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☆问题解决策略：归纳
教学目标
课题 ☆问题解决策略：归纳 授课人
素养目标 1.经历探索规律到归纳出一般性结论的全过程，掌握解决规律探究类问题的策略和方法。 2.通过寻找规律并验证说理，提升抽象能力和推理能力。
教学重点 从简单情形中寻找规律到归纳出一般性结论的全过程。
教学难点 找出合适的规律并验证说理
教学活动
教学步骤 师生活动
活动一：创设情境，引入新知 设计意图 通过生动的图片，激发学生的学习兴趣。 【情境引入】 “低多边形风格”是一种数字艺术设计风格。它将整个区域分割为若干三角形，通过把相邻三角形涂上不同颜色，产生立体及光影的效果，随着三角形数量增加，效果更为斑斓绚丽（如图）。 今天我们将对这种类型的图形展开研究。 【教学建议】 给学生多展示一些图片，说明数学在生活中有着广泛的应用。
活动二：交流讨论，探究新知 设计意图 通过实际问题中遇到的困难，引出探究一般性规律的必要性。 探究点 运用归纳策略寻找规律 问题 如图，当长方形内有1个点时，可分得4个三角形；当长方形内有2个点时，可分得6个三角形（不计被分割的三角形）。 当长方形内有35个点时，可分得多少个三角形？ 【理解问题】 （1）先动手画一画，感受分割得到三角形的过程。 （2）已知条件是什么？目标是什么？ 已知条件是长方形内有35个点，将这些点按照前面的方法连接，形成多个三角形。目标是求出分得的三角形的总个数。 【拟定计划】 （1）直接研究“长方形内有35个点”的情形，你遇到了什么困难？ 点太多，不方便将三角形全部画出来，也不知道是否有多种结果。 （2）哪些情形容易研究？从中你能发现什么规律？ 长方形内点的个数较少时容易研究，如长方形内有1个点、2个点、3个点的情形。初步发现，长方形内点的个数增加1，三角形的数量增加2。 （3）你发现的规律正确吗？你能给出合理的解释吗？ 【实施计划】 写出你的解决方案，并说明其中的道理。 【教学建议】 要先让学生自己动手画，正确地认识问题，明确目标，并体会解决问题遇到的困难。教师要和学生讲清楚在长方形区域分割三角形的过程。特别要强调保证所有连线不再相交产生新的点这句话。学生在这里容易理解错。
教学步骤 师生活动
设计意图 展示解决问题的全过程，培养学生系统性解决问题的能力。 小明的思考过程如下。 （1）先研究长方形内有3个点、4个点的情形（如图）。 （2）几种简单情形的数据如下表，发现规律：长方形内点的个数增加1，三角形的个数增加2。 长方形内点的个数1234…三角形的个数46810…
（3） 因此，当长方形内有35个点时，分得的三角形的个数是4+2×（35-1）=72。 【回顾反思】 （1）如果长方形内有100个点呢？一般地，如果长方形内有n个点呢？ 长方形内点的个数分割成的小三角形个数1004+2×（100-1）=202n4+2(n-1)=2n+2
（2）你还能提出并解决什么问题？ （3）从简单的情形开始思考有什么好处？通过简单情形归纳一般性结论，你有哪些经验？ 可由学生自由作答，教师再总结。 教师总结： 【教学建议】 强调解决问题需从易入手，在简单情形中找变化规律时，要注重每次点的个数变化时，引起的三角形的个数的变化情况是怎样的，如果这种变化关系适用于其他情形，就说明找到的是一般性规律，如果不适用于所有情形，则说明看待变化关系的角度需要作适当的修正。
活动三：典例精析，巩固提升 设计意图 通过对教材中P102问题1，2的讲解，进一步巩固对归纳策略的认知。 例 阅读教材P102下方问题1，2，回答下面的问题： 问题1 简单指数情形下的规律31＝3，其个位数字是3， 32＝9，其个位数字是9， 33＝27，其个位数字是7， 34＝81，其个位数字是1。指数增大情形下的规律验证35＝243，其个位数字是3， 36＝729，其个位数字是9， 37＝2187，其个位数字是7， 38＝6561，其个位数字是1。
【教学建议】 本例选自教材P102～103问题中的前面两题，均大致沿袭了前面对于长方形内分割三角形的思路，并对其思路进行了详细列表讲解。教学时教师可根据表格所列示的步骤引导学生进行逐步解题，要让学生通过经历规律的探究
教学步骤 师生活动
一般情形下的规律总结3n(n为正整数)的个位数字按3，9，7，1四个数字循环出现。根据规律回答问题2024÷4＝506，32024的个位数字是1。
问题2 简单情形下的规律剪1刀3×1+1=4（段）剪2刀3×2+1=7（段）稍复杂情形下的规律剪3刀3×3+1=10（段）剪4刀3×4+1=13（段）……………………一般情形下的规律剪n刀3×n+1=(3n+1)段问题解决(1)剪12刀，绳子变为3×12+1=37（段）(2)3n+1=101，所以n=。因为n是整数，所以不可能正好剪得101段
【对应训练】 教材P102~103第3~4题。 过程，学会使用这一通性通法。 【教学建议】 对于对应训练，教师可让学生分小组讨论后给出具体的分析过程，下面给出这两道题的答案，供教师教学时参考。 3.解：（1）根据三角形数阵可知， 1=13， 3+5=8=23， 7+9+11=27=33， 13+15+17+19=64=43， 21+23+25+27+29=125=53， ……， 第10行的10个数的和为103=1000。 (2)略。 4.解：第n种化合物的分子结构模型中有(2n+2)个氢原子，第60种化合物的分子结构模型中有122个氢原子。
活动四：随堂训练，课堂总结 【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题： 1.为了解决问题，我们是从什么情形入手的？ 2.从简单情形中找出某种规律后，是否就说明找到了一般性规律？还需要注意什么？ 3.要想归纳出一般性结论，我们一般要经过哪些步骤？ 【作业布置】 相应课时训练。
板书设计 ☆问题解决策略：归纳 1.从简单情形中找规律 2.验证规律 3.解释说理 4.归纳一般性结论
教学反思 本节课难度较大，学生一般缺乏自主思维去解决这样的规律探究类题目。但通过本节课的学习，让学生体验了归纳一般性结论的全过程，让学生有了一定的经验和策略。后续学习中，可以给学生展示不同类型的应用场景，让学生进一步巩固解决此类问题的能力。

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