资源简介

3 一元一次方程的应用
第1课时 几何图形问题
教学目标
课题 第1课时 几何图形问题 授课人
素养目标 1.能根据几何图形问题中的数量关系列出方程，感悟数学模型的思想。 2.通过对几何图形问题的解决，体会利用方程解决问题的关键是寻找等量关系。 3.经历运用方程解决几何图形问题的过程，感受数学与实际的联系，加强应用意识。
教学重点 寻找几何图形问题中的等量关系，建立方程。
教学难点 抓住几何图形变化中的不变量，确定等量关系。
教学活动
教学步骤 师生活动
活动一：创设情境，导入新课 设计意图 借助橡皮泥的变化，激发学生的学习兴趣，引导学生关注其中的数量关系，从而引出本节课的课题。 【情境引入】 如图，用一块橡皮泥先捏出一个“瘦高”的圆柱，然后再让这个“瘦高”的圆柱“变矮”，变成一个“矮胖”的圆柱，请思考下列几个问题： （1）在你操作的过程中，圆柱由“高”变“矮”，圆柱的底面直径是否变化了？还有哪些量改变了？ （2）在这个变化过程中，什么量没有变化呢？ 接下来这节课我们就来学习一元一次方程的应用。 【教学建议】 教师可事先准备一块橡皮泥作为演示道具，指定学生代表回答问题，并带学生回顾圆柱的体积公式，为后续学习做准备。
活动二：问题引入，合作探究 设计意图 借助几何图形问题，通过分析的方式，培养学生从问题中找等量关系、抽象出方程模型、将实际问题转化为数学问题的能力，感受方程模型在解决实际问题中的作用，增强模型观念与应用意识。 探究点 利用一元一次方程解决几何图形问题 1.图形的等积变化 问题 某饮料公司有一种底面直径和高分别为6.6cm，12cm的圆柱形易拉罐饮料。经市场调研决定对该产品外包装进行改造，计划将它的底面直径减少为6cm。那么在容积不变的前提下，易拉罐的高度将变为多少厘米？ （1）这个问题中包含哪些量？它们之间有怎样的等量关系？ 圆柱形易拉罐改造前后的底面半径、高、容积。 （2）设新包装的高度为xcm，你能借助下面的表格梳理问题中的信息吗？ （3）根据等量关系，你能列出怎样的方程？ 设新包装的高度为xcm。 根据等量关系，列出方程： 解这个方程，得x=14.52。 因此，易拉罐的高度变为14.52cm。 思考 （1）根据问题列方程时的关键是什么？ 列方程时，关键是找出问题中的等量关系。 （2）用方程解决实际问题的基本步骤是什么？ 理解题意，寻找等量关系，设未知数列方程，解方程，作答。 2.图形的等长变化 例 （教材P147例1）用一根长为10m的铁丝围成一个长方形。 （1）如果该长方形的长比宽多1.4m，那么此时长方形的长、宽各为多少米？ （2）如果该长方形的长比宽多0.8m，那么此时长方形的长、宽各为多少米？此时的长方形与（1）中的长方形相比，面积有什么变化？ （3）如果该长方形的长与宽相等，即围成一个正方形，那么此时正方形的边长是多少米？正方形的面积与（2）中长方形的面积相比又有什么变化？ 分析提问：①本题涉及哪些量？ 铁丝的长，长方形的长、宽、周长、面积。 ②如图，题中围长方形的过程中有什么没有发生变化？ ③题中有怎样的等量关系？ 等量关系：（长+宽）×2=周长（周长就是铁丝的长度）。 ④如图，结合（1）（2）问题意，若设长方形的宽为xm，则长方形的长可怎么表示？试用含x的代数式在下面图中表示出来。 （1） （2） 解：（1）设此时长方形的宽为xm，则它的长为（x+1.4）m。 根据题意，得2（x+1.4）+2x=10。解这个方程，得x=1.8。 1.8+1.4=3.2。此时长方形的长为3.2m，宽为1.8m。 （2）设此时长方形的宽为xm，则它的长为（x+0.8）m。 根据题意，得2（x+0.8）+2x=10。解这个方程，得x=2.1。 2.1+0.8=2.9。此时长方形的长为2.9m，宽为2.1m，面积为2.9×2.1=6.09（m2），（1）中长方形的面积为3.2×1.8=5.76（m2）。此时长方形的面积比（1）中长方形的面积增大6.09-5.76=0.33（m2）。 （3）设正方形的边长为xm。 根据题意，得4x=10。解这个方程，得x=2.5。 正方形的边长为2.5m，面积为2.5×2.5=6.25（m2）， 比（2）中长方形的面积增大6.25-6.09=0.16（m2）。 思考 在上面的问题中，所列方程的两边分别表示什么量？列方程的思路是什么？与同伴进行交流。 所列方程的两边分别表示长方形的周长和铁丝的长度，列方程的思路是先设一边长为未知数，再用含未知数的代数式表示出周长，根据周长等于铁丝的长度10m这个等量关系列出方程。 归纳总结： 【对应训练】 教材P149随堂练习。 【教学建议】 指定学生代表回答，教师可沿用活动一中的引入酌情说明，引导学生总结用方程解决实际问题的基本步骤。 【教学建议】 教学时可让学生先分组独立完成本例，然后请各组代表汇报三个小问题的解答情况，最后组织学生开展讨论：解这道题的关键是什么？从解这道题中你有哪些收获或体验？ 鼓励学生通过独立思考发现：围成的长方形的长和宽在发生变化，但在围的过程中，长方形的周长不变，由此便可建立“等量关系”。 指定学生代表回答分析提出的问题，鼓励学生用不同的方式列出方程。 【教学建议】 根据计算，教师引导学生发现随着长方形长与宽的变化，长方形的面积也在发生变化，并引导学生尝试总结其中的规律。
活动三：知识延伸，巩固升华 设计意图 通过例题与练习使学生进一步体会从问题中寻找隐含的等量关系，巩固提高利用方程解决实际问题的能力。 例 直径为30cm、高为50cm的圆柱形瓶里装满了饮料，现将饮料倒入底面直径为10cm的圆柱形水杯，刚好倒满30杯，则水杯的高度是多少？ 分析：等量关系是饮料的体积不变，设水杯高度为未知数列方程，求解即可。 【对应训练】 一个长方形的周长是40cm，若将长减少6cm，宽增加2cm，长方形就变成了正方形，则长方形的长、宽各为多少厘米？ 分析：等量关系是正方形的边长相等，可设长为未知数列方程求解。 【教学建议】 提醒学生：注意“装满”“倒满”的含义，倒饮料过程中饮料的体积没有发生变化，可据此等量关系列出方程，还要注意水杯数量。 【教学建议】 酌情提醒学生：正方形的边长相等是隐含的等量关系。鼓励学生用不同方式列方程，还可设宽为未知数列方程，或者设正方形的边长为未知数根据周长列方程。
活动四：课堂总结 【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题： 1.本节课你有哪些收获？ 2.用方程解决实际问题的基本步骤是什么？ 【知识结构】 【作业布置】 1.教材P154～155习题5.3第1，3，4，5题。
板书设计 3 一元一次方程的应用 第1课时 几何图形问题 1.等积变化。 2.等长变化。
教学反思 本节课以橡皮泥的变化作为引入，激发学生学习兴趣，再通过梳理分析问题中的各种量，将思考的过程用填空的形式呈现，让学生了解运用方程解决实际问题的思路和方法，最重要的是抓住等量关系，使学生体会方程模型对于解决实际问题的作用，加强模型观念。后续通过例题与练习，帮学生掌握用方程解决一般几何图形问题，对几何图形问题有大致的分类意识，知道如何找到等量关系列出方程，提高应用意识。
解题大招一　利用去分母解一元一次方程
一般几何图形问题的大致类别 解决方案
等体积变形 以体积为不变量，用不同方式表示出体积，据此等量关系列方程求解
等面积变形 以面积为不变量，用不同方式表示出面积，据此等量关系列方程求解
等周长变形 以周长为不变量，用不同方式表示出周长，据此等量关系列方程求解
例 （1）有一块边长为4cm的正方体形橡皮泥，要用它来捏一个长、宽分别为8cm，2cm的长方体橡皮泥，则它的高为4cm。
（2）如图，小明将一张正方形纸片剪去一个宽为6cm的长条后，再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽为8cm的长条，如果两次剪下的长条面积正好相等，那么每一个长条的面积为144cm2。
（3）用一根120cm长的铁丝围成一个长方形，使该长方形的长是宽的2倍，则这个长方形的长为40cm，宽为20cm。
【解析】（1）设高为xcm，则43=8×2x。解这个方程，得x=4。故高为4cm。
（2）设正方形的边长为xcm，则6x=8（x-6）。解这个方程，得x=24。6×24=144。故每一个长条的面积为144cm2。
（3）设宽为xcm，则长为2xcm，2×2x+2x=120。解这个方程，得x=20。2×20=40。故长方形的长为40cm，宽为20cm。
培优点 利用一元一次方程解决拼接图形问题
例 如图，周长为68的长方形ABCD被分成7个相同的小长方形，则长方形ABCD的面积为（ C ）
A.98 B.196
C.280 D.284
【解析】设小长方形的宽为x，则长方形ABCD的长为5x，小长方形的长为，所以长方形ABCD的宽为。
根据长方形ABCD的周长为68，得2×5x+2× =68。解这个方程，得x=4。5×4=20，×4=14，所以长方形ABCD的面积为20×14=280。故选C。

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