资源简介

6.2.2 线段的比较与运算
教学目标
课题 6.1.2线段的比较与运算 授课人
素养目标 1.能用尺规作图，会画一条线段等于已知线段. 2.会用度量法与叠合法来比较线段的长短.理解两条线段的长短比较所隐含的意义，能从“量”与“形”上进行转化. 3.掌握线段的基本事实：两点之间，线段最短.理解两点间距离的意义，能度量和表达两点间的距离. 4.理解线段的和、差及线段中点的意义，了解三等分点、四等分点的意义.会画两条线段的和、差，体会数形结合思想，并能进行简单的应用.
教学重点 1.线段长短的比较. 2.关于线段的基本事实. 3.线段的中点.
教学难点 线段的中点、三等分点、四等分点的表示方法及运用.
教学活动
教学步骤 师生活动
活动一：创设情境，导入新课 【问题引入】 观察这三组图形，你能比较出每组图形中线段a和b的长短吗？ 三组图形中，线段a和b的长度均相等. 很多时候，眼见未必为实.准确比较线段的长短还需要更加严谨的方法.如何找到更为严谨的方法呢？这就是本节课要解决的问题. 【教学建议】 这里可先让学生通过直观观察说出线段的长短，再结合学生的回答引出本节课的内容.
设计意图
由几何中线段视觉错觉问题作为引入，激发学生的学习兴趣和解决问题的热情.
活动二：实践探究，获取新知 探究点1尺规作图、线段长短的比较 Ⅰ.尺规作图 问题1 如图，老师手里的纸上有一条线段，你能在你的本子上作出一条同样长短的线段吗？ 可用刻度尺直接测量后画出. 问题2 除了常用的用刻度尺度量的方法，是否还有其他方法？ 可用圆规和无刻度的直尺作图. 概念引入： 在数学中，我们常限定用无刻度的直尺和圆规作图，这就是尺规作图. 【教学建议】 对于问题2，这是学生首次接触尺规作图，学生能完成作图即可，不要求说出作法，教师也可以鼓励学生用自己的语言表述作图过程. 注意提醒学生：尺规作图一般要求作出图形，说明结果，并保留作图痕迹.
设计意图
尺规作图的概念和“作一条线段等于已知线段”是为后面线段的运算做铺垫.
教学步骤 师生活动
问题3想一想，两种方法中，刻度尺、直尺和圆规分别发挥了什么作用？ 刻度尺可以量出长度和画出相应线段.直尺只能用来画线，不能测量线段的长度，圆规可测量线段的长度. Ⅱ.线段的长短比较 如何进行更为严谨的线段长短比较，我们可从身高比较中找一找方法. 问题1 下面两人要比较身高，类比上面尺规作图中的方法，说一说你是如何比较的？ 可按直接测量的方法或脚底平齐再看两人头顶高度的方法进行比较. 问题2 （1）类似地，我们如何比较两条线段的长短呢？ ①度量法： ②叠合法：使用圆规按【教学建议】中的方法进行“叠合”. 注意事项：叠合线段时要注意两条线段的一个端点对齐（重合），另一个端点落在同一侧. （2）你认为按照叠合法，两条线段的长短比较有哪些可能性？ 【对应训练】 教材P166练习第1题. 【教学建议】 这里学生类比后会用到下面的方法： ①用刻度尺分别测量出两位同学的身高，将所得的数值进行比较. ②让两人并排站在同一块平地上，脚底平齐，观看两人的头顶，直接比出高矮. 可通过这两种方法的介绍，引出线段比较中的度量法和叠合法. 另外教师可用两根长短不一的粉笔再举下例子. 【教学建议】 在两条线段长短的比较中，度量法比较好理解.这个叠合法就是将其中一条线段“移”到另一条线段上，使其一端点与另一线段的一端点重合，然后观察两条线段另外两个端点的位置作比较.教师注意向学生解释，并提醒学生注意：这里虽然线段的位置改变了，但线段的长短保持不变.
设计意图
让学生从身高比较引出比较线段长短的两种方法：度量法和叠合法.并通过尺规作图，让学生进一步理解线段比较的实质，渗透数形结合思想，培养学生几何直观.
教学步骤 师生活动
设计意图 探究点2 关于线段的基本事实 问题1 （教材P165探究） 如图，从A地到B地有四条道路，除它们外能否再修一条从A地到B地的最短道路？如果能，请你联系以前所学的知识，在图上画出最短道路. 从图②可以看出线段AB最短. 概念引入： ①关于线段的基本事实：两点的所有连线中，线段最短. 简单说成：两点之间，线段最短. ②距离的概念：连接两点的线段的长度，叫作这两点间的距离. 问题2如上图②中，线段AB的长度就是点A与点B之间的距离.想一想，我们能说A，B两点间的距离是线段AB吗？ 不能，两点间的距离是一个具体的数量，而线段是图形，因此不能把A，B两点间的距离说成线段AB. 问题3你能举出线段的基本事实在生活中的一些应用吗？ 应用举例1 河道改直问题 如图，把原来弯曲的河道改直，A，B两地间的河道长度有什么变化？ 河道的长度变短了. 应用举例2 九曲桥问题 如图，公园里修建了曲折迂回的桥，这样做对游人观赏湖面风光有什么影响？与修一座笔直的桥相比，这样做是否增加了游人在桥上行走的路程？说出其中的道理. 由于“两点之间，线段最短”，这样做增加了桥的长度，一方面能容纳更多的游人来观光，另一方面也增加了游人在桥上行走的路程，有利于游人更好地观赏湖面风光. 【对应训练】 如图，这是A，B两地之间的公路，在公路工程改造计划时，为使A，B两地行程最短，应如何设计道路？请在图中画出，并说明理由. 解：设计道路如图中线段AB.理由：两点之间，线段最短. 【教学建议】 “两点之间，线段最短”是学生容易接受的结论，对此基本事实是让学生通过观察、思考得到的，这种经过实验比较得到结论的方法是科学的方法，有广泛的应用价值.在此基础上，可以让学生举出一些实际应用以认识此性质的实际价值.
通过设置的问题，让学生经历观察、猜想、验证新知的过程，强化对线段基本事实的理解，并在探究中培养学生独立思考、合作交流、口头表达的能力.
设计意图 探究点3 线段的运算 Ⅰ.线段和、差的意义及作图 问题1 （1）如图，线段AB和AC的大小关系是怎样的？ AB＜AC. （2）上图中AB，BC，AC有怎样的和、差关系？ AC＝AB＋BC，AB＝AC－BC，BC＝AC－AB.
由判断线段的长短引出线段的运算，让学生掌握线段和、差的作图方法；将用图形表示和、差与用符号表示和、差结合起来.
教学步骤 师生活动
问题2 如图，已知线段a和线段b，怎样通过作图得到a与b的和、a与b的差呢？ 例 （教材P165例1） 如图，已知线段a，b，作一条线段，使它等于2a－b. 解：如图，在直线上作线段AB＝a，再在线段AB的延长线上作线段BC＝a，则线段AC＝2a.在线段AC上作线段CD＝b，则线段AD＝2a－b. 教师总结： 作线段的和、差时，按“右加左减”的方法作图.线段的倍数也可转化为线段的和进行作图. Ⅱ.线段的中点、三等分点、四等分点及倍、分 问题1 在一张透明的纸上画一条线段，折叠纸片，使线段的端点重合.折痕与线段的交点是线段的什么位置？ 中点位置. 问题2 如图，已知线段a，求作线段AB＝2a. 如图，线段AB即为所求. 知识引入： 如问题2图，点M把线段AB分成相等的两条线段AM与BM，点M叫作线段AB的中点. 教师总结： 【教学建议】 教师引导学生思考并总结：几何中线段的和、差与代数中数的和、差有联系也有区别，在数量上是线段长度的和、差，在图形上作线段的和、差得到的图形是一条线段. 【教学建议】 对于线段的和、差、中点，应以图形认识为主，让学生看到相应图形的形成，培养识图能力，进一步可要求学生能在图形和相应数量关系之间建立起联系，并与有关的符号表示联系起来，如由点M是线段AB的中点，就有AB＝2AM＝2BM，AM＝BM＝ AB（反过来，如果点M在线段AB上，且有这样的数量关系，那么点M是线段AB的中点），这对于以后的学习（用符号表示推理）很有帮助.
教学步骤 师生活动
问题3那么什么叫做三等分点？四等分点呢？ 【对应训练】 教材P166练习第2，3题. 【教学建议】 教师提醒学生注意：线段的中点只有一个，且一定在线段上，类似地，线段的三等分点有两个，线段的四等分点有三个，且这些点都在线段上.
活动三：随堂训练，课堂总结 【随堂训练】见《创优作业》“随堂小练”册子相应课时随堂训练. 【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题： 1.什么是尺规作图？如何用尺规作一条线段等于已知线段？ 2.比较线段的长短有哪些方法？ 3.线段的基本事实是什么？ 4.什么是两点间的距离？ 5.如何作线段的和，线段的差？ 6.什么是线段的中点、三等分点、四等分点？ 【知识结构】 【作业布置】 1.教材P167习题6.2第4，5题. 2.《创优作业》主体本部分相应课时训练.
板书设计
教学反思 本节课通过比较线段视觉错觉问题，引导学生思考严谨的比较线段长短的方法，从而引出课题，极大地激发了学生的学习兴趣；并通过动手操作，亲身体验用叠合法比较线段的长短.教师要尝试让学生自主学习，优化课堂教学中的反馈与评价.通过评价，激发学生的求知欲，坚定学生学习的自信心.
解题大招一 线段的长短比较
实际做题时，线段的长短比较主要是用叠合法，比较时关键要注意两条线段的一个端点要重合.
例1 为了比较线段AB与CD的长短，李明将点A与点C重合使两条线段在一条直线上，结果点B在线段CD的延长线上，则（ B ）
A. ABCD C. AB＝CD D.以上都不对
例2 体育课上，刘伟在点O处进行了四次铅球试投，铅球分别落在图中的M，N，P，Q四个点处，则表示他最好成绩的是（ C ）
A.点M B.点N C.点P D.点Q
解题大招二 与线段有关的作图
（1）到两点的距离之和最小就是求作连接两点的线段.
（2）线段和、差的作图方法：
例3 如图，要在铁路l旁建一仓库P，使P到铁路两旁的A，B的距离之和最短，请在l上标出点P的位置，并说明理由.
解：如图，点P为所求.理由：两点之间，线段最短.
例4 已知线段a，b.求作：线段AC，使AC＝a－2b.
解：如图，线段AC即为所求.
解题大招三 与线段中点有关的计算
M为线段AB的中点 表达方式：（1）点M在线段AB上，且AM＝BM； （2）AB＝2AM＝2BM；（3）AM＝BM＝ＡAB
1.直接计算
例5 如图，AC＝8 cm，CB＝6 cm，O是线段AB的中点，求线段OC的长度.
思路分析
解：因为AB＝AC＋CB＝8＋6＝14（cm），O是线段AB的中点，所以OB＝AB＝×14＝7（cm），所以OC＝OB－CB＝7－6＝1（cm）.
2.用方程思想解决线段中点计算问题
有关线段长的计算问题，若直接求解无法计算，则可考虑借助未知数，特别是条件有连比的情况，通过相关线段之间的数量关系构建方程求解.
例6 如图，B，C是线段AD上两点，且AB∶BC∶CD＝3∶2∶5，E，F分别是AB，CD的中点，且EF＝24，求线段AB，BC，CD的长.
分析：根据已知条件AB∶BC∶CD＝3∶2∶5，不妨设AB＝3x，BC＝2x，CD＝5x，然后运用线段的和、差、倍、分，用含x的代数式表示EF的长，从而得到一个关于x的一元一次方程，解方程，得到x的值，即可得到所求各线段的长.
解：设AB＝3x，BC＝2x，CD＝5x. 因为E，F分别是AB，CD的中点，所以BE＝AB＝x，CF＝CD＝x，所以EF＝BE＋BC＋CF＝x＋2x＋x＝6x.因为EF＝24，所以6x＝24，解得x＝4.所以AB＝3x＝12，BC＝2x＝8，CD＝5x＝20.

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