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二次函数
【知识梳理】
1.
定义 形如（a，b，c是常数，a≠0）的函数
开口 方向 a＞0，开口向上 a＜0，开口向下
对称轴 1.直接运用公式x＝ ； 2.（其中x1，x2为关于对称轴对称的两点的横坐标）
顶点 坐标 1.直接运用顶点坐标公式（ ， ）求解； 2.运用配方法将一般式化为顶点式，则顶点坐标为（h，k） 3.将对称轴x＝x0代入函数解析式求得对应y0
增减性 a＞0时，在对称轴左侧（时），y随x的增大而 ；在对称轴右侧（时），y随x的增大而 . a＜0时，在对称轴左侧（时），y随x的增大而 ；在对称轴右侧（时），y随x的增大而 .
最 值 a＞0时，y有最小值； 当时，y取最小值为 . a＜0时，y有最大值； 当时，y取最大值为 .
与坐标轴交点 与x轴交点：令y＝0 与y轴交点：令x＝0
2.二次函数的解析式：
已知条件 解析式选择 表达式
抛物线上三点 一般式
顶点、对称轴或最大(小)值 顶点式
抛物线与x轴的两个交点 交点式
3．图象的平移与翻折：
（1）二次函数的平移问题要通过配方转化为__________________。
（2）平移的规律：________________________________。
（3）二次函数图象的平移与翻折分析步骤：① ；② 。
4. 二次函数与方程、不等式的关系：（图象法）
（1）方程的根，即为函数________________与x轴交点的横坐标。
（2）不等式的解，即为函数，当______时，自变量x的取值范围（通过图象观察抛物线在x轴上方的图象）。
（3）两个函数图象的交点问题可转化为方程解的问题。
5. 二次函数的图象特征与a，b，c及b2－4ac的符号的关系：
字母 项目 字母的符号 图象的特征
a a ＞ 0
a ＜ 0
b a与b同号
b＝0
a与b异号
c c ＞ 0
c ＝0
c ＜ 0
b2－4ac b2－4ac ＞ 0
b2－4ac ＝ 0
b2－4ac ＜ 0
5、二次函数解题方法及经验
（1）求二次函数的最值要注意自变量是否有范围，若自变量有范围，画图象比较直观；
（2）在实际问题或几何问题中求最大（或最小）时往往转化为二次函数的最值问题；
（3）二次函数，当b2－4ac > 0时，图象在x轴上截的线段长为________；
（4）分类思想、方程思想、临界分析法、相似三角形等知识方法的综合应用。
【例题学习】
例1．已知抛物线图象经过点（1，2），（－1，－2），（2，7）三点，求这个二次函数的表达式.
例2．已知抛物线（b，c为常数）
（1）已知抛物线经过点（－2，6），（1，－3），求抛物线的解析式；
（2）已知抛物线的顶点坐标为（1，3），求抛物线的解析式；
（3）已知抛物线与x轴的两个交点分别为（－2，0），（1，0），求抛物线的解析式；
（4）已知抛物线与y轴交于点（0，－6），对称轴为直线，求抛物线的解析式；
例1、已知：在面积为7的梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，BC=4，P为边AD上不与A、D重合的一动点，Q是边BC上的任意一点，连接AQ、DQ，过P作PE∥DQ交AQ于E，作PF∥AQ交DQ于F，求△PEF面积的最大值。
例2、某电商销售一款夏季时装，进价40元/件，售价110元/件，每天销售20件，每销售一件需缴纳电商平台推广费用a元（a＞0）．未来30天，这款时装将开展“每天降价1元”的夏令促销活动，即从第1天起每天的单价均比前一天降1元．通过市场调研发现，该时装单价每降1元，每天销量增加4件．在这30天内，要使每天缴纳电商平台推广费用后的利润随天数t（t为正整数）的增大而增大，a的取值范围应为　 　．
例3、如图，抛物线经过A（1，0）、B（4，0）、C（0，﹣4）三点，点D是直线BC上方的抛物线上的一个动点，连接DC、DB，则△BCD的面积的最大值是　 　．
例4、已知抛物线y＝ax2+bx+c过点A（﹣1，2），B（﹣2，3）两点，且不经过第一象限，若S＝a+b﹣c，则S的取值范围是（　　）
A．S≤﹣3 B．S＜2 C．S≤2 D．S＜﹣3
例5、如图，抛物线y＝ax2+bx﹣5（a≠0）与x轴交于点A（﹣5，0）和点B（3，0），与y轴交于点C．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若点E为x轴下方抛物线上的一动点，当S△ABE＝S△ABC时，求点E的坐标；
（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P，使∠BAP＝∠CAE？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．

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