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§5.4直线与直线的位置关系
一、学习要求：
1、了解空间两条直线的三种位置关系；
2、了解等角定理；
3、通过与平面几何知识的类比，直观感知平行公理并能运用平行公理证明线线平行；
4、理解异面直线所成角的概念．会运用转化的思想将异面直线所成的角转化为求平面内的角的问题。
二、学习重点、难点：
重点：证明两直线平行，异面直线的概念，求两异面直线所成角。
难点： 异面直线的概念，求异面直线所成角。
三、学时安排：共2学时
第一学时：学习空间两直线的位置关系和平行公理，等角定理。
第二学时：学习空间两直线所成角范围，会求两异面直线所成角。
四、学习过程：
第一学时
（一）课前尝试
1、学习方法：
（1）回顾初中已经学过的平面内两直线的位置关系（相交、平行、重合）及定义。
（2）自学课本P237，知道空间两直线的位置关系，弄懂异面直线概念。
2、尝试练习：
（1）用两支铅笔摆出空间两直线的位置关系，你能摆出的位置关系有__________
（2）如图，正方体中任意两条棱的位置关系有哪些？
试举例说明与棱AB的关系。
（二）课堂探究：
1、探究问题：
A．木工师傅要过长方体木块的面A1C1上的一点P，画一条直线和棱CD平行，他应该怎么画？试说出理由。
B．下列几个平面几何命题是否成立？这几个命题在空间是否成立？如果在空间成立，试加以说明；如果不成立请举反例．
（1）不相交的两条直线一定平行；（2）平行于同一直线的两条直线一定平行；（3）垂直于同一直线的两直线一定平行；（3）一条直线垂直于两条平行直线中的一条，也必垂直于另一条．
2、知识链接：
（1）空间的两条直线有以下位置关系：①相交直线：有且只有一个公共点；②平行直线：在同一平面内，没有公共点；③异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。
需要注意的是：相交直线和平行直线统称为共面直线，而异面直线是不共面直线。
(2)平行的传递性：平行于同一条直线的两条直线互相平行。即已知直线a、b、c且a∥b，
b∥c，则a∥c。
(3)证明空间两条直线平行的方法：一是利用定义，其需证两件事：①两直线在同一平面内；②两直线没有公共点．二是利用平行公理。
(4)等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。
3、拓展练习：
（1）课本P.238例1
（2）如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，已知E、F分别是AB，BC的中点，求证：EF∥A1C1．
4、当堂练习：
（1）P.237课内练习1（2）
（2）P.238课内练习2（3）
5、归纳总结：
（三）课后拓展：
1.如果两直线a和b没有公共点，那么a与b（ ）
（A）共面 （B）平行
（C）是异面直线 （D）可能平行，也可能是异面直线
2、设AA1是长方体的一条棱，这个长方体中与AA1平行的棱共有（ ）
（A）1条 （B）2条 （C）3条 （D）4条
（四）格言警句：
阅读使人充实，会谈使人敏捷，写作与笔记使人精确……史鉴使人明智；诗歌使人巧慧；数学使人精细；博物使人深沉；伦理之学使人庄重；逻辑与修辞使人善辩。 ——培根
第二学时
（一）课前尝试
1、学习方法：
（1）回顾异面直线的概念
（2）理解异面直线所成角的概念．会运用转化的思想将异面直线所成的角转化为求平面内两相交直线的角的问题．
2、尝试练习：
（1）如图，正方体中，与AB异面的棱有哪些？
与对角线A1B异面的棱有哪些？
（2）直线A1B与直线AB的夹角为______
直线AB与DD1的夹角为______
(3)直线A1B与CD的夹角为_______
（二）课堂探究
1、探究问题
平面内两条直线的夹角如何定义，写出其范围。如果是空间两条直线的夹角又该如何定义，范围又怎样？
2、知识链接
（1）．异面直线的定义：不同在任何一个平面内的直线叫做异面直线．其常见的画法如下所示：
（2）．异面直线的判定方法：定义法，即不同在任何一个平面的两条直线叫做异面直线。
（3）．异面直线所成角的定义：如图，a，b是两条异面直线，经过空间任意一点O，作直线a'∥a，b'∥b，我们把直线a' 和b' 所成的锐角（或直角）叫做异面直线a，b所成的角．
①异面直线所成角的定义给出了寻找异面直线所成角的方法；②点O的选取与异面直线所成角的大小无关，因此点O常取在两异面直线的一条上，特别是这一直线的某些特殊点上，例如“端点”或“中点”处；③异面直线所成角的定义体现了空间问题向平面问题的转化，即将异面直线所成角转化为平面内两条相交直线所成角，等角定理为此提供了理论依据；④当异面直线a，b所成的角为时，称异面直线a，b垂直，记为，因此空间两直线垂直包括了“相交垂直”与“异面垂直”两种情况．
3、拓展练习：
（1）如图，E，F在AD上，G，H在BC上，图中8条线段所在的直线，哪些直线互为异面直线？
（2）在正方体ABCD—A1B1C1D1中，AA1 = a，E，F分别是棱BC，DC的中点，求异面直线AD1与A1C1所成角的大小；求异面直线AD1和EF所成角的大小．
4、当堂练习：
（1）已知a和b是异面直线，a和c是异面直线，那么b和c也是异面直线吗？
（2）若a和b是异面直线，a,b,=l,则（ ）
（A）l与a、b分别相交
（B）l 与a、b都不相交
（C）l 至多与a、b中的一条相交
（D）l 至少与a、b中的一条相交
5、归纳总结：
由异面直线所成角的定义求异面直线所成角的一般步骤是：平移→构造三角形→解三角形→作答．在几何体中进行平移构造异面直线所成角时，一般选择两异面直线中一条上的一点，或几何体顶点、棱的中点等特殊点．
（三）课后拓展
1、在正方体ABCD—A1B1C1D1中，求下列各组中两
异面直线所成的角。
（1）直线A1B与CC1的夹角；（2）直线A1B与DC的夹角
（3）直线A1B与DC1的夹角；（4）直线A1B与AD1的夹角
（四）格言警句：
数学是研究现实世界中数量关系和空间形式的。简单地说，是研究数与形的科学。(高斯)
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
P
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
E
F
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
A
B
C
D
E
F
A1
B1
C1
D1
A
B
C
D
E
F
G
H
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
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