资源简介

4．5　角的比较与补(余)角
1．会用度量法与叠合法比较角的大小．
2．掌握角平分线的概念，并进行相关计算．
3．掌握补角、余角的概念，并进行简单的计算与推理．
4．会用尺规作图的方法作一个角等于已知角．
重点：掌握角平分线、补角、余角的概念．
难点：利用角平分线、补角、余角进行计算与推导；用尺规作图的方法作一个角等于已知角．
一、情境导入
有一天聪聪和明明各带了一把折扇(状态如下).
下面是他们的一段对话：
聪聪：“我的折扇张开大一些，所以我的折扇的角也大一些．”明明：“我的折扇长一些，所以我的折扇的角也大一些．”
同学们有办法帮他们进行判断吗？
二、合作探究
探究点一：角的大小比较
如图，射线OC，OD分别在∠AOB的内部，外部，下列各式错误的是(　　)
A．∠AOB<∠AOD B．∠BOC<∠AOB
C．∠COD<∠AOD D．∠AOB<∠AOC
解析：A.∠AOB与∠AOD的边OA重合，OB在∠AOD内，所以∠AOB<∠AOD，A正确；同理B、C正确；D.∠AOB和∠AOC的边AO重合，OC在∠AOB内，所以∠AOB>∠AOC，D错误．故选D.
方法总结：此题主要考查了角的大小比较，解题的关键是掌握角比较大小的方法．
探究点二：角的平分线及有关角度的计算
【类型一】 利用角平分线进行角度的计算
如图，∠AOB＝120°，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC.
(1)求∠EOD的度数；
(2)若∠BOC＝90°，求∠AOE的度数．
解析：(1)根据OD平分∠BOC，OE平分∠AOC可知∠DOE＝∠DOC＋∠EOC＝(∠BOC＋∠AOC)＝∠AOB，由此即可得出结论；(2)先根据∠BOC＝90°求出∠AOC的度数，再根据角平分线的定义即可得出结论．
解：(1)∵∠AOB＝120°，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，∴∠EOD＝∠DOC＋∠EOC＝(∠BOC＋∠AOC)＝∠AOB＝×120°＝60°；
(2)∵∠AOB＝120°，∠BOC＝90°，∴∠AOC＝120°－90°＝30°，∵OE平分∠AOC，∴∠AOE＝∠AOC＝×30°＝15°.
方法总结：能够根据图形正确找到角之间的和差关系，理解角平分线的概念是解题的关键．
【类型二】 利用三角板叠合进行角度的计算
如图，将一副三角板折叠放在一起，使直角的顶点重合于点O，则∠AOC＋∠DOB＝(　　)
A．120° B．180° C．150° D．135°
解析：由图可得∠AOC＋∠DOB＝∠AOB＋∠COD＝90°＋90°＝180°.故选B.
方法总结：此题主要考查学生对角的计算的理解和掌握，解答此题的关键是让学生通过观察图示，发现几个角之间的关系．
探究点三：余角和补角
如图，∠AOC与∠BOC互为补角，∠BOC与∠BOD互为余角，且∠BOC＝4∠BOD.
(1)求∠BOC的度数；
(2)若OE平分∠AOC，求∠BOE的度数．
解析：(1)根据余角的性质可得∠BOC＋∠BOD＝90°.由已知条件∠BOC＝4∠BOD，可得∠BOC＝×90°，计算即可得出答案．
(2)根据题意得∠AOC与∠BOC互为补角，可得∠AOC＋∠BOC＝180°，即可算出∠AOC＝180°－∠BOC.由角平分线的定义，可得∠COE＝∠AOC，根据∠BOE＝∠COE＋∠BOC代入计算，即可得出答案．
解：(1)∵∠BOC与∠BOD互为余角，∴∠BOC＋∠BOD＝90°.
∵∠BOC＝4∠BOD，∴∠BOC＝×90°＝72°.
(2)∵∠AOC与∠BOC互为补角，∴∠AOC＋∠BOC＝180°.
∴∠AOC＝180°－∠BOC＝180°－72°＝108°.
∵OE平分∠AOC，∴∠COE＝∠AOC＝×108°＝54°.
∴∠BOE＝∠COE＋∠BOC＝54°＋72°＝126°.
方法总结：本题考查了余角与补角及角平分线的相关知识，利用了补角的性质，角的和差，角平分线的性质进行计算，解决问题一定要结合图形认真分析，做到数形结合．
探究点四：作一个角等于已知角
【类型一】 作一个角等于已知角
尺规作图(不要求写出作法，但要保留作图痕迹).
已知：∠α，求作：∠MON＝∠α；
解析：利用作一个角等于已知角的作法得出即可．
解：如图所示．
方法总结：此题主要考查了基本作图，掌握作一个角等于已知角的方法是解题关键．
【类型二】 根据和差关系作角
已知∠α，∠AOB＝90°，求作∠AOC，使其等于∠α的余角．
解析：以OB为一边作∠BOC＝∠α，则∠AOC就是所求．
解：如图所示，∠AOC就是所求的角．
方法总结：本题考查了基本作图，作一个角等于已知角，以及余角的定义，解题时要灵活运用．
三、板书设计
1．角的比较方法：(1)度量法；(2)叠合法．
2．角的计算：(1)角平分线；(2)角的折叠．
3．尺规作图：作一个角等于已知角．
本节课的教学内容是角的大小比较、角的和差关系、角平分线及余角和补角；学习角的大小比较时可以类比于线段的比较的学习方法；教学时利用多媒体软件，演示角的有关问题，增加教学趣味性，能够充分调动学生的学习兴趣．

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