】 教材P32习题2.1第16题。 不明确点的移动方向或改变原点的位置都是本题的变式，教师可结合实际情况进行拓展。
活动四：课堂总结 【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题： 1.数轴的概念是什么，怎样画一条数轴？ 2.有理数和数轴上的点有着什么样的关系？ 3.相反数和绝对值的几何意义。 4.如何用数轴比较有理数的大小？ 【知识结构】 【作业布置】 1.教材P32～33习题2.1第8，13题。
板书设计 第3课时 数轴 1.数轴的概念与三要素。 2.有理数与数轴上的点的关系： ①用数轴上的点表示有理数；②写出数轴上的点表示的有理数。 3.相反数和绝对值的几何意义。 4.利用数轴比较有理数的大小。
教学反思 　 本节课借助学生常见的温度计，让学生通过观察、分析、交流，得到数轴具备的相关要素，形象、直观、深刻的理解数轴。通过用数轴上的点表示数，探究出有理数与数轴上的点的对应关系，让学生初步感受数形结合思想。同时借助数轴，从几何角度进一步理解相反数和绝对值，并将数的大小与其在数轴上对应点的位置进行关联，从中感受数轴的作用，串联本章知识点，让学生进一步认识到数形结合思想方法的应用。
解题大招一 确定数轴上的点表示的数的方法
要确定数轴上的点表示的数可利用以下方法：
(1)确定符号，数轴正半轴上的点所表示的数为正数，数轴负半轴上的点所表示的数为负数；
(2)确定数字，即距离原点几个单位长度。
例1 如图，指出数轴上A，B，C，D，E，F各点表示的数。
分析：在确定数字时，要认真观察已知点是在数轴的正半轴还是负半轴，对于A，D，E这样的点，要注意它们表示的数是在哪两个相邻整数之间。
解：由图可知，点A表示的数是-4.5，点B表示的数是4，点C表示的数是-2，点D表示的数是5.5，点E表示的数是0.5，点F表示的数是7。
解题大招二 利用数轴比较有理数的大小
例2 有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论成立的是（C）
A.a＜0 B.b＞0 C.a＞b D.a＜b
解题大招三 求数轴上两点之间的距离
（1）求数轴上两点之间的距离，只需要数一数两点之间相隔多少个单位长度即可。对于不方便数单位长度的情况，可根据两个点与原点的位置关系求解，若两点位于原点两侧，则两点之间的距离为两点到原点的距离之和；若两点位于原点同侧，则两点之间的距离为两点到原点的距离中的较大值减较小值。
（2）若已知两点之间的距离和其中一点的位置，找另一点的位置，则需要分在已知点的左侧和右侧两种情况考虑，解答时先标出基准点，然后根据单位长度的个数确定另一点的位置。
通常利用数轴求两点之间的距离还会运用于实际问题中。
例3 （1）在数轴上，表示-1和4的两个点之间的距离是 5 个单位长度；
（2）在数轴上，表示-2.3和-4.5的两个点之间的距离是 2.2 个单位长度；
（3）在数轴上，与表示-2的点距离4个单位长度的点表示的数是 -6或2 。
【解析】（1）画数轴如图所示。结合图象可知，表示-1和4的两个点之间的距离是1+4=5（个）单位长度。
（2）画数轴如图所示。结合图象可知，表示-2.3和-4.5的两个点在原点的同侧，到原点的距离分别是2.3个单位长度和4.5个单位长度，所以两点间的距离为4.5-2.3=2.2（个）单位长度。
（3）画数轴如图所示。结合图象可知，与表示-2的点距离4个单位长度的点表示的数可以是-6，也可以是2。
培优点 相反数、绝对值与数轴的综合
例 如图，图中数轴（未标出原点）的单位长度为1。请回答下列问题：
（1）如果点A，B表示的数互为相反数，那么点C表示的数是 -1 ；
（2）①如果点B，E表示的数互为相反数，那么点D表示的数的绝对值是 5 ；
②在①的条件下，在表格中写出此时数轴上5个点所表示的有理数。哪一个点表示的数的绝对值最小？是多少？
点 A B C D E
表示的数 -2 4 0 -5 -4
解：点C表示的数的绝对值最小，是0。

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