资源简介

第4课时 方案选择问题
教学目标
课题 5.3 第4课时 方案选择问题 授课人
素养目标 1.能根据文字构建直观的数学模型，利用图表分析实际情境和问题. 2.通过分类讨论解决最优方案选择问题，锻炼统筹规划的能力.
教学重点 从实际问题中构建计费问题的数学模型，在不同区间内对各方案进行比较.
教学难点 准确分类讨论，得出最优方案.
教学活动
教学步骤 师生活动
活动一：结合生活，引入新知 设计意图 通过生活中常见的情境，引发学生的讨论和兴趣. 【问题引入】 两款空调的部分信息如表. 品牌售价/元平均每年耗电量/（kW·h）A3 200650B2 400900
购买哪款空调较划算呢？下面是李明和王芳的对话，他们谁说得有道理？ 【教学建议】 让学生自行讨论，适当发言，留意学生作选择的依据，后面教学时有针对性地展开讲解.
活动二：交流讨论，探究新知 设计意图 整合信息，逐步设问，引出解决问题的思路. 探究点 方案选择 不同能效空调的综合费用比较 （教材P138探究3） 购买空调时，需要综合考虑空调的价格和耗电情况.某人打算从当年生产的两款空调中选购一台，表中是这两款空调的部分基本信息.如果电价是0.5元/（kW·h），请你分析他购买、使用哪款空调综合费用较低. 两款空调的部分基本信息 匹数能效等级售价/元平均每年耗电量/（kW·h）1.51级3 0006401.53级2 600800
问题1 一台空调的综合费用包括哪些部分？ 空调的售价、电费. 问题2 一台空调使用了若干年，产生的总电费是怎样计算的？ 电价×每年耗电量×使用年数. 问题3 设空调的使用年数是t，请你用代数式表示两款空调的综合费用. 1级能效空调的综合费用（单位：元）是 3000+0.5×640t，即3000+320t. 3级能效空调的综合费用（单位：元）是 2600+0.5×800t，即2600+400t. 问题4 两款空调的综合费用与使用年数t有关，如何比较它们的大小呢？ （1）t取什么值时，两款空调的综合费用相等？ 列方程3000+320t=2600+400t， 解得t=5. 即t=5时，两款空调的综合费用相等. （2）t取其他值时，两款空调的综合费用大小如何比较呢？ 我们把表示3级能效空调的综合费用的式子2600+400t变形为1级能效空调的综合费用与另外一个式子的和，即 （3000+320t）+（80t-400）,也就是3000+320t+80（t-5）. 这样，当t<5时，80（t-5）是负数，这表明3级能效空调的综合费用较低； 当t>5时，80（t-5）是正数，这表明1级能效空调的综合费用较低. 【对应训练】 教材P139练习第1题. 【教学建议】 本课题涉及一定的实际生活经验，学生如有理解困难的地方,教师可适当展开讲解. 【教学建议】 选择最划算的方案时，需要进行先分类再综合的思考，其中用方程找关键时间（费用相同时的使用年数）是重要的一步.
活动三：知识升华，巩固提升 设计意图 对方案选择问题的掌握. .例 某学校计划购买若干台电脑，现从两家商场了解到同一型号电脑每台报价均为6000元并且多买都有一定的优惠，甲商场的优惠条件是：第一台按原报价收费，其余每台优惠25%；乙商场的优惠条件是：每台优惠20%. （1）设购买x台电脑，则甲商场费用为_______元，乙商场费用为_______元.(均用含x的代数式表示） （2）购买多少台电脑时，两家商场收费一样？ （3）学校应该怎样选择？ 解：（1）（4500x+1500） 4800x （2）当两家商场收费一样时，4500x+1500=4800x，解得x=5. 所以当购买5台电脑时，两家商场收费一样. （3）当购买电脑台数小于5时，选择乙商场购买； 当购买电脑台数等于5时，选择哪家商场都一样； 当购买电脑台数大于5时，选择甲商场购买. 【对应训练】 教材P139练习第2题. 【教学建议】 在对不同方案进行比较时，提醒学生注意临界点，以及临界点前后，不同方案在单件上优惠力度的差别.
活动四：课堂总结 【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题： 1.计算空调的综合费用时，不确定的因素是什么？ 2.两款空调的综合费用的大小关系是确定的吗？有什么特点？ 3.如何选择合适的方案？ 【知识结构】 【作业布置】 1.教材P141习题5.3第14题.
板书设计 第4课时 方案选择问题 1.构建模型 2.方案选择
教学反思 方案选择是生活中常常要面临的问题，本节课通过层层设问，由浅入深，循序渐进，引导学生对问题逐步探究，最终作出合理的决策.通过数学的思维，全面理性地分析决策时需要考虑的要素，锻炼了学生提炼和处理信息的能力，以及统筹规划的能力.数学来源于实践，也服务于实践.通过本节课的学习，学生深刻体会到了数学的实际应用价值，在日后的生活中，也必然会具备更理性的态度.
解题大招 分段计费问题
分段计费问题中，有时消费量未知，需要结合分段收费标准以及总费用，反向推理消费量；或已知消费量及总费用，反推分段标准.解决这些类型的问题，一般先根据计费结果判断消费量可能在哪个范围内，再根据对应的数量关系，构建方程模型求消费量或分段标准.
例1 为鼓励节约用电，某地对居民用电收费标准作如下规定：如果每月每户用电量不超过100kW·h，那么每千瓦时电价按0.55元收费；如果超过100kW·h，那么超过部分每千瓦时电价按1元收费.某户居民3月需缴纳电费105元，则该户居民3月共用电多少千瓦时？
解：因为100×0.55=55(元)，55＜105,所以该户居民3月的用电量超过了100kW·h.
设该户居民3月共用电xkW·h.根据题意，得100×0.55+（x-100）×1=105，解得x=150.
答：该户居民3月共用电150kW·h.
例2 为增强市民的节水意识，某市对居民用水实行“阶梯收费”：规定每户每月不超过月用水标准量部分的水价为1.5元/t，超过月用水标准量部分的水价为2.5元/t.该市李明家5月份用水14t，交水费25元.该市规定的每户月用水标准量是多少吨？
解：因为14×1.5=21（元），21<25，所以李明家5月份用水超过了标准量.
设该市规定的每户月用水标准量是xt.根据题意，得1.5x+2.5（14-x）=25，解得x=10.
答：该市规定的每户月用水标准量是10t.
培优点 购票中的方案选择问题
例 某公园门票价格规定如下表：
购票张数 1~50张 51~100张 100张以上
每张票的价格 13元 11元 9元
某校七年级（1）（2）两个班共104名学生去游园，其中（1）班有40多名学生，不足50名学生.经估算，如果两个班都以班为单位购票，则一共应付1240元.
（1）两班各有多少名学生？
（2）如果两班联合起来，作为一个团体购票，可省多少钱？
（3）如果（1）班单独组织去游园，作为组织者的你将如何购票才最省钱？
分析：（1）设（1）班有x名学生，则（2）班有（104-x）名学生，根据“购票总费用=（1）班购票费用+（2）班购票费用”即可求解；（2）
求出购买104张票的总钱数，将其与1240作差即可得出结论；（3）分别求出购买48张门票以及购买51张门票的总钱数，比较后即可得出结论.
解：（1）设（1）班有x名学生，则（2）班有（104-x）名学生.根据题意，得13x+11（104-x）=1240.解得x=48.
进而104-x=56.故七年级（1）班有48名学生，七年级（2）班有56名学生.
（2）1240-9×104=304（元）.即可省304元钱.
（3）51×11=561（元），48×13=624（元）.因为561<624，所以购买51张门票最省钱.

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