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§4.4三角函数的图象与性质
学习要求：
认识三角函数的周期性和最小正周期。
学会用五点法作三角函数的图象。
学会用数形结合思想观察三角函数的图象性质。
会用三角函数的值求角。
二．学习重点、难点：
重点：三角函数的周期性和周期,能用五点法作三角函数的图象。
难点：对三角函数的周期性的理解,能正确地作出正弦函数和余弦函数在上的图象。
三．学时安排共5学时
第一学时：认识正弦函数与余弦函数的周期性并能正确作出它们的图象。
第二学时：会用图象认识正弦函数与余弦函数的性质并能求出它的最值。
第三学时：会用三点两线法作出正切函数一个周期内的图象；能根据图象认识正切函数的性质。
第四学时：学会用五点作图法作出正弦型函数的图象并从图象中得出一些简单的性质。
第五学时：学会已知的一个三角函数值，在指定的区间内求出它对应的一个角，并能求出时角的集合。
四．学习过程
第一学时
（一）课前尝试
1．学习方法：
利用正弦函数、余弦函数的图象采取自主探索形式获得规律和相关结论.
2．尝试练习
(1)
(2)列表并作出函数y=sinx,的图象.
(3)函数y=2sinx+1的最大值是____,最小值是_____.(A)
(4)写出一个三角函数解析式,使它的最大值为5.
（二）课堂探究
1．探究问题
（1）在前面探索中得出的结论是________________.
（2）已知y=sinx,的图象,请作出函数y=sinx,上的图象.
（3）由(2)得函数y=sinx的最小正周期是_____,用同样的方法你能得出y=cosx的最小正周期为_______.
2．知识链接：
举例说明生活中的周期现象.
你能同样的方法作出y=-sinx图象吗 为什么 请尝试作出它的图象.
3．拓展练习
用列表、描点、连线的方法作出函数y=cosx的图象 。
利用单位圆中的正弦线作y=sinx,的图象。
(3)方法小结：
1）借助单位圆作出函数y=sinx图象的方法。
2）利用正弦函数与余弦函数的周期性，先作出它们在上的图象，再作出在R的图象。
3）认识函数y=sinx,y=cosx的最小正周期。
4．当堂训练
（1）作出函数的图象。
（2）用“五点法”作出1的图象。
（3）作出函数y=3cosx的图象。
5．归纳总结：
（三）课后拓展
（1）仿照拓展训练部分的题型，自行编写题目，同桌相互交换，练习。
（2）函数f(x)是定义域在R上的周期为3的奇函数，且f(1)=2,则f(5)=____。
（3）已知y=asinx+b的最大值是3，最小值为1，则写出一组满足条件的a=___,b=___.
（四）格言警句：
君子欲讷于言而敏于行。（孔子《里仁》）
第二学时
（一）课前尝试
1．学习方法
（1）回忆y=sinx,y=cosx的函数的图象
（2）结合图象思考正弦函数和余弦函数的性质.
2．尝试练习
（1）①函数y=sinx的定义域为_______,值域为______,周期为_____,奇偶性为______,单调增加区间为____________,单调减小区间为__________.
②函数y=cosx的定义域为_______,值域为______,周期为_____,奇偶性为______,单调增加区间为____________,单调减小区间为__________.
（2）①函数y=sin3x的奇偶性为______,周期为_____,当x=_______时,函数有最小值__________,当x=_______时,函数有最大值__________.
②函数y=cos2x-1,当x=_______时,函数有最小值__________,当x=_______时,函数有最大值__________.
（二）课堂探究
1.探究问题
(1)下列函数是奇函数的是 ( )
A.y=sin2x B.y=|sinx| C.y=cos3x D.y=|cosx|
(2)y=5sinx,的单调区间是
D.
根据图象写出下列函数在一个周期内的单调区间,再由函数的周期性写出它的单调区间.
①y=2cosx ②y=sin
2．知识链接
作出函数y=2+sinx的图象,并写出的它的5条性质.
下列等式成立吗 说说你的理由.
①5sinx=6 ②
3．拓展练习
不求值,比较下列函数值的大小.
①与 ②
(2)y=asinx+b的最小值为-0.5,最大值为1.5,求a,b的值.
4．当堂训练
(1)已知则x=____.
（2）已知cosx=-1,且,则x=_______.
（3）若x没有固定的定义域,求上述两等式中x的值.
5．归纳总结：
（三）课后拓展
(1)求函数y=2-cos最小值.
(2)求函数y=3-sin2x的最大值.
(3)已知函数y=a-bcos3x(b＞0)的最大值为3,最小值为-1
①求a,b的值.
②当x取何值时,函数y=-4bsinax有最大值,并求这个最大值.（A层次）
（四）格言警句：
理想！人没有理想就成了动物，理想推动着进步。（列宁）
四、学习过程：
第三学时
（一）课前尝试
1、学习指导：
（1）回顾正弦函数图象的做法，能画出正切函数的图象，并能借助图象认识正切函数的基本性质（定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性）。
（2）认真阅读书，熟记正切函数的定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性。
（3）能运用正切函数的图象和性质，会进行简单的计算。
2、尝试练习
（1）已知函数y=tanx，请写出下面对应的y值。
x - - - 0
y
（2）根据以上点的坐标，请在直角坐标系中找出对应的点，并用光滑曲线把它们连接起来。
（3）函数y=tanx的定义域是 ,值域是 。
（4）函数y=tanx的周期是 。
（5）函数y=tanx是 （奇偶性）函数，关于 对称。
（6）函数y=tanx的单调 （增、减）区间是 。
（二）课堂探究
1、探究问题
仿照正弦函数y=sinx的五点作图法，采用三点（-，-1）（0，0）（1）作出正切函数y=tanx在（-，）内的简图。并观察它与哪两条直线越来越接近，但永不相交。我们可以称之为什么方程？
2、知识链接
①回顾正弦函数y=sinx、余弦函数y=cosx的图象的作法。
②采用同样方法（单位圆作法）画出正切函数y=tanx的图象。并总结出它在x（-，）的一般步骤。
(ⅰ)作直角坐标系，在x轴的负半轴上取一点O1（以1cm为一个长度单位，使OO1＞2.5cm）。
(ⅱ)以O1为圆心作单位圆（右半圆），把半圆12等分，作出对应的正切线。
（ⅲ）把x轴从-到也12等分（取3 cm）。
（ⅳ）把正切线平移至对应的x处。从-到连同原点在内共11个点。
（ⅴ）用平滑曲线依次连接各点。
③根据正切函数y=tanx的图象请归纳它在下面几方面的性质：
定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性。
3、拓展练习
（1）求函数y=tan（2x+）的定义域。
（2）讨论函数y=tan3x的增减性，并求其周期。
4、当堂训练
（1）观察正切曲线，分别写出满足下列条件的x的集合。
①tanx＞0 ②tanx=0
（2）求下列函数的定义域。
①y=tan2x ②y=tan（3x-）
（3）讨论下列函数的增减性，并求它们的周期。
①y=tan ②y=tan（x+）
5、归纳总结：
（三）课后拓展
（1）用三点两线法作出函数y=tanx的简图。
（2）不求值，比较下列各组函数值的大小。
①tan135o与tan142o ②tan（-）与tan（-）
（3）求下列函数的单调区间：
①y=tan（x-） ②y=|tanx|
（四）格言警句：
要永远感到不满足，这样才能永远有进取心。（周恩来）
第四学时
（一）课前尝试
1、学习方法：
（1）回顾正弦曲线的图象和性质。
（2）认真阅读书P.197-P.199，了解y=Asin()的实际意义，会作函数y=Asin()的图象，理解函数y=Asin()的图象与正弦曲线之间的关系。
2、尝试练习
（1）一弹簧振子的位移y与时间t的函数关系为y=3sin((A＞0，＞0)
若已知此振动的振幅为 ，周期为 ，初相为 .
（2）作出函数y=sin(x-)在一个周期内的简图。
（二）课堂探究
1、探究问题
用五点作图法作出下列函数在一个周期内的简图
(1) y=sin3x； (2) y=sinx； (3) y=sin(x+)；
2、知识链接
用五点作图法作出函数y=sin(2x-)的图象(xR).
3、拓展练习
(1)用五点作图法作出下列函数 y=2sin(x+)的图象(xR).
（2）求下列函数的周期、最大值、最小值.
①y=2sin(2x+) ②y=-3sin(3x-)
4、当堂训练
（1）函数y=sin(x+)的振幅、周期、初相各是多少？
（3）用五点作图法作出下列函数在一个周期内的简图。
①y=sin(2x-) ②y=2sin(x+)
5、归纳总结：
（三）课后拓展
（1）y=asinx+b的最小值为-，最大值为，求a、b的值.
（2）一个单摆如图所示，以OA为始边，OB为终边的角（-＜＜)与时间t(s)的函数满足：=sin(2t+.
①t=0时，角是多少？
②单摆频率是多少？
③单摆完成5次完整摆动共需多少时间？（A层次）
O
A B
（四）格言警句：
不会从失败是寻求教训的人，通向成功的道路是遥远的。（拿破仑）
第五学时
（一）课前尝试
1、学习方法：
（1）认真阅读书P.199-P.200，掌握正弦、余弦、正切函数的主值区间；会根据已知三角函数值求给定区间内的角。
（2）培养学生逆向思维的能力。
2、尝试练习
（1）已知sinx=，且x,则x= .
（2）已知cosx=，且x，则x= .
（3）已知tanx=,且x,则x= .
（4）已知sinx=，且x,则x= .
（5）已知tanx=5,且x,则x= .
（6）求满足下列条件的x的集合。
①sinx= x ②tanx= xR
③cosx=- x ④tanx=-2 xR （A层次）
（二）课堂探究
1、探究问题
(1)填空
x 0
sinx
cosx
tanx
（2）利用上表的三角函数值求角。
①sin= ②cosx=-1 ③tanx=
2、知识链接
（1）y=sinx、y=cosx、y=tanx含有原点的一个单调增加或减少区间分别是
、 、 ，这些区间即对应的三角函数主值区间。
（2）已知下列三角函数值，在主值区间内求角x。
①已知sinx=- ②cosx=-1 ③tanx=
3、拓展练习
（1）求满足下列条件的x的集合。
①sinx= x ②cosx=- x
③tanx=- x
（2）在xR内，求满足下列条件的x的集合。
①sinx=1 ②cosx=- ③tanx=
4、当堂训练
（1）若sinx=-,cosx＜0, x,则x= （ ）
A．- B.2- C. - D.+
（2）若tanx=-,且＜x＜,则x= （ ）
A. B. C. D.
（3）已知下列三角函数值，在主值区间内求角x。
①sinx=- ②cosx=1 ③tanx=-2
5、归纳总结：
（三）课后拓展
（1）已知sin=，根据所给范围求角。
①为锐角 ②为某三角形内角 ③为第二象限角
（2）求满足下列条件的x的集合。
①cosx=- x ②tanx=- x
（3）求满足下列条件的x的集合。
①sinx=- ②cosx=1
（四）格言警句：
时间是生命，无端的空耗别人的时间，其实是无异于谋财害命。(鲁迅)
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