资源简介

5.1.2 等式的性质
教学目标
课题 5.1.2等式的性质 授课人
素养目标 1.掌握等式的性质. 2.能利用等式的性质解简单的一元一次方程，感受数学思考过程的条理性和数学结论的严密性，同时强化运算能力.
教学重点 等式的性质、利用等式的性质解一元一次方程.
教学难点 利用等式的性质将方程变形为x=m（常数）的形式.
教学活动
教学步骤 师生活动
活动一：交流讨论，引入新知 设计意图 根据解方程的需要，引出探究等式性质的课题. 【课题引入】 观察2x=3，x+1=3这两个方程，你知道它们的解是什么吗？ 两个方程的解分别是x=，x=2. 像2x=3，x+1=3这样的简单方程，我们可以直接看出方程的解，但是对于比较复杂的方程，仅靠观察来解方程是困难的.因此，还要研究怎样解方程.方程是含有未知数的等式，为了研究解方程，我们今天先来学习等式的性质，再尝试用等式的性质解一些简单的方程. 【教学建议】 给学生强调，等式的性质是讨论方程的解法时的重要依据，要认真学好本课时的内容.
活动二：合情推理，探究新知 设计意图 通过举例验证和合情推理，将小学学过的等式的性质的适用范围扩大到有理数. 探究点1　等式的性质 像m+n=n+m,x+2x=3x,3×3+1=5×2,3x+1=5y这样的式子，都是等式.我们可以用a=b表示一般的等式. 首先，给出关于等式的两个基本事实. 等式两边可以交换.如果a=b，那么b=a. 相等关系可以传递.如果a=b,b=c,那么a=c. （教材P115思考）在小学，我们已经知道：等式两边同时加（或减）同一个正数，同时乘同一个正数，或同时除以同一个不为0的正数，结果仍相等.引入负数后，这些性质还成立吗？ 问题 已知等式a=2b. (1)等式两边同时加同一个负数，如-2，则a+(-2)=2b+(-2)成立吗？ 对于a=2b，不妨设a=4,b=2. 则a+(-2)=4+(-2)=2， 2b+(-2)=2×2+(-2)=2. 即a+(-2)=2b+(-2)成立. （2）等式两边同时减同一个负数，如-3,则a-(-3)=2b-(-3)成立吗？ 对于a=2b，不妨设a=4,b=2. 则a-(-3)=4-(-3)=4+3=7， 2b-(-3)=2×2-(-3)=7. 即a-(-3)=2b-(-3)成立. （3）等式两边同时乘（或除以）同一个负数，结果仍相等吗？ 【教学建议】 教材中对等式的性质，既给出了文字形式的表达，又用式子形式加以描述.两种形式并用来表示这些性质，目的在于让学生一方面切实理解等式的性质，另一方面体会如何用数学的符号语言抽象概括地表示它们.
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仍相等. 大家可以用其他的数值再试一试，可以发现，对等式进行上面4种变形，等式都是成立的.所以小学学过的等式的性质，在引入负数后，依然成立.
设计意图 用文字和符号语言表述等式的性质，并通过实例加以巩固. 知识引入： 一般地，等式有以下性质： 等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等. 等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等. 例1（教材P116例3）根据等式的性质填空，并说明依据： （1）如果2x=5-x，那么2x+_____=5; （2）如果m+2n=5+2n，那么m=_____； （3）如果x=-4，那么_____·x=28； （4）如果3m=4n，那么32m=_____·n. 解：（1）2x+x=5;根据等式的性质1，等式两边加x，结果仍相等. （2）m=5；根据等式的性质1，等式两边减2n，结果仍相等. （3）-7·x=28；根据等式的性质2，等式两边乘-7，结果仍相等. （4）32m=2·n；根据等式的性质2，等式两边除以2，结果仍相等. 【对应训练】 教材P117练习第1题. 【教学建议】 在给出等式的性质后，教师跟学生强调：（1）等式两边都要参加运算，且是同一种运算.（2）等式两边加或减，乘或除以的一定是同一个数或同一个式子.（3）等式两边不能除以0，即0不能作除数或分母.
设计意图 加强对等式的性质的掌握，同时为解更复杂的方程打下基础. 设计意图 通过检验使学生确信，利用等式性质变形得到的结果是方程的解. 探究点2　利用等式的性质解方程 例2（教材P116例4）利用等式的性质解下列方程： （1）x+7=26;（2）-5x=20;（3）-x-5=4. 分析：解以x为未知数的方程，就是把方程逐步转化为x=m（常数）的形式，我们可以依据等式的性质来实现这种转化. 问题对于上面的3个方程，要使它们各自转化为x=m（常数）的形式，应该对等式的两边分别作怎样的变形？依据的分别是等式的哪条性质？ 解： (1)方程两边减7，得x+7-7=26-7.于是x=19. 依据的是等式的性质1. (2)方程两边除以-5，得-5x-5=20-5.于是x=-4. 依据的是等式的性质2. (3)方程两边加5，得-13x-5+5=4+5. 化简，得-13x=9. 方程两边乘-3，得x=-27. 两次变形，分别依据的是等式的性质1和等式的性质2. 一般地，从方程解出未知数的值以后，通常需要代入原方程检验，看这个值能否使方程左、右两边的值相等.例如，将x=-27代入方程-x-5=4.的左边，得-×(-27)-5=4.方程左、右 两边的值相等，所以x=-27是方程-x-5=4的解. 【对应训练】 教材P117练习第2题.教学建议 【教学建议】 在本节课教学中，不要过早地使用“合并同类项”“移项”“系数化为1”等解方程的专门用语.这些内容留待后面几节课进行，这里要突出等式性质，使用等式的性质考虑如何解方程. 【教学建议】 可以让学生自己思考如何检验.对于检验的格式可以暂不做严格要求，只要理解“为什么检验”和知道“怎样检验”就可以了.
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活动三：课堂总结 【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题： 1.等式的性质1是什么？ 2.等式的性质2是什么？ 3.如何利用等式的性质解方程？ 【知识结构】 【作业布置】 1.教材P118习题5.1第4,11题.
板书设计 5.1.2等式的性质 1.等式的性质12.等式的性质23.利用等式的性质解方程
教学反思 　本节课通过解方程的必要性，引入等式性质的学习.首先回顾了小学学过的等式的性质，然后通过反问和验证，将等式的性质适用的范围进一步扩大.在总结了等式的性质后，及时利用它去解一些简单的方程，并在解题过程中贯穿了化归的思想，让学生理解了解方程的本质.在整个探究学习的过程中充满师生之间、生生之间的交流和互动，体现教师是教学活动的组织者、引导者、合作者，学生才是学习的主体.
解题大招 根据等式的性质，判断方程的变形是否正确
判断方程的变形是否正确时，要看方程两边进行的是不是同一种变形，且计算结果要正确.另外要注意的是，方程两边同除以一个数时，要确保除数不为0.
例 下列运用等式的性质进行的变形，正确的是 ( D )
A.若 x=4, 则x=-2 B. 若x-1=2，则x=1
C.若am=an，则m=n D. 若（a2+1）m=（a2+1）n，则m=n
培优点　等式性质的理解与应用
例（1）已知a（m2+1）=3（m2+1），求a的值；（2）已知a（m-1）=2（m-1），a≠2，求m的值；
（3）已知-1=5，求2m+1的值.
分析：（1）等式两边除以m2+1；（2）分m-1≠0，m-1=0讨论；（3）将2m+1视为一个整体求值.
解：（1）因为a（m2+1）=3（m2+1），而m2+1≠0，所以可以将等式两边除以m2+1，得a=3.
（2）若m-1≠0，则等式两边除以m-1，得a=2，这与a≠2矛盾，所以m-1=0.验证：m-1=0时，原等式两边都等于0，等式成立.所以m-1=0符合题意，所以m=1.
（3）因为-1=5，所以=6.所以2m+1=18.

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