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人教版八年级数学上名师点拨精练
第11章 三角形
微专题二 三角形中的几何模型探究
模型一、双角平分线模型
1.两内角角平分线模型
如图，在△ABC中，点P为△ABC的内角平分线BP与CP的交点，
则：∠BPC＝90°+∠A；
【证明】在△ABC中∵∠PBC+∠BCP+∠BPC＝180°，
∵BP、CP是角平分线，
∴∠ABC＝2∠PBC，∠ACB＝2∠BCP，
∵∠ABC+∠ACB+∠A＝180°，
∴∠BPC＝90°+∠A；
例1-1.如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线BE，CF相交于点G，若∠A=66°，则∠BGC的度数为 ．
针对练习1
1.如图，已知△ABC，点D，F分别在边AB，AC上运动，点E为平面上的一个动点．当∠DEF＝∠A且点E恰在∠ABC与∠ACB的角平分线的交点处，若∠1+∠2＝140°，则∠BEC为（　　）
A．120° B．125° C．130° D．135°
2 .如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE，BF分别是∠BAC和∠ABC的角平分线，它们相交于点O，∠AOB．求∠CAD的度数．

如图，AD，CE都是△ABC的角平分线，且交于点O，∠DAC=30°，∠ECA=35°，则∠ABO的度数为 ．
2.两外角角平分线模型
在△ABC中，BI、CI分别是△ABC的外角的角平分线，且相交于点O. 则.
【证明】∵BO是∠EBC平分线，∴，∵CO是∠FCB平分线，∴
由△BCO中内角和定理可知：
∠O=180°-∠2-∠5=180°--=180°--===
例2-1 .【问题引入】（1）如图1，△ABC，点O是∠ABC和∠ACB相邻的外角平分线的交点，若∠A＝40°，请求出∠BOC的度数．
【深入探究】（2）如图2，在四边形ABCD中，点O是∠BAC和∠ACD的角平分线的交点，若∠B+∠D＝110°，请求出∠AOC的度数．
【类比猜想】（3）如图3，在△ABC中，∠CBO=∠DBC，∠BCO=∠ECB，∠A＝α，则∠BOC＝　 　（用α的代数式表示，直接写出结果，不需要写出解答过程）．
针对练习2
1 .如图，点F，C在射线AN上，点B，E在射线AM上，∠MEF与∠NFE的角平分线交于点G，∠MBC与∠NCB的角平分线交于点P．若∠G＝67°，那么∠P＝　 　°．
2 .如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，D是∠ACF与∠ABC平分线的交点，E是△ABC的两外角平分线的交点，若∠BOC=130°，则∠D的度数为 （ ）
A．25° B．30° C．40° D．50°
3 .（分类讨论思想） ABC的两外角平分线交于点F．

(1)如图1，若，则的度数为__________．
(2)如图2，过点F作直线MN||BC，分别交射线AB,AC于点M,N，若设∠MFB=α，∠NFC=β，则∠A与α+β的数量关系是__________．
(3)在（2）的条件下，将直线MN绕点F转动．
①如图3，当直线MN与线段BC没有交点时，试探索∠A与α，β之间的数量关系，并说明理由．
②当直线MN与线段BC有交点时，试问①中∠A与α，β之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请给出三者之间的数量关系．
3.一内一外角角平分线模型
已知△ABC中，BP、CP分别是△ABC的内角和外角的角平分线，且相交于点P. 则
【证明】 ∵BP是∠ABC平分线，∴ ∵CP是∠ACE平分线，∴
由△ABC外角定理可知：∠ACE=∠ABC+∠A即：2∠1=2∠3+∠A ……①
对①式两边同时除以2，得：∠1=∠3+ ……②又在△BPC中由外角定理可知：∠1=∠3+∠P ……③
比较②③式子可知：.
例3-1 .如图，点D为 ABC边BC的延长线上一点，若∠A:∠ABC=3:4，∠ACD=140°，∠ABC的角平分线与∠ACD的角平分线交于点M，则∠M 度．
针对练习3
1 ..如图，△ABC中，∠B内角平分线和∠C外角平分线交于一点A1，∠A1BC与∠A1CD的平分线交于A2，继续作∠A2BC与∠A2CD的平分线可得∠A3，如此下去可得∠A4…，∠An，当∠A＝64°时，∠A2的度数为　 　．
2 .如图，，、、分别平分、和．以下结论：①；②；③平分；④．其中正确的结论有 ．（填序号）
3.．直线MN与直线PQ垂直相交于O，点A在直线PQ上运动，点B在直线MN上运动．
（1）如图1，已知AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，点A、B在运动的过程中，∠AEB的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，试求出∠AEB的大小．
（2）如图2，已知AB不平行CD，AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，又DE、CE分别是∠ADC和∠BCD的角平分线，点A、B在运动的过程中，∠CED的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出其值．
（3）如图3，延长BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线及延长线相交于E、F，在△AEF中，如果有一个角是另一个角的3倍，直接写出∠ABO的度数=_____．
模型二、角平分线与高线模型
如图，在△ABC中，AD是△ABC的高，AE是△ABC的角平分线，
则∠DAE＝（∠C-∠B）
【证明】∵AE平分∠BAC，
∴∠EAC∠BAC，
∵AD是△ABC的BC边上的高，
∴∠ADC＝90°，
∵∠DAC＝90°﹣∠C，
∴∠DAE＝∠EAC﹣∠DAC＝∠BAC﹣（90°﹣∠C）＝ （∠C-∠B），
例4-1 .在△ABC中，AD是角平分线，∠B＜∠C，
（1）如图（1），AE是高，∠B＝50°，∠C＝70°，求∠DAE的度数；
（2）如图（2），点E在AD上．EF⊥BC于F，试探究∠DEF与∠B、∠C的大小关系，并证明你的结论；
（3）如图（3），点E在AD的延长线上．EF⊥BC于F，试探究∠DEF与∠B、∠C的关系
是　 　（直接写出结论，不需证明）．
针对练习4
1．如图，AD是△ABC的BC边上的高，AE平分∠BAC，若∠B=42°，∠C=70°，求∠BAE和∠DAE的度数．
2．如图①，AD平分∠BAC，AE⊥BC，∠B=38°，∠C=64°．
（1）求∠DAE的度数；
（2）如图②，若把“AE⊥BC”变成“点F在DA的延长线上，FE⊥BC”，∠B=α，∠C=β（α＜β），请用α、β的代数式表示∠DFE．
3.如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，G是AD上的一点，BG，CG分别平分∠ABC，∠ACB，GH⊥BC，垂足为H，求证：
（1）∠BGC＝90°+∠BAC；
（2）∠1＝∠2．
模型三、双垂直模型
已知∠B=∠D=∠ACE=90°.则∠BAC=∠DCE，∠ACB=∠CED.
【证明】∵∠B=∠D=∠ACE=90°；∴∠BAC+∠ACB=90°；又∠ECD+∠ACB=90°；∴∠BAC=∠DCE
同理,∠ACB+∠DCE =90°，且∠CED+∠DCE =90°；∴∠ACB=∠CED，得证.
请把下面的证明过程补充完整
例5-1 .如图，在△ABC中，∠ACB=90°,AE是角平分线，CD是高，AE、CD相交于点F，求证：CF=CE．
证明： 平分（已知），
（ ① ），
（已知），
（ ② ），
是的高（已知），
（三角形高的定义），
（ ③ ），（直角三角形的两个锐角互余），
（ ④ ），
（ ⑤ ），
（ ⑥ ），
（ ⑦ ）．
针对练习5
1．如图，Rt△ABC和Rt△ADE中，∠D=∠C=90°，∠B=30°，点E在线段BC上，DE交AC于点F，若DE∥AB，则∠DAF的度数为（　　）
A. 15° B. 20° C. 22.5° D. 30°
2 .在Rt ABC中，∠CAB=90°，AB=AC，点O是BC的中点，点P是射线CB上的一个动点(点P不与点C、O、B重合)，过点C作CE⊥AE于点E，过点B作BF⊥AP于点F，连接EO，OF．

(问题探究)
如图1，当P点在线段CO上运动时，延长EO交BF于点G．
（1）求证：；
（2）BG与AF的数量关系为：　　(直接写结论，不需说明理由)；△ABC△ABC
(拓展延伸)
（3）①如图2，当P点在线段OB上运动，EO的延长线与BF的延长线交于点G，∠OFE的大小是否变化？若不变，求出∠OFE的度数；若变化，请说明理由；
②当P点在射线OB上运动时，若AE=2，CE=6，直接写出 OEF的面积，不需证明．
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第11章 三角形
微专题二 三角形中的几何模型探究
模型一、双角平分线模型
1.两内角角平分线模型
如图，在△ABC中，点P为△ABC的内角平分线BP与CP的交点，
则：∠BPC＝90°+∠A；
【证明】在△ABC中∵∠PBC+∠BCP+∠BPC＝180°，
∵BP、CP是角平分线，
∴∠ABC＝2∠PBC，∠ACB＝2∠BCP，
∵∠ABC+∠ACB+∠A＝180°，
∴∠BPC＝90°+∠A；
例1-1.如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线BE，CF相交于点G，若∠A=66°，则∠BGC的度数为 ．
【答案】/123度
【分析】本题考查角平分线和三角形内角和定理，熟练利用角平分线的性质和三角形内角和定理找出题目中角的等量关系是解答本题的关键．由角平分线的性质可知，，再由三角形内角和定理可知，即可求解．
【详解】 ，
，
和分别是和的平分线，
，，
，
故答案为：．
针对练习1
1.如图，已知△ABC，点D，F分别在边AB，AC上运动，点E为平面上的一个动点．当∠DEF＝∠A且点E恰在∠ABC与∠ACB的角平分线的交点处，若∠1+∠2＝140°，则∠BEC为（　　）
A．120° B．125° C．130° D．135°
【分析】连接AE，根据三角形的外角性质得到∠DEF+∠A＝140°，根据题意求出∠A＝70°，根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算，得到答案．
【解答】解：连接AE，
则∠1＝∠DAE+∠DEA，∠2＝∠FAE+∠FEA，
∵∠1+∠2＝140°，
∴∠DAE+∠DEA+∠FAE+∠FEA＝140°，
∴∠DEF+∠A＝140°，
∵∠DEF＝∠A，
∴∠DEF＝∠A＝70°，
∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACB，
∴∠EBC∠ABC，∠ECB∠ACB，
∴∠BEC＝180°﹣（∠EBC+∠ECB）
＝180°（∠ABC+∠ACB）
＝180°（180°﹣∠A）
＝180°（180°﹣70°）
＝125°．
故选：B．
【点评】本题考查的是三角形的外角性质、三角形内角和定理、角平分线的定义，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
2 .如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE，BF分别是∠BAC和∠ABC的角平分线，它们相交于点O，∠AOB．求∠CAD的度数．

【答案】．
【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形的内角和定理，以及余角的性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确求出，从而求出答案．
根据角平分线的性质，由，得到，然后得到，由余角的性质，即可求出答案．
【详解】解：，分别是和的角平分线，
，．
，
，
．
是边上的高
，
．
3.如图，AD，CE都是△ABC的角平分线，且交于点O，∠DAC=30°，∠ECA=35°，则∠ABO的度数为 ．
【答案】/25度
【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线，利用角平分线的定义结合三角形内角和定理找出的度数是解题的关键．根据角平分线的定义可得出、，结合三角形内角和可得出，由三角形的三条角平分线交于一点，可得出平分，进而可得出的度数，此题得解．
【详解】解：平分，平分，，，
，，
．
的三条角平分线交于一点，
平分，
．
故答案为：．
2.两外角角平分线模型
在△ABC中，BI、CI分别是△ABC的外角的角平分线，且相交于点O. 则.
【证明】∵BO是∠EBC平分线，∴，∵CO是∠FCB平分线，∴
由△BCO中内角和定理可知：
∠O=180°-∠2-∠5=180°--=180°--===
例2-1 .【问题引入】（1）如图1，△ABC，点O是∠ABC和∠ACB相邻的外角平分线的交点，若∠A＝40°，请求出∠BOC的度数．
【深入探究】（2）如图2，在四边形ABCD中，点O是∠BAC和∠ACD的角平分线的交点，若∠B+∠D＝110°，请求出∠AOC的度数．
【类比猜想】（3）如图3，在△ABC中，∠CBO=∠DBC，∠BCO=∠ECB，∠A＝α，则∠BOC＝　 　（用α的代数式表示，直接写出结果，不需要写出解答过程）
【分析】（1）由三角形内角和定理可求得∠ABC+∠ACB，再利用邻补角可求得∠DBC+∠ECB，根据角平分线的定义可求得∠OBC+∠OCB，在△BOC中利用三角形内角和定理可求得∠BOC；
（2）根据三角形内角和等于180°，四边形内角和等于360°，结合角平分线的定义即可得到∠AOC与∠B+∠D之间的关系；
（3）如图3，根据三角形的内角和等于180°列式整理即可得∠BOC＝120°α；
【解答】解：（1）∵∠A＝40°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝140°，
∴∠DBC+∠ECB＝180°﹣∠ABC+180°﹣∠ACB＝360°﹣（∠ABC+∠ACB）＝360°﹣140°＝220°，
∵BO、CO分别平分∠DBC和∠ECB，
∴∠OBC+∠OCB（∠DBC+∠ECB）220°＝110°，
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣110°＝70°；
（2）∵点O是∠BAC和∠ACD的角平分线的交点，
∴∠OAC∠CAB，∠OCA∠ACD，
∴∠AOC＝180°﹣（∠OAC+∠OCA）
＝180°（∠CAB+∠ACD）
＝180°（360°﹣∠B﹣∠D）
（∠B+∠D），
∵∠B+∠D＝110°，
∴∠AOC（∠B+∠D）＝55°；
（3）如图③，在△OBC中，∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）
＝180°（∠DBC+∠ECB）
＝180°（∠A+∠ACB+∠A+ABC）
＝180°（∠A+180°）
＝120°α；
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，整体思想的利用是解题的关键
针对练习2
1 .如图，点F，C在射线AN上，点B，E在射线AM上，∠MEF与∠NFE的角平分线交于点G，∠MBC与∠NCB的角平分线交于点P．若∠G＝67°，那么∠P＝　 　°．
【答案】见解析
【详解】∵∠MEF与∠NFE的角平分线交于点G，
∴∠G＝180°﹣（∠NCB∠MBC）
＝180°﹣[（180°﹣∠ACB）（180°﹣∠ABC）]
＝180°[180°+180°﹣（∠ACB+∠ABC）]
＝180°（180°+∠A）
＝90°﹣∠A
＝67°，
∵∠MBC与∠NCB的角平分线交于点P，
∴∠P＝180°﹣（∠NFE∠MEF）
＝180°﹣[（180°﹣∠AFE）（180°﹣∠AEF）]
＝180°[180°+180°﹣（∠AEF+∠AFE）]
＝180°（180°+∠A）
＝90°﹣∠A
＝67°，
故答案为：67°．
2 .如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，D是∠ACF与∠ABC平分线的交点，E是△ABC的两外角平分线的交点，若∠BOC=130°，则∠D的度数为 （ ）
A．25° B．30° C．40° D．50°
【答案】C
【分析】根据角平分线的定义和平角定义可得∠OCD＝∠ACO＋∠ACD＝90°，根据外角的性质可得，继而即可求解．
【详解】解：∵平分，平分的外角，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选择C．
【点睛】本题考查角平分线的定义，平角定义，三角形的外角性质，解题的关键是根据角平分线定义和平角定义可得∠OCD＝90°，根据外角的性质求得．
3 .（分类讨论思想） ABC的两外角平分线交于点F．

(1)如图1，若，则的度数为__________．
(2)如图2，过点F作直线MN||BC，分别交射线AB,AC于点M,N，若设∠MFB=α，∠NFC=β，则∠A与α+β的数量关系是__________．
(3)在（2）的条件下，将直线MN绕点F转动．
①如图3，当直线MN与线段BC没有交点时，试探索∠A与α，β之间的数量关系，并说明理由．
②当直线MN与线段BC有交点时，试问①中∠A与α，β之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请给出三者之间的数量关系．
【答案】(1)
(2)
(3)①，见解析；②不成立，或
【分析】（1）由三角形内角和定理可得，从而可得，再由角平分线的定义可得，最后由三角形内角和定理可得，进行计算即可；
（2）由（1）可得由（1）可得，再由代入进行计算即可；
（3）①根据（1）中的结论，以及平角的定义，即可得到答案；②分两种情况进行讨论：根据（1）中的结论，以及平角的定义，即可得到答案．
【详解】（1）解：，
，
，，
，
和分别是和的平分线，
，，
，
，
，
，
故答案为：；
（2）解：，
由（1）可得，
，
，
即．
（3）解：①当直线与线段没有交点时，，
理由如下：
∵，，
∴，
即；
②当直线与线段有交点时，①中与，之间的数量关系不成立，需分两种情况讨论：
a．如图1，当在线段上，在射线上时，，
，
∵，，
∴，
即，
b．如图2，当在射线上，在线段上时，，
，
∵，，
∴，
即．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义、平角的定义等知识，熟练掌握以上知识点，采用分类讨论的思想解题，是解此题的关键．
3.一内一外角角平分线模型
已知△ABC中，BP、CP分别是△ABC的内角和外角的角平分线，且相交于点P. 则
【证明】 ∵BP是∠ABC平分线，∴ ∵CP是∠ACE平分线，∴
由△ABC外角定理可知：∠ACE=∠ABC+∠A即：2∠1=2∠3+∠A ……①
对①式两边同时除以2，得：∠1=∠3+ ……②又在△BPC中由外角定理可知：∠1=∠3+∠P ……③
比较②③式子可知：.
例3-1 .如图，点D为 ABC边BC的延长线上一点，若∠A:∠ABC=3:4，∠ACD=140°，∠ABC的角平分线与∠ACD的角平分线交于点M，则∠M 度．
【答案】30
【分析】本题考查了三角形的外角定理，与角平分线有关的计算．解题的关键是掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，以及角平分线的定义．
先根据，，求出，进而得出，最后根据三角形的外角定理即可解答．
【详解】解：∵，
∴
∵，
∴，
∵平分，平分，
∴，
∴，
故答案为：30．
针对练习3
1 ..如图，△ABC中，∠B内角平分线和∠C外角平分线交于一点A1，∠A1BC与∠A1CD的平分线交于A2，继续作∠A2BC与∠A2CD的平分线可得∠A3，如此下去可得∠A4…，∠An，当∠A＝64°时，∠A2的度数为　 　．
【分析】依据∠B内角平分线和∠C外角平分线交于一点A1，即可得到∠A1BC∠ABC，∠A1CD∠ACD，再根据∠A1CD是△A1BC的外角，即可得到∠A1＝∠A1CD﹣∠A1BC（∠ACD﹣∠ABC）∠A，同理可得∠A2∠A1．
【解答】解：∵△ABC中，∠B内角平分线和∠C外角平分线交于一点A1，
∴∠A1BC∠ABC，∠A1CD∠ACD，
∵∠A1CD是△A1BC的外角，
∴∠A1＝∠A1CD﹣∠A1BC（∠ACD﹣∠ABC）∠A＝32°，
同理可得，∠A2∠A132°＝16°，
故答案为：16°．
【点评】本题主要考查了三角形外角性质以及角平分线的运用，解决问题的关键是掌握：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
2 .如图，，、、分别平分、和．以下结论：①；②；③平分；④．其中正确的结论有 ．（填序号）
【答案】①②④
【分析】证明，由三角形外角得，且，得出，再由平行线的判定即可判断出①是否正确；由，得出，再由平分，所以，，进而可判断出②是否正确；假设平分，推出与题干不符的结论，进而可判断出③是否正确，由，利用角的关系得，进而可判断出④是否正确；
【详解】解：①∵平分的外角，
∴，
∵，且，
∴，
∴，故①正确；
②由（1）可知，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，故②正确；
③若平分，
∴，
∵，
∴，
∴，与题干条件矛盾．故③错误.
④在中，，
∵平分的外角，
∴，
∵，
∴，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，故④正确；
故答案为：①②④
【点睛】此题考查三角形的外角性质，平行线的判定与性质，三角形的内角和定理的应用，解题关键在于掌握外角性质.
3.．直线MN与直线PQ垂直相交于O，点A在直线PQ上运动，点B在直线MN上运动．
（1）如图1，已知AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，点A、B在运动的过程中，∠AEB的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，试求出∠AEB的大小．
（2）如图2，已知AB不平行CD，AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，又DE、CE分别是∠ADC和∠BCD的角平分线，点A、B在运动的过程中，∠CED的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出其值．
（3）如图3，延长BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线及延长线相交于E、F，在△AEF中，如果有一个角是另一个角的3倍，直接写出∠ABO的度数=_____．
【答案】60°或45°
【解析】（1）根据直线MN与直线PQ垂直相交于O可知∠AOB=90°，再由AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的角平分线得出∠BAE=∠OAB，∠ABE=∠ABO，由三角形内角和定理即可得出结论；
（2）延长AD、BC交于点F，根据直线MN与直线PQ垂直相交于O可得出∠AOB=90°，进而得出∠OAB+∠OBA=90°，故∠PAB+∠MBA=270°，再由AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，可知∠BAD=∠BAP，∠ABC=∠ABM，由三角形内角和定理可知∠F=45°，再根据DE、CE分别是∠ADC和∠BCD的角平分线可知∠CDE+∠DCE=112.5°，进而得出结论；
（3））由∠BAO与∠BOQ的角平分线相交于E可知∠EAO=∠BAO，∠EOQ=∠BOQ，进而得出∠E的度数，由AE、AF分别是∠BAO和∠OAG的角平分线可知∠EAF=90°，在△AEF中，由一个角是另一个角的3倍分四种情况进行分类讨论．
解：（1）∠AEB的大小不变，
∵直线MN与直线PQ垂直相交于O，
∴∠AOB=90°，
∴∠OAB+∠OBA=90°，
∵AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，
∴∠BAE=∠OAB，∠ABE=∠ABO，
∴∠BAE+∠ABE=（∠OAB+∠ABO）=45°，
∴∠AEB=135°；
（2）∠CED的大小不变．
延长AD、BC交于点F．
∵直线MN与直线PQ垂直相交于O，
∴∠AOB=90°，
∴∠OAB+∠OBA=90°，
∴∠PAB+∠MBA=270°，
∵AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，
∴∠BAD=∠BAP，∠ABC=∠ABM，
∴∠BAD+∠ABC=（∠PAB+∠ABM）=135°，
∴∠F=45°，
∴∠FDC+∠FCD=135°，
∴∠CDA+∠DCB=225°，
∵DE、CE分别是∠ADC和∠BCD的角平分线，
∴∠CDE+∠DCE=112.5°，
∴∠E=67.5°；
（3）∵∠BAO与∠BOQ的角平分线相交于E，
∴∠EAO=∠BAO，∠EOQ=∠BOQ，
∴∠E=∠EOQ-∠EAO=（∠BOQ-∠BAO）=∠ABO，
∵AE、AF分别是∠BAO和∠OAG的角平分线，
∴∠EAF=90°．
在△AEF中，
∵有一个角是另一个角的3倍，故有：
①∠EAF=3∠E，∠E=30°，∠ABO=60°；
②∠EAF=3∠F，∠E=60°，∠ABO=120°（舍弃）；
③∠F=3∠E，∠E=22.5°，∠ABO=45°；
④∠E=3∠F，∠E=67.5°，∠ABO=135°（舍弃）．
∴∠ABO为60°或45°．
故答案为：60°或45°．
模型二、角平分线与高线模型
如图，在△ABC中，AD是△ABC的高，AE是△ABC的角平分线，
则∠DAE＝（∠C-∠B）
【证明】∵AE平分∠BAC，
∴∠EAC∠BAC，
∵AD是△ABC的BC边上的高，
∴∠ADC＝90°，
∵∠DAC＝90°﹣∠C，
∴∠DAE＝∠EAC﹣∠DAC＝∠BAC﹣（90°﹣∠C）＝ （∠C-∠B），
例4-1 .在△ABC中，AD是角平分线，∠B＜∠C，
（1）如图（1），AE是高，∠B＝50°，∠C＝70°，求∠DAE的度数；
（2）如图（2），点E在AD上．EF⊥BC于F，试探究∠DEF与∠B、∠C的大小关系，并证明你的结论；
（3）如图（3），点E在AD的延长线上．EF⊥BC于F，试探究∠DEF与∠B、∠C的关系
是　 　（直接写出结论，不需证明）．
【分析】（1）依据角平分线的定义以及垂线的定义，即可得到∠CAD∠BAC，∠CAE＝90°﹣∠C，进而得出∠DAE（∠C﹣∠B），由此即可解决问题．
（2）过A作AG⊥BC于G，依据平行线的性质可得∠DAG＝∠DEF，依据（1）中结论即可得到∠DEF（∠C﹣∠B）．
（3）过A作AG⊥BC于G，依据平行线的性质可得∠DAG＝∠DEF，依据（1）中结论即可得到∠DEF（∠C﹣∠B）不变．
【解答】解：（1）如图1，∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD∠BAC，
∵AE⊥BC，
∴∠CAE＝90°﹣∠C，
∴∠DAE＝∠CAD﹣∠CAE
∠BAC﹣（90°﹣∠C）
（180°﹣∠B﹣∠C）﹣（90°﹣∠C）
∠C∠B
（∠C﹣∠B），
∵∠B＝50°，∠C＝70°，
∴∠DAE（70°﹣50°）＝10°．
（2）结论：∠DEF（∠C﹣∠B）．
理由：如图2，过A作AG⊥BC于G，
∵EF⊥BC，
∴AG∥EF，
∴∠DAG＝∠DEF，
由（1）可得，∠DAG（∠C﹣∠B），
∴∠DEF（∠C﹣∠B）．
（3）仍成立．
如图3，过A作AG⊥BC于G，
∵EF⊥BC，
∴AG∥EF，
∴∠DAG＝∠DEF，
由（1）可得，∠DAG（∠C﹣∠B），
∴∠DEF（∠C﹣∠B），
故答案为∠DEF（∠C﹣∠B）．
【点评】此题主要考查了角平分线的性质、三角形内角和定理和直角三角形的性质，解题时注意：三角形内角和是180°．
针对练习4
1．如图，AD是△ABC的BC边上的高，AE平分∠BAC，若∠B=42°，∠C=70°，求∠BAE和∠DAE的度数．
【解析】由三角形内角和定理可求得∠BAC的度数，因AE是角平分线，有，在Rt△ABD中，可求得∠BAD的度数，再由∠DAE=∠BAD-∠BAE可求∠DAE的度数．
解：∵∠B=42°，∠C=70°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=68°，
∵AE是角平分线，
∴．
∵AD是高，∠B=42°，
∴∠BAD=90°-∠B=48°，
∴∠DAE=∠BAD-∠BAE=48°-34°=14°．
2．如图①，AD平分∠BAC，AE⊥BC，∠B=38°，∠C=64°．
（1）求∠DAE的度数；
（2）如图②，若把“AE⊥BC”变成“点F在DA的延长线上，FE⊥BC”，∠B=α，∠C=β（α＜β），请用α、β的代数式表示∠DFE．
【解析】（1）求出∠ADE的度数，利用∠DAE=90°-∠ADE即可求出∠DAE的度数．
（2）求出∠ADE的度数，利用∠DFE=90°-∠ADE即可求出∠DAE的度数．
解：（1）∵∠B=38°，∠C=64°，
∴∠BAC=78°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD=39°，
∴∠ADE=∠B+∠BAD=77°，
∵AE⊥BC，
∴∠AEB=90°，
∴∠DAE=90°-∠ADE=13°．
（2）∵∠B=α，∠C=β，
∴∠BAC=180°-α-β，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD=90°-（α+β），
∴∠ADE=∠B+∠BAD=α+90°-（α+β），
∵FE⊥BC，
∴∠FEB=90°，
∴∠DFE=90°-∠ADE=（β-α）．
3.如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，G是AD上的一点，BG，CG分别平分∠ABC，∠ACB，GH⊥BC，垂足为H，求证：
（1）∠BGC＝90°∠BAC；
（2）∠1＝∠2．
【分析】（1）由三角形内角和定理可知∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠BAC，然后利用角平分线的性质即可求出∠BGC＝90°∠BAC．
（2）由于AD是它的角平分线，所以∠BAD＝∠CAD，然后根据图形可知：∠1＝∠BAD+∠ABG，∠2＝90°﹣∠GCH，最后根据三角形的内角和定理以及外角的性质即可求出答案．
【解答】解：（1）由三角形内角和定理可知：∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠BAC，
∵BG，CG分别平分∠ABC，∠ACB，
∠GBC∠ABC，∠GCB∠ACB
∴∠GBC+∠GCB（∠ABC+∠ACB）（180°﹣∠BAC）＝90°∠BAC
∴∠BGC＝180°﹣（∠GBC+∠GCB）＝180°（∠ABC+∠ACB）＝90°∠BAC；
（2）∵AD是它的角平分线，
∴∠BAD＝∠CAD
∴∠1＝∠BAD+∠ABG，
∵GH⊥BC，
∴∠GHC＝90°
∴∠2＝90°﹣∠GCH
＝90°∠ACB
＝90°（180°﹣∠DAC﹣∠ADC）
∠DAC∠ADC
∵∠ADC＝∠ABC+∠BAD，
∴∠ADC∠ABC+∠∠BAD
＝∠ABG∠BAD，
∴∠2∠DAC∠ADC
∠BAD∠BAD+∠ABG
＝∠BAD+∠ABG，
∴∠1＝∠2，
【点评】本题考查三角形内角和综合问题，解题的关键是灵活运用三角形的内角和定理以及三角形的外角性质．本题属于中等题型．
模型三、双垂直模型
已知∠B=∠D=∠ACE=90°.则∠BAC=∠DCE，∠ACB=∠CED.
【证明】∵∠B=∠D=∠ACE=90°；∴∠BAC+∠ACB=90°；又∠ECD+∠ACB=90°；∴∠BAC=∠DCE
同理,∠ACB+∠DCE =90°，且∠CED+∠DCE =90°；∴∠ACB=∠CED，得证.
请把下面的证明过程补充完整
例5-1 .如图，在中，是角平分线，是高，、相交于点，求证：．
证明： 平分（已知），
（ ① ），
（已知），
（ ② ），
是的高（已知），
（三角形高的定义），
（ ③ ），（直角三角形的两个锐角互余），
（ ④ ），
（ ⑤ ），
（ ⑥ ），
（ ⑦ ）．
【答案】①角平分线的定义；②直角三角形的两锐角互余；③；④等角的余角相等；⑤对顶角相等；⑥等量代换；⑦等角对等边
【分析】本题考查的是直角三角形的性质、角平分线的定义，等腰三角形的判定，掌握直角三角形的两锐角互余是解题的关键．
根据角平分线的定义、直角三角形的性质、对顶角相等、等角对等边解答即可．
【详解】证明：平分（已知），
（角平分线的定义），
（已知），
（直角三角形的两锐角互余），
是的高（已知），
（三角形高的定义），
（直角三角形的两锐角互余），
（等角的余角相等），
（对顶角相等），
（等量代换），
∴（等角对等边）．
故答案为：角平分线的定义；直角三角形的两锐角互余；；等角的余角相等；对顶角相等；等量代换；等角对等边．
针对练习5
1．如图，Rt△ABC和Rt△ADE中，∠D=∠C=90°，∠B=30°，点E在线段BC上，DE交AC于点F，若DE∥AB，则∠DAF的度数为（　　）
A. 15° B. 20° C. 22.5° D. 30°
【答案】D
【解析】由直角三角形的两个锐角互余，求出∠CAB=60°，由DE∥AB，得出∠D+∠DAB=90°，求出∠DAB=90°，即可求出∠DAF的度数．
解：在Rt△ABC中，
∵∠C=90°，∠B=30°，
∴∠CAB=90°-30°=60°，
∵DE∥AB，
∴∠D+∠DAB=180°，
∵∠D=90°，
∴∠DAB=180°-90°=90°，
∴∠DAF=∠DAB-∠CAB=90°-60°=30°．
故选：D．
2 .在中，，，点是的中点，点是射线上的一个动点点不与点、、重合，过点作于点，过点作于点，连接，．

(问题探究)
如图1，当点在线段上运动时，延长交于点．
（1）求证：；
（2）与的数量关系为：　　(直接写结论，不需说明理由)；
(拓展延伸)
（3）①如图，当点在线段上运动，的延长线与的延长线交于点，的大小是否变化？若不变，求出的度数；若变化，请说明理由；
②当点在射线上运动时，若，，直接写出的面积，不需证明．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）①的大小不变，；②满足条件的的面积为或
【分析】（1）根据等角的余角相等得出，证明；
（2）证明得出，则，等量代换可得；
（3）①证明，进而证明证明得出；
②根据题意画出图形，分类讨论，根据三角形的面积公式，即可求解．
【详解】（1）证明：如图1中，

，，
，
，，
，
在和中，
，
；
（2）解：结论：．
理由：，，
，
，
是的中点，
，
在和中，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
（3）解：①如图中，结论：的大小不变，．

理由：，，
，
，，
，
在和中，
，
；
，，
，，
，
，
是的中点，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
根据可得：
；
②如图中，当，时，，

如图中，当，时，，

综上所述，满足条件的的面积为或．
【点睛】本题考查了全等三角形的证明与性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的动点问题以及三角形求面积的问题，正确掌握知识点是解题的关键．
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