资源简介

第2课时 古代数学问题
教学目标
课题 第2课时 古代数学问题 授课人
素养目标 1.能根据古代数学问题中的数量关系列出方程，感悟数学模型的思想。 2.借助古代数学问题，体会利用表格分析数量关系是一种有效方法。 3.经历运用方程解决古代数学问题的过程，感受数学与实际的联系，加强应用意识。
教学重点 寻找古代数学问题中的等量关系，建立方程。
教学难点 抓住古代数学问题中的不变量，确定等量关系。
教学活动
教学步骤 师生活动
活动一：创设情境，导入新课 设计意图 借助现代的分书问题情境，激发学生兴趣，引出古代数学问题，为接下来的学习做铺垫。 【情境引入】 把一些书分给几名学生，如果每人分3本，那么多出8本；如果每人分5本，那么还少2本。共有多少本书？共有多少名学生？ 你知道怎么算吗？古代数学著作中把这类问题叫作“盈不足”问题，这节课我们就来学习用一元一次方程解决这类问题。 【教学建议】 让学生交流讨论，指定学生代表回答，并说明列方程的思路。
活动二：问题引入，合作探究 设计意图 通过古代数学中的“盈不足”问题，让学生学会利用表格分析数量关系，培养从古代数学问题中找等量关系的能力，感受方程模型对于解决古代数学问题的作用，加强模型观念与应用意识。 探究点 利用一元一次方程解决古代数学问题 问题 《九章算术》“盈不足”章第一题：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四。问：人数、物价各几何？题目大意：几个人合伙买东西，若每人出8钱，则会多出3钱；若每人出7钱，则还少4钱。合伙人数、物品的价格分别是多少？ （1）问题中有哪些已知量和未知量？它们之间有怎样的等量关系？ 已知量：每人出8钱和7钱时出钱总数与物价的差距；未知量：人数与物价。 等量关系： 每人出的钱数×人数-多出的钱数=每人出的钱数×人数+少的钱数。 （2）设人数为x，其他未知量能用含x的代数式表示吗？请完成下表。 有关量每人出8钱每人出7钱人数xx出钱总数8x7x物价8x-37x+4
（3）根据等量关系，你能列出怎样的方程？ 设人数为x。根据等量关系，列出方程：8x-3=7x+4。 解这个方程，得x=7。 因此，人数为7，物价为53钱。 思考 如果设物价为y钱，你能列出怎样的方程？与同伴进行交流。 用含y的代数式表示其他未知量如下表。 例 （教材P149例2）《九章算术》“盈不足”章第五题：今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百。问：人数、金价各几何？题目大意：几个人合伙买金，每人出400钱，会多出3400钱；每人出300钱，会多出100钱。合伙人数、金价各是多少？ 分析提问：（1）问题中的等量关系是怎样的？ 每人出的较多钱数×人数-多出的钱数=每人出的较少钱数×人数-多出的钱数。 （2）设人数为x，你能把下表补充完整吗？ 有关量每人出400钱每人出300钱人数xx出钱总数400x300x物价400x-3400300x-100
解：设合伙人数为x，则金价可表示为（400x-3400）钱，还可表示为（300x-100）钱，根据等量关系，列出方程：400x-3400=300x-100。解这个方程，得x=33。 300×33-100=9800。 因此，人数为33，金价为9800钱。 思考 （1）如果设金价为y钱，能列出怎样的方程？ （2）《九章算术》给出了一种算法： 人数=两次剩余钱数之差÷两次每人所出钱数之差； 物价=每人出的钱数×人数-剩余钱数。 你能理解这种解法吗？与方程的求解过程相比，有什么不同？与同伴进行交流。 能。因为第一次出钱总数-物价=第一次剩余钱数， 第二次出钱总数-物价=第二次剩余钱数， 将这两个式子左右分别相减，物价不变， 所以两次出钱总数之差=两次剩余钱数之差， 而两次出钱总数之差=两次每人所出钱数之差×人数， 所以人数=两次剩余钱数之差÷两次每人所出钱数之差。 这种解法与方程的求解过程相比，不用设未知数解方程，用有理数运算的形式解决，但是没有方程直观，对题意的理解有较高的要求，例如当出钱总数不足物价时，剩余钱数需用负数表示。 【对应训练】 教材P150随堂练习。 【教学建议】 让学生交流讨论，指定学生代表回答问题，引导学生找出题目中的等量关系，用表格分析数量关系，根据物价不变列出方程。 【教学建议】 让学生交流讨论，引导学生类比上面的过程用表格分析数量关系，体会此时需要根据人数不变列方程，并询问学生感觉哪种方法更简便。 【教学建议】 告诉学生：当设人数为未知数时，就根据金价不变列方程，如400x-3400=300x-100的两边就是金价的两种不同的表达式；当设金价为未知数时，就根据人数不变列方程，用两种不同的表达式表示出人数。 让学生交流讨论，引导学生发现两次剩余钱数之差=两次出钱总数之差，知道人数后，物价的表示比较好理解，可让学生用这种解法检验前面解决过的问题，并感受剩余钱数为负数的情况也是成立的。也可以让学生从解方程的过程的角度去体会，如解方程400x-3400=300x-100时，将解方程的过程浓缩成一步，就是，实际就是人数=两次剩余钱数之差÷两次每人所出钱数之差。
活动三：知识延伸，巩固升华 设计意图 借助不同形式的古代数学问题，进一步培养学生从古代数学问题中找等量关系列方程的能力。 例 《孙子算经》中有一道题，原文是“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问：人与车各几何？”题目大意：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车；每2人共乘一车，最终剩余9人无车可乘。共有多少人？多少辆车？ 分析提问：（1）问题中的等量关系是怎样的？ 一辆车乘的较多人数×（车数-剩余空车数）=一辆车乘的较少人数×车数+无车可乘的人数。 （2）设车辆数为x，你能把下表补充完整吗？ 有关量每3人共乘一车每2人共乘一车车辆数xx乘车的人数3（x-2）2x总人数3（x-2）2x+9
解：设共有x辆车，则根据题意，得3（x-2）=2x+9。 解这个方程，得x=15。 3×（15-2）=39。 因此，共有39人，15辆车。 【对应训练】 我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：我问开店李三公。众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空。诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房。该店有客房多少间？多少客人？ 解：设该店有客房x间，则根据题意，得7x+7=9（x-1）。 解这个方程，得x=8。 7×8+7=63。 因此，该店有客房8间，63个客人。 【教学建议】 先让学生独立思考，提醒学生注意“二车空”的意义，酌情引导学生利用表格分析数量关系。
活动四：课堂总结 【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题： 1.你会用表格分析“盈不足”问题中的数量关系吗？ 2.你会用一元一次方程解决“盈不足”问题吗？会列几种方程？ 3.你会用有理数运算的方法解决“盈不足”问题吗？ 【知识结构】 【作业布置】 1.教材P155习题5.3第6，7题。
板书设计 第2课时 古代数学问题 古代数学问题：1.用表格分析数量关系；2.列方程；3.求解。
教学反思 本节课首先通过一个现代分书问题引入，为本节课的主要内容做一点准备。接着通过“盈不足”问题，让学生掌握用表格分析数量关系的方法，并尝试用不同方法列方程，进一步提高从古代数学问题中找等量关系列方程的能力。然后通过思考“盈不足”问题的有理数运算解法，拓宽学生思维，并与方程解法进行比较，使学生进一步体会方程模型对于解决古代数学问题的作用，加强模型观念与应用意识。部分学生对有理数运算的解法难以理解，可通过验证的方式帮助体会，但也不用有过高要求，掌握主要的两种方程解法即可。
解题大招一　根据“盈不足”问题列方程
根据“盈不足”问题列方程，一般要抓住不变的两个量，设其中一个不变量为未知数，然后用不同方式表示出另一个不变量，据此列出方程。
例 《孙子算经》中有一道题，原文是：今有四人共车，一车空；三人共车，九人步，问：人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，若每4人共乘一车，则最终剩余1辆车；若每3人共乘一车，则最终剩余9个人无车可乘，共有多少人？多少辆车？设共有x人，可列方程（ A ）
培优点 根据古代数学问题列方程
例 我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：100匹马恰好拉了100片瓦，已知1匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，则有多少匹大马？多少匹小马？
分析：等量关系：一匹大马拉的瓦数×大马匹数+一匹小马拉的瓦数×小马匹数=总瓦数。
解：设有x匹大马，则有（100-x）匹小马。
根据题意，得3x+（100-x）=100。
解这个方程，得x=25。
100-25=75。
因此，有25匹大马，75匹小马。

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