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第五章　一元一次方程
5．1　认识方程
1．理解并让学生掌握方程、一元一次方程、方程的解和解方程的概念；
2．初步了解列方程的一般步骤，体会用方程解决实际问题的优越性．
重点
理解并掌握一元一次方程、方程的解和解方程的概念，以及列方程解决实际问题．
难点
列方程解决实际问题．
一、导入新课
在班级秋游活动中，全体学生和老师共购买了45张门票，学生票每张10元，成人票每张15元，总票款为475元．你知道学生和老师的人数分别是多少吗？购买学生票和成人票的票款分别是多少？
(1)这个问题涉及哪些量？它们之间有怎样的等量关系？
(2)如果设学生人数为x，那么总票款可以用含x的代数式表示为__________．
(3)你能得到怎样的表示量相等的式子？
学生思考后举手回答，教师点评并进一步讲解：
教师：请同学们用算术方法解决这个问题．
学生独立思考后，与同桌交流，老师作简单讲解．
教师：我们已经知道，方程是含有未知数的等式．上面等式中的x是未知数，这个等式是一个方程．以后我们将学习如何解方程求出未知数x.
教师：比较这两种方法，用方程来解决问题有什么优点？
学生相互交流，说出自己对方程的感受．
二、探究新知
1．一元一次方程的概念与列方程
课件出示问题：根据下列问题，设未知数并列出方程．
1．某长方形操场的面积是5850 m，长比宽多25 m．
(1)这个情境涉及哪些量？它们之间有怎样的等量关系？
(2)如果设这个操场的宽为x m，那么操场的面积可以用含x的代数式表示为________．
(3)你能得到怎样的表示量相等的式子？
2．甲、乙两地相距22 km，张叔叔从甲地出发到乙地，每小时比原计划多走1 km，因此提前12 min到达乙地．
(1)这个情境涉及哪些量？它们之间有怎样的等量关系？
(2)如果设张叔叔原计划每小时走x km，那么他比原计划提前的时间可以用含x的代数式表示为____________．
(3)你能得到怎样的表示量相等的式子？
学生完成后举手回答，教师点评总结：同学们在列方程时，一定要弄清方程两边的代数式所表示的意义，体会列方程所依据的等量关系．
等式10x＋15(45－x)＝475，x(x＋25)＝5850，－＝是用不同的代数式表示相等的量，像这样含有未知数的表示量相等的等式称为方程．
教师：上面各方程都含有一个未知数(元)，未知数的指数都是1，这样的方程叫做一元一次方程．如10x＋15(45－x)＝475，2x＋3＝7x＋4都是一元一次方程．那么在实际问题中怎样列出方程呢？
引导学生总结出列方程的一般步骤：
实际问题一元一次方程
分析实际问题中的数量关系，利用其中的相等关系列出方程是用数学知识解决实际问题的一种方法．
2．方程的解
你能求出满足方程10x＋15(45－x)＝475的未知数x的值吗？你是怎样得到的？与同伴进行交流．
教师：当x＝30是方程的解吗？x＝40呢？x＝50呢？
教师：我们可以发现，当x＝40时，方程两边等号成立．也就是说，x＝40是方程解．
引导学生得出：解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值，这个值就是方程的解．
三、课堂练习
1．教材第137页“随堂练习”第1，2题．
2．(1)用一根长24 cm的铁丝围成一个正方形，正方形的边长是多少？
(2)一台计算机已使用1700 h，预计每个月再使用150 h，经过几个月这台计算机的使用时间达到规定的检修时间2450 h
(3)某校女生占全体学生人数的52%，比男生多80人，这个学校有多少学生？
【答案】2.(1)设正方形的边长是x cm，由题意列方程得4x＝24.解得x＝6，答：正方形的边长是6 cm
(2)设经过x个月这个计算机的使用时间达到规定的检修时间2450 h．由题意列方程为1700＋150x＝2450，解得x＝5.答：经过5个月这台计算机的使用时间达到规定的检修时间2450 h　(3)设这个学校有x名学生，由题意列方程得52%x－(1－52%)x＝80.解得x＝2000，答：这个学校有2000名学生
四、课堂小结
1．方程、一元一次方程、方程的解、解方程的概念分别是什么？
2．实际问题中列一元一次方程的步骤是什么？
五、课外作业
教材第138页习题5.1第1，2，3题．
本节课的内容是一元一次方程的初步认识，主要使学生了解什么是方程，什么是一元一次方程；体会字母表示数的好处，体会从算式到方程是数学的一大进步；会将实际问题抽象为数学问题，通过找相等关系列方程解决问题．
在教学过程中，通过新旧知识的联系，使学生温故而知新，并能从学习过的知识中得到拓展和延伸．同时结合生活实例，理解一元一次方程的概念．使学生感受数学的魅力，提高学习的兴趣．课堂上，营造宽松、和谐的课堂氛围，激活学生的思维，提高了学生参与课堂的积极性．
5．2　一元一次方程的解法
第1课时　等式的基本性质
1．理解等式的基本性质；
2．会根据等式的基本性质解简单的方程．
重点
运用等式的基本性质对等式进行变形．
难点
根据等式的基本性质解简单的方程．
一、导入新课
方程是含有未知数的等式，解方程自然要研究等式的基本性质．等式有哪些基本性质呢？
我们不难理解下面两个基本事实：
(1)如果a＝b，那么b＝a；
(2)如果a＝b，b＝c，那么a＝c.
除此之外，等式还有哪些基本性质呢？
学生回答，教师点评．
二、探究新知
下面，我们通过实验一起来探究等式的性质．
(1)教师演示：天平两边分别放入一个铁球和砝码，天平平衡，再在两边都加上相同的木块，天平仍平衡，再拿掉木块天平仍平衡．
教师：如果我们把天平看成是等式，会得到什么结论呢？
学生小组讨论，合作交流．
教师总结得出等式的性质1：等式两边同时加(或减)同一个代数式，所得结果仍是等式．
(2)教师演示：天平两边各放入一个小球和砝码，天平平衡，把两边小球与砝码的数量都变成原来的3倍，天平仍平衡．再将两边小球与砝码的数量还原，天平仍平衡．
教师：如果我们把天平看成是等式，那么又有什么结论呢？
引导学生得出等式的性质2：等式两边同时乘同一个数(或除以同一个不为0的数)，所得结果仍是等式．
用字母可以表示为：
如果a＝b，那么a±c＝b±c
如果a＝b，那么ac＝bc，＝(c≠0)
(1)如图5－2，小明用天平解释了方程5x＝3x＋4的变形过程，你能明白他的意思吗？
(2)请用等式的基本性质解释方程5x＝3x＋4的上述变形过程．
归纳：利用等式的基本性质求解一元一次方程，实质就是对方程进行变形，变形为x＝a的形式．对于x＋a＝b，方程两边都减去a，得x＝b－a；对于方程ax＝b(a≠0)，两边都除以a，得x＝.
例1　(课件出示教材第140页例1)
要求学生独立完成后汇报答案，教师点评．
例2　(课件出示教材第140页例2)
要求学生独立完成后汇报答案，教师点评．
三、课堂练习
1．判断：
(1)若x＝y，则5＋x＝5＋y；( √ )
(2)若x＝y，则5x＝5y；( √ )
(3)若x＝y，则＝；( √ )
(4)若x＝y，则5－x＝5－y；( √ )
(5)若2x＝5x，则2＝5.( × )
2．下列各式变形正确的是( A )
A．由3x－1＝2x＋1得3x－2x＝1＋1
B．5＋1＝6得5＝6＋1
C．由2(x＋1)＝2y＋1得x＋1＝y＋1
D．由2a＋3b＝c－5b，得2a＝c＋8b
3．应用等式的性质解下列方程并检验：
(1)x－5＝6；　　　　(2)0.3x＝45；
(3)5x＋4＝0; (4)2－x＝3.
【答案】3.(1)x＝11　(2)x＝150　(3)x＝－　(4)x＝－4
4．教材第141页“随堂练习”第1，2题．
四、课堂小结
1．通过本节课的学习，你有什么收获？
2．等式的基本性质是什么？
3．如何用等式的基本性质解方程？
五、课外作业
教材第146页第6，7题．
本节课的学习内容是等式的性质，是学生在刚刚认识了等式与方程的基础上进行教学的．它是解方程的基础和依据．在课堂上，教师通过学生的实践活动引导学生，发现规律，从而得出等式的基本性质，接着又通过实验解释了方程5x＝3x＋4的变形过程．由此得出利用等式的性质解一元一次方程，实质上就是逐步把方程化为x＝a的形式．通过教师设置的两次活动，学生对等式性质的理解和运用等式的性质解一元一次方程都留下了深刻的印象．
第2课时　用移项和合并同类项解一元一次方程
1．掌握移项变号的基本原则，会用移项解一元一次方程；
2．会用合并同类项解一元一次方程．
重点
移项法则和合并同类项法则及其应用．
难点
理解移项的同时必须变号．
一、导入新课
问题1：什么是一元一次方程？
问题2：等式的基本性质是什么？
学生举手回答，教师引入新课．
二、探究新知
1．移项的概念
教师：你会解方程5x－2＝8吗？
方程的两边都加2，得
5x－2＋2＝8＋2，
也就是5x＝8＋2
比较这个方程与原方程，可以发现，这个变形相当于5x－2＝8，
5x＝8＋2
即把原方程中的－2改变符号后，从方程的一边移到另一边，这种变形称为移顶．
因此，解方程的过程可以简化为：
移项，得5x＝8＋2
化简，得5x＝10
方程的两边都除以5，得x＝2.
在上面解方程的过程中，移项的依据是什么？目的是什么？与同伴进行交流．
归纳：学生思考后举手回答，教师点评，并进一步讲解：
把原方程的某项改变符号后，从方程的一边移到另一边，这种变形叫移项．
课件出示问题：
下列移项是否正确，请说明理由．
(1)6＋x＝8移项，得x＝8＋6；
(2)3x＝8－2x移项，得3x＋2x＝－8；
(3)5x－2＝3x＋7移项，得5x＋3x＝7＋2.
要求学生认真观察找出错误，并说明理由，教师点评．
2．用移项和合并同类项解一元一次方程
教师：你会解方程3x＋20＝4x－25吗？
引导学生思考：方程3x＋20＝4x－25的两边都有含x的项(3x与4x)和不含字母的常数项(20与－25)，怎样才能使它向x＝a(常数)的形式转化呢？
要求学生思考后举手回答，教师点评．
归纳：学生观察，讨论交流，教师引导学生说出将方程左边合并同类项，向x＝a的形式转化．
思考：本问题的解决过程中，合并同类项起到了什么作用？
学生讨论后回答．(让学生感受化归的思想)
问题：对于本问题，你还有其他的方法解决吗？
课件出示练习：
将下列方程化为ax＝b的形式．
(1)2x－3＝6；
(2)5x＝3x－1；
(3)2.4y＋2＝－2y；
(4)8－5x＝x＋2.
学生完成后举手回答，教师点评，并进一步讲解：
①移动的项要改变符号；
②为了方便计算，移项通常是将未知项移到方程的左边，常数项移到方程的右边，使方程化为ax＝b的形式．
例3　(课件出示教材第142页例3)
要求学生独立完成并思考：
(1)移项的根据是什么？
(2)移项的目的是什么？
学生汇报答案，教师点评．
例4　(课件出示教材第142页例4)
指名板演，教师巡视指导，集体订正，教师再次强调移项时符号的变化．
三、课堂练习
1．教材第142页“随堂练习”．
2．用移项法解下列方程：
(1)7－2x＝3－4x；
(2)x＝x－3.
3．如果x＝－7是方程4x＋6＝ax－1的解，试求代数式a－的值．
【答案】2.(1)x＝－2　(2)x＝12　3.把x＝－7代入方程4x＋6＝ax－1中，得4×(－7)＋6＝－7a－1.解得a＝3；当a＝3时，a－＝3－＝2
四、课堂小结
1．通过本节课的学习，你有什么收获？
2．什么叫移项？
3．移项时应注意什么问题？
五、课后作业
教材第145页习题5.2第1，2题．
本节课学生通过观察、讨论，归纳出移项的定义，体现了学生的主体地位．课堂上，教师通过讲练结合，使学生更好地掌握移项的法则．学生对移项的掌握比较牢固，但移项时要“变号”这个问题，个别学生掌握得不够好，不能灵活应用，需要加强练习．在用移项和合并同类项解方程的过程中，教师要逐步渗透数学中变未知为已知的重要数学思想．
第3课时　解带括号的一元一次方程
1．理解并掌握解含有括号的一元一次方程的方法；
2．能用多种方法灵活地解一元一次方程．
重点
含括号的一元一次方程的解法．
难点
结合方程的特点选择不同的方法解方程，并解释解法的合理性．
一、导入新课
问题1：什么叫移项？
问题2：用移项法解下列方程：
(1)2x－2＝3x＋3；
(2)－3x＋5＝4x＋2.
学生举手回答，教师讲评．
二、探究新知
1．利用去括号解一元一次方程
小颖在超市买了1袋牛奶和4瓶矿泉水，她付给售货员20元，售货员找回3元．已知1瓶矿泉水比1袋牛奶贵0.5元，你能算出1袋牛奶多少钱吗？你列出了怎样的方程？
如果设1袋牛奶x元，那么可列出方程4(x＋0.5)＋x＝20－3.
(1)上面这个方程列得对吗？为什么？你还能列出不同的方程吗？
(2)怎样解所列的方程？
学生完成后汇报答案，教师点评并引导学生总结出去括号解一元一次方程的步骤：①去括号；②移项；③合并同类项；④系数化为1.
强调：括号前是“＋”号，去括号时，不改变符号；括号前是“－”号，去括号时，要改变符号．
用三个字母a、b、c表示去括号前后的变化规律：
a＋(b＋c)＝a＋b＋c
a－(b＋c)＝a－b－c
多媒体出示例5
解方程：1＋6x＝2(3－x).
解：去括号，得1＋6x＝6－2x.
移项，得6x＋2x＝6－1.
合并同类项，得8x＝5.
方程的两边都除以5，得x＝.
例6　解方程：－2(x－1)＝4.
解法一：去括号，得－2x＋2＝4.
移项，得－2x＝4－2.
化简，得－2x＝2.
方程的两边都除以－2，得x＝－1.
解法二：方程的两边都除以－2，得
x－1＝－2.
移项，得x＝－2＋1.
化简，得x＝－1.
要求学生用两种方法解答，并写出解题过程，引导学生比较这两种方法的区别与联系．
教师：我们来试一试解下面的方程(课件出示).
(1)－3(x－5)＝6；
(2)2(3－x)＝9；
(3)－2(x－1)＝4.
2．去括号解一元一次方程的应用
课件出示：一艘船从甲码头到乙码头顺流行驶，用了2 h；从乙码头返回甲码头逆流行驶，用了2.5 h．已知水流的速度是3 km/h，求船在静水中的速度．
教师：如果设船在静水中的速度为x km/h，船顺流的速度为多少？
学生：(x＋3)km/h.
教师：船逆流的速度为多少？
学生：(x－3)km/h.
教师：这个方程的等量关系是什么？
学生：往返的路程相等．
师生共同探讨，列出方程：2(x＋3)＝2.5(x－3).
学生完成解方程，指名板演，集体订正．
三、课堂练习
1．教材第143页“随堂练习”．
2．若方程3(2x－1)＝2－3x的解与关于x的方程6－2k＝2(x＋3)的解相同，则k的值为－．
3．一架飞机在两城之间航行，风速为24 km/h，顺风飞行要2小时50分，逆风飞行要3小时，求两城距离．
【答案】3.设无风时飞机的速度为x km/h，则可列方程为2(x＋24)＝3(x－24)，解得x＝840，所以两城的距离为3×(840－24)＝2448(km)
四、课堂小结
1．通过本节课的学习，你有什么收获？
2．如何去括号解一元一次方程？
五、课后作业
教材第138页习题5.2第3，4题．
本节课主要内容是解一元一次方程的重要步骤——去括号．在教学过程中，学生通过思考、讨论、练习，归纳出去括号解一元一次方程的步骤，体现了学生的主体地位，培养了学生的自主学习能力．课堂上，教师通过讲练结合，使学生熟悉去括号解一元一次方程的步骤及其注意事项．通过分析具体问题中的数量关系，使学生了解运用方程解决实际问题．
第4课时　解含分母的一元一次方程
1．会解含有分母的一元一次方程；
2．掌握解一元一次方程的基本步骤和方法，能根据方程的特点灵活地选择解法．
重点
解一元一次方程的基本步骤和方法．
难点
含有分母的一元一次方程的解法．
一、导入新课
问题1：什么是移项法则？什么是去括号法则？
学生举手回答，教师点评．
问题2：解方程：
(1)2(x＋15)＝x－10；
(2)4(x＋7)＝2(x－1).
学生独立完成，指名板演，集体订正．
二、探究新知
1．解含分母的一元一次方程
课件出示问题：一个数与它的三分之二、它的一半、它的七分之一加起来的和是33，求这个数．
教师：设这个数为x，怎样列出方程呢？
学生：x＋x＋x＋x＝33.
教师：如何解这个方程呢？解这个方程的关键是什么？依据是什么？
要求学生合作探究，并与同桌交流自己的解法是否正确．教师指名学生回答．
教师：根据等式的基本性质，在方程两边同乘各分母的最小公倍数42，即可将方程化为熟悉的类型．
教师边讲解板书：x＋x＋x＋x＝33.
去分母，得28x＋21x＋6x＋42x＝1386.
合并同类项得97x＝1386.
系数化为1得，x＝.
2．解一元一次方程的一般步骤
课件出示练习：例7解方程：(x＋14)＝(x＋20).
解法一：去括号，得x＋2＝x＋5.
移项、合并同类项，得－x＝3
方程的两边都除以－，得x＝－28.
解法二：去分母，得4(x＋14)＝7(x＋20).
去括号，得4x＋56＝7x＋140.
移项、合并同类项，得－3x＝84.
方程的两边都除以－3，得x＝－28.
学生独立完成，写出解题过程，教师点评并引导学生总结解一元一次方程的一般步骤：
(1)去分母(方程两边同乘各分母的最小公倍数)；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项；(5)系数化为1.
例8　(课件出示教材第144页例8)
要求学生用两种方法解答并写出解题过程，教师点评．
三、课堂练习
1．教材第139页“随堂练习”．
2．解方程：－2＝－.
【答案】2.x＝
四、课堂小结
1．通过本节课的学习，你有什么收获？
2．如何解含有分母的一元一次方程？
3．解一元一次方程的步骤有哪些？
五、课后作业
教材第145页习题5.2第5题．
本节课主要内容是解一元一次方程的重要步骤——去分母，及解一元一次方程．在教学过程中，学生通过思考、讨论、练习，归纳出去分母的依据和解一元一次方程的步骤，体现了学生的主体地位，培养了学生的自主学习能力．课堂上，通过讲练结合，使学生熟悉解一元一次方程的步骤及其注意事项．强调根据具体情况选择解一元一次方程的方法，培养学生具体问题具体分析的能力．
5．3　一元一次方程的应用
第1课时　图形的等积变形问题
1．通过分析图形问题中的等量关系，建立方程解决问题；
2．进一步了解一元一次方程在解决实际问题中的应用．
重点
列一元一次方程解简单的图形变化的实际问题．
难点
从复杂问题中寻找等量关系．
一、导入新课
1．课件出示两瓶矿泉水(容量一样，一瓶短而宽，另一瓶长而窄).
教师：哪瓶矿泉水多？为什么？
2．教师演示：先用一块橡皮泥捏出一个“瘦长”的圆柱体，然后再让这个“瘦长”的圆柱“变矮”，变成一个“又矮又胖”的圆柱．
教师：在刚才操作的过程中，圆柱由“高”变“低”，圆柱的底面直径变了没有？圆柱的高呢？在这个变化过程中，是否有不变的量？是什么没变？
学生思考后回答问题，教师点评．
二、探究新知
某饮料公司有一种底面直径和高分别为6.6 cm，12 cm的圆柱形易拉罐饮料．经市场调研决定对该产品外包装进行改造，计划将它的底面直径减少为6 cm.那么在容积不变的前提下，易拉罐的高度将变为多少厘米？
(1)这个问题中包含哪些量？它们之间有怎样的等量关系？
(2)设新包装的高度为x cm，你能借助下面的表格梳理问题中的信息吗？
有关量 旧包装 新包装
底面半径/cm 3.3 3
高/cm 12 x
容积/cm3 π×3.32×12 π×32×x
(3)根据等量关系，你能列出怎样的方程？
引导学生找出等量关系：旧包装的容积＝新包装的容积．
设新包装的高度为x cm.
根据等量关系，列出方程：
π×3.32×12＝π×32×x
解这个方程，得x＝14.52
因此，易拉罐的高度将变为14.52 cm.
归纳：列一元一次方程解应用题的步骤：1、审题，2、设未知数，3、列方程，4、解方程，5、作答．
课件出示实验题：
一个圆柱形玻璃杯中装满了水，把杯中的水倒入一个长方体形状的可盛水的盒子里(玻璃杯的容积大于长方体的容积)，当盒子装满水时，玻璃杯中的水下降了多少？
要求学生用玻璃杯按要求分组实验后，全班交流各组得到的结果及解决问题的方法、步骤，并派小组代表进行操作示范、讲解．
教师巡视课堂，指导、参与学生的实验．
例1　用一根长为10 m的铁丝围成一个长方形．
(1)如果该长方形的长比宽多1.4 m，那么此时长方形的长、宽各为多少米？
(2)如果该长方形的长比宽多0.8 m，那么此时长方形的长、宽各为多少米？此时的长方形与(1)中的长方形相比，面积有什么变化？
(3)如果该长方形的长与宽相等，即围成一个正方形，那么此时正方形的边长是多少米？正方形的面积与(2)中长方形的面积相比又有什么变化？
分析：本题涉及哪些量？它们之间有怎样的等量关系？你能分别用含未知数的式子表示它们的数量关系吗？让学生独立完成解答过程，然后教师点评．
在上面的问题中，所列方程的两边分别表示什么量？列方程的思路是什么？与同伴进行交流．
三、课堂练习
1．教材第149页“随堂练习”．
2．某居民楼顶有一个底面直径和高均为4 m的圆柱形储水箱．现该楼进行维修改造，为减少楼顶原有储水箱的占地面积，需要将它的底面直径由4 m减少为3.2 m．那么在容积不变的前提下，水箱的高度由原先的4 m变为多少米？
【答案】2.设水箱的高度由原先的4 m变为x m，由题意列方程为π×()2×4＝π×()2×x，解得x＝6.25.答：水箱的高度由原先的4 m变为6.25 m
四、课堂小结
1．通过本节课的学习，你有什么收获？
2．列一元一次方程解实际问题时，关键是什么？
五、课后作业
教材第154页习题5.3第1，4，5题．
本节课是一元一次方程的应用——易拉罐变形．在课堂上，让学生观察易拉罐由“矮”变“高”的变化过程，引导学生找出问题中的等量关系，列出方程，并解方程，使问题得到解决．通过学生自己动手操作实验、思考、计算、讨论，调动学生学习的积极性和主动性，充分体现“自主、合作、交流、探究”的新课程理念．观察、演示、分析问题中各个量之间的关系使学生初步体验把实际问题转化为数学问题的“化归”过程．
第2课时　盈余与不足问题
1．理解盈余与不足之间的数量关系；
2．会通过列表格解一元一次方程的有关问题．
重点
理解盈余与不足之间的数量关系．
难点
列表格解一元一次方程的有关问题．
一、导入新课
教师：列方程解决实际问题的关键是什么呢？
学生回答，教师点评．
教师：今天，我们学习一元一次方程的一个应用——盈余与不足问题．
二、探究新知
课件出示问题：
《九章算术》“盈不足”章第一题：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？
题目大意：几个人合伙买东西，若每人出8钱，则会多出3钱；若每人出7钱，则还少4钱．合伙人数、物品的价格分别是多少？
(1)问题中有哪些已知量和未知量？它们之间有怎样的等量关系？
(2)设人数为x，其他未知量能用含x的代数式表示吗？请完成下表．
有关量 每人出8钱 每人出7钱
人数 x x
出钱总数 8x 7x
物价 8x－3 7x＋4
　　(3)根据等量关系，你能列出怎样的方程？
设人数为x.
根据等量关系，列出方程：8x－3＝7x＋4
解这个方程，得x＝7
因此，人数为7人，物价为53钱．
如果设物价为y，你能列出怎样的方程？与同伴进行交流．
例2　《九章算术》“盈不足”章第五题：今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百．问人数、金价各几何？题目大意：几个人合伙买金，每人出400钱，会多出3400钱；每人出300钱，会多出100钱．合伙人数、金价各是多少？
分析：设人数为x，你能把下表补充完整吗？
有关量 每人出400钱 每人出300钱
人数 x x
出钱总数 400x 300x
金价 400x－3400 300x－100
　　解：设合伙人数为x，则金价可表示为400x－3400，还可表示为300x－100，根据等量关系，列出方程：
400x－3400＝300x－100.
解这个方程，得x＝33.
300×33－100＝9800.
因此，人数为33，金价为9800钱．
对于例2，如果设金价为y，能列出怎样的方程？
归纳：《九章算术》给出了一种算法：
人数＝两次剩余钱数之差∶两次每人所出钱数之差；
物价＝每人出的较多钱数×人数－剩余钱数，
物价＝每人出的较少钱数×人数＋不足的钱数．
教师：通过上面的讲解和练习，你能总结出列一元一次方程解决实际问题的步骤吗？
引导学生总结：①分析问题，找出等量关系式；②列出方程，求出方程的解；③验证方程的解是否合理．
三、课堂练习
1．教材第150页“随堂练习”．
四、课堂小结
1．通过本节课的学习，你有什么收获？
2．盈余与不足问题中如何找等量关系？
3．列一元一次方程解实际问题的步骤有哪些？
五、课后作业
教材第154页习题5.3第7题．
本节课是一元一次方程的应用——盈余与不足．在教学过程中，通过由具体实例中的数量关系分析、思考，形成方程的模型，初步培养学生利用方程的观点认识现实世界的意识和能力．通过分组学习，让学生学会在活动中与他人合作、交流，调动学生学习的积极性和主动性，体现了以人为本的现代教学理念．
第3课时　行程问题
1．通过画线段图分析追及问题中的数量关系，找出等量关系；
2．进一步培养学生分析问题、解决问题的能力；
3．学会用一元一次方程解决复杂的实际问题．
重点
找出追及问题中的等量关系，列出方程，解决实际问题．
难点
通过画线段图找等量关系．
一、导入新课
问题1：以前学习的行程问题中，路程、速度、时间三者间有什么关系？
问题2：若小明每秒跑4 m，那么他5 s能跑多少米？
问题3：小明用4 min绕学校操场跑了两圈(每圈400米)，那么他的速度为多少？
问题4：已知小明家距离火车站1500 m，他以4 m/s的速度骑车到达车站需要几分钟？
学生举手回答，教师点评．
二、探究新知
1．出示课件：教材第151页引例：
小明每天早上要在7：50之前赶到距家1000 m的学校上学．小明以80 m/min的速度出发，5 min后，小明的爸爸发现他忘了带语文书．于是，爸爸立即以180 m/min的速度去追小明，并且在途中追上了他．
(1)爸爸追上小明用了多长时间？
(2)追上小明时，距离学校还有多远？
引导学生根据题意画出线段图(设爸爸追上小明用了x min)：
引导学生从线段图中找出等量关系：小明所用时间＝5＋爸爸所用时间；小明走过的路程＝爸爸走过的路程．
教师：根据等量关系，如何解决这两个问题呢？
指名学生写出解题过程，教师点评．
解：(1)设爸爸追上小明用了x min.
根据题意，得180x＝80x＋80×5.
化简，得100x＝400.
x＝4.
因此，爸爸追上小明用了4 min.
(2)180×4＝720(m)，
1000－720＝280(m).
所以，追上小明时，距离学校还有280 m.
2．课件出示：育红学校七年级学生步行到郊外旅行．七(1)班的学生组成前队，步行速度为4 km/h，七(2)班的学生组成后队，速度为6 km/h.前队出发一小时后，后队才出发，同时后队派一名联络员骑自行车在两队之间不间断地来回进行联络，他骑车的速度为12 km/h.
教师：根据上面的事实提出问题并尝试去解答．
学生分小组讨论交流，教师点评．
问题1：后队用多长时间追上前队？
等量关系：前队所走的路程＝后队所走的路程．
设后队x小时可追上前队，则：
6x＝4×1＋4x.解得x＝2.
所以后队2 h可追上前队．
问题2：后队出发到追上前队时，联络员骑行了多少千米？
这个问题的解答与引例相同．联络员的骑行速度为12 km/h，后队追上前队的时间是2 h(问题1的答案)，所以联络员骑行的距离是：12×2＝24(km).
问题3：当联络员第一次追上前队再返回后队时，后队行进了多少千米？
解决这个问题分两步：
第一步，设联络员x小时后追上前队，则：
12x＝4×1＋4x.解得x＝.
所以联络员半小时后追上前队．
第二步，设y小时后联络员返回后队，则：
注意：图中x＝.
6y＋12y＋6×＝4×1＋4×.解得y＝.
所以 h后联络员返回后队．
当联络员第一次追上前队再返回后队时，后队行进的距离为：6(x＋y)＝6×(＋)＝4(km).
即当联络员第一次追上前队再返回后队时，后队行进了4 km.
课件出示例3：
小明和小华两人在400 m的环形跑道上练习长跑，小明每分钟跑260 m，小华每分钟跑300 m，两人起跑时站在跑道同一位置．
(1)如果小明起跑后1 min小华才开始跑，那么小华用多长时间能追上小明？
(2)如果小明起跑后1 min小华开始反向跑，那么小华起跑后多长时间两人首次相遇？
分析：本题涉及哪些量？你能画图说明小明和小华跑步的情形吗？在问题(1)和(2)中，两人所走的路程分别有什么关系？
解：(1)设小华用x min追上小明，根据等量关系，可列出方程
260＋260x＝300x.
解这个方程，得x＝6.5.
因此，小华用6.5 min追上小明．
(2)设小华起跑后x min两人首次相遇，根据等量关系，可列出方程
260x＋300x＝400－260.
解这个方程，得x＝0.25.
因此，小华起跑后0.25 min两人首次相遇．
用一元一次方程解决实际问题的一般步骤是什么？与同伴进行交流．
三、课堂练习
1．甲从A地以6 km/h的速度驶向B地，40 min后，乙从A地以8 km/h的速度追甲，结果在甲离B地还有5 km的地方追上甲，求A，B两地的距离．
2．A，B两地相距60 km，甲、乙两人分别同时从A，B两地骑自行车出发，相向而行．甲每小时比乙多行2 km，经过2 h相遇．问甲、乙两人的速度分别是多少？
【答案】1.设乙出发x小时后追上甲．根据题意得6(x＋)＝8x，解得x＝2，∴8x＝8×2＝16，16＋5＝21(km).答：A，B两地相距21 km　2.设乙的速度为y km，则甲的速度为(y＋2)km/h.由题意可得2(y＋y＋2)＝60.解得y＝14.则y＋2＝16.答：甲、乙的速度分别是16 km/h，14 km/h
四、课堂小结
1．通过本节课的学习，你有什么收获？
2．路程问题中有哪些数量关系？
五、课后作业
教材第155页第8题．
本节课是一元一次方程的应用——追及问题．在教学过程中，通过由具体实例的分析、思考与合作学习，让学生体会到生活中处处有数学．培养学生学习数学的兴趣，协助学生发展逻辑思维能力，并能应用数学解决日常生活中的实际问题．借助画线段图分析追及问题中的数量关系和等量关系，体会线段图解决问题的优越性．通过讲练结合，让学生更熟悉列方程解决实际问题的步骤，要求学生进一步明确必须检验方程的解是否符合题意，培养学生有始有终的习惯．
☆问题解决策略：直观分析
1．能借助图表和示意图直观分析问题，找到数量关系；
2．会列一元一次方程解决有关商品销售利润问题．
重点
理解售价、成本、利润、利润率之间的关系．
难点
列一元一次方程解决有关商品销售利润的问题．
一、导入新课
教师：列方程解决实际问题的关键是什么呢？
学生回答，教师点评．
教师：今天，我们学习一元一次方程的一个应用——打折销售．
二、探究新知
(一)利用示意图解决问题
1．提出问题
一家商店将某种服装按成本价提高40%后标价，又以八折优惠卖出，结果每件仍获利15元，这种服装每件的成本是多少元？
2．理解问题
(1)这个问题中涉及哪些量？哪些是已知量？哪些是未知量？
(2)你能用文字语言描述这个问题中所蕴含的等量关系吗？
(3)采用什么方式可以更清楚地展示这个问题中各个量之间的关系？
3．拟定计划
(1)想象一下商店从进货、标价到销售获利的过程，你能用示意图直观地表示这一过程吗？
(2)根据自己画的示意图，你能写出哪些等量关系？
(3)设这种服装每件的成本为x元，你能用含x的代数式表示其他量吗？根据自己写出的等量关系，你能列出怎样的方程？
4．实施计划
列出方程：(1＋40%)x·80%－x＝15.
解这个方程，得x＝125.
因此，这种服装每件的成本是125元．
课件出示问题：商店在某一时间以每件60元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利25%；另一件亏损25%，卖这两件衣服总的是盈利还是亏损，或是不盈不亏？
教师提示：如果进价大于售价就亏损，反之就盈利．
要求学生列出方程，写出解题过程．教师点评，并讲解：
本题中，设盈利25%的那件衣服的进价是x元，它的利润就是0.25x元，根据进价＋利润＝售价，列出方程x＋0.25x＝60.由此得x＝48.
类似地，可以设另一件衣服的进价为y元，它的利润是－0.25y元，列出方程y－0.25y＝60.由此得y＝80.
两件衣服的进价是x＋y＝128元，而两件衣服的售价是60＋60＝120元，进价大于售价，由此可知卖这两件衣服总共亏损8元．
教师：通过上面的讲解和练习，你能总结出列一元一次方程解决实际问题的步骤吗？
引导学生总结：①分析问题，找出等量关系式；②列出方程，求出方程的解；③验证方程的解是否合理．
(二)利用图表解决问题
某文艺团体为“希望工程”募捐组织了一场义演，共售出1000张票，筹得票款6950元．成人票与学生票各售出多少张？
教师：这道题中包含哪些等量关系？
学生1：售出的票包括成人票和学生票，因此有：成人票数＋学生票数＝1000张．①
学生2：所得的票款包括成人票款和学生票款，因此有：成人票款＋学生票款＝6950元．②
教师：设售出的学生票为x张，请同学们把下表补充完整．
学生 成人
票数/张
票款/元
　　引导学生根据表格列出方程5x＋8(1000－x)＝6950，解得x＝350，所以售出成人票650张，学生票350张．
教师：同学们还有其他的方法吗？
学生：设所得的学生票款为y元，则可得＋＝1000，解得y＝1750，所以售出学生票数为＝350，成人票数为650张．
教师：如果票价不变，那么售出1000张票所得票款可能是6930元吗？为什么？
学生小组内讨论，派代表回答，教师讲评．
课件出示练习：
某文艺团体为“希望工程”募捐义演，全价票为每张18元，学生享受半价．某场演出共售出966张票，收入15480元，这场演出共售出学生票多少张？
学生独立解答，教师巡视，对有疑问的学生予以帮助．指名学生汇报答案，教师点评．并引导学生总结运用方程解决实际问题的一般步骤：
(1)审题：分析题意，找出题中的数量及其关系；
(2)设元：选择一个适当的未知数用字母表示(如x)；
(3)列方程：根据等量关系列出方程；
(4)解方程：求出未知数的值；
(5)检验：检查求得的值是否正确和符合实际情况，并写出答案．
练习：某商店积压了100件某种商品，为使这批商品尽快卖完，该商店采取了如下销售方案，将价格提高到原来的2.5倍，再做3次降价处理：第1次降价30%，第2次又降价30%，第3次再降价30%，3次降价销售的结果如下表所示：
降价次数 1 2 3
销售件数 10 40 一抢而光
　　(1)求第3次降价占原价的百分比．
(2)该商品按新销售方法销售，相比原价全部卖完，哪一种方案更盈利？
三、课堂练习
某服装店以135元的价格卖出两件衣服，按成本计算，第一件盈利25%，第二件亏损25%，则该商店卖出这两件衣服总体上是赚了，还是亏了？这两件衣服的成本价会一样吗？算一算．
【答案】设第一件衣服进价为x元，依题意得x(1＋25%)＝135，解得x＝108；设第二次衣服进价为y元，依题意得y(1－25%)＝135，解得x＝180，135×2－108－180＝－18(元).∴该商店卖出这两件衣服总体上亏了，这两件衣服的成本价不一样
四、课堂小结
1．通过本节课的学习，你有什么收获？
2．列一元一次方程解实际问题的步骤有哪些？
五、课后作业
教材第157页习题5.4第1～4题．
本节课在列一元一次方程解应用题的教学过程中，借助示意图和表格分析复杂问题中的数量关系和等量关系，从而建立方程解决实际问题．在所举的例子中，用到了两种设未知数的方法，让同学们体会到可根据题目的特点，灵活选用设元方法．

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