资源简介

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分课时教学设计
第一课时《问题解决策略：归纳》教学设计
课型 新授课√ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 《问题解决策略：归纳》是作为本章的最后一课，是学生初步学习数学符号语言后在应用方面的升华。首先要使学生体会到代数式是刻画现实世界的有效数学模型;能够对一些图形的规律进行归纳。其次使学生经历探索事物间的数量关系并用字母和代数式表示的过程，建立初步的符号感，发展抽象思维。
学习者分析 七年级学生具有好奇好动、敢于质疑、大胆实践的性格特征，分析、思考、归纳、推理、判断等思维能力也达到了一定的水平，质疑、探究、讨论、合作的意识比较强，开展小组合作交流活动也有一定的经验， 因此，学生都非常愿意在老师的指导下，通过操作和想象，通过合作与交流，自主探索和研究知识，充分体现学生是学习的主人，教师是教学活动的组织者、引导者和参与者.
教学目标 1.经历探索规律到归纳出一般性结论的全过程，掌握解决规律探究类问题的策略和方法。 2.通过寻找规律并验证说理，提升抽象能力和推理能力。
教学重点 从简单情形中寻找规律到归纳出一般性结论的全过程。
教学难点 找出合适的规律并验证说理
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：引入新课教师活动1： “低多边形风格”是一种数字艺术设计风格。它将整个区域分割为若干三角形，通过把相邻三角形涂上不同颜色，产生立体及光影的效果，随着三角形数量增加，效果更为斑斓绚丽（如图）。 今天我们将对这种类型的图形展开研究。学生活动1： 通过问题的形式引导学生，为学习新知识打下基础.活动意图说明：通过问题情境，激发学生学习兴趣，营造探索问题的氛围。环节二：新知探究教师活动2： 问题 如图，当长方形内有1个点时，可分得4个三角形；当长方形内有2个点时，可分得6个三角形（不计被分割的三角形）。 当长方形内有35个点时，可分得多少个三角形？ 【理解问题】 （1）先动手画一画，感受分割得到三角形的过程。 （2）已知条件是什么？目标是什么？ 已知条件是长方形内有35个点，将这些点按照前面的方法连接，形成多个三角形。目标是求出分得的三角形的总个数。 【拟定计划】 （1）直接研究“长方形内有35个点”的情形，你遇到了什么困难？ 点太多，不方便将三角形全部画出来，也不知道是否有多种结果。 （2）哪些情形容易研究？从中你能发现什么规律？ 长方形内点的个数较少时容易研究，如长方形内有1个点、2个点、3个点的情形。初步发现，长方形内点的个数增加1，三角形的数量增加2。 （3）你发现的规律正确吗？你能给出合理的解释吗？ 【实施计划】 写出你的解决方案，并说明其中的道理。 小明的思考过程如下。 （1）先研究长方形内有3个点、4个点的情形（如图）。 （2）几种简单情形的数据如下表，发现规律：长方形内点的个数增加1，三角形的个数增加2。 长方形内点的个数1234…三角形的个数46810…
（3）在长方形内已经有n个点的情况下，新增的一个点要么在某个三角形内部，要么在某条线段上。当新增的这个点在某个三角形内部时，连接该点和三角形的顶点，原来的1个三角形分成3个小三角形，三角形的个数增加2;当新增的这个点在某条线段上时，连接该点和它所在两个三角形的顶点，三角形的个数同样增加2。因此，当长方形内有35个点时，分得的三角形的个数是4+2x34=72。 【回顾反思】 （1）如果长方形内有100个点呢？一般地，如果长方形内有n个点呢？ 长方形内点的个数分割成的小三角形个数1004+2×（100-1）=202n4+2(n-1)=2n+2
（2）你还能提出并解决什么问题？ （3）从简单的情形开始思考有什么好处？通过简单情形归纳一般性结论，你有哪些经验？ 教师总结： 学生活动2： 小组交流合作，教师适时指导 教师指导学生解答问题，师生共同讨论、交流 活动意图说明：展示解决问题的全过程，培养学生系统性解决问题的能力。环节三：探究新知教师活动3： 1.的个位数字是多少？ 31=3 32=9 33=27 34=81 35=243 36=729 37=2187 38=6561…… 3n (n为正整数)的个位数字按3，9，7，1四个数字循环出现。 2024÷4=506，32014的个位数字是 1。 2. 如图，将一根绳子折成三段，然后按如图所示方式剪开。剪1刀，绳子变为4段；剪2刀，绳子变为7段。 (1) 剪12刀，绳子变成多少段？ (2) 有可能正好剪得101段吗？ 1刀 4 段 2刀 7 段 3刀 10 段 4刀 13 段 ……. n 刀 (3n+1) 段 (1) 剪12刀，绳子变成3×12+1=37 (段) (2) 不可能。 3.由1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，…组成的三角形数阵如下图所示。 (1) 第10行的10个数的和是多少？ (2) 你还能找到其他规律吗？试一试！ 解：(1) 103 =1000 (2)第n行的第1个数：n2-n+1 第n行的第n个数：n2+n-1 4.某类简单化合物中前6种化合物的分子结构模型如下图所示，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子。按照这一规律，第60种化合物的分子结构模型中有多少个氢原子？ 4+2×(60-1)=122(个)学生活动3： 可以让学生先独立尝试解决，然后通过学生反馈的情况，教师针对一些存在的问题进行示范性讲解活动意图说明：通过对教材中问题的讲解，进一步巩固对归纳策略的认知。
板书设计 问题解决策略：归纳 1.从简单情形中找规律 2.验证规律 3.解释说理 4.归纳一般性结论
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.观察下列等式：＝1，＝7，＝49，＝343，＝2 401，＝16807，…，根据其中的规律可得的结果的个位数字是(　　) A.0 B.1 C.7 D.8 2. 对如图①所示的正方形作如下操作： 第1次：将图①中的正方形分割成4个相同的部分(如图②)，得到5个正方形；第2次：将图②左上角的正方形按上述方法再分割(如图③)，得到9个正方形；…，以此类推，根据以上操作，若要得到2 025个正方形，则需要操作的次数是(　　) A.507 B.504 C.505 D.506 选做题： 3. 观察下列各式的规律，然后回答问题. ＝1－ ＝ ； ＝ － ＝ ； ＋ ＋ ＋…＋ ＝ 　 　. (1)把横线处的结果填出来； (2)猜想： ＋ ＋ ＋…＋ ＝ 　 　； (3)试说明你的猜想的合理性. 【综合拓展类作业】 4. 观察如图所示的图形，回答下列问题： (1)图中的点被线段隔开分成四层，第一层有1个点，第二
层有3个点，第三层有5个点，第四层有 个点； (2)如果要你继续画下去，那么第五层有 个点，第十
层有 个点； (3)已知某一层上有77个点，则这是第 层； (4)第一层与第二层点的个数之和是 ，前三层点的个
数之和是 ，前四层点的个数之和是 ，根据
你发现的规律，推测前一百层点的个数之和是 .
课堂总结 从几种特殊情形出发，进而找到一般规律是发现数学结论、解决数学问题的一种重要策略，这种问题解决策略就是归纳. 在运用归纳策略寻找规律时，要先在若干简单情形中寻找规律，通过验证后再考虑一般情况，最后给出合理的解释，并用数学语言表达规律.
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.若用大小相同的小三角形摆成如图所示的图形，按照这样的规律摆放，则第 n （ n 为正整数）个图形中所有小三角形的个数是 . 2. 观察式子：13=12，13+23=(1+2)2=32，13+23+33=(1+2+3)2=62，13+23+33+43=(1+2+3+4)2=102，…，根据你发现的规律，计算53+63+73+83+93+103的结果是(　　) A. 2925 B. 2025 C. 3225 D. 2625 选做题 3.观察下列等式： 第1个等式:a1＝ ＝ × ；第2个等式:a2＝ ＝ × ； 第3个等式:a3＝ ＝ × ；第4个等式:a4＝ ＝ × ； 利用归纳策略，解答下列问题： （1）按照以上规律写出第5个等式：a5＝ 　 　＝ ； （2）用含 n （ n 为正整数）的代数式表示第 n 个等式：＝ 　 　＝ 　 　； （3）求的值. 【综合拓展类作业】 4.毕达哥拉斯学派对“数”与“形”的巧妙结合作了如下研究： （1）请在表格中写出第6层各个图形的几何点数，并归纳出第 n 层各个图形的几何点数； （2）求第100层各个图形的几何点数的总和.
教学反思 本节课难度较大，学生一般缺乏自主思维去解决这样的规律探究类题目。但通过本节课的学习，让学生体验了归纳一般性结论的全过程，让学生有了一定的经验和策略。后续学习中，可以给学生展示不同类型的应用场景，让学生进一步巩固解决此类问题的能力。
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学 科 数学 年 级 七 设计者
教材版本 北师大版 册、章 上册第三章
课标要求 1.体验从具体情境中抽象出数学符号的过程，理解代数式，掌握必要的运算技能。2.能分析简单问题中的数量关系，并用代数式表示。3.会求代数式的值。4.理解整式的概念，掌握合并同类项和去括号的法则，能进行简单的整式加法和减法运算。
内容分析 《整式及其加减》是北师大版数学七年级上册的教学内容。主要内容有字母表示数、代数式、整式、整式的加减、探索与表达规律。学生在小学阶段已经初步接触过用字母表示数，但由于抽象思维水平有限，学生对字母表示数的认识还较浅显。基于学生的知识经验水平，教科书注重在具体情境中让学生理解字母表示数的意义，重视代数式的解释，提倡学生自主活动，培养学生发现规律、探求模式的能力，加强对学生数学应用意识和解决实际问题能力的培养。
学情分析 学生在小学阶段已初步接触过用字母表示数，如用字母表示未知数，用字母表示数学公式等，但由于抽象思维水平有限，学生对字母表示数的认识还较浅显，对用字母表示问题中的数量关系接触较少，利用字母进行抽象运算的能力有限基于本章的内容和学生的知识经验水平，本章注重在具体情境中让学生理解字母表示数的意义，重视代数式的解释，提倡学生自主活动培养学生发现规律、探求模式的能力，加强对学生影学应用意识和解决实际问题能力的培养。
单元目标 （一）教学目标1.经历探索事物之间的数量关系，并用字母与代数式进行表示的过程，建立初步的符号意识，发展抽象思维2.在具体情境中进一步理解用字母表示数的意义，能分析简单问题的数量关系，并用代数式表示3.理解代数式的含义，能赋予一些简单代数式以实际背景或几何意义，体会数学与现实世界的联系4.会求代数式的值，能解释值得实际意义，能根据代数式的值推断代数式反映的规律5.了解整式的相关概念，理解合并同类项和去括号的法则，并会进行简单的整式加减运算，发展运算能力6.能利用字母表示数及整式加减运算，探索具体问题中的一般规律及解释具体问题中的现象或规律（二）教学重点、难点教学重点：1、理解单项式、多项式的相关概念；熟练进行合并同类项和去括号的运算。2、理解整式的加减运算法则，熟练进行整式的运算。教学难点：准确地进行合并同类项，准确地处理去括号时的符号。
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数3.1 代数式33.2 整式的运算33.3探索与表达规律2问题解决策略：归纳1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务3.1代数式1.能用字母表示运算律、计算公式以及一些简单的数量关系和变化规律2.了解代数式的概念，能用代数式表示简单问题中的数量关系3.能解释一些简单代数式的实际背景或几何意义，发展符号意识4.在代数式求值过程中，初步感受函数的对应思想5.通过具体实例了解单项式、多项式、整式及有关概念1.会用字母表示数量关系2.能根据题意写出代数式并会求值3.知道单项式，多项式以及整式的概念，并能区分。 活动1：学生自主探究如何用字母表示数活动2：总结代数式的书写格式活动:3：总结列代数式的方法以及代数式求值活动4：探究单项式，多项式以及整式的概念3.2整式的运算1.理解合并同类项的法则的依据，能进行同类项的合并。2.会进行整式的加减运算，并能说明其中的算理，发展有条理的思考及语言表达能力3.在具体情景中体会去括号的必要性，了解去括号法则的依据4.归纳去括号法则，能利用法则进行去括号运算1.知道什么是同类项，会合并同类项2.能够进行整式的加减运算3.在整式计算中会去括号活动1：探究同类项的概念并掌握合并同类项的方法活动2：探究并总结整式的计算的步骤活动3：出示例题进行整式的计算活动4：探究去括号的方法以及总结去括号法则 3.3探索与表达规律1.用代数式表示并借助代数式运算验证所探索规律的一般性2.能用代数式表示并借助代数式运算解释具体问题中蕴含的一般规律或现象能用代数式表示图形，数字的一些规律活动1：通过实际问题引入新课活动2：探究日历的规律活动3：探究数字的规律问题的解决策略：归纳1.运用归纳的方法总结一些规律问题2.掌握找规律的方法能够根据题意找出题目中的规律活动1：引入新课活动2：探究低多边形的规律问题活动3：总结归纳的找规律的方法。
《整式及其运算》单元教学设计
活动1：根据实例引入课题
活动2：学生自主探究如何用字母表示数
活动3：通过例题巩固用字母表示数
3.1.1代数式
活动4：总结代数式的书写格式
整式及其运算
活动1：回顾代数式的概念
活动2：总结列代数式的方法以及代数式求值
3.1.2代数式
活动3：总结代数式的值及求法
活动1：举出生活中的例子，引入课题
3.1.3代数式
活动2：总结单项式的定义，项数及次数
活动3：总结多项式的定义，多项式的次数
活动1：创设情境引入课题
活动2：探究并总结同类项定义
3.2.1整式的加减
活动3：探究合并同类项的方法及步骤
活动1：回顾上节内容，引入课题
活动2：探究去括号法则
3.2.2整式的加减
活动3：总结去括号方法
整式及其运算
活动1：创设情境，引入新课
3.2.3整式的加减
活动2：探究整式加减的方法及步骤
活动3：出示例题，总结整式计算的方法
活动1：回顾上节内容，引入课题
活动2：探究去括号法则
3.2.2整式的加减
活动3：总结去括号方法
活动1：创设情境，引入新课
3.2.3整式的加减
活动2：探究整式加减的方法及步骤
活动3：出示例题，总结整式计算的方法
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第三章 整式及其加减
问题解决策略：归纳
01
教学目标
02
新知导入
03
新知讲解
04
课堂练习
05
课堂小结
06
作业布置
01
教学目标
1.经历探索规律到归纳出一般性结论的全过程，掌握解决规律探究类问题的策略和方法。
2.通过寻找规律并验证说理，提升抽象能力和推理能力。
02
新知导入
“低多边形风格”是一种数字艺术设计风格。它将整个区域分割为若干三角形,通过把相邻三角形涂上不同颜色,产生立体及光影的效果。
03
新知探究
如图，当长方形内有1个点时，可分得4个三角形；当长方形内有2个点时，可分得6个三角形(不计被分割的三角形)。
问题
当长方形内有35个点时，可分得多少个三角形？
03
新知讲解
(1) 先动手试试，感受分割得到三角形的过程。
(2) 已知条件是什么？目标是什么？
已知条件：长方形内有35个点，将这些点按照
前面的方法连接，形成多个三角形。
目标：求出分得的三角形的总个数。
【理解问题】
03
新知讲解
【拟定计划】
(1) 直接研究“长方形内有35个点”的情形，
你遇到了什么困难？
(2) 哪些情形容易研究？从中你能发现什么规律？
(3) 你发现的规律正确吗？你能给出合理的解释吗？
点太多，不方便将三角形全部画出来。
点的个数较少时容易研究。
03
新知讲解
【实施计划】
(1) 先研究长方形内有3个点、4个点的情形。
03
新知讲解
(2) 根据几种简单情形的数据，填写下表。
长方形内点的个数 1 2 3 4 …
三角形的个数 …
4
6
8
10
你发现了什么规律？
长方形内点的个数增加1，三角形的个数增加2。
03
新知讲解
(3)猜想是合理的。
在长方形内已经有n个点的情况下，新增的一个点要么在某个三角形内部，要么在某条线段上。当新增的这个点在某个三角形内部时，连接该点和三角形的顶点，原来的1个三角形分成3个小三角形，三角形的个数增加2;当新增的这个点在某条线段上时，连接该点和它所在两个三角形的顶点，三角形的个数同样增加2。因此，当长方形内有35个点时，分得的三角形的个数是4+2x34=72。
03
新知讲解
【回顾反思】
(1) 如果长方形内有100个点呢？一般地，如果长方形内有n个点呢？
长方形内点的个数 分割成的小三角形个数
100
n
4+2×(100-1)=202
4+2×(n-1)=2n+2
(2) 你还能提出并解决什么问题？
03
新知讲解
(3) 从简单的情形开始思考有什么好处？通过简单情形归纳一般性结论，你有哪些经验
在简单情形中寻找规律
在更多情形中验证规律
用数学语言表达规律
在一般情形中总结规律
03
新知讲解
1.32024的个位数字是多少？
31=3
32=9
33=27
34=81
35=243
36=729
37=2187
38=6561
……
3n (n为正整数)的个位数字按3，9，7，1四个数字循环出现。
2024÷4=506，32014的个位数字是 1。
03
新知讲解
2. 如图，将一根绳子折成三段，然后按如图所示方式剪开。剪1刀，绳子变为4段；剪2刀，绳子变为7段。
(1) 剪12刀，绳子变成多少段？
(2) 有可能正好剪得101段吗？
1刀 4 段
2刀 7 段
3刀 10 段
4刀 13 段
…….
…….
n 刀 (3n+1) 段
(1) 剪12刀，绳子变成3×12+1=37 (段)
(2) 不可能。
03
新知讲解
(1) 第10行的10个数的和是多少？
(2) 你还能找到其他规律吗？试一试！
解：(1) 103 =1000
3.由1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，…组成的三角形数阵如下图所示。
(2)第n行的第1个数：n2-n+1
第n行的第n个数：n2+n-1
03
新知讲解
4.某类简单化合物中前6种化合物的分子结构模型如下图所示，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子。按照这一规律，第60种化合物的分子结构模型中有多少个氢原子？
4+2×(60-1)=122(个)
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
观察下列等式：
70＝1，71＝7，72＝49，73＝343，74＝2 401，75＝16
807，…，根据其中的规律可得70＋71＋72＋…＋72 024的结
果的个位数字是(　　)
A.0 B.1 C.7 D.8
B
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
2. 对如图①所示的正方形作如下操作：
第1次：将图①中的正方形分割成4个相同的部分(如图②)，得到5个正方形；第2次：将图②左上角的正方形按上述方法再分割(如图③)，得到9个正方形；…，以此类推，根据以上操作，若要得到2 025个正方形，则需要操作的次数是(　　)
A.507 B.504 C.505 D.506
D
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
3. 观察下列各式的规律，然后回答问题.
＝1－ ＝ ；
＝ － ＝ ；
＋ ＋ ＋…＋ ＝ 　 　.
(1)把横线处的结果填出来；
　
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
(2)猜想： ＋ ＋ ＋…＋ ＝ 　 　；
(3)试说明你的猜想的合理性.
　
解： ＋ ＋ ＋…＋ ＝1－ ＋ － ＋
－ ＋…＋ － ＝1－ ＝ .
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
4. 观察如图所示的图形，回答下
列问题：
(1)图中的点被线段隔开分成四层，第一层有1个点，第二
层有3个点，第三层有5个点，第四层有 个点；
(2)如果要你继续画下去，那么第五层有 个点，第十
层有 个点；
(3)已知某一层上有77个点，则这是第 层；
7　
9　
19　
三十九　
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
(4)第一层与第二层点的个数之和是 ，前三层点的个
数之和是 ，前四层点的个数之和是 ，根据
你发现的规律，推测前一百层点的个数之和是 .
4　
9　
16　
10000　
05
课堂小结
从几种特殊情形出发，进而找到一般规律是发现数学结论、解决数学问题的一种重要策略，这种问题解决策略就是归纳.
在运用归纳策略寻找规律时，要先在若干简单情形中寻找规律，通过验证后再考虑一般情况，最后给出合理的解释，并用数学语言表达规律.
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
1.若用大小相同的小三角形摆成如图所示的图形，按照这样的规
律摆放，则第 n （ n 为正整数）个图形中所有小三角形的个数
是 .
3 n ＋4　
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
2. 观察式子：13=12，13+23=(1+2)2=32，13+23+33=(1+2+3)2=62，13+23+33+43=(1+2+3+4)2=102，…，根据你发现的规律，计算53+63+73+83+93+103的结果是(　　)
A. 2925 B. 2025 C. 3225 D. 2625
A
06
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
3.观察下列等式：
第1个等式:a1＝ ＝ × ；
第2个等式:a2＝ ＝ × ；
第3个等式:a3＝ ＝ × ；
第4个等式:a4＝ ＝ × ；
利用归纳策略，解答下列问题：
（1）按照以上规律写出第5个等式：
a5＝ 　 　＝ 　；
　
× 　
06
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
（2）用含 n （ n 为正整数）的代数式表示第 n 个等式： an
＝ 　 　＝ 　 　；
　
　
（3）求 a1＋ a2＋ a3＋…＋ a20的值.
（3）解：原式＝ × ＋ ×（ － ）＋ ×（ － ）
＋…＋ ×（ － ）＝ ×（1－ ＋ － ＋ － ＋…＋ －
）＝ ×（1－ ）＝ × ＝ .
06
作业布置
【综合拓展类作业】
4.毕达哥拉斯学派对“数”与“形”的巧妙结合作了如下研究：
（1）请在表格中写出第6层各个图形的几何点数，并归纳出第 n
层各个图形的几何点数；
06
作业布置
【综合拓展类作业】
6　
11　
16　
21　
n 　
2 n －1　
3 n －2　
4 n －3　
06
作业布置
【综合拓展类作业】
（2）求第100层各个图形的几何点数的总和.
（2）解：当 n ＝100时，
则第100层各个图形的几何点数的总和为
　 n ＋（2 n －1）＋（3 n －2）＋（4 n －3）
＝10 n －6
＝10×100－6
＝994.
Thanks!
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