资源简介

第2课时 角的比较
教学目标
课题 第2课时 角的比较 授课人
素养目标 1.经历比较角的大小的研究过程，体会角的比较和线段的比较方法的一致性，能比较角的大小，能估计一个角的大小，发展学生的几何直观感知能力，感受类比的数学思想。 2.在操作活动中认识角的平分线，理解角的平分线的概念，使学生积累数学活动经验，加强抽象能力与实际操作能力。 3.能用尺规作图：作一个角等于已知角，培养学生的动手操作能力与作图能力。 4.会计算角的和、差，发展学生的运算能力及合情的推理能力。
教学重点 角的比较，角的平分线的概念，计算角的和、差。
教学难点 尺规作一个角等于已知角，角的和、差与角的平分线的综合。
教学活动
教学步骤 师生活动
活动一：创设情境，新课导入 设计意图 列举实例引起反思，然后通过提问引入角的比较。 【情境引入】 成功永远属于肯攀高峰的人，你会选择从哪一面上山呢？为什么？图中的∠1和∠2又如何比较？ 【教学建议】 通过创设现实情境让学生明白角的比较是有必要的，教师也可以列举其他能抽象出角的比较的实例，激发学生的学习兴趣，引发学生思考，衔接新课。
活动二：交流合作，探究新知 设计意图 通过设问引入角的比较的方法，据此引入角的和、差的概念，并通过练习使学生掌握比较角的大小的方法。 设计意图 通过问题回顾角的大小比较,结合折叠引入角的平分线的概念,并运用其所阐述的数量关系进行简单的角的运算。 设计意图 通过设问让学生大致估计出一个角的度数，并动手操作进行验证。 探究点1 角的比较及角的平分线的探究 Ⅰ.角的比较 问题1 你能比较下图中每组角的大小吗？与同伴进行交流。 通过观察得知①中的∠AOB>∠CO′D，而②③中的两个角的大小难以通过观察得知。 问题2 当有些角度无法直接观察判断时，又有什么方法可以判断呢？ 度量法：用量角器量出它们的度数，再进行比较。 如： 叠合法：将两个角的顶点及一条边重合，另一条边放在重合边的同侧比较大小（如下表所示）。 问题3 想一想，你能结合右图说明什么是两个角的和与差吗？ 教师总结： 【对应训练】 如图，用“>”“<”或“=”填空： （1）∠AOC=∠AOB+∠BOC； （2）∠AOC>∠AOB； （3）∠BOD-∠BOC=∠COD； （4）∠AOD<∠AOC+∠BOD； （5）若∠AOB=∠COD，则∠AOC=∠BOD。 Ⅱ.角的平分线 问题4 上面我们学习了三种角的大小的比较方法，接下来我们看看这些方法该如何应用。如图，请解决下列问题： （1）比较∠AOB，∠AOC，∠AOD，∠AOE的大小，并指出其中的锐角、直角、钝角、平角； ∠AOB<∠AOC<∠AOD<∠AOE， ∠AOB是锐角，∠AOC是直角，∠AOD是钝角，∠AOE是平角。 （2）试比较∠BOC和∠DOE的大小； ∠BOC>∠DOE。 （3）小亮通过折叠的方法，使OD与OC重合，OE落在∠BOC的内部，所以∠BOC＞∠DOE。你能理解这种方法吗？ （4）请在图中画出小亮折叠的折痕OF，∠DOF与∠COF有什么大小关系？ 第（3）（4）问思路引导： 你明白小亮的思路么？现在我们进行操作能手比赛，请按小亮的思路折一折，然后画出折痕OF。 ②这个OF是什么线呢？∠DOF与∠COF有什么大小关系？ OF是一条射线。∠DOF=∠COF，也就是说这条射线把角进行了平分。 概念引入： 【对应训练】 教材P123随堂练习第2题。 Ⅲ.角度的估计 问题5 （1）估计下图中∠AOB，∠DEF的度数。 估计∠AOB≈60°，∠DEF≈105°。 （2）量一量，验证你的估计。 用量角器量得∠AOB≈61°，∠DEF≈106°。 【对应训练】 教材P123随堂练习第1题。 【教学建议】 教学中教师要对比角的比较方法与线段的比较方法，注意二者的一致性。在学生回忆比较线段长短的方法和观察三组角的基础上明晰：如果两个角的大小相差很大，直接观察就可以比较。如果直接观察难以判断，我们可以有两种方法进行比较：一种是用量角器量出每个角的度数，再进行比较；另一种方法是将两个角叠合进行比较。通过设问的方式使学生自行体会角的和、差，为今后练习中经常出现相关的推理或计算打牢基础。 【教学建议】 可跟学生讲述角的大小比较能从“数”和“形”两个方面进行对比。“数”的角度：度数高的角就大。“形”的角度：开口大的角就大，这与角的两边的长短无关。 【教学建议】 前两个小问旨在巩固比较角的大小的方法，并进一步丰富对锐角、直角、钝角、平角的认识。教学中应鼓励学生充分交流比较∠BOC和∠DOE的大小的方法。后面呈现折叠是借此引出角的平分线的概念，这里倡导学生自己动手画角并通过折纸操作得到相等的角，加深对角的平分线的具象认识，从交流中清晰说出角的平分线的概念。教师总结点评时，着重强调角的平分线需满足：（1）是从角的顶点引出的射线；（2）在角的内部；（3）平分已知角。注意提醒学生进行角的计算时，类似于线段中点，角平分线所产生的数量关系也有多种表现形式，要根据题目灵活选用。 【教学建议】 能大致估计角的度数是学生需具备的基本素质，要让学生充分交流，无论是直接观察，还是利用学具，都能让学生感受角的度数与形状的关系，利于培养学生的几何直观感知力。
教学步骤 师生活动
设计意图 由探究如何移动角来比较两个角的大小这一问题进行切入，引出作一个角等于已知角的尺规作图方法，并设置题目使学生学会运用这一方法作图比较角的大小。 探究点2 用尺规作角 问题1 我们已经知道可以通过移动其中一个角的方法比较两个角的大小。如何移动一个角呢？比如，如何将图①中的∠AOB移动到图②的位置，使OA与O′A′重合？ （1）请你用三角尺、量角器、圆规等工具解决这一问题。 （2）如果只用尺规，如何解决这个问题？请你试一试，并与同伴进行交流。 问题2 将图①中的∠AOB移动到图②的位置，使OA与O′A′重合，这个角的大小由什么来决定？ 这个角的大小由另一条边的位置决定。 问题3 如何确定另一条边的位置呢？下面的例题将给出用尺规来完成的方法。 例 （教材P124例2）如图，已知∠AOB，用尺规作∠A′O′B′，使∠A′O′B′=∠AOB。 ∠A′O′B′就是所要作的角。 通过以上方法，我们确定了角的另一条边的位置，从而将∠AOB移动到了∠A′O′B′的位置，实质上这就是作一个角等于已知角的尺规作图。 问题4 如图，已知∠AOB，∠EO′F，用尺规作图比较它们的大小。你是怎样做的？ 如图，可通过作一个角等于已知角的尺规作图，将∠AOB移动到∠A′O′B′处，使∠A′O′B′=∠AOB，从而发现∠A′O′B′>∠EO′F，于是∠AOB>∠EO′F。 【对应训练】 教材P125随堂练习第1题。 【教学建议】 教学中可让学生充分交流，发挥想象，画图工具不限，方法也不限，只要正确画出即可。这里给出了两种常规思路，一种是用度量的方法，另一种则是尺规作图法。由于作图过程较复杂，教学时应要求学生按照作图步骤亲自操作。对于“作法”，学生能看懂即可，不必要求写出。“作法”与“示范”是文字语言与图形语言的转换，教学中要充分利用作图过程让学生体会两种数学语言的转换。完成作图后，鼓励学生利用测量、比较等方式验证所作的角是否等于已知角。让学生交流完成问题4，对比角的大小的同时也渗透了作两个角的差的方法。
活动三：综合演练，巩固提升 设计意图 综合考查角的平分线与角的和、差，强化学生对于本节课概念的领悟和解题能力。 例 如图，OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线，如果∠AOB=40°，∠DOE=30°，求∠BOD的度数。 思路分析： 解：因为OB是∠AOC的平分线， 所以∠BOC=∠AOB=40°。 因为OD是∠COE的平分线， 所以∠COD=∠DOE=30°， 所以∠BOD=∠BOC+∠COD=40°+30°=70°。 【对应训练】 如图，∠AOB=60°，射线OC，OD是∠AOB内部的两条射线。若∠AOC=10°： （1）当OD平分∠BOC时，则∠BOD=25°； 【解析】因为∠AOB=60°，∠AOC=10°， 所以∠BOC=∠AOB-∠AOC=60°-10°=50°。 因为OD平分∠BOC， 所以∠BOD=∠BOC=×50°=25°。 （2）当∠BOD=∠BOC时，求∠AOD的度数。 解：因为∠AOB=60°，∠AOC=10°， 所以∠BOC=∠AOB-∠AOC=60°-10°=50°。 因为∠BOD=∠BOC，所以∠BOD=25°。 所以∠AOD=∠AOB-∠BOD=60°-25°=35°。 【教学建议】 与线段的和、差一样，角的和、差就是它们的度数的和、差，学过角的平分线之后，往往融合角的和、差计算，这将会给出题角度带来更多变化。学生思路不清时，教师可采用板书思维导图的方式给学生提示，帮助他们疏清脉络，如例题中的思路分析过程。
活动四：课堂总结 【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题： 1.你能用哪些方法比较两个角的大小？举例说明。 2.什么是角的平分线？你能从文字语言和符号语言两个方面说明吗？ 3.你能估计一个角的大小吗？会计算角的和、差吗？ 4.你能用尺规作一个角等于已知角吗？ 5.回顾研究线和角的过程，你积累了哪些研究图形的经验？ 【知识结构】 【作业布置】 1.教材P125~127习题4.2第3，4，5，6，7，9，11题。
板书设计 第2课时　角的比较 1.角的比较（观察法、度量法、叠合法）。 2.角的平分线（概念、应用）。 3.估计一个角的大小。 4.尺规作图：作一个角等于已知角。 5.计算角的和、差。
教学反思 学生已经历过比较线段长短的过程，知道可以通过观察、度量和叠合的方法比较线段的长短，因此本节课同样从这三个层次着手使学生得出比较角的大小的方法，然后设计一个操作活动引出角的平分线的概念，再根据叠合法进行延伸从而引出用尺规作一个角等于已知角的方法。通过本节课的学习强化了学生对于角的认识，也为今后研究图形提供了方法和依据。
解题大招一　角的大小比较
角的大小比较的常用方法：（1）如果已知角是锐角、直角、钝角、平角、周角几类中不同类的角，就可以直接由它们之间的关系比较出它们的大小；（2）可以通过量角器进行度量来比较角的大小；（3）可以根据各角在同一图中的位置关系比较角的大小。
例1 如图，∠AOC=90°，∠BOD=90°。
（1）比较∠AOB，∠AOC，∠AOD的大小，并指出其中的锐角、直角、钝角。
（2）∠AOB和∠COD哪个大？说明理由。
解：（1）∠AOB<∠AOC<∠AOD，∠AOB是锐角，∠AOC是直角，∠AOD是钝角。
（2）∠AOB和∠COD一样大。理由如下：
因为∠AOC=∠BOD=90°，所以∠AOB+∠BOC=90°，∠BOC+∠COD=90°，所以∠AOB=∠COD。
解题大招二　用尺规作已知角的和（或差、倍）角
作角的和、差、倍角都是先作一个角等于已知角，再在此角的基础上作其他角，区别就在于“和角”“整数倍角”是在角的外部作角，而“差角”则在角的内部作角。
例2 如图，已知∠1，∠2，求作一个角，使它等于2∠1-∠2。（不写作法，保留作图痕迹）
解：所求作的角如图所示。 【解析】①作∠BOD，使∠BOD=∠1；②作∠AOD，使∠AOD=∠1，且OA在∠BOD的外部；③作∠BOC，使∠BOC=∠2，且OC在∠AOB的内部，则∠AOC即为所求作的角。
解题大招三　与三角尺有关的拼角问题
问题参考下图，借助一副三角尺的角，结合角的和、差运算，可以画出哪些度数的角？
列表总结：
可画角的度数 方式（仅列举部分）
15° 45°-30°=60°-45°=15°
75° 45°+30°=75°
105° 45°+60°=105°
120° 90°+30°=120°
135° 90°+45°=135°
150° 90°+60°=150°
165° 90°+30°+45°=165°
追问：画出的角的度数有什么规律？
教师总结：
例3 借助一副三角尺不能画出的角是（ A ）
A.95° B.105° C.120° D.135°
【解析】一副三角尺的度数分别是30°，60°，90°和45°，45°，90°，所以60°+45°=105°，30°+90°=120°，45°+90°=135°，因此可以拼出105°，120°，135°的角，故选A。
培优点　求折叠问题中的角度
例请仔细观察如图所示的长方形纸片的折叠过程，回答下列问题：
(1)∠2的度数为90°；
(2)∠1与∠3的数量关系为∠1+∠3=90°；
(3)∠1与∠AEC的数量关系为∠1+∠AEC=180°。
【解析】(1)由折叠的过程知，∠2=∠1+∠3。因为∠1+∠2+∠3=∠BEC，B，E，C三点共线，所以∠2=∠BEC=×180°=90°。
(2)因为∠2=90°，∠2=∠1+∠3，所以∠1+∠3=90°。
(3)因为B，E，C三点共线，所以∠1+∠AEC=180°。
技巧点拨：图形折叠前后，同顶点的对应角相等，折痕平分两个角所拼成的大角

展开更多......

收起↑