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第五章　一元一次方程
5．1　方程
5．1.1　从算式到方程(2课时)
第1课时　方程的概念
1．初步学会寻找问题中的相等关系，列出方程，理解方程的概念；
2．培养学生获取信息、分析问题、处理问题的能力．
重点
方程的概念及列方程．
难点
寻找问题中的相等关系，列方程．
一、导入新课
甲、乙两支登山队沿同一条路线同时向一山峰进发，甲队从距大本营1 km的一号营地出发，每小时行进1.2 km；乙队从距大本营3 km的二号营地出发，每小时行进0.8 km，多长时间后，甲队在途中追上乙队？
师：小学中我们已经学习过列算式解决问题，你能帮忙吗？
学生回答．
(1)上述问题中涉及到了哪些量？
(2)如果将两队行进的时间设为x h，用含x的式子表示下列路程：
甲队的行进路程为：1.2x km，
乙队的行进路程为：0.8x km，
甲队距大本营的路程为：(1.2x＋1) km，
乙队距大本营的路程为：(0.8x＋3) km，
甲队距大本营的路程＝乙队距大本营的路程：
1．2x＋1＝0.8x＋3.
学生分组活动，同桌两个同学讨论看能否用算术方法解，然后考虑用方程如何解决，然后小组内同学交流，教师可以参与到学生中去，要关注学生解决问题的思路，在用算术法时，是否遇到了麻烦，用方程可以轻松解决吗？让学生感受方程在解决实际问题时的优势．
二、探究新知
问题1：用买12个大水杯的钱，可以买16个小水杯．大水杯的单价比小水杯的单价多5元，两种水杯的单价各是多少元？
解：设大水杯的单价为x元，那么小水杯的单价为(x一5)元．因为用买12个大水杯的钱，可以买16个小水杯．
所以12x＝16(x－5).
问题2：如图(见教材P112图5.1－1)是一枚长方形的庆祝中国共产党成立100周年纪念币，其面积是4000 mm2.长和宽的比为8：5(即宽是长的).这枚纪念币的长和宽分别是多少毫米？
解：设这枚纪念币的长为x mm，则纪念币的宽为x mm，面积可以表示为x2 mm2.
所以 x2＝4000，
1．定义方程，回顾举例
师：你知道什么叫方程吗？
生：含有未知数的等式叫作方程．
师：你能举出一些方程的例子吗？
由学生举例，教师总结．
练习：
判断下列式子是不是方程，正确的打“√”，错误的打“×”．
(1)1＋2＝3；　(2)x＋2＞1；　(3)1＋2x＝4；
(4)x＋y＝2；　(5)x2－1；　(6)x2＝x＋2；
(7)x＋3－5；　(8)x＝8.
2．比较：列算式和列方程
列算式：列出的算式表示解题的计算过程，算式不含“＝”．对于较复杂的问题，列算式比较困难．
列方程：方程是根据题中的相等关系列出的等式，等式含有“＝”，解决问题比较方便．
从算式到方程是数学的进步！
3．如何根据题意列方程
(1)某校女生占全体学生数的52%，比男生多80人，这个学校有多少学生？
(2)如图，一块正方形绿地沿某一方向加宽5 m，扩大后的绿地面积是500 m2，求正方形绿地的边长．
请同学们思考：
1．怎样将一个实际问题转化为方程问题？
2．列方程的依据是什么？
归纳总结：列方程的步骤：
①审题：分析题中的已知量，未知量，明确各个量之间的关系；
②设未知数：用字母(如x)表示题目中的未知数；
③找相等关系：找出实际问题中的相等关系；
④列方程：根据相等关系列出方程．
三、课堂练习
(1)环形跑道一周长400 m，沿跑道跑多少周，可以跑3000 m
(2)甲种铅笔每支0.3元，乙种铅笔每支0.6元，用9元钱买了两种铅笔共20支，两种铅笔各买了多少支？
(3)一个梯形的下底比上底多2 cm，高是5 cm，面积是40 cm2，求上底的长．
【答案】(1)设沿跑道x周，可以跑3 000 m，可列方程为400x＝3000　(2)设甲种铅笔买了x支，则乙种铅笔买了(20－x)支．可列方程为0.3x＋0.6(20－x)＝9　(3)设上底的长为x cm，则下底的长为(x＋2) cm.可列方程为(x＋x＋2)×5＝40
在这一过程的教学中，教师不仅要使学生掌握本问题的解决方法，更重要的是让学生去体会列方程过程中的一般思路和方法．
在这一过程中，教师还应当注意培养学生的发散思维和创新能力，可以让他们进行小组间的交流，也可以根据题意画一个表格讨论，看一看各小组所列的方程是否一致，以开拓学生的思路，从而掌握更多的解题方法．
四、课堂小结
小结：1.方程的概念；
2．怎么列方程？
学生讨论交流后回答．
教师不必苛求学生的回答，只要学生能谈出一两点体会，教师都应当加以鼓励．
五、课后作业
教材P113练习第1，2，3题．
要上好一节课不仅要埋头钻研教材，设计教学过程，还必须善于与学生交流，要学会从学生的角度看问题，也就是常说的要学会做学生，应从学生能否理解的角度来安排适当的教学程序，用有趣的资料激发学生的学习热情，更应主动地去了解学生对过去相应的知识的掌握程度，这样才能把握住因材施教的深浅及分寸，做到进行适当的引导，达到事半功倍的效果．第2课时　方程的解与一元一次方程
1．理解一元一次方程、方程的解与解方程的概念；
2．掌握检验某个值是不是方程的解的方法．
重点
一元一次方程、方程的解与解方程的概念．
难点
正确地判断未知数的值是否为方程的解．
一、导入新课
对于本章引言中的问题列出的方程1.2x＋1＝0.8x＋3，容易知道x＝5可以使等式成立，对于方程170＋15x＝245，你知道x等于什么时，等式成立吗？我们来试一试．
通过计算，我们知道当x＝5时，170＋15x的值是245，所以方程170＋15x＝245中的未知数的值应是5.
二、探究新知
(一)方程的解
师：让学生尝试解决引言问题，提出怎么给方程的解和解方程下定义．
方程的解：使方程中等号左右两边的值相等的未知数的值，叫作方程的解．
解方程：求方程的解的过程，叫作解方程．
例2　(1)x＝2，x＝1.5是方程2x＝3的解吗？
(2)x＝10，x＝20是方程12x＝16(x－5)的解吗？
方法归纳：判断一个数值是不是方程的解的步骤：
1．将数值代入方程左边进行计算，
2．将数值代入方程右边进行计算，
3．若左边＝右边，则是方程的解，反之，则不是．
【练一练】
检验x＝3是不是方程2x－3＝5x－15的解．
(二)一元一次方程
观察方程：1.2x＋1＝0.8x＋3，12x＝16(x－5)，0.52x－(1－0.52)x＝80，它们有什么共同特征？
问题1　每个方程中，各含有几个未知数？
问题2　说一说每个方程中未知数的次数．
问题3　等号两边的式子有什么共同点？
学生讨论交流．
在学生观察上述方程的基础上，教师进行归纳：如果方程只含有一个未知数，并且未知数的指数都是1，这样的方程叫作一元一次方程．
“一元”：一个未知数；
“一次”：未知数的次数是一次．
【练一练】
下列哪些是一元一次方程？
(1)2x＋1；
(2)3y＋24＝33；
(3)3x－8＝5x＋4；
(4)3x2－4＋x＝0；
(5)－3x＋9＝18y；
(6)4b＋7＞13；
(7)＝1；
(8)2π＋6＝9
三、课堂练习
1．若k是方程2x＝3的解，则4k＋2＝__8__．
2．若xn－2＋4＝0是关于x的一元一次方程，则n＝__3__．
3．已知方程(1－a)x|a|＝1是关于x的一元一次方程，则a＝__－1__．
四、课堂小结
小结：1.谈谈你对一元一次方程的认识；
2．谈谈你对方程的解的理解．
五、布置作业
教材P115练习第1，2题．
本节课首先让同学们尝试解决引言中提出的问题，给方程的解和解方程下定义，学生很容易接受．接着让同学们观察一组方程的共同特征得出一元一次方程的概念．通过练习强化了一元一次方程未知数系数不为零．在判断未知数的值是否为方程的解时，通过师生互动归纳了解解题步骤，为同学们在练习中能规范地书写提供了保障．5.1.2　等式的性质
1．理解掌握等式的性质；
2．会用等式的性质解简单的一元一次方程；
3．培养观察、分析、概括的能力，渗透化归思想．
重点
理解和运用等式的性质．
难点
运用等式的性质把简单的一元一次方程化成“x＝a”的形式．
一、导入新课
师：哪位同学能谈谈上节课我们学习了哪些内容？
学生思考回答．
师：像2x＝3，x＋1＝3这样简单的方程，我们可以直接看出方程的解，但是对于比较复杂的方程，仅靠观察来解方程是困难的，因此，还要研究怎样解方程，方程是含有未知数的等式，为了研究解方程，先来看看等式有什么性质．
二、探究新知
(一)等式
下列四个式子有什么相同点？
m＋n＝n＋m，　x＋2x＝3x，
3×3＋1＝2×5，　3x＋1＝5y.
用等号“＝”表示相等关系的式子，叫作等式．通常用a＝b表示一般的等式．
等式的两个基本事实：
等式两边可以交换：
如果a＝b，那么b＝a.(等式的对称性)
相等关系可以传递：
如果a＝b，b＝c，那么a＝c.(等式的传递性)
(二)等式的性质
分组进行实验(时间约10～15分钟)；每小组准备天平一架，砝码、等质量小木块等若干．
教师引导学生进行以下操作．
操作(1)
1．先在托盘中放入一块小木块，然后在另一个托盘中加入砝码，使天平平衡．
2．然后在两个托盘中放入等质量的木块各一块，观察此时天平是否平衡，可以重复此步骤．
操作(2)
在两个托盘中放入等质量的木块各一块，观察此时天平是否平衡．
在两个托盘中放入等质量的木块各两块，观察此时天平是否平衡．
在两个托盘中放入等质量的木块各相等数量的块数，观察此时天平是否平衡，可以重复此步骤．
思考：这其中包含的数学道理是什么？
学生讨论后交流．
然后师生共同归纳出等式的性质：
如果a＝b，那么a±c＝b±c.
等式的性质1：等式两边加(或减)同一个数或同一个式子，结果仍相等．
教师按类似的方法得出等式的性质2：
如果a＝b，那么ac＝bc；
如果a＝b，那么＝(c≠0).
等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等．
(三)解决问题
师出示教材116页例3
师生共同分析如何运用等式的性质解决问题，在分析过程中教师注意化归思想的渗透，应当告诉学生解方程就是使方程向“x＝a”的形式进行化归，沿着这个思路进行引导，使学生感受化归思想，能自觉地运用等式的性质解决问题．
例4　利用等式的性质解下列方程．
(1)x＋7＝26；
(2)－5x＝20；
(3)－x－5＝4.
学生独立完成，然后同学间交流．
要求学生能说出：
①每一步的依据分别是什么？
②求方程的解就是把方程化成什么形式？
小结：(1)这个方程的解答中两次运用了等式的性质；(2)解方程的目标是把方程最终化为x＝a的形式，在运用性质进行变形时，始终要朝着这个目标去转化．
师：这节课继续学习用等式的性质解一元一次方程．
根据时间情况和学生的掌握情况，教师可以随机再补充几个练习．
三、课堂小结
小结：谈谈你对等式性质的认识．
四、课后作业
教材P117练习第1，2题．
本节课教学中，充分利用探索、验证获得新知，给每个学生提供思考、表现的机会，使他们成为知识的发现者，培养学生自我探究和实践能力．解方程是学生刚接触的新知识，学生原有的知识储备与生活经验不足，因此教学中老师要时刻关注学生学习的情况，引导学生通过操作、观察、分析和比较，由具体的知识渗透到抽象的去理解等式的性质，并运用等式的性质来解方程．5.2　解一元一次方程(4课时)
第1课时　利用合并同类项解方程
1．学会解“ax＋bx＝c”型的一元一次方程；
2．能够找出实际问题中的已知数和未知数，分析它们之间的数量关系，列出方程．
重点
1．解“ax＋bx＝c”型一元一次方程的方法；
2．列一元一次方程解简单的应用题．
难点
分析实际问题中的已知量与未知量之间的数量关系，找出相等关系，列出方程．
一、导入新课
师：背景资料投影展示：约公元820年，中亚细亚数学家阿尔－花拉子米写了一本代数书，重点论述怎样解方程．这本书的拉丁文译本取名为《对消与还原》．“对消”与“还原”是什么意思呢？通过下面几节课的学习讨论，相信同学们一定能回答这个问题．
二、探究新知
(一)利用合并同类项解方程
师：出示教材问题1.
某校三年共购买计算机140台，去年购买数量是前年的2倍，今年购买的数量又是去年的2倍，前年这所学校购买了多少台计算机？
分析：引导学生回忆：
问题：如何列方程？分哪些步骤？
师生共同讨论分析：
①设未知数：设前年购买计算机x台．
②找相等关系：
前年购买量＋去年购买量＋今年购买量＝140台.
然后教师引导学生列出方程．
③x＋2x＋4x＝140.
进一步提出问题：
怎样解这个方程？如何将方程向x＝a的形式进行转化？
学生观察，讨论交流，教师引导学生说出将方程左边合并同类项，向x＝a的形式转化．
教师板演过程或用教材的框图表示过程．(过程略)
思考：本问题的解决过程中，合并同类项起到了什么作用？
学生讨论后回答．(让学生感受化归的思想)
归纳：合并同类项起到了“化简”的作用，即把含有未知数的项合并，从而把方程转化为Ax＝B，使其更接近x＝a的形式(其中A、B是常数).
(二)一元一次方程的简单应用
例2　有一列数，按一定规律排列成1，－3，9，－27，81，－243，…….其中某三个相邻数的和是－1701，这三个数各是多少？
分析：从符号和绝对值两方面观察，可发现这列数的排列规律：后面的数是它前面的数与－3的乘积．如果三个相邻数中的第1个数记为x，则后两个数分别是－3x，9x.
解：设这三个相邻数中的第1个数为x，则第2个数为－3x，第3个数为－3×(－3x)＝9x.
根据这三个数的和是－1701.得
x－3x＋9x＝－1701，
合并同类项，得7x＝－1701，
系数化为1，得x＝－243.
所以－3x＝729，
9x＝－2187.
答：这三个数是－243，729，－2187.
思考：有一列数，按一定规律排列成1，－3，9，－27，81，－243，…，你能说出它的第n个数是多少吗？(用含n的式子表示)
三、课堂练习
教师出示教材例1.
1．解下列方程：
(1)2x－x＝6－8；
(2)7x－2.5x＋3x－1.5x＝－15×4－6×3.
教师出示教材P121练习第2题
2．某工厂的产值连续增长，2021年是2020年的1.5倍，2022年是2021年的2倍，这三年的总产值为550万元.2020年的产值是多少万元？
教师找学生在黑板上板演，检验学习效果．
【答案】1.(1)x＝4　(2)x＝－13　2.设2020年的产值是x万元，可列方程为1.5x＋2×1.5x＋x＝550，解得x＝100，答：2020年的产值是100万元
四、课堂小结
小结：谈谈你对这节课的收获．
五、课后作业
教材P121练习第1，3题．
本节课研究的内容是利用合并同类项解一元一次方程，“合并同类项”是化简方程的重要方法．通过合并同类项可以使方程向x＝a的形式转化．这节课与前面所学的知识有千丝万缕的联系．合并同类项的法则是建立在数的运算的基础上，在合并同类项的过程中，要不断运用数的运算，可以说合并同类项是有理数加减运算的延伸和拓广．第2课时　利用移项解方程
1．掌握移项的方法，学会解“ax＋b＝cx＋d”型的一元一次方程，理解解方程的目标，体会解法中蕴涵的化归思想；
2．通过分析实际问题中的数量关系，建立方程解决问题，进一步认识方程模型的重要性．
重点
会解“ax＋b＝cx＋d”型的一元一次方程，建立方程模型解决实际问题．
难点
探究移项法则．
一、导入新课
出示教材问题2：把一批图书分给某班学生阅读，若每人分3本，则剩余20本；若每人分4本，则缺25本，这个班有多少名学生？
二、探究新知
(一)移项
引导学生回顾列方程解决实际问题的基本思路.
学生讨论、分析：
1．设未知数：设这个班有x名学生．
2．找相等关系：
这批书的总数是一个定值，表示它的两个式子相等．
3．列方程：3x＋20＝4x－25.
问题1：怎样解这个方程？它与上节课遇到的方程有何不同？
学生讨论后发现：方程的两边都有含x的项(3x与4x)和不含字母的常数项(20与－25).
问题2：怎样才能使它向x＝a的形式转化呢？
学生思考、探索：为使方程的右边没有含x的项，等式两边减4x，为使方程的左边没有常数项，等式两边减20.
3x－4x＝－25－20.
问题3：以上变形依据是什么？
等式的性质1.
归纳：像上面那样把等式一边的某项变号后移到另一边，叫作移项．
师生共同完成解答过程，或用框图表示．
问题4：以上解方程中“移项”起了什么作用？
学生讨论、回答，师生共同整理：
通过移项，含未知数的项与常数项分别位于方程左右两边，使方程更接近于x＝a的形式．
师：解方程时，要合并同类项和移项．前面提到的古老的代数书中的“对消”与“还原”，指的就是“合并同类项”和“移项”．
教师出示教材例3.
解下列方程：
(1)3x＋7＝32－2x；(2)x－3＝x＋1.
教师引导学生按照框图所展示的过程，共同完成本例题．
(二)应用
教师出示教材例4.
例4　某制药厂制造一批药品，如果用旧工艺，则废水排量要比环保限制的最大量还多200 t；如果用新工艺，则废水排量要比环保限制的最大量少100 t．新旧工艺的废水排量之比为2∶5，两种工艺的废水排量各是多少？
学生讨论交流．
教师可提示学生分析：
1．本题可否用小学学习的算术法来求解？
2．题目中两种工艺的废水排量都是与环保最大值相关的，根据小学学过的比例式，如果设环保设计的最大量为x t，你能否列出一个关于x的比例式？
3．根据新旧工艺的废水排量之比为2：5，如果设新、旧工艺的废水排量分别为2x t和5x t，你能列出方程吗？
解：设新、旧工艺的废水排量分别为2x t和5x t．根据废水排量与环保限制最大量之间的关系，得5x－200＝2x＋100.移项，得5x－2x＝100＋200.合并同类项，得3x＝300，系数化为1，得x＝100，所以2x＝200，5x＝500.
答：新、旧工艺的废水排量分别为200 t和500 t．
师：通过解答过程，你能说一下这种设法的好处吗？
三、课堂练习
1．解下列方程：
(1)6x－7＝4x－5；
(2)0.5x－6＝0.75x.
2．一个黑白足球的表面一共有32个皮块，其中有若干块黑色五边形和白色六边形，黑、白皮块的数目之比为3∶5，问黑色皮块有多少？
学生思考、讨论出多种解法，师生共同讲评．
【答案】1.(1)x＝1　(2)x＝－24
2．设黑色皮块有3x块，则白色皮块有5x块，可列方程为3x＋5x＝32，解得x＝4，则3x＝12，答：黑色皮块有12块
本问题是一个与上一问题相似的问题，关键是让学生认真分析出各个量之间的关系，让学生学会类比、用上一问题的方法模式去解决本问题．
四、课堂小结
小结：谈谈本节课你的收获．
五、课后作业
教材P124练习第1，2，3，4题．
这节课要学习的方程类型是两边都有x和常数项，通过移项的方法转化到合并同类项的方程类型．教学重点是用移项解一元一次方程，难点是移项法则的探究．在教学过程中一定要强调学生，移项的时候要注意变号．第3课时　利用去括号解方程
1．掌握利用去括号解方程的方法；
2．进一步学习列方程解应用题，培养分析解决问题的能力．
重点
1．利用去括号的法则解一元一次方程．
2．由实际问题找到相等关系，列出方程．
难点
由实际问题如何找相等关系．
一、导入新课
1．神话故事“哪吒闹海”众所周知，另有描写哪吒斗夜叉的场面：哪吒和夜叉真个是各显神通，分身有术，只杀得走石飞沙昏天暗地，只见“八臂一头是夜叉，三头六臂是哪吒，三十六头难分辨，手臂缠绕百零八，试向看官问一句，几个夜叉几哪吒？”
设有x个哪吒，则有(36－3x)个夜叉，
6x＋8(36－3x)＝108.
你会解这个方程吗？
2．化简下列各式：
(1)(－3a＋2b)＋3(a－b)；
(2)－5a＋4b－3(－3a＋b).
去括号法则：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反．
学生完成以后，与同学交流复习学过的知识．
二、探究新知
问题3　某工厂加强节能措施，去年下半年与上半年相比，月平均用电量减少2 000 kW·h，全年用电150 000 kW·h，这个工厂去年上半年每月平均用电多少？
提出问题，你能用方程解决这个问题吗？
教师可点拨：列方程解应用题的关键是找相等关系，这个问题中有哪些相等关系？若设上半年平均每月用电x kW·h，你能列出方程吗？
①上半年月均用电量－下半年月均用电量＝2 000 kW·h，
②上半年总用电量＋下半年总用电量＝150 000 kW·h，
学生讨论后独立列出方程并解答．然后小组交流，看一看所列的方程是否相同，并说一说你是如何借助上边的相等关系列方程的，你是否还有其他的列法．
6x＋6(x－2000)＝150000.
观察下面的方程，结合去括号法则，你能求得它的解吗？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　↓去括号
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　↓移项
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　↓合并同类项
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　↓系数化为1
通过以上解方程的过程，你能总结出解含有括号的一元一次方程的一般步骤吗？
↓
↓
↓
例5　解下列方程：
(1)2x－(x＋10)＝5x＋2(x－1)；
(2)3x－7(x－1)＝3－2(x＋3).
师：这两个方程与上面几个方程有什么不同，怎样解这两个方程？
生：进行观察、讨论、交流．
师：引导学生找出解决问题的方法，将这个方程化成上面几个方程的形式，然后再向x＝a形式的方程化归，也就是先去括号，然后师生共同回忆去括号的方法，教师板书解答过程．
解：(1)去括号，得2x－x－10＝5x＋2x－2，
移项，得2x－x－5x－2x＝－2＋10，(移项要变号)
合并同类项，得－6x＝8，(将同类项的系数相加)
系数化为1，得x＝－.(两边同除以未知数的系数)
师生共同完成第(1)小题，学生独立完成第(2)小题．
三、课堂练习
(1)2(x＋3)＝5x；
(2)4x＋3(2x－3)＝12－(x＋4)；
(3)教师出示教材例6.
一艘船从甲码头到乙码头顺流而行，用了2 h；从乙码头返回甲码头逆流而行，用了2.5 h，已知水流的速度是3 km/h，求船在静水中的平均速度．
【答案】(1)x＝2　(2)x＝　(3)设船在静水中的平均速度为x km/h，可列方程为2(x＋3)＝2.5(x－3)，解得x＝27，答：船在静水中的平均速度为27 km/h
由于前面已经对本类问题的难点做了分解突破，所以这里采用学生完成的方式，过程中教师巡视指导，根据情况也可适当点拨．
教师归纳点评：行程问题中最基本的关系是路程＝速度×时间，具体的问题中注意分析相等关系，尤其是一些隐含的相等关系．另外这样的问题中还应当关注具体的各个量之间的关系．类似的还有风速问题等．
教师可安排学生板演，小组交流、抽样阅卷等多种形式以发现学生的问题，及时反馈，及时纠正．
四、课堂小结
小结：谈谈你这节课的收获．
五、课后作业
教材P126练习第1，2，3题．
本节课的教学安排是学习用去括号解一元一次方程，并能通过列方程解决实际问题．教师在例题讲解、课堂提问、学生板演等活动中，要反复强调，括号前面是负号的，去括号后，括号里面的各项都要变号．
第4课时　利用去分母解方程
1．能熟练地通过去分母解一元一次方程；.
2．归纳、整理出解一元一次方程的一般步骤．
重点
用去分母解一元一次方程的方法及解一元一次方程的一般步骤．
难点
能正确地去分母．
一、导入新课
英国伦敦博物馆保存着一部极其珍贵的文物—纸草书．这是古代埃及人用象形文字写在一种用纸莎草压制成的草片上的著作，它于公元前1700年左右写成．这部书中记载了许多有关数学的问题，其中有一道著名的求未知数的问题：一个数，它的三分之二，它的一半，它的七分之一，它的全部，加起来总共是33，求这个数．
通过创设问题情境，列方程解决该问题，发展学生用方程解决问题的能力，感受方程是刻画客观世界量与量之间关系的主要模型之一，激发学生的学习热情，关注对学生数学文化素养的培养．
分析：如果设这个数为x，你能列出方程吗？
学生思考后回答：x＋x＋x＋x＝33.
二、探究新知
师：你能解这个方程吗？
学生可以先尝试解决，一般学生会先将左边合并，然后解决问题，可以让学生试一试这个过程，以便与后边的方法相比较．
教师提出另外的解决方案，先左右两边乘42，再解方程试一试．
比较两种方法的优劣．
学生讨论交流后归纳．
可以发现两边乘42以后，去掉了分母，使计算过程得到简化．
思考：为什么要乘42呢？
学生思考讨论，师生共同归纳：
两边同时乘各分母的最小公倍数．
投影出示教材问题4
如图，翠湖在青山、绿水两地之间，距青山50 km，距绿水70 km，某天，一辆汽车勾速行驶，途经王家庄、青山、绿水三地的时间如表所示，王家庄距翠湖的路程有多远？
地名 王家庄 青山 绿水
时间 10：00 13：00 15：00
分析：设王家庄距翠湖的路程为x km，则王家庄距青山的路程为(x－50) km，王家庄距绿水的路程为(x＋70) km，由表可知，汽车从王家庄到青山的行驶时间为3 h，从王家庄到绿水的行驶时间为5 h.
根据汽车在各段的行驶速度相等，
列得方程＝
我们知道，等式两边乘同一个数，结果仍相等．这个方程中各分母的最小公倍数是15，方程两边都乘15，得5(x－50)＝3(x＋70)，
去括号，得5x－250＝3x＋210.
移项，得5x－3x＝210＋250.
合并同类项，得2x＝460.
系数化为1，得x＝230.
因此，王家庄距翠湖的路程为230 km，
三、课堂练习
教师出示教材例7.
例7　解下列方程：
(1)－1＝2＋；
(2)3x＋＝3－.
补充练习：
(3)－＝1；
(4)x－＝－.
【答案】(1)x＝4　(2)x＝　(3)x＝－3
(4)x＝0
四、课堂小结
小结：谈谈你对一元一次方程解法的认识．
五、课后作业
教材P129练习第1，2，3题．
在解方程去分母时，容易出现这样的一些问题：①不会找各分母的最小公倍数，这点要适当指导；②用各分母的最小公倍数乘方程两边的项时，漏乘不含分母的项；③当减式中分子是多项式且分母恰好为各分母的最小公倍数时，去分母后，分子没有作为一个整体加上括号，容易错符号．教学过程中教师要着重加以引导．5.3　实际问题与一元一次方程(4课时)
第1课时　产品配套问题和工程问题
1．会根据实际问题中的相等关系列方程解决；
2．“配套问题”和“工程问题”，掌握列方程解应用题的一般步骤；
3．让学生体会建模思想和数学源于生活而又服务于生活的理念．
重点
掌握用一元一次方程解决实际问题的基本过程.
难点
根据题意寻找相等关系列方程．
一、导入新课
前面我们学习了一元一次方程的解法，本节课，我们将讨论一元一次方程的应用．生活中，有很多需要进行配套的问题，如课桌和凳子、螺钉和螺母、电扇叶片和电机等，大家能举出生活中配套问题的例子吗？
二、探究新知
投影展示课本例1.
例1　某车间有22名工人，每人每天可以生产1200个螺栓或2000个螺母.1个螺栓需要配2个螺母，为使每天生产的螺栓和螺母刚好配套，应安排生产螺栓和螺母的工人各多少名？
教师提示学生思考以下问题：
1．“1个螺栓配2个螺母”这句话是什么意思，包含着什么相等关系？
2．本问题中有哪些相等关系？
学生讨论后，独立尝试列方程．在本问题中“1个螺栓配2个螺母”中包含的相等关系较隐蔽，是本问题的难点，要让学生真正理解其中的含义．教师巡视检查学生完成的情况．然后让学生打开教材，把自己的解法和教材上的相比较，看一看过程中有什么不足之处，修改以后思考下面的问题．
你的解法与教材上是否相同？如果相同，你是否能换一种设未知数的方法解决这个问题？如果不同，请与其他同学交流讨论比较两种方法间的异同点．
投影展示课本例2.
例2　整理一批图书，由一个人整理要40 h完成．现计划由一部分人先整理4 h，然后增加2人与他们一起整理8 h，完成这项工作．假设这些人的工作效率相同，应先安排多少人整理？
学生先自主探究讨论，教师可以点拨以下问题.
分析：在工程问题中，通常把全部的工作量看作单位1.根据题意完成下列各空．
1．人均效率为____．(指一个人1h的工作量)
2．若设先由x人整理4h，完成的工作量是____.再增加2人和前一部分人一起整理8h，两段完成的工作量之和是____．
师生共同完成本题的解答过程，教师要书写规范完整的答案．
教师点评：工作量＝人均效率×人数×工作时间，这是在此问题中常用的相等关系．
归纳：解决工程问题的基本思路：
1．三个基本量：工作量、工作效率、工作时间．
它们之间的关系是：
工作量＝工作效率×工作时间．
2．相等关系：工作总量＝各部分工作量之和．
(1)工作总量＝各时间段的工作量之和；
(2)工作总量＝各工作者的工作量之和．
3．通常在没有具体数值的情况下，把工作总量看作1.
三、课堂练习
教师出示教材P134练习第1题：
1．一条地下管线由甲工程队单独铺设需要12天，由乙工程队单独铺设需要24天．如果由这两个工程队从两端同时施工，要多少天可以铺好这条管线？
【答案】设需要x天才能铺好这条管线，可列方程为(＋)x＝1，解得x＝8，答：需要8天才能铺好这条管线
学生交流讨论，教师巡视指导．
四、课堂小结
小结：谈谈你本节课的收获．
五、课后作业
教材P134练习第2，3题．
本节课在解决配套问题时，老师先鼓励学生找相等关系，再设未知数列方程，把自己的解法和教材上的解法相比较，如果相同，换一种设未知数的方法解决这个问题；如果不同，与同学相互交流讨论比较两种方法的异同点，拓展了同学们的解题思路．在解决“工程问题”时，教师引导学生要抓住“工作量、工作效率、工作时间”之间的关系，通常把工作量看成1，在分析问题时通过填空的形式降低了解题的难度，收到了较好的效果．第2课时　销售问题
1．理解商品销售中所涉及进价、原价、售价、利润、打折、利润率这些基本量之间的关系；
2．能利用一元一次方程解决商品销售中的实际问题．
重点
把握盈亏问题中的相等关系，培养学生运用方程解决实际问题的能力．
难点
根据问题背景，分析数量关系，找出可以作为列方程依据的相等关系，正确列方程．
一、导入新课
教师投影展示：
1．回顾列方程解应用题的一般步骤．
2．填空：①某运动鞋打八折后是220元，则原价是__275__元．
②进价为90元的篮球，卖了120元，利润是__30__元，利润率约是__33.3%__．
③某商品原标价为165元，降价10%后，售价为__148.5__元，若成本为110元，则利润为__38.5__元．
3．学生分析归纳并记忆：
售价＝标价×__折扣__；
利润＝售价－__进价__；
利润率＝__(售价－进价)÷进价×100%__；
售价＝__进价×(1＋利润率)__．
二、探究新知
教师出示教材探究1
一商店以每件60元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利25%，另一件亏损25%，卖这两件衣服总的是盈利还是亏损，或是不盈不亏？
分析：
问题1.两件衣服共卖了120元，如何判断商家的盈亏情况？你能否估算一下商家的盈亏情况？
问题2.若设其中盈利的那件衣服进价为x元，该衣服售价为60元，它盈利多少，你能列出方程吗？
问题3.若设其中亏损的那件衣服进价为y元，该衣服售价为60元，它亏损多少，你能列出方程吗？
学生交流讨论，然后师生共同完成解答过程．
成本价 利润 售价
盈利的衣服 x 0.25x 60
亏损的衣服 y －0.25y 60
解：(1)设盈利25%的衣服进价是x元，
依题意得x＋0.25x＝60.
解得x＝48.
(2)设亏损25%的衣服进价是y元，
依题意得y－0.25y＝60.
解得y＝80.
两件衣服总成本：x＋y＝48＋80＝128(元).
因为120－128＝－8(元)
所以卖这两件衣服共亏损了8元．
与你猜想的一致吗？
三、课堂练习
1．某手机店卖出两部手机，每部售价为960元．其中一部盈利20%，另一部亏损20%.这次手机店是盈利还是亏损，或是不盈不亏？
2．某文具店有两个进价不同的计算器都卖64元，其中一个盈利60%，另一个亏损20%.这次交易中的盈亏情况？
3．下面四个关系中，错误的是( B )
A．商品利润率＝×100%
B．商品利润率＝×100%
C．商品售价＝商品进价×(1＋利润率)
D．商品利润＝商品利润率×商品进价
4．某种商品零售价为每件900元，为了适应市场竞争，商店按零售价的九折降价，并让利40元销售，仍可获利10%(相对进价)，则这种商品进货每件多少元？
【答案】1.设盈利的手机进价为a元，亏损的手机进价为b元，列方程为(1＋20%)a＝960，(1－20%)b＝960，解得a＝800，b＝1 200，所以总进价为800＋1200＝2000(元)，总售价为960×2＝1920(元)，因为2000＞1920，所以这次手机店是亏损的　2.同1可得盈利的进价为40元，亏损的进价为80元，总进价为120元，总售价为64×2＝128(元)，128－120＝8(元)，答：这次交易亏损了8元　4.设这种商品进货每件x元，列方程为900×90%－40－x＝10%x，解得x＝700，答：这种商品进货每件700元
学生独立完成，然后同学间交流，师生共同解答.
四、课堂小结
小结：谈谈你本节课的收获．
五、课后作业
教材P136练习第1，2题．
数学源于生活，生活中蕴含着数学．如“打折销售”这一司空见惯的经济现象，它能够把数学和生活联系起来．通过教学，让学生在生活中学习数学，让数学走进生活．教师要首先给出关于销售中一些常识，再引导学生找其中的相等关系进而得出方程．第3课时　积分问题
1．能正确阅读和理解表格中的信息；
2．能从表中的信息中，找出相等关系列方程；
3．经历探索球赛积分中相等关系的过程，让学生认识数学与生活的紧密联系，数学题目的形式多样性，培养学生学习数学的兴趣．
重点
如何正确阅读和理解表格中的信息．
难点
如何根据题意从图表中获取有用的信息并列方程解决问题．
一、导入新课
观看球赛片段
教师：操作课件，播放篮球片段．
学生：欣赏球赛．
你喜欢看篮球比赛吗？你对篮球比赛中的积分规则有了解吗？
二、探究新知
活动1：提出问题
展示教材探究2中某次篮球联赛积分榜，提出问题：
(1)列式表示总积分与胜负场数之间的数量关系；
(2)某队的胜场总积分能等于它的负场总积分吗？
教师：说明积分规则．
学生：观察表格．
教师在学生自由观察表格并发表意见的基础上引导学生观察表格中横、纵所隐藏着的信息，并建立数学模型，教师重点关注学生能否得出以下关系：
(1)胜场积分＋负场积分＝总积分．
(2)解决问题的关键：胜一场积几分，负一场积几分．
活动2：对问题进行分解
学生继续观察表格，教师提出问题：
你选择表格中哪一行能说明负一场积几分呢？
学生探究交流得：
从最后一行数据可以发现：负一场积1分．
教师继续提问：
胜一场积几分呢？
学生探究交流．
学生可能会用算术法得出胜一场积2分，这时教师应引导学生通过列一元一次方程求出此结果，为解决最后的问题奠定基础．
活动3：解决问题
(1)用式子表示总积分与胜、负场数之间的数量关系．
(2)某队的胜场总积分能等于它的负场总积分吗？
教师：以上分析得出的结论是：
(1)胜一场积2分、负一场积1分．
学生分组讨论交流解决问题(1).
教师应关注：
①负场数＝比赛场数－胜场数．
②总积分＝胜场积分＋负场积分．
③问题变式：列式表示积分与负场数之间的数量关系．
学生分组讨论交流解决问题(2).
解：设一个队胜了x场，则负了(14－x)场，如果这个队的胜场总积分等于负场总积分，则利用问题(1)的结论，可得2x＝14－x，解得x＝.
这个结果可以吗？为什么？
教师应关注：
(1)列一元一次方程解决问题．
(2)方程的解与实际问题的关系．
活动4：问题深入化
教师提出问题．
如果删去积分榜的最后一行，你还能解决这两个问题吗？
教师应关注：解决问题的关键还是要求出胜一场积几分，负一场积几分，并引导学生思考：删去了最后一行，不能直接得到负一场积1分，又如何来求胜一场积几分，负一场积几分呢？
教师提示：可利用各队胜一场积分相等或利用各队负一场积分相等，任选两个胜、负场数不相同的队即可列方程解决．
学生课后思考完成．
讨论：把上题中积分榜的最后一行删去(如下表)，如何求出胜一场积几分，负一场积几分．
队名 比赛场次 胜场 负场 积分
前进 14 10 4 24
东方 14 10 4 24
光明 14 9 5 23
蓝天 14 9 5 23
雄鹰 14 7 7 21
远大 14 7 7 12
卫星 14 4 10 18
三、课堂练习
1．某队参加中超联赛，开局9场保持不败，积21分，比赛规则：胜一场得3分，平一场得1分，则该队共胜( C )
A．4场　　B．5场　　C．6场　　D．7场
2．中国男篮CBA职业联赛的积分办法是：胜一场积2分，负一场积1分，某支球队参加了15场比赛，总积分恰是所胜场数的6倍，则该球队共胜__3__场．
3．某次知识竞赛共20道题，每答对一题得10分，答错或不答要扣5分．某选手在这次竞赛中共得140分，那么他答对几道题？
【答案】3.设他答对x道题，列方程为10x－5(20－x)＝140，解得x＝16，答：他答对16道题
四、课堂小结
小结：谈谈你本节课的收获．
五、课后作业
教材P137练习第1，2题．
这节课主要讲了关于足球比赛实际应用题，用熟悉的材料作背景，学生学习兴趣很高．内容上难度不大，并且采用活动—探索—合作—交流的形式，使学生在轻松熟悉的环境中完成了学习任务．第4课时　分段计费与方案设计问题
1．会用列一元一次方程解决分段计费问题和方案设计问题；
2．通过探究实际问题与一元一次方程的关系，感受数学的应用价值，提高分析问题、解决问题的能力；
3．了解分类讨论思想．
重点
引导学生弄清题意，找出相等关系列出方程．
难点
把生活中的实际问题抽象成数学问题，设计问题的最佳方案．
一、导入新课
教师出示教材探究3.
不同能效空调的综合费用比较
购买空调时，需要综合考虑空调的价格和耗电情况．某人打算从两款空调中选购一台，表5.3－2是这两款空调的部分基本信息，如果电价是0.5元/(kW·h)，请你分析他购买、使用哪款空调综合费用较低．
下表中有两款空调的部分基本信息：
表5.3－2　两款空调的部分基本信息
汈汈汈汈汈
匹数 能效等级 售价/元 平均每年耗电
量/(kW·h)
1.5 1级 3 000 640
1.5 3级 2 600 800
二、探究新知
(一)提出问题
考虑下列问题：
(1)设空调的使用年数是t(t是正整数).根据上表，列表说明：当t在不同时间范围内取值时，1级和3级能效分别如何计费．
(2)观察你的列表，你能从中发现如何根据使用时间选择省钱的计费方式吗？通过计算验证你的看法．
教师提出问题：
1．你能分别把使用年数不同的费用情况用含t的代数式表示出来吗？
2．在两种收费方式下，会不会有这么一个时间，用不同能效的空调，却费用相同呢？
(“收费相等”是本题列方程的相等关系)
3．你能根据表格判断两种计费方式哪种更合算吗？
理解问题的本身是列方程的基础，本例通过表格形式给出已知数据，让学生根据问题展开讨论，帮助理解，培养学生的读题能力和收集信息的能力．
(二)解决问题
1．学生充分交流讨论后完成表格：
能效等级 空调售价 电费 综合费用
1级 3000 0.5×640t 3000＋320t
3级 2600 0.5×800t 3600＋400t
2.分析，在这个问题中，综合费用＝空调的售价十电费．选定一种空调后，售价是确定的、电费则与使用的时间有关．
列方程3000＋320t＝2600＋400t，
解得t＝5.
使用5年时，两款空调的综合费用相等．
3．为了比较两款空调的综合费用，我们把表示3级能效空调的综合费用的式子2600＋400t变形为1级能效空调的综合费用与另外一个式子的和，即(3 000＋320t)＋(80t－400)，也就是3 000＋320t＋80(t－5)；这样，当t＜5时，80(t－5)是负数，这表明3级能效空调的综合费用较低；当t＞5时，80(t－5)是正数，这表明1级能效空调的综合费用较低．
根据以上的分析，可以发现：
同样是1.5匹的空调，1级能效空调虽然售价高，但由于比较省电，使用年份长(超过5年)时综合费用反而低．根据相关行业标准，空调的安全使用年限是10年(从生产日期计起)，因此购买、使用1级能效空调更划算．
三、课堂练习
利用我们在“空调综合费用问题”中学会的方法，探究下面的问题：
教材P139练习第1题
在甲复印店用A4纸复印文件，复印页数不超过20时，每页收费0.12元；复印页数超过20页时，超过部分每页收费0.09元．在乙复印店用A4纸复印文件，不论复印多少页，每页收费0.1元．复印张数为多少时，两处的收费相同？
【答案】设复印x张时，两处的收费相同，当x≤20时，甲复印店收费0.12x元，乙复印店收费0.1x元．两店收费不可能相同；当x＞20时，甲复印店收费0.12×20＋0.09(x－20)＝(0.09x＋0.6)元，乙复印店收费0.1x元，列方程为0.09x＋0.6＝0.1x，解得x＝60.答：复印张数为60时，两处的收费相同．
四、课堂小结
小结：谈谈你本节课的收获．
五、课后作业
教材P139练习第2题，P141习题第14题．
补充作业：一个周末，王老师等3名教师带着若干名学生外出考察旅游(旅费统一支付)，联系了标价相同的两家旅游公司，经洽谈，甲公司给出的优惠条件是：教师全部付费，学生按七五折付费；乙公司给的优惠条件是：全部师生按八折付费，请你参谋参谋，选择哪家公司较省钱？
创设问题情境，联系生活实际，激发学习动机，将学生置于问题情境中．鼓励学生动手动口，增强学生的自主学习能力，而且让学生从数学的角度去分析和总结生活中的问题，学会能从不同的角度去探求生活经验，从而让学生掌握知识．

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