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第四章　整式的加减
4．1　整式(2课时)
第1课时　单项式
1．使学生理解单项式及单项式的系数、次数的概念，并会找出单项式的系数、次数；
2．初步培养学生的观察分析和归纳概括的能力，使学生初步认识特殊与一般的辩证关系．
重点
掌握单项式及单项式系数、次数的概念，并会找出单项式的系数、次数．
难点
识别单项式的系数和次数．
一、导入新课
1．边长为a的正方体的表面积为__6a2__，体积为__a3__．
2．铅笔的单价是x元，圆珠笔的单价是铅笔单价的2.5倍，圆珠笔的单价是__2.5x__元．
3．一辆汽车的速度是v千米/时，它t小时行驶的路程为__vt__．
4．数n的相反数是__－n__．
5．半径为r cm的圆的周长是__2πr__ cm，面积为__πr2__ cm2.
二、探究新知
(一)单项式的概念．
师：出示问题．
以下式子：6a2，a3，2.5x，vt，－n，2πr，πr2这些式子有什么特点？
生：通过观察、对比、讨论得出，各式都是数或字母的积．
师：指出单项式的概念，特别地，单独的一个数或字母也是单项式．
巩固练习：下列各式是单项式的式子是__0.7，－a，，0__．
0．7，－a，－3＋b，，0，.
归纳：判断单项式的方法
1．单独一个数或一个字母也是单项式
2．不含加减运算，单项式只含有乘积运算．
3．单项式数字因数与字母可能一个或多个．
4．可以含有除以数的运算，不能含有除以字母的运算．
(二)单项式的系数，次数．
师：提出问题，观察单项式，6a2，2.5x，－n，，它们各由哪几个部分组成？
生：观察讨论得出结果．
师：指出，单项式中的数字因数叫作这个单项式的系数．应当注意的是，单项式的系数包括它前面的性质符号．而如－n，a3这样的式子的系数分别是－1和1，不能说没有系数．
师：进一步提出问题：以上各式中的字母部分，每个字母的指数是多少？每个单项式中所有字母的指数的和是多少？
师：指出，一个单项式中，所有字母的指数的和叫作这个单项式的次数．一般地，一个单项式的次数是几，我们就称它为几次单项式．如：6a2称为二次单项式，－n称为一次单项式，你能举出一个三次单项式的例子吗？
(三)例题讲解．
例1　用单项式填空，并指出它们的系数和次数：
(1)每包书有12册，n包书有__12_n__册．
(2)底边长为a，高为h的三角形面积是__ah__．
(3)一个长方体的长和宽都是a，高是h，它的体积是__a2h__．
(4)一台电视机原价是a元，现按原价的9折出售，现在的售价是__0.9a__．
(5)一个长方形的长是0.9，宽是a，这个长方形的面积是__0.9a__．
生：独立完成，然后举手回答．
师：针对学生的问题，进行点拨和进一步的解释.
师：进一步提出问题，观察(4)，(5)两个题的答案，你有什么看法？
生：自由发表意见．
师：总结：用字母表示数，相同的字母在同一个式子中表示的意义相同，在不同的式子中可以有不同的含义．请同学们大胆想一想，你还能赋予0.9a什么实际的意义．
生：自由发言即可．(教师不必太苛求学生，对学生的回答只要符合题意，就一律给予鼓励)
三、课堂练习
(1)－5ab2的系数是5( × ).
(2)xy2的系数是0( × ).
(3)0.5πx2的系数是0.5( × ).
(4)－ab2c的次数是2( × ).
(5)若ax2yb－1是关于x，y的单项式，系数为6，次数是3，则a＝__6__，b＝__2__；
(6)已知(a－2)x2y|a＋1|是关于x，y的五次单项式，求a的值．
【答案】－4
四、课堂小结
(1)单项式的概念；
(2)单项式的系数、次数．
五、课后作业
教材P91练习第1，2题．
教学中要加强直观性，即为学生提供足够的感知材料，丰富学生的感性认识，帮助学生认识概念，同时也要注重分析，即在剖析单项式结构时，借助反例练习，抓住概念易混淆处和判断易出错处，强化认识，帮助学生理解单项式系数、次数，为进一步学习新知做好铺垫．第2课时　多项式
1．掌握多项式的概念，进而理解整式的概念；
2．掌握多项式的项数、次数的概念，并能熟练地说出多项式的项数和次数．
重点
多项式的概念及多项式的项数、次数的概念．
难点
多项式的次数．
一、导入新课
1．什么叫单项式？单项式的系数和次数？
2．指出下列式子中，哪些是单项式？(投影出示题目)
3．说出下列单项式的系数和次数(投影出示题目)
二、探究新知
(一)多项式及多项式的项数、次数的概念
师：根据题意列出式子
1．一条河的水流速度是2.5 km/h，船在静水中的速度是v km/h，船在这条河中顺水行驶的速度为__(v＋2.5)__ km/h，逆水行驶时的速度为__(v－2.5)__ km/h.
2．买一个篮球需要x元，买一个排球需要y元，买一个足球需要z元，买3个篮球、5个排球、2个足球共需要__(3x＋5y＋2z)__元．
3．如图，三角尺的面积为__ab－πr2__．
eq \o(\s\up7(),\s\do5(　　　　　　　　第3题图　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　第4题图))
4．如图是一所住宅区的建筑平面图，这所住宅的建筑面积是__(x2＋2x＋18)__ m2.
生：思考讨论．
师：进一步提出问题，以上各式显然不是单项式，它们和单项式有联系吗？
生：讨论，交流，自由发言回答上面的问题．
师：指出多项式的概念及其相关的几个概念．几个单项式的和叫作多项式，每个单项式叫作多项式的项，不含字母的项叫作常数项．一个多项式有几个单项式组成，我们就称它为几项式，如2x－3称为二项式，3x＋5y＋2z称为三项式．
师：进一步引导学生探究多项式次数的概念．
生：可以发挥自己的想象去探究给多项式的次数命名的方法，教师不必苛求学生怎样想，让学生大胆发言，只要能发挥他们的想象力即可．
师：在这一过程中教师可以引导，多项式的次数是不是也可以将所有字母的指数加在一块呢？如果字母多的话是不是有点太乱呢？如果这样的话我们是不是派个代表就行了，派谁当代表呢？引导学生说出，以次数最高的项的次数作为代表．
师：多项式中次数最高的项的次数叫作多项式的次数．同单项式一样，一个多项式的次数是几，我们就称它为几次式．如2x－3称为一次二项式，3x＋5y＋2z称为一次三项式．
(二)整式的概念
学生阅读教材，找出整式的概念．
师：什么是整式？
生：单项式和多项式统称为整式．
师：进一步提问，你能说一说单项式、多项式和整式三者之间的关系吗？
生：讨论后回答．
三、课堂练习
(1)一个长方形相邻两条边的长分别为a，b，则这个长方形的周长为__2a＋2b__．
(2)m为一个有理数，m的立方与2的差为__m3－2__.
(3)某公司在某地投放共享单车，前两年每年投放a辆，为环保和安全起见，从第三年年初起不再投放，且每个月回收b辆．第三年年底，该地区共有这家公司的共享单车的辆数为__2a－12b__．
四、课堂小结
1．说一说单项式、多项式、整式各有什么特点？
2．它们三者之间的关系是怎样的？
五、课后作业
教材P93练习第1，2，3题．
本节课的知识点比较简单，属于概念课，先让学生自己阅读课本，了解相关的概念，在探究新知时，老师采取让学生思考、讨论、交流等形式，理解多项式的相关概念，在巩固新知时，老师先让学生完成相关练习，然后再进行适当点评．整节课基本上是在老师的引导下，以学生自学为主线，完成整个教学过程，意在培养学生的自学能力．4.2　整式的加法与减法(3课时)
第1课时　合并同类项
1．理解同类项的概念，在具体情境中，认识同类项．
2．理解合并同类项的概念，掌握合并同类项的法则．
重点
理解同类项的概念，掌握合并同类项的法则．
难点
根据同类项的概念在多项式中找同类项．
一、导入新课
1．什么是整式、单项式、多项式？
2．我们来看本章引言中的问题(2).汽车从香港口岸到西人工岛包含两段路程，一段为香港口岸到东人工岛，另一段为海底隧道，如果汽车通过海底隧道需要ah，那么从香港口岸到东人工岛所需时间是1.25ah，香港口岸到西人工岛的全长(单位：km)是72a＋96×1.25a即72a＋120a.
如何计算72a＋120a呢？下面我们类比数的运算，讨论整式72a＋120a的加法运算．
二、探究新知
活动1：探究同类项及合并同类项的方法
探究：(1)运用有理数的运算律计算．
72×2＋120×2＝(72＋120)×2＝192×2＝384，
72×(－2)＋120×(－2)＝(72＋120)×(－2)＝192×(－2)＝－384，
所以：72a＋120a＝(72＋120)a＝192a.
(2)类比式子的运算，化简下列式子：
①100t－252t＝(100－252)t＝－152t；
②3x2＋2x2＝(3＋2)x2＝5x2；
③3ab2－4ab2＝(3－4)ab2＝－ab2.
观察多项式100t－252t，3x2＋2x2，3ab2－4ab2.
(1)上述各多项式的项有什么共同特点？
①每个式子的项含有相同的字母；
②并且相同字母的指数也相同．
学生讨论完成，师生共同归纳特点，引出同类项的定义．
像100t与252t，3ab2与－4ab2这样的式子，它们所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫作同类项．
同类项的判别方法：
(1)同类项只与字母及其指数有关，与系数无关，与字母在单项式中的排列顺序无关；
(2)抓住“两个相同”：一是所含的字母要完全相同，二是相同字母的指数要相同，这两个条件缺一不可；
(3)不要忘记几个单独的数也是同类项．
三、课堂练习
例1　4x2＋2x＋7＋3x－8x2－2，找出多项式中的同类项并进行合并，思考下面问题：每一步运算的依据是什么？注意什么？
练习：合并同类项：
(1)xy2－xy2；
(2)－3x2y＋2x2y＋3xy2－2xy2；
(3)4a2＋3b2＋2ab－4a2－4b2.
例2　(1)求多项式2x2－5x＋x2＋4x－3x2－2的值，其中x＝；
(2)求多项式3a＋abc－c2－3a＋c2的值，其中a＝，b＝2，c＝－3.
师生共同完成，教师要给学生示范，可以采用学生口述，教师板书的方法．过程中注意结合法则和方法．
四、课堂小结
小结：谈谈你对同类项及合并同类项的认识．
五、课后作业
教材P98练习第1，2，3题．
本节课借助典型的例题让学生去理解概念，鼓励学生合作交流，让学生充分发表意见，使学生真正成为学习的主人．因而，人人都开动脑筋，积极发言，积极参与，掌握知识效果较好．第2课时　去括号法则
1．能运用运算律探究去括号法则，并且利用去括号法则将整式化简；
2．培养学生分析问题、解决问题的能力．
重点
去括号法则，准确应用法则将整式化简．
难点
括号前面是“－”号，去括号时，括号内各项变号容易产生错误．
一、导入新课
师：数学爱好者发现了一个非常有趣的现象，将一个两位数的个位数和十位数对调得到一个新的两位数以后，这两个数的差能被9整除，和能被11整除，这是为什么呢？
提示：如果设这个两位数的个位数是a，十位数是b，如何表示这个两位数？
学生讨论以后师生共同得出以下结果：
原数10b＋a，新数10a＋b.
差是10b＋a－(10a＋b)，和是10b＋a＋(10a＋b).将10b，a，10a，b看做几个数，类似小学中的计算，你能化简这两个式子吗？
学生讨论交流，然后尝试完成．
10b＋a＋(10a＋b)＝10b＋a＋10a＋b＝11a＋11b.
10b＋a－(10a＋b)＝10b＋a－10a－b＝9b－9a.
现在你能说明为什么一个能被9整除，另一个能被11整除了吗？
再看下面的问题，你能化简这两个式子吗？你的依据是什么？
100u＋120(u－0.5)；
100u－120(u－0.5).
学生交流讨论，然后尝试完成．
二、探究新知
活动1：归纳去括号法则
利用乘法分配律计算：你有几种方法？
－12×(－)；
－7(3y－4).
带号乘带号写
用类似方法计算下列各式：
(1)2(x＋8)；
(2)－3(3x＋4)；
(3)－7(7y－5).
师：观察以上各式，在去括号的过程中，你发现有什么规律？
学生讨论交流．
归纳：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反．
特别地，对于形如＋(10a＋b)，－(10a＋b)的式子，可以将因数看做1或者－1.
活动2：运用法则
展示教材例4.
教师提示：先观察判断是哪种类型的去括号，括号内的每一项原来是什么符号？去括号时，要同时去掉括号前的符号．
易犯错误：①括号前是“－”时，去括号以后，只是第一项改变了符号，而其他各项未变号．
②括号前面的系数不为1或者－1时，容易漏乘除第一项以外的项．
师生共同完成，学生口述，教师板书．
教师展示例4.
(1)8a＋2b＋(5a－b)；
(2)(4y－5)－3(1－2y)；
教师展示例5.
两船从同一港口出发反向而行，甲船顺水，乙船逆水，两船在静水中速度都是50千米/时，水流速度是a千米/时．
问：(1)2小时后两船相距多远？
(2)2小时后甲船比乙船多航行多少千米？
问题：船在水中航行时它的速度都与哪些量有关，它们之间的关系如何？学生思考、小组交流．然后学生完成，同学间交流．
三、课堂练习
1．下列去括号中，正确的是( C )
A．a2－(2a－1)＝a2－2a－1
B．a2＋(－2a－3)＝a2－2a＋3
C．3a－[5b－(2c－1)]＝3a－5b＋2c－1
D．－(a＋b)＋(c－d)＝－a－b－c＋d
2．不改变代数式的值，把代数式a－(b－3c)括号前的“－”号变成“＋”号，结果应是__a＋(－b＋3c)__．
3．已知a－b＝－3，c＋d＝2，则(b＋c)－(a－d)的值为__5__．
四、课堂小结
小结：
1．谈谈你对去括号法则的认识．
2．去括号的依据是什么？
五、课后作业
教材P100练习第1，2，3，4题．
通过回顾小学学过的去括号方法，运用类比方法，得到了整式的去括号法则，这样的设计起点低，学生学起来更自然，对新知识更容易接受．第3课时　整式的加减
1．熟练进行整式的加减运算；
2．能根据题意列出式子，表示问题中的数量关系．
重点
熟练进行整式的加减运算．
难点
根据题意列出式子，表示问题中的数量关系．
一、导入新课
师提出问题：
①合并同类项法则的内容是什么？
②去括号法则的内容是什么？
二、探究新知
活动1：熟练运用合并同类项，去括号法则
师：刚才我们回忆了合并同类项，去括号法则，它们是进行整式加减运算的基础．
师：出示教材例6.计算：
(1)(2x－3y)＋(5x＋4y)；
(2)(8a－7b)－(4a－5b).
分析：根据法则，应如何进行计算？
学生讨论后，教师归纳：先去括号，然后合并同类项．
师生共同完成，边讲解边叙述法则．
解：(1)(2x－3y)＋(5x＋4y)
＝2x－3y＋5x＋4y……去括号
＝(2x＋5x)＋(－3y＋4y)……找同类项
＝7x＋y……合并同类项
师：出示投影．
例7　做大、小两个长方体纸盒，尺寸如下(单位：cm)
类型 长 宽 高
小纸盒 a b c
大纸盒 1.5a 2b 2c
　　(1)做这两个纸盒共用纸多少平方厘米？
(2)做大纸盒比做小纸盒多用纸多少平方厘米？
分析：做一个纸盒用纸多少，实际上是在求什么？
学生回答．
大纸盒用纸多少，小纸盒用纸多少？请列式表示．
教师讲解后归纳：几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接，然后去括号，合并同类项．
例8　求x－2(x－y2)＋(－x＋y2)的值，其中x＝－2，y＝.
三、课堂练习
计算：
(1)3xy－4xy－(－2xy)；
(2)－ab－a2＋a2－(－ab)；
(3)(－x＋2x2＋5)＋(4x2－3－6x)；
(4)(3a2－ab＋7)－(4a2＋2ab＋7).
【答案】(1)xy　(2)a2＋ab　(3)6x2－7x＋2　(4)－a2－3ab
四、课堂小结
1．整式的加减运算法则；
2．列整式解决实际问题的一般步骤；
3．比较复杂的式子求值，先化简，再把数值代入计算．
五、课后作业
教材P101练习第1，2，3题．
其实，整式的加减，本质上就是合并同类项．重点是让学生较好的记住法则，依据法则去解决问题．学生在计算时出现的错误比较多，说明学生计算的基本功有待加强．有理数的学习不够优秀是本章学习的一大难题．

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