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第22章二次函数小结与复习
一、教学目标
1.通过复习二次函数的图象和性质，运用二次函数解决实际问题等内容，梳理本章知识，形成有关二次函数的知识体系.
2.通过回顾探究二次函数的图象和性质的过程，再次体会类比归纳和数形结合的数学思想，形成分析和解决函数问题的一些基本方法.
3.通过利用二次函数解决实际问题，再次体会建模思想，增强应用意识.
二、教学重点、难点
重点：复习二次函数的定义、图象和性质.
难点：用二次函数解决实际问题.
三、教学过程
知识梳理
一、二次函数的概念
一般地，形如y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数.
注意：(1)等号右边必须是整式；(2)自变量的最高次数是2；(3)当b=0，c=0时，y=ax2是特殊的二次函数.
二、二次函数的图象与性质
三、二次函数图象的平移
四、二次函数表达式的求法
五、二次函数与一元二次方程的关系
(1)如果抛物线y=ax2+bx+c与x轴有公共点，公共点的横坐标是x0，那么当x=x0时，函数的值是0，因此x=x0就是方程ax2+bx+c=0的一个根.
(2)二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点.这对应着一元二次方程ax2+bx+c=0的根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不等的实数根．
六、二次函数的应用
1.二次函数的应用包括以下两个方面：
(1)用二次函数表示实际问题变量之间的关系，解决最大(小)化问题(即最值问题)；
(2)利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.
2.一般步骤：
(1)找出问题中的变量和常量以及它们之间的函数关系；
(2)列出函数关系式，并确定自变量的取值范围；
(3)利用二次函数的图象及性质解决实际问题；
(4)检验结果的合理性，是否符合实际意义.
考点讲练
考点一 二次函数的概念、图象和性质
例1 已知y=(m+2)x|m|+2是关于x的二次函数，那么m的值为( )
A.-2 B.2 C.±2 D.0
针对训练
1.已知函数：①y=2x-1；②y=-2x2-1；③y=ax2+bx+c；④y=x2-x；⑤y=3x3-2x2，其中二次函数的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
例2 求抛物线y＝x2－2x＋3的顶点坐标.
解法一：配方，得y=x2-2x+3=(x-1)2+2，则顶点坐标为(1，2)
解法二：由顶点公式，得，
则顶点坐标为(1，2)
方法总结
解决此类题目可以先把二次函数y=ax2+bx+c配方为顶点式y=a(x-h)2+k的形式，得到：对称轴是直线x=h，最值为y=k，顶点坐标为(h，k)；也可以直接利用公式求解.
针对训练
2.对于y＝2(x＋3)2＋2的图象下列叙述正确的是( )
A.顶点坐标为(3，2) B.对称轴为直线x＝3
C.函数的最大值为2 D.函数的最小值为2
3.关于抛物线y=-x2+2x-3，下列说法正确的是( )
A.抛物线的开口方向向上 B.抛物线的对称轴是直线x=-1
C.抛物线顶点到x轴的距离是2 D.抛物线的最大值是-3
例3 二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象如图所示，点A(x1，y1)，B(x2，y2)在此函数图象上，且x1＜x2＜1，则y1与y2的大小关系是( )
A.y1≤y2 B.y1＜y2
C.y1≥y2 D.y1＞y2
针对训练
4.已知点(-1，y1)，(1.5，y2)，(2，y3)在函数y=ax2-2ax(a＞0)的图象上，则将y1、y2、y3按由大到小的顺序排列是( )
A.y1＞y3＞y2 B.y1＞y2＞y3 C.y2＞y1＞y3 D.y3＞y2＞y1
例4 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列结论：
①abc＞0；②2a－b＜0；③4a－2b＋c＜0；④(a＋c)2＜b2.
其中正确的个数是(　　)
A.1　　　B.2　　　C.3　　　D.4
方法总结
1.根据图象开口方向及与y轴交点位置来确定a、c符号.
2.根据对称轴的位置确定b的符号：b=0 对称轴是y轴；a、b同号 对称轴在y轴左侧；a、b异号 对称轴在y轴右侧. 这个规律可简记为“左同右异”.
3.当x=1时，函数y=a+b+c. 当图象上横坐标x=1的点在x轴上方时，a+b+c＞0；当图象上横坐标x=1的点在x轴上时，a+b+c=0；当图象上横坐标x=1的点在x轴下方时，a+b+c＜0.同理，可由图象上横坐标x=-1的点判断a-b+c的符号.
针对训练
5.一次函数y=acx+b与二次函数y=ax2+bx+c在同一平面直角坐标系中的图象可能是( )
例5 将抛物线y＝x2－6x＋5向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到的抛物线解析式是( )
A.y＝(x－4)2－6 B.y＝(x－4)2－2 C.y＝(x－2)2－2 D.y＝(x－1)2－3
针对训练
6.若将抛物线y＝－7(x＋4)2－1通过平移得到y＝－7x2，则下列平移方法正确的是( )
A.先向左平移4个单位，再向下平移1个单位
B.先向右平移4个单位，再向上平移1个单位
C.先向左平移4个单位，再向上平移1个单位
D.先向右平移4个单位，再向下平移1个单位
例6 已知关于x的二次函数，当x＝－1时，函数值为10，当x＝1时，函数值为4，当x＝2时，函数值为7，求这个二次函数的解析式.
解：设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，由题意得：
，解这个方程组得
∴ 这个二次函数的解析式为y=2x2-3x+5.
针对训练
7.已知关于x的二次函数，当x=-2或4时，y=-16，且函数的最大值为2.求二次函数的解析式.
解：∵ 当x=-2或4时，y=-16，且函数的最大值为2
∴ 对称轴为直线
∴ 顶点为(1，2)
设二次函数解析式为y=a(x-1)2+2
把(-2，-16)代入得-16=9a+2，解得a=-2
∴ 二次函数的解析式为y=-2(x-1)2+2
考点二 二次函数与一元二次方程
例7若拋物线y=ax2+bx+c(a＞0)经过第四象限的点(1，-1)则关于x的方程ax2+bx+c=0的根的情况是( )
A.有两个大于1的不相等实数根 B.有两个小于1的不相等实数根
C.有一个实数根大于1，另一个实数根小于1 D.没有实数根针对训练
8.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则方程ax2+bx+c-2=0的根的情况是( )
A.有两个相等的实数根
B.有两个不相等的实数根
C.没有实数根
D.无法确定
考点三 二次函数的应用
例8 某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量y(件)与销售单价x(元)符合一次函数y＝kx＋b，且x＝65时，y＝55；x＝75时，y＝45.
(1)求一次函数的表达式；
(2)若该商场获得利润为w元，试写出利润w与销售单价x之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？
解：(1)根据题意，得，解得
故所求一次函数的表达式为y=-x+120.
(2)w=(x-60)(-x+120)=-x2+180x-7200，配方得w=-(x-90)2+900
∵ 抛物线的开口向下
∴ 当x＜90时，w随x的增大而增大
∵ 60≤x≤60×(1+45%)，即60≤x≤87
∴ 当x=87时，w有最大值，此时w=-(87-90)2+900=891
故销售单价定为87元时，商场可获得最大利润891元.
针对训练
9.一家电脑公司推出一款新型电脑，投放市场以来3个月的利润情况如图所示，该图可以近似看作为抛物线的一部分，请结合图象，解答以下问题：
(1)求该抛物线对应的二次函数解析式；
(2)该公司在经营此款电脑过程中，第几月的利润最大？最大利润是多少？
(3)若照此经营下去，请你结合所学的知识，对公司在此款电脑的经营状况(是否亏损？何时亏损？)作预测分析.
解：(1)因图象过原点，则设函数解析式为y=ax2+bx，
由图象的点的含义，得，解得
故所求一次函数的表达式为y=-x2+14x
(2)y=-x2+14x=-(x-7)2+49
∴ 当x=7时，y最大=49
故第7个月时，利润最大为49万元.
(3)没有利润，即-x2+14x=0解得x1=0(舍去)或x2=14
而这时利润为滑坡状态，所以第15个月，公司亏损.
例9 如图，梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC＝90°，∠A＝45°，AB＝30，BC＝x，其中
15＜x＜30.作DE⊥AB于点E，将△ADE沿直线DE折叠，点A落在F处，DF交BC于点G.
(1)用含有x的代数式表示BF的长；
(2)设四边形DEBG的面积为S，求S与x的函数关系式；
(3)当x为何值时，S有最大值？并求出这个最大值.
解：(1)由题意，得EF=AE=DE=BC=x，AB=30
∴ BF=2x-30
(2)∵ ∠F=∠A=45°，∠CBF=∠ABC=90°
∴ ∠BGF=∠F=45°，BG=BF=2x-30
∴ S=S△DEF-S△GBF=DE2-BF2=x2-(2x-30)2=-x2+60x-450
(3)∴ S=-x2+60x-450=-(x-20)2+150
∵ a=-＜0，15＜20＜30
∴ 当x=20时，S有最大值，最大值为150.
针对训练
10.某社区决定建一块长50m，宽30m的矩形广场，如图，阴影区域为绿化区(四块绿化区为大小、形状都相同的矩形)，空白区域为活动区，且四周的4个出口宽度相同，其宽度不小于14m、不大于26m.设绿化区较长边为x m，活动区的面积为y m2.为了知道出口宽度的取值范围，小明同学根据出口宽度不小于14m，算出x≤18.
(1)求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
(2)求活动区的最大面积；
(3)预计活动区造价为50元/m2，绿化区造价为40元/m2，
求社区的此项建造投资费用最少时活动区的出口宽度.
解：(1)根据题意，绿化区的宽为=(x-10)m
∴ y=50×30-4x(x-10)=-4x2+40x+1500
∵ 4个出口宽度相同，其宽度不小于14m、不大于26m
∴ 14≤50-2x≤26，解得12≤x≤18
∴ y=-4x2+40x+1500 (12≤x≤18)
(2)y=-4x2+40x+1500=-4(x-5)2+1600
∵ a=-4＜0，抛物线的开口向下，当12≤x≤18时，y随x的增大而减小.
∴ 当x=12时，y最大=1404
答：活动区的最大面积为1404m2
(3)设投资费用为w元，由题意得w=50(-4x2+40x+1500)+40×4x(x-10)=-40(x-5)2+76000
∵ 12≤x≤18
∴ 当x=18时，投资费用最少，此时出口宽度为50-2x=14(m)
答：投资费用最少时活动区的出口宽度为14m

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