资源简介

“一元一次方程”单元教学设计
一、单元学习主题
本单元是“数与代数”领域“方程与不等式”主题中的内容。
二、单元内容分析
1．内容的学科分析
数学是研究数量关系和空间形式的科学，而方程作为刻画现实世界数量关系的有效模型，无疑在数学中占有举足轻重的地位。笛卡儿曾说，一切问题都可以转化为数学问题，一切数学问题都可以转化为代数问题，而一切代数问题又都可以转化为方程。因此，一旦解决了方程问题，一切问题将迎刃而解。笛卡儿的这个说法虽然只是数学发展历史进程中的一个阶段性认识和预言，但是从数学学科的角度看，方程确实是代数学的核心内容，正是对方程的研究推动了整个代数学的发展。从应用数学的角度看，方程是一个既方便又强大的数学工具，它能够有效地刻画现实世界中的数量关系，将实际问题转化为数学模型加以解决。
方程是指含有未知数的等式，是表示两个数学对象之间相等关系的一种等式。由于算式表示一个计算过程，未知量不参与运算，而方程可以用未知数与已知数一起表示相关的量，并且未知数可以与已知数一样参与运算，方程的产生就使得许多算术解法不易解决，甚至不可能解决的问题得以解决。数和未知数之间通过加、减、乘、除等运算组合形成了代数方程，而随着函数概念的出现，以及基于函数的微分、积分运算的引人，使得方程的范畴更广泛，未知量可以是函数、向量等数学对象，运算也不再局限于加、减、乘、除等。
使等式成立的未知数的值称为方程的“解”或“根”，求方程的解的过程称为“解方程”。人们对方程的解的研究有着几千年的历史，并逐渐向着两个方向发展，一个是求方程的求根公式，另一个是求方程的近似解。
2．内容的课标分析
在《标准（2022年版）》对“方程和不等式”主题的内容要求中，适合在一元一次方程这一单元落实和渗透的主要有以下3条：
（1）能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出方程；理解方程解的意义，经历估计方程解的过程。
（2）掌握等式的基本性质；能解一元一次方程。
（3）能根据具体问题的实际意义，检验方程解的合理性，
与《标准（2011年版）》不同的是，《标准（2022年版）》将正式学习方程的起点放在了初中，增加了“理解方程的意义”的要求。方程的概念在初中正式开始学习，我们可以通过一些更能体现方程的意义与价值的实际问题，帮助学生充分理解方程的作用和意义。
3．本单元教学内容分析
本单元的核心内容是：方程与一元一次方程、一元一次方程的解法和利用一元一次方程1/11
分析与解决现实情境中的问题，这些内容都围绕利用一元一次方程解决实际情境问题形成。这一过程可用图1-10表示：
本单元根据具体问题中的数量关系，经过必要的抽象，提炼出未知数与已知数之间具有的等量关系，列出方程，再求出方程的解，进而解决实际问题，是发展学生抽象能力和模型观念，提升学生应用意识的重要载体。一元一次方程是学生系统研究的第一类代数方程，也是最简单的一类代数方程，因此，本单元还承担着帮助学生理解方程的意义，体会方程的优越性，将解决问题的方式从算术方法过渡到代数方法的重要作用，是发展学生数学抽象能力的重要载体。对一元一次方程解的研究，需要根据一元一次方程的结构特征，利用等式的性质将方程进行变形，寻求方程的解。这一研究过程蕴含着“化归转化”的重要数学思想，为学生后续研究二元一次方程组和一元一次方程的解法提供可迁移的数学活动经验，能够很好地发展学生的代数推理能力和运算能力。
以本单元内容为载体可以着重发展的核心素养是抽象能力、推理能力、运算能力、模型观念和应用意识。
三、单元学情分析
学习本单元以前，学生已经学习了有理数的运算、整式的加减运算、用字母表示数等相关知识，为本单元的学习做好了知识上的准备，也能够通过字母的运算或推理得到结论的一般性，具有了一定的抽象能力和推理意识。
四、单元学习目标
在本单元的学习中，学生将：
（1）经历“把实际情境中的问题抽象成方程”的过程，体会方程的意义，能够按照结构特征对方程进行分类，得到一元一次方程的概念，发展抽象能力，初步形成模型观念。
（2）经历探究一元一次方程的解法的过程，归纳概括一元一次方程的解法和步骤，从中体会算法的程序性和化繁为简的思想方法，发展代数推理能力和运算能力。
（3）经历将来自广泛的真实情境中的问题建立成一元一次方程模型并解决的过程，提升分析和解决问题的能力，深化对方程作为一种数学模型的作用的理解，发展应用意识。
五、单元教学活动设计
本单元共包括三部分核心内容：方程与一元一次方程；一元一次方程的解法；利用一元2/11
一次方程分析、解决现实情境中的问题
核心内容一 方程与一元一次方程
作为章起始内容，这里将带领学生进入新的领域的学习。此部分内容是本单元的基础，也是学生理解方程含义和意义的基础。因此，本部分通过尽可能多的具有一定情境的案例，使学生感受到用方程可以刻画问题情境中数量之间的等量关系，并明晰一元一次方程的概念。
本部分可根据学生情况安排1课时或2课时，下面给出按照1课时设计的方案。
课时1方程与一元一次方程
★教学活动1：从算式到方程。
学生通过参与由简单到复杂的“猜生月”的游戏，体会从算术法到方程法的意义，得出方程的概念，并总结两种方法的区别与联系。
★教学活动2：形形色色的等量关系。
学生尝试将来自不同情境领域的复杂程度不同的6个实际问题用数学符号语言表示，得到多种类型的方程，进一步理解方程对于刻画现实世界中的相等关系的作用，体会方程对于解决实际问题的意义，体会方程法与算术法相比的进步。
★教学活动3：一元一次方程的概念及课堂小结。
让学生观察并比较教学活动1和教学活动2所列出的方程的结构特征，并按照结构特征进行分类，得到一元一次方程的概念。
核心内容二 一元一次方程解法
构建模型刻画现实问题中的等量关系是方程的基本功能，而研究方程的解是运用方程模型解决问题的一个重要环节。如何求解？有哪些求解方法？
依据怎样的规则求解？这是本部分的核心任务。
本部分可以根据学生情况安排3～5课时完成，下面给出按照4课时设计的方案。
课时1解方程原理的建构-等式的性质
★教学活动1：简单的方程解法的探索。
首先请学生尝试解几个简单的一元一次方程（仅需要移项和系数化1），然后请学生展示交流，并特别关注：如何判断解是否正确；操作步骤是什么，为什么做某种操作；如何判断某种操作是否正确。
★教学活动2：等式性质的梳理。
以教学活动1为基础，引导学生从中梳理出等式的性质，并用符号表达，再借助更多的实例进行解释，最后通过一组题目熟悉等式性质。
课时2 一元一次方程解法的整体认识
★教学活动1：自主探索。
以第一课时列出的来自实际问题的方程和现场自主列举出的一元一次方程为素材，学生3/11
尝试自主调动已有知识求解，探究一元一次方程的解法。
★教学活动2：展示交流，归纳解法。
学生汇报自己的探索过程、成果和遇到的困难，通过对比、分析各种类型的一元一次方程的结构特征和相应的解法，体会一元一次方程化繁为简的思想，以及运用等式性质和运算性质解方程的思想，初步归纳形成解一元一次方程的基本思想和一般步骤。
★教学活动3：小结反思，提升认识。
学生通过回顾整理探究的过程、方法与感受，强化探究所得，
课时3一元一次方程解法难点突破（1）
★教学活动1：按照程序解方程。
请学生解决一组主要需要移项、去括号和系数化1的步骤的一元一次方程，按照上一课时归纳的一般步骤求解，以发展学生的程序化思维。
★教学活动2：分享交流，反思内化。
展示上述解方程过程中出现错误的解法过程，通过互评、纠错，帮助学生澄清解一元一次方程的易错之处，并反思内化。
★教学活动3：自主编制题，热悉巩固。
请学生针对易错问题编制题目，分享解决，促进内化，巩固解法。
★教学活动4：归纳总结。
请学生对照一元一次方程解法的一般步骤回顾探索过程，总结解一元一次方程的易错点。课时4 一元一次方程解法难点突破（2）
★教学活动1：按照程序解方程。
请学生解决一组主要含分数的一元一次方程，按照此前所学求解，以发展学生的运算能力和程序化思维。
★教学活动2：分享交流，反思内化。
展示上述解方程过程中出现的不同解答过程和错误的解法，通过互评比较、纠错，帮助学生总结含分母的一元一次方程的解法的易错之处和优化方法，并反思内化。
★教学活动3：自主编制题，熟悉巩固。
请学生针对易错问题编制题目，分享解决，促进内化，巩固解法
核心内容三 利用一元一次方程分析、解决现实情境中的问题
方程模型构建既是方程单元学习的重点，也是难点。因此，本部分提供更多的机会让学生经历方程模型构建过程，感受模型思想，发展抽象能力和运算、推理能力。
本部分可以根据学生情况安排3～5课时完成，下面给出按照3课时设计的方案。
课时1利用一元一次方程分析、解决现实情境中的问题（1）
★教学活动1：列一元一次方程解决实际问题的基本过程。4/11
请学生解决一道第一课时课后作业中学生自编的实际应用问题，并总结利用一元一次方程解决实际问题的基本过程。
★教学活动2：寻找等量关系，构建模型解决问题。
请学生解决工程、配套、分配宿舍三个分别用不同方式找到等量关系的情境中的问题，重点在于如何找到等量关系并构建方程模型解决问题，感受模型思想。
★教学活动3：反思过程，总结力法。
请学生回顾以上三个问题的求解过程，总结寻找相等关系的常见方法，如利用基本数量关系寻找相等关系，抓住问题中的“关键词”寻找相等关系，抓住问题中的“用不同方式表示同一个量”寻找相等关系。
课时2 利用一元一次方程分析、解决现实情境中的问题（2）
★教学活动1：梳理复杂的数量关系，构建模型解决问题。
请学生解决销售问题、比赛积分问题等，从复杂实际情境中抽丝剥茧，梳理数量关系，构建方程模型解决问题。
★教学活动2：反思过程，总结方法。
请学生反思解决问题的过程，总结梳理数量关系的有效方法，如列表格、画图等。
课时3利用一元一次方程分析、解决现实情境中的问题（3）
★教学活动1：审明题意，梳理数量关系。
让学生通过分析电话计费问题，理解分段计费方式，并尝试应用列表格等方式梳理题目中的数量关系。
★教学活动2：构建方程模型，选择合适的方案。
让学生根据教学活动1的分析，构建方程模型，通过计算，根据不同的电话主叫时间选择合适的计费方案，深化应用意识。
六、单元评价与作业建议
1．评价建议
（1）注重过程性评价，可以在教学过程和作业设计中，鼓励学生以不同形式展示自己的思维过程，将思维过程显性化，以便评价学生的思维水平。如请学生画出本章内容的思维导图。
（2）可以通过课时作业情况了解学生对基础知识的掌握情况。
2．作业建议
（1）可以丰富的、贴近学生生活的实际情境为背景设计作业中的问题。以进一步发展学生的抽象能力、模型观念和应用意识。
例如，某中学为了表彰在书法比赛中成绩突出的学生，购买了30支钢笔和45支毛笔、共用了1755元，其中每支毛笔比每支钢笔贵4元。5/11
①求钢笔和毛笔的单价。
②学校仍需要购买上面的两种笔共105支（每种笔的单价不变）。陈老师做完预算后、向财务处王老师说：“我这次买这两种笔需领2447元。”王老师算了一下，说：“如果你用这些钱只买这两种笔，那么肯定算错了账。”请你用学过的方程知识解释王老师为什么说陈老师用这些钱只买这两种笔的账算错了。
（2）作业的形式可以更加丰富多样，例如以下几种形式：
①请你写一写算术法和方程法解决问题的区别与联系。
②请阅读教材（人民教育出版社七年级上册）P84页的“阅读与思考”，针对“阅读与思考”中你感兴趣的内容上网或查找书籍来了解相关信息，并分享给你的好朋友。
③请收集一些重要问题（如气候、节能、经济等）的有关数据，经过分析后编出可以利用一元一次方程解决的问题，并正确地表述问题及其解决过程。
七、课时设计例举
课题名称：“方程与一元一次方程”教学设计
1．课时内容
（1）内容的学科与课标分析
本课时的教学内容：作为刻画现实世界等量关系的有效模型的方程的内涵与意义，按照结构特征对简单方程分类以及一元一次方程的概念。
解决实际问题是数学发展的动力也是追求，因此，作为刻画现实世界等量关系的有效模型的方程在世界各地的早期数学中都有发展，其中整式方程又是各类方程的起点和基础。我国古代数学在这方面的成就极为显著。名著《九章算术》给出了多元一次方程组的解法，唐代、宋代的数学家们用几何法找到了二次、三次方程的解法，而金元时期数学家李冶发展了天元术，他摆脱了几何思维，建立了一套不依赖于具体问题的固定程序，总结出了简单明确的列方程程序，李冶在《测圆海镜》中，熟练地用天元术列出了三次方程、四次方程、六次方程、分式方程，并给出了用各种代数运算和代换解方程的方法。
代数学之父韦达发展了前人的工作，把对一个实际问题的分析过程看作把“一个问题转化为连接未知量与各已知量的方程的过程”，然后“对所得的方程进行变形来求出未知数的值”。韦达还详细研究方程的结构来替代方程的求解，从而让方程方法变得系统而有效。
（2）内容的教学分析
本单元是学生第一次系统学习方程。小学阶段，学生主要是用算术方法来解决现实情境中的问题，因此，本节课作为单元的第一课时承担着将解决问题的方式从算术方法过渡到代数方法的重要作用。6/11
图1-11 算术方法到代数方法的过渡
希望学生在解决实际问题的过程中，通过对比明确算术法与方程法解决问题的区别与联系，理解方程的意义，体会方程的优越性。
根据实际问题列出的方程可以是一元一次方程、一元二次方程、二元一次方程组等不同类型的方程，只不过本单元先来研究列一元一次方程解决问题。为了帮助学生对列方程解决实际问题有一个整体上的感知，选取能呈现出不同类型的方程的实际问题，让学生再通过对方程按照结构特征进行分类，得到一元一次方程的概念，充分体会方程对解决实际问题的意义。
2．学情分析
在小学，学生接触了大量的实际问题，会用列算式的方法解决一些，具有一定的应用意识，进入初中后，学习了用字母表示数，能够借助字母表达一些量，并通过字母的运算或推理得到一些一般性的结论，具有一定的抽象能力、运算能力和推理能力。
3．课时目标
通过本课的学习，学生将：
（1）通过将来自不同情境领域的复杂程度不同的实际问题用数学符号语言表示，得到多种类型的方程，感受列算式与列方程过程的联系与区别，体会方程对于解决实际问题的意义。
（2）通过将方程按照结构特征进行分类，得到一元一次方程的概念。
（3）通过对生活中一些基本的、常见的等最关系的整理，理解数学与现实的联系，发展抽象能力，感受数学的价值。
【学习重点】体会方程是刻画现实世界的一种有效的数学模型。
【学习难点】从实际问题中抽象出数学表达，列出算式或方程。
4．课时活动设计
★教学活动1：从算式到方程。
【活动组织】以一个“猜生月”的游戏开始：
“班里的同学大部分是12岁或13岁，但是我不知道大家的出生月份，现在我们来做个游戏，你不用直接告诉我你的出生月份，只要告诉我出生月份的2倍加上5以后的得数，我就可以猜出你的出生月份。”
（1）由学生报上根据自己生日月份计算所得的数字，教师马上答出学生的出生月份。
（2）由教师报上根据自己生日月份计算所得的数字，请学生分析老师的出生月份。7/11
（3）请学生阐述自己是如何根据教师报出的数字得到老师的出生月份的。（多种方法）
（4）用这两种方法（列算式和列方程）解决问题有什么相同和不同之处？
学生通过参与游戏及以上问题的探讨，得到方程的概念，并初步体会无论列算式，还是列方程，都是借助了题目背景中的等量关系。列算式是通过逆推直接把出生月份表示出来，而列方程是用字母来表示未知数，直接借助等量关系列出方程，再通过解方程解出未知数的值。
【设计意图】通过简单有趣的小游戏激发学生的学习兴趣，通过对游戏的解密提出解决问题的两种方法：算术法和方程法，引导学生关注这两种方法的区别和联系。引导学生感知：列算式和列方程的依据都是题目背景中的等量关系，列算式用的是逆向思维，列方程用的是正向思维，列方程可减轻思维的负担。
★教学活动2：形形色色的等量关系。
【活动组织】不论是列算式还是列方程，都是借助等量关系，因此，我们解决问题的关键就是要厘清等量关系。那么，等量关系在哪里呢？本环节通过六个实际问题来让学生找出等量关系，并列算式或者方程。
问题1：图1-12是本月的月历，你能在月历中圈出一个竖列上相邻的3个数，使得它们的和是42吗？为什么？
问题2：足球世界杯的小组赛中，巴西队在3场小组赛中以不败的战绩积分7分。巴西队在小组赛中赢了几场？（规则：胜一场得3分，平一场得分，负一场得0分）
问题2故意先不给得分规则。引导学生发现，如果不知道积分规则就没办法列出方程，在解决许多实际问题时，必须具有必要的生活中的知识，所以我们要多观察生活、积累经验。
问题3：东方商场把进价为1400元的某商品按标价的8折出售，仍获利200元，则该商品的标价为多少？
在本例中，先让学生分析“8折”的含义，然后发现等量关系，再探究解决。
问题4：购买甲种图书10本和乙种图书16本，共付款410元，甲种图书比乙种图书每本贵15元，问：甲、乙两种图书每本各多少元？
问题5：将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形，如图1-14所示。要使这两个正方形的面积之和等于17c㎡，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少？8/11
问题6：已知轮船在静水中每小时行20千米，如果此船在某江中顺流航行72千米所用的时间与逆流航行48千米所用的时间相同，那么此江水的流速是多少？
在学生分析完上述问题后，组织学生讨论：请你谈谈利用列算式的方法和和列方程的方法解决实际问题的区别与联系。
通过对以上问题的讨论，总结出用算术法解题时，列出的算式表示用算术法解题的计算过程，其中只含有已知数；而方程是根据问题中的相等关系列出的等式，其中既含有已知数，又含有用字母表示的未知数。解决实际问题时，既可以用算术法，也可以用方程法，算术法和方程法是有联系的，都要借助等量关系。归纳出根据实际问题列出方程的过程：
实际问题--设来知数，找等量关系--列出方程
【设计意图】其目的是让学生理解“等量关系在哪里”，并非让学生正式解决这些问题。学生可以进一步体会方程法与算术法的区别和联系，体会方程法的优越性。
★教学活动3：一元一次方程的概念及课堂小结。
【活动组织】组织学生讨论以下问题：
（1）基于上述实际问题列出的多个方程，我们从哪一个或者哪一类开始研究？
学生尝试对根据上述实际问题列出的方程进行分类，并聚焦最简单的一类方程--一元一次方程，得到一元一次方程的概念。
（2）回顾本节课的学习，你对方程法、算术法解决实际问题有了哪些新的认识？
引导学生对本节课进行反思总结，并为后续研究一元一次方程解法做铺垫，给学生留下思考的空间。
【设计意图】让学生在上一个活动的基础上，对所列出的算式和方程进行观察、分类，聚焦一元一次方程，形成概念。
八、回顾反思
1．对单元设计特色的分析
本单元的教学设计体现了对教学内容和学情的整体把握。
教学内容方面，从始至终突出方程作为刻画现实世界等量关系的数学模型的意义。对算术法与方程法的关系的讨论，对来自多种情境领域的复杂程度不同的问题的数量关系的符号表达，都在引导学生对现实情境中的数量关系进行关注，而随着数量关系变得复杂，列方程即符号化的过程几乎没变，但是有些问题根本不可能通过列算式将数量关系表达出来，由此凸显了《标准（2022年版）》将初中作为方程学习的起始而凸显学生对方程的意义的领会的9/11
要求。而从诸多形式的方程中挑选出最简单的一元一次方程作为方程研究的起点有利于学生形成对方程的整体理解，特别是在比较中理解一元一次方程中的关键词“元”“次”的含义，这可为后续学习具体类型的方程提提供参考。
考虑到学生在小学已经学习了等式性质，因此本设计并未从零开始，而是相信学生具有自主探索出简单方程解法的能力，教师主要引导学生对操作背后的原理进行提炼，从而明确等式性质和运算性质是解方程的基本原理。
2．对单元教学效果的评述
本单元的教学在学生深度参与方面表现突出。
教学中，教师不再过于强调算术法与方程法的区别，而是强调方程法的优越性。由于最初的问题难度通常都不大，方程法的优越性难以体现，因此，经常出现学生“口服心不服”的情况，重要的是这种让学生将自己的经验“清零”的方式会让学生不解。实际上，生活中处处存在着数学问题，这些丰富多彩的数学问题，很多都可以借助方程解决，而方程法与小学学习过的算术法有紧密联系，都是借助等量关系，方程法更容易解决复杂的问题，学生应该更容易接受方程思想。所以本教学尽可能呈现来自不同生活领域的贴近学生生活的例子，课堂上学生兴趣浓厚，踊跃发言，列出各种各样的算式和方程（组）。课堂小结时，学生体会到，无论是算术法，还是方程法，都是依据等量关系来列式的，算术法需要用逆运算来解决问题，而方程法可以顺着问题的思路去列式，更加便捷。这说明学生对算术法和方程法的区别和联系有了进一步的认识。在后续的课程中，学生能很快习惯于用方程法来解决问题。
本单元教学，让学生体会到数学存在于广泛的生活领域，让学生真正理解算术法和方程法的区别和联系。
课后调研时，关于方程法与算术法的认识，一位学生写道：
通过实际问题使我对方程法、算术法有新的认识：①对于一些问题，用算术法解答会更简便，而且好计算，比方程法解题要快，但是对于一些复杂问题，有的只能用方程法解，用算术法会很麻烦。②无论是算术法还是方程法，它们都是依据等量关系来列式的。
另一个学生则写出了方程法对于自己突破长久以来的困惑的作用：
在没接触方程法以前，很多复杂的问题都需要通过逆运算来解决，容易出错。学了方程法后，就可以顺着题目思路想，不易出错。
这些是学生经历了较为充分的体验后的深切感受。苏霍姆林斯基说过：一个人到学校里来上学，不仅是为了取得一份知识的行囊，主要的还是为了变得更聪明，因此，他的主要的智慧努力就不应当用到记忆上，而应当用到思考上去。学生的这些话就代表他们思考了，代表他们明白了每种方法的利弊，这可为其在具体问题中灵活选择解题方法奠定基础。
3．需要改进之处
“方程与一元一次方程”的课后作业中有一个让学生自己编应用题的任务，反馈时发现10/11
学生编的应用题的背景稍显单一，基本上都是去买东西，比如买文具，买水果，买饮料等，说明学生的数学眼光有些狭窄，这也反映了学生以往的数学学习与生活割裂严重。因此，教师可以多设计一些学生可以自己发现生活中等量关系的实践活动。比如，课下可以布置寻找“商场里的数量关系”“元旦联欢会有关的等量关系”等活动，启发学生用数学的眼光去观察世界。
尽管方程的解法具有很强的程序性，但教师在教学中应该避免僵化学生的思维。
研究一元一次方程解法的过程中，教师还应引导学生感受通法与特殊解法的关系，尊重学生个性化的解法。在学生学会解方程之后，教师可适当展示一些形式特殊的方程，引发学生思考。例如，解方程：
方法一：按照常规解一元一次方程的步骤，一般会选择先去括号，解得＝-13。
方法二：通过观察该方程的特点，可把(x+1)，（x-1）看作整体，移项后合并同类项，解得x=13。
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