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九年级数学上点拨与精练
二次函数
22.1.4 二次函数y=ax +bx+c的图像和性质2
用待定系数法求二次函数解析式
学习目标：
1 会用待定系数法确定二次函数y＝ax2＋bx＋c的解析式．
2 通过确定二次函数解析式的过程，体会综合运用函数解析式和过函数图象上的点的数形结合思想．
3 理解并掌握二次函数图象与各项系数之间的关系．
老师告诉你
用待定系数法求二次函数解析式选择类型的方法
1.已知图像上任意三点坐标用一般式y＝ax2＋bx＋c求；
2.已知图像的顶点坐标（或对称轴、或函数最值）则利用顶点式y＝a(x－h)2＋k求；
3.已知图像与x轴两个交点，则利用交点式y=a(x-x1)(x-x2)求。
一、知识点拨
1.知识点1 用一般式确定二次函数解析式
一般式y=ax2+bx+c.代入三个点的坐标列出关于a, b, c的方程组，并求出a, b, c，就可以写出二次函数的解析式.
【新知导学】
例1-1．已知二次函数，当时，；当时，；当时，.求这个二次函数的解析式.
【对应导练】
1．已知二次函数的自变量x的部分取值及对应的函数值y如下表所示.
x … -2 -1 0 1 2 …
y … 3 2 3 6 11 …
（1）写出该二次函数图象的对称轴；
（2）求该二次函数的表达式.
2．如图，已知抛物线的对称轴为直线，且抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，其中，.
（1）若直线经过B，C两点，求直线BC和抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求点M的坐标；
（3）设点P为抛物线的对称轴上的一个动点，求使为直角三角形的点P的坐标.
3．如图,在平面直角坐标系中，抛物线经过三点.
求：
（1）抛物线的解析式；
（2）此抛物线的对称轴和顶点坐标.
4．已知二次函数的图象过点，且它的顶点坐标为，则此二次函数的解析式为 .
2.知识点2 用顶点式确定二次函数解析式
顶点式y=a(x-h)2+k.根据顶坐标点（h,k)，可设顶点式y=a(x-h)2+k，再将另一点的坐标代入，即可求出a的值，从而写出二次函数的解析式.
【新知导学】
例2-1．二次函数y=ax2+bx+c图象的顶点是A（2，1），且经过点B（1，0），求此函数的解析式．
【对应导练】
1．在平面直角坐标系xOy中，二次函数图象上部分点的横坐标x,纵坐标y的对应值如下表：
x … -1 0 1 2 …
y … -3 0 1 0 …
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）若y＜-3，直接写出x的取值范围．
2．已知抛物线的顶点为（1，5），且图象过点（2，7），求抛物线的解析式．
3．一个二次函数图象的顶点坐标是（2，4），且过另一点（0，﹣4），则这个二次函数的解析式为（　　）
A．y＝﹣2（x+2）2+4 B．y＝2（x+2）2﹣4
C．y＝﹣2（x﹣2）2+4 D．y＝2（x﹣2）2﹣4
4．已知二次函数y＝x2+bx+c（b，c为常数且b＞0，c＜0），当﹣5≤x≤0时，﹣11≤y≤5，则c的值为 　　．
3.知识点3 用交点式确定二次函数解析式
交点式y=a(x-x1)(x-x2).当抛物线与x轴的两个交点为(x1,0)、(x2,0)时，可设y=a(x-x1)(x-x2)，再将另一点的坐标代入即可求出a的值，从而写出二次函数的解析式.
【新知导学】
例3-1．已知二次函数经过点（-1，0），（3，0），且最大值为4．
（1）求二次函数的解析式；
（2）在平面直角坐标系xOy中，画出二次函数的图象；
（3）当1＜x＜4时，结合函数图象，直接写出y的取值范围．
【对应导练】
1．如图，二次函数y=ax2+bx+c经过点A（-1，0），B（5，0），C（0，-5），点D是抛物线的顶点，过D作x轴垂线交直线BC于E．
（1）求此二次函数解析式及点D坐标．
（2）连接CD，求三角形CDE的面积．
（3）ax2+bx+c＞0时，x的取值范围是 _____．
2．已知二次函数y=x2+bx+c的图象过点A（-3，0）和点B（1，0），且与y轴交于点C，D点在抛物线上且横坐标是-2．
（1）求抛物线的解析式及顶点坐标；
（2）抛物线的对称轴上有一动点P，求出PA+PD的最小值．
3．已知二次函数的图象经过（-6，0），（2，0），（0，-6）三点．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）求这个二次函数的顶点坐标．
二、题型训练
1.一般式在求二次函数解析式中的应用
1．已知抛物线y=-x2+bx+c（b、c为常数），若此抛物线与某直线相交于A（-1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N，其顶点为D．
（1）求抛物线的函数解析式和顶点D的坐标；
（2）若点P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值及此时点P的坐标．
2．如图，抛物线经过点（-2，0）和（0，4）．
（1）求抛物线的函数表达式和对称轴．
（2）抛物线交y轴于点A，点P在线段OA上，过点P作x轴的平行线交抛物线于B，C两点（B在C的左侧），若时，CP=nPB，求n的值．
2.顶点式在求二次函数解析式中的应用
3．已知抛物线y=a（x-h）2的对称轴是直线x=-2，且过点（1，-3）．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）x在什么范围内，y随x增大而减小？该函数有最大值还是有最小值？求出这个最值．
3.交点式在求二次函数解析式中的应用
4.在平面直角坐标系xOy中，关于x的二次函数y=x2+px+q的图象过点（-1，0），（3，0）．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）求当-2≤x≤6时，y的最大值与最小值的差；
（3）一次函数y=（2-m）x+2-m的图象与二次函数y=x2+px+q图象交点的横坐标分别是a和b,且a＜3＜b,求m的取值范围．
5.如图，抛物线经过点，点，且．

(1)求抛物线的表达式；
(2)如图，点是抛物线的顶点，求的面积．
三、牛刀小试
选择题（共8小题，每小题4分，共32分）
1．在平面直角坐标系xOy中，抛物线的顶点是（1，3），当x＞1时，y随x的增大而增大，则抛物线解析式可以是（　　）
A. y=-2（x+1）2+3 B. y=2（x+1）2+3
C. y=-2（x-1）2+3 D. y=2（x-1）2+3
2．抛物线y=x2+x+c与y轴的交点坐标为（0，-3），则抛物线的表达式为（　　）
A. y=x2+x+3 B. y=x2+x-3 C. y=x2+3x+c D. y=x2-3x+c
3．形状与抛物线y=-x2-2相同，对称轴是直线x=-2，且过点（0，3）的抛物线是（　　）
A. y=x2+4x+3 B. y=-x2-4x+3
C. y=-x2+4x+3 D. y=x2+4x+3或y=-x2-4x+3
4．如图的抛物线的解析式为（　　）

A. y=x2-1 B. y=x2+1 C. y=（x-1）2 D. y=（x+1）2
5．已知某二次函数上两点A（x1，y1），B（x2，y2），当2＜x1＜x2时，（x2-x1）（y2-y1）＞0；当x1＜x2＜2时，（x2-x1）（y2-y1）＜0，则该二次函数的解析式可以是（　　）
A. y=3（x+2）2 B. y=3（x-2）2
C. y=-3（x+2）2 D. y=-3（x-2）2
6．已知顶点为（2，4）的抛物线过点（4，0），此抛物线的表达式是（　　）
A. y=-（x-2）2+4 B. y=（x-2）2-4
C. y=（x-2）2+4 D. y=-（x-2）2-4
7．雁门关，位于我省忻州市雁门山中，是长城上的重要关隘，以“险”著称，被誉为“中华第一关”．由于地理环境特殊，行车高速路上的隧道较多，如图①是雁门关隧道，其截面为抛物线型，如图②为截面示意图，线段OA表示水平的路面，以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系．经测量OA=10m,抛物线的顶点P到OA的距离为9m,则抛物线的函数表达式为（　　）
A. B.
C. D.
8．如图所示的抛物线是二次函数y=ax2+5x+4-a2的图象，那么a的值是（　　）
A. 2 B. -2
C. - D. ±2
二、填空题(共5题，每小题4分，共20分)
9．写出一个与抛物线y=3x2-2x+1开口方向相同的抛物线的表达式：_____．
10．请写出一个以直线x=3为对称轴，且在对称轴左侧部分是下降的抛物线，这条抛物线的表达式可以是 _____．（只要写出一个符合条件的抛物线表达式）
11．已知一次函数y=kx+4的图象与y轴的交点为P，若二次函数y=ax2-5ax+4a的图象经过点P，则二次函数的解析式为 _____．
12 .已知抛物线与二次函数的的图象形状相同，开口方向相同，且顶点坐标为，它对应的函数表达式为（ ）
A． B．
C． D．
13．距离地面有一定高度的某发射装置竖直向上发射物体，物体离地面的高度（米）与物体运动的时间（秒）之间满足函数关系，其图像如图所示，物体运动的最高点离地面20米，物体从发射到落地的运动时间为3秒．设表示0秒到秒时的值的“极差”（即0秒到秒时的最大值与最小值的差），则当时，的取值范围是_________；当时，的取值范围是_________．
三、解答题(共6题，共48分)
14．（8分）已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表所示：
x … -3 -2 -1 0 1 …
y … 0 -3 -4 -3 0 …
（1）这个二次函数的解析式是 _____；
（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象；
（3）当-4＜x＜0时，y的取值范围为 _____．
15．（6分）若二次函数y=ax2+bx-3的图象经过（-1，0）和（3，0）两点，求此二次函数的表达式，并指出其顶点坐标和对称轴．
16.（9分）如图，二次函数y=ax2+bx+c经过点A（-1，0），B（5，0），C（0，-5），点D是抛物线的顶点，过D作x轴垂线交直线BC于E．
（1）求此二次函数解析式及点D坐标．
（2）连接CD，求三角形CDE的面积．
（3）ax2+bx+c＞0时，x的取值范围是 _____．
17．（9分）如图，已知直线y1=kx+n与抛物线y2=-x2+bx+c都经过A（4，0）和B（0，2）．
（1）求直线和抛物线解析式；
（2）当y1＞y2时，求x的取值范围；
（3）若直线上方的抛物线有一点C，且S△ABC=6，求C的坐标．
18．（8分）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A（-4，0），B（0，-8），与x轴的另一交点为C，其对称轴与x轴交于（-1，0）．
（1）求二次函数的表达式；
（2）若点M在线段AB上，过点M作MN⊥x轴于点N，以MN为对角线作正方形MPNQ（点P在MN右侧），当点P在抛物线上时，求点M的坐标．
19．（8分）如图，抛物线y=-x2+bx+c的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点C，直线y=-x+3经过B，C两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为抛物线第一象限上的一动点，连接PC，PB，求△PBC面积的最大值，并求出此时点P的坐标．
九年级数学上点拨与精练
二次函数
22.1.4 二次函数y=ax +bx+c的图像和性质2
用待定系数法求二次函数解析式
学习目标：
1 会用待定系数法确定二次函数y＝ax2＋bx＋c的解析式．
2 通过确定二次函数解析式的过程，体会综合运用函数解析式和过函数图象上的点的数形结合思想．
3 理解并掌握二次函数图象与各项系数之间的关系．
老师告诉你
用待定系数法求二次函数解析式选择类型的方法
1.已知图像上任意三点坐标用一般式y＝ax2＋bx＋c求；
2.已知图像的顶点坐标（或对称轴、或函数最值）则利用顶点式y＝a(x－h)2＋k求；
3.已知图像与x轴两个交点，则利用交点式y=a(x-x1)(x-x2)求。
一、知识点拨
1.知识点1 用一般式确定二次函数解析式
一般式y=ax2+bx+c.代入三个点的坐标列出关于a, b, c的方程组，并求出a, b, c，就可以写出二次函数的解析式.
【新知导学】
例1-1．已知二次函数，当时，；当时，；当时，.求这个二次函数的解析式.
答案：解：由题意得，解得
这个二次函数的解析式为.
【对应导练】
1．已知二次函数的自变量x的部分取值及对应的函数值y如下表所示.
x … -2 -1 0 1 2 …
y … 3 2 3 6 11 …
（1）写出该二次函数图象的对称轴；
（2）求该二次函数的表达式.
答案：解：（1）当时，，当时，，
二次函数图象的对称轴为直线，即.
（2）将，，分别代入，
得解得
该二次函数的表达式为.
2．如图，已知抛物线的对称轴为直线，且抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，其中，.
（1）若直线经过B，C两点，求直线BC和抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求点M的坐标；
（3）设点P为抛物线的对称轴上的一个动点，求使为直角三角形的点P的坐标.
答案：（1）依题意，得，解之，得
∴抛物线解析式为.
∵对称轴为，且抛物线经过，∴.
把、分别直线，得
，解之，得.
∴直线BC的解析式为.
（2）∵，∴.
∴使最小的点M应为直线BC与对称轴的交点.
设直线BC与对称轴的交点为M，
把代入直线，得，
∴.
（3）设，结合，，得，
，
，
①若B为直角顶点，则，即.
解之，得.
②若C为直角顶点，则，即.
解之，得.
③若P为直角顶点，则，即.
解之，得，.
综上所述，满足条件的点P共有四个，分别为
，，，.
3．如图,在平面直角坐标系中，抛物线经过三点.
求：
（1）抛物线的解析式；
（2）此抛物线的对称轴和顶点坐标.
答案：（1）解：把代入
得，解得
（2）把化为的形式为
对称轴为直线，顶点坐标为.
4．已知二次函数的图象过点，且它的顶点坐标为，则此二次函数的解析式为 .
答案：
解析：设二次函数的解析式为，把点代入得，解得，所以二次函数的解析式为
2.知识点2 用顶点式确定二次函数解析式
顶点式y=a(x-h)2+k.根据顶坐标点（h,k)，可设顶点式y=a(x-h)2+k，再将另一点的坐标代入，即可求出a的值，从而写出二次函数的解析式.
【新知导学】
例2-1．二次函数y=ax2+bx+c图象的顶点是A（2，1），且经过点B（1，0），求此函数的解析式．
【解析】本题考查了待定系数法求函数解析式，知道二次函数的顶点式是解题的关键．
解：设抛物线的解析式为y=a（x-2）2+1，
将B（1，0）代入y=a（x-2）2+1得，0=a+1，
∴a=-1，
∴函数解析式为y=-（x-2）2+1，
所以该抛物线的函数解析式为y=-x2+4x-3．
【对应导练】
1．在平面直角坐标系xOy中，二次函数图象上部分点的横坐标x,纵坐标y的对应值如下表：
x … -1 0 1 2 …
y … -3 0 1 0 …
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）若y＜-3，直接写出x的取值范围．
【解析】（1）利用表中数据和抛物线的对称性可得到二次函数的顶点坐标为（1，1），则可设顶点式y=a（x-1）2+1，然后把点（0，0）代入求出a即可；
（2）根据y=-3时x的值，再结合函数图象得出y＜-3时x的取值范围．
解：（1）由题意可得二次函数的顶点坐标为（1，1），
设二次函数的解析式为：y=a（x-1）2+1，
把点（0，0）代入y=a（x-1）2+1，得a=-1，
故抛物线解析式为y=-（x-1）2+1，即y=-x2+2x；
（2）由（1）知，抛物线顶点为（1，1），对称轴为直线x=1，过原点，
根据抛物线的对称性，抛物线过（2，0），
抛物线的图象如图所示：
当y=-3时，-x2+2x=-3，
解得：x1=-1，x2=3，
结合函数图象，当y＜-3时，x＞3或x＜-1．
2．已知抛物线的顶点为（1，5），且图象过点（2，7），求抛物线的解析式．
【解析】先设抛物线的解析式为：y=a（x-1）2+5，然后把点（2，7）代入y=a（x-1）2+5，得关于a的方程，求出a即可．
解：设抛物线的解析式为：y=a（x-1）2+5，
把点（2，7）代入y=a（x-1）2+5 得：
（2-1）2a+5=7，
a+5=7，
a=2，
∴抛物线的解析式为：y=2（x-1）2+5．
3．一个二次函数图象的顶点坐标是（2，4），且过另一点（0，﹣4），则这个二次函数的解析式为（　　）
A．y＝﹣2（x+2）2+4 B．y＝2（x+2）2﹣4
C．y＝﹣2（x﹣2）2+4 D．y＝2（x﹣2）2﹣4
【分析】设抛物线的表达式为y＝a（x﹣2）2+4，将（0，﹣4）代入上式，即可求解；
【解答】解：设抛物线的表达式为y＝a（x﹣h）2+k，
则抛物线表达式为y＝a（x﹣2）2+4，
将（0，﹣4）代入上式得，﹣4＝a（0﹣2）2+4，解得a＝﹣2，
故抛物线的表达式为y＝﹣2（x﹣2）2+4．
故选：C．
【点评】主要考查待定系数法求二次函数的解析式．当知道二次函数的顶点坐标时通常使用二次函数的顶点式来求解析式．顶点式：y＝a（x﹣h）2+k或y＝a（x+m）2+k
4．已知二次函数y＝x2+bx+c（b，c为常数且b＞0，c＜0），当﹣5≤x≤0时，﹣11≤y≤5，则c的值为 　﹣10　．
【分析】先把一般式配成顶点得到当x＝﹣时，y有最小值c﹣，利用a＞0，b＞0，c＜0可判断抛物线的顶点在第三象限，利用二从函数的性质得到x＝﹣5时，y＝5；x＝﹣时，y有最小值﹣11，即25﹣5b+c＝5，c﹣＝﹣11，然后解方程组得到满足条件的c的值．
【解答】解：∵y＝x2+bx+c＝（x+）2+c﹣，
∴当x＝﹣时，y有最小值c﹣，
∵a＞0，b＞0，c＜0，
∴抛物线的顶点在第三象限，
∵当﹣5≤x≤0时，﹣11≤y≤5，
∴x＝﹣5时，y＝5；x＝﹣时，y有最小值﹣11，
即25﹣5b+c＝5，c﹣＝﹣11，
解得b＝2，c＝﹣10或b＝18，c＝70（舍去），
即c的值为﹣10．
故答案为：﹣10．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：熟练掌握二次函数的性质是解决问题的关键．
3.知识点3 用交点式确定二次函数解析式
交点式y=a(x-x1)(x-x2).当抛物线与x轴的两个交点为(x1,0)、(x2,0)时，可设y=a(x-x1)(x-x2)，再将另一点的坐标代入即可求出a的值，从而写出二次函数的解析式.
【新知导学】
例3-1．已知二次函数经过点（-1，0），（3，0），且最大值为4．
（1）求二次函数的解析式；
（2）在平面直角坐标系xOy中，画出二次函数的图象；
（3）当1＜x＜4时，结合函数图象，直接写出y的取值范围．
【解析】（1）根据题意设抛物线解析式为y=a（x+1）（x-3），再由最大值为3求出a的值，即可确定出抛物线解析式．
（2）根据解析式列表，描点连线即可；
（3）根据图象求得即可．
解：（1）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x-3）=ax2-2ax-3a=a（x-1）2-4a,
由最大值为4，得到-4a=4，即a=-1，
则抛物线解析式为y=-x2+2x+3．
（2）列表：
x … -1 0 1 2 3 …
y … 0 3 4 3 0 …
描点、连线，
函数图象如图所示；
；
（3）∵x=1时，y=4，x=4时，y=-5，
∴由图象可知，当1＜x＜4时，y的取值范围是-5＜y＜4．
【对应导练】
1．如图，二次函数y=ax2+bx+c经过点A（-1，0），B（5，0），C（0，-5），点D是抛物线的顶点，过D作x轴垂线交直线BC于E．
（1）求此二次函数解析式及点D坐标．
（2）连接CD，求三角形CDE的面积．
（3）ax2+bx+c＞0时，x的取值范围是 _____．
【答案】x＜-1或x＞5
【解析】（1）设交点式=a（x+1）（x-5），再把C点坐标代入求出a即可；然后利用配方法把一般式配成顶点式得到D点坐标；
（2）利用待定系数法求出直线BC的解析式为y=x-5，则可确定E点坐标，然后利用三角形面积公式求解；
（3）结合函数图象，写出抛物线在x轴上方所对应的自变量的范围即可．
解：（1）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x-5），
把C（0，-5）代入得-5=a×（0+1）×（0-5），
解得a=1，
∴抛物线解析式为y=（x+1）（x-5），
即y=x2-4x-5；
∵y=x2-4x-5=（x-2）2-9，
∴D（2，-9），
（2）设直线BC的解析式为y=mx+n,
把B（5，0），C（0，-5）分别代入得，
解得，
∴直线BC的解析式为y=x-5，
当x=2时，y=x-5=-3，
∴E（2，-3），
∴三角形CDE的面积=×（-3+9）×2=6；
（3）当x＜-1或x＞5时，y＞0，
故答案为：x＜-1或x＞5．
2．已知二次函数y=x2+bx+c的图象过点A（-3，0）和点B（1，0），且与y轴交于点C，D点在抛物线上且横坐标是-2．
（1）求抛物线的解析式及顶点坐标；
（2）抛物线的对称轴上有一动点P，求出PA+PD的最小值．
【解析】（1）利用交点式写出抛物线解析式，然后利用配方法把一般式配成顶点式，从而得到抛物线的顶点坐标；
（2）抛物线的对称轴为直线x=-1，再确定C（0，-3），D（-2，-3），则点D和点C为关于直线x=-1对称，连接AC交直线x=-1于点P，如图，则PD=PC，根据两点之间线段最短可判断此时PA+PD的值最小，然后计算AC即可．
解：（1）∵二次函数y=x2+bx+c的图象过点A（-3，0）和点B（1，0），
∴抛物线解析式为y=（x+3）（x-1），
即y=x2+2x-3；
∵y=x2+2x-3=（x+1）2-4，
∴抛物线的顶点坐标为（-1，-4）；
（2）∵y=（x+1）2-4，
∴抛物线的对称轴为直线x=-1，
当x=0时，y=x2+2x-3=-3，则C（0，-3），
当x=-2时，y=x2+2x-3=4-4-3=-3，则D（-2，-3），
∴点D和点C为关于直线x=-1对称，
连接AC交直线x=-1于点P，如图，则PD=PC，
∴PA+PD=PA+PC=AC，
∴此时PA+PD的值最小，
∵AC==3，
即PA+PD的最小值为3．
3．已知二次函数的图象经过（-6，0），（2，0），（0，-6）三点．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）求这个二次函数的顶点坐标．
【解析】（1）利用待定系数法求得即可；
（2）把（1）中的解析式配成顶点式，然后根据二次函数的性质即可得到二次函数图象的顶点坐标．
解：（1）设二次函数的解析式为y=a（x-2）（x+6）（a≠0），
∵图象过点（0，-6），
∴-12a=-6，
∴a=，
∴二次函数的解析式为；
（2）y=（x+6）（x-2）=x2+2x-6=（x+2）-8，
∴抛物线的顶点坐标为（-2，-8）．
二、题型训练
1.一般式在求二次函数解析式中的应用
1．已知抛物线y=-x2+bx+c（b、c为常数），若此抛物线与某直线相交于A（-1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N，其顶点为D．
（1）求抛物线的函数解析式和顶点D的坐标；
（2）若点P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值及此时点P的坐标．
【解析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）过点P作PG∥y轴交AC于点G，设P（t,-t2+2t+3），则G（t,t+1），，然后根据二次函数的性质可求解
1）解：将A（-1，0），C（2，3）两点代入y=-x2+bx+c,
∴，
解得，
∴y=-x2+2x+3，
∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，
∴D（1，4）；
（2）解：设AC的直线解析式为y=kx+b,
∴，
解得，
∴y=x+1，
过点P作PG∥y轴交AC于点G，如图所示：
设P（t,-t2+2t+3），则G（t,t+1），
∴PG=-t2+t+2，
∴，
∴当时，△PAC的面积最大值为，
此时．
2．如图，抛物线经过点（-2，0）和（0，4）．
（1）求抛物线的函数表达式和对称轴．
（2）抛物线交y轴于点A，点P在线段OA上，过点P作x轴的平行线交抛物线于B，C两点（B在C的左侧），若时，CP=nPB，求n的值．
【解析】（1）利用待定系数法即可求得；
（2）首先求得A的坐标，然后设BP=m,则，，根据抛物线的对称性求得C（m+2，-），即可得出BC=2m+2，AP=，由得到关于m的方程，解方程求得m的值，从而求得CP=3，BP=1，即可求得n=3．
解：（1）∵抛物线经过点（-2，0）和（0，4），
∴，
解得，
∴抛物线的函数表达式为：；
∴对称轴直线：x=-=1；
（2）∵抛物线交y轴于点A，
∴A（0，4），
设BP=m,则，，
∵抛物线对称轴直线x=1，
∴C（m+2，-），
∴BC=2m+2，AP=4-（-）=，
∵，
∴，
解得：m1=1，（舍去），
∴CP=3，BP=1，
∴n=3．
2.顶点式在求二次函数解析式中的应用
3．已知抛物线y=a（x-h）2的对称轴是直线x=-2，且过点（1，-3）．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）x在什么范围内，y随x增大而减小？该函数有最大值还是有最小值？求出这个最值．
【解析】（1）根据对称轴，可得h的值，根据抛物线过点（1，-3），可得a值．
（2）根据函数图象及函数的增减性回答即可．
解：（1）∵抛物线y=a（x-h）2的对称轴为直线x=-2，
∴抛物线为y=a（x+2）2
又∵抛物线过点（1，-3），
∴-3=a（1+2）2，
即9a=-3，
解得 a=-，
所以该抛物线的解析式为y=-（x+2）2．
（2）∵a=-，
∴开口向下，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，
∴当x＞-2时，y随x的增大而减小，抛物线有最大值，
∵抛物线的顶点为（-2，0），
∴当x=-2时，函数有最大值0．
3.交点式在求二次函数解析式中的应用
4 .在平面直角坐标系xOy中，关于x的二次函数y=x2+px+q的图象过点（-1，0），（3，0）．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）求当-2≤x≤6时，y的最大值与最小值的差；
（3）一次函数y=（2-m）x+2-m的图象与二次函数y=x2+px+q图象交点的横坐标分别是a和b,且a＜3＜b,求m的取值范围．
【解析】（1）由二次函数的图象经过（-1，0）和（3，0）两点，利用交点式即可求得二次函数的表达式；
（2）求得抛物线的对称轴，根据图象即可得出当x=6，函数有最大值21；当x=1时函数有最小值-4，进而求得它们的差；
（3）由题意得x2-2x-3=（2-m）x+2-m,整理得x2+（m-4）x+m-5=0，解方程求得x1=-1，x2=5-m,根据题意得到5-m＞3，解得m＜2．
解：（1）由二次函数y=x2+px+q的图象过点（-1，0），（3，0）．
∴y=（x+1）（x-3），
∴此二次函数的表达式为y=x2-2x-3；
（2）∵抛物线开口向上，对称轴为直线x==1，
∴在-2≤x≤6范围内，当x=6，函数有最大值为：y=36-2×6-3=21；当x=1时函数有最小值：y=1-2×1-3=-4，
∴y的最大值与最小值的差为：21-（-4）=25；
（3）y=（2-m）x+2-m与二次函数y=x2-2x-3图象交点的横坐标为a和b,
∴x2-2x-3=（2-m）x+2-m,整理得x2+（m-4）x+m-5=0，
解得：x1=-1，x2=5-m,
∵a＜3＜b,
∴a=-1，b=5-m＞3，
解得m＜2，即m的取值范围是m＜2．
5.如图，抛物线经过点，点，且．

(1)求抛物线的表达式；
(2)如图，点是抛物线的顶点，求的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据已知得出点，进而待定系数法求解析式即可求解．
（2）根据解析式化为顶点式求得，待定系数法求得直线的解析式，过点作轴于点，交于点，则，进而根据三角形的面积公式即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线经过点，点，且．
∴，
即，
设抛物线解析式为，将代入得，
解得：，
∴抛物线解析式为
（2）解：∵，
∴,
如图所示，过点作轴于点，交于点，

设直线的解析式为，将代入得，
解得：，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴，
∴，
∴．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，面积问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
三、牛刀小试
选择题（共8小题，每小题4分，共32分）
1．在平面直角坐标系xOy中，抛物线的顶点是（1，3），当x＞1时，y随x的增大而增大，则抛物线解析式可以是（　　）
A. y=-2（x+1）2+3 B. y=2（x+1）2+3
C. y=-2（x-1）2+3 D. y=2（x-1）2+3
【答案】D
【解析】根据题意可知抛物线开口向上，又知顶点为（1，3），根据抛物线的顶点式求解．
解：由题意得：抛物线的顶点是（1，3），开口向上，
故选：D．
2．抛物线y=x2+x+c与y轴的交点坐标为（0，-3），则抛物线的表达式为（　　）
A. y=x2+x+3 B. y=x2+x-3 C. y=x2+3x+c D. y=x2-3x+c
【答案】B
【解析】把（0，-3）代入y=x2+x+c中求出c的值，从而得到抛物线解析式．
解：∵抛物线y=x2+x+c与y轴的交点坐标为（0，-3），
∴c=-3，
∴抛物线解析式为y=x2+x-3．
故选：B．
3．形状与抛物线y=-x2-2相同，对称轴是直线x=-2，且过点（0，3）的抛物线是（　　）
A. y=x2+4x+3 B. y=-x2-4x+3
C. y=-x2+4x+3 D. y=x2+4x+3或y=-x2-4x+3
【答案】D
【解析】由题中给出的条件，对称轴和与y轴的交点坐标，可以确定c的值及a与b的关系，再从所给选项中判断出选项即可．
解：设所求抛物线的函数关系式为y=ax2+bx+c,由抛物线过点（0，3），可得：c=3，
由抛物线形状与y=-x2-2相同，
分为两种情况：①开口向下，则a＜0，
又∵对称轴x=-2，则x=-=-2．则b＜0，
由此可得出B选项符合题意．
②开口向下，则a＞0，
又∵对称轴x=-2，则x=-=-2．则b＞0，
由此可得出A选项符合题意，
综合上述，符合条件的是选项D，
故选：D．
4．如图的抛物线的解析式为（　　）

A. y=x2-1 B. y=x2+1 C. y=（x-1）2 D. y=（x+1）2
【答案】C
【解析】由图知抛物线顶点：（1，0），故设y=a（x-1）2，又因为交y轴于（0，1），代入解析式即可．
解：图知抛物线顶点：（1，0），
故设y=a（x-1）2，
又∵抛物线交y轴于（0，1），
∴1=a（0-1）2，
解得：a=1，
∴抛物线的解析式为：y=（x-1）2，
故选：C．
5．已知某二次函数上两点A（x1，y1），B（x2，y2），当2＜x1＜x2时，（x2-x1）（y2-y1）＞0；当x1＜x2＜2时，（x2-x1）（y2-y1）＜0，则该二次函数的解析式可以是（　　）
A. y=3（x+2）2 B. y=3（x-2）2
C. y=-3（x+2）2 D. y=-3（x-2）2
【答案】B
【解析】依据题意，由二次函数的图象与性质即可判断得解．
解：由题意，当二次函数开口向上时，在对称轴左边，y随x的增大而减小；在对称轴右边，y随x的增大而增大．
当1＜x1＜x2时，（x2-x1）（y2-y1）＞0，
∴x2-x1＞0．
∴y2＞y1．
∴当x＞2时，y随x的增大而增大．
当x1＜x2＜2时，（x2-x1）（y2-y1）＜0，
∴x2-x1＞0．
∴y2＜y1．
∴当x＜2时，y随x的增大而减小．
∴抛物线的对称轴为x=2，开口向上．
故选：B．
6．已知顶点为（2，4）的抛物线过点（4，0），此抛物线的表达式是（　　）
A. y=-（x-2）2+4 B. y=（x-2）2-4
C. y=（x-2）2+4 D. y=-（x-2）2-4
【答案】A
【解析】先根据二次函数的顶点坐标设出二次函数的解析式y=a（x-2）2+4（a≠0），然后将（4，0）代入，可求得a的值．
解：二次函数图象的顶点坐标是（2，4），则设这个二次函数的解析式为y=a（x-2）2+4（a≠0），
把（4，0）代入，得4a+4=0，
解得a=-1，
故这个二次函数的表达式为：y=-（x-2）2+4．
故选：A．
7．雁门关，位于我省忻州市雁门山中，是长城上的重要关隘，以“险”著称，被誉为“中华第一关”．由于地理环境特殊，行车高速路上的隧道较多，如图①是雁门关隧道，其截面为抛物线型，如图②为截面示意图，线段OA表示水平的路面，以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系．经测量OA=10m,抛物线的顶点P到OA的距离为9m,则抛物线的函数表达式为（　　）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由OA的长度及点P到OA的距离，可得出点P的坐标，设出抛物线的顶点式，利用待定系数法，即可求出抛物线的函数表达式．
解：∵OA=10m,抛物线的顶点P到OA的距离为9m,
∴抛物线顶点P的坐标为（5，9）．
设抛物线的函数表达式为y=a（x-5）2+9，
将O（0，0）代入y=a（x-5）2+9得：0=25a+9，
解得：a=-，
∴抛物线的函数表达式为y=-（x-5）2+9．
故选：D．
8．如图所示的抛物线是二次函数y=ax2+5x+4-a2的图象，那么a的值是（　　）
A. 2 B. -2
C. - D. ±2
【答案】B
【解析】根据图示知，抛物线y=ax2+5x+4-a2的图象经过（0，0），所以将点（0，0）代入方程，利用待定系数法求二次函数解析式．
解：根据图示知，二次函数y=ax2+5x+4-a2的图象经过原点（0，0），
∴0=4-a2，
解得，a=±2；
又∵该函数图象的开口方向向下，
∴a＜0，
∴a=-2．
故选：B．
二、填空题(共5题，每小题4分，共20分)
9．写出一个与抛物线y=3x2-2x+1开口方向相同的抛物线的表达式：_____．
【答案】y=3x2（答案不唯一）
【解析】抛物线的形状开口方向和a值有关．
解：∵一个抛物线与抛物线y=3x2-2x+1开口方向相同，
∴a＞0，
∴这个抛物线的解析式可以为y=3x2，
故答案为：y=3x2（答案不唯一）．
10．请写出一个以直线x=3为对称轴，且在对称轴左侧部分是下降的抛物线，这条抛物线的表达式可以是 _____．（只要写出一个符合条件的抛物线表达式）
【答案】y=（x-3）2+2（答案不唯一）
【解析】可根据顶点式求抛物线解析式，只需要对称轴为x=3，开口向上即可．
解：满足题意的抛物线解析式为：y=（x-3）2+2．
本题答案不唯一．
故答案为：y=（x-3）2+2（答案不唯一）．
11．已知一次函数y=kx+4的图象与y轴的交点为P，若二次函数y=ax2-5ax+4a的图象经过点P，则二次函数的解析式为 _____．
【答案】y=x2-5x+4
【解析】由一次函数的解析式求得P点的坐标，把P的坐标代入y=ax2-5ax+4a,利用待定系数法即可求解．
解：∵一次函数y=kx+4的图象与y轴的交点为P，
∴P（0，4），
∵二次函数y=ax2-5ax+4a的图象经过点P，
∴4a=4，
解得a=1，
∴二次函数为y=x2-5x+4．
故答案为：y=x2-5x+4．
12 .已知抛物线与二次函数的的图象形状相同，开口方向相同，且顶点坐标为，它对应的函数表达式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】设此抛物线的解析式为，根据抛物线与二次函数的的图象形状相同，开口方向相同，可知，再代入顶点坐标即可．
【详解】解：设此抛物线的解析式为，
∵抛物线与二次函数的的图象形状相同，开口方向相同，
∴，
∵顶点坐标为，
∴，，
∴，
故选D．
【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
13．距离地面有一定高度的某发射装置竖直向上发射物体，物体离地面的高度（米）与物体运动的时间（秒）之间满足函数关系，其图像如图所示，物体运动的最高点离地面20米，物体从发射到落地的运动时间为3秒．设表示0秒到秒时的值的“极差”（即0秒到秒时的最大值与最小值的差），则当时，的取值范围是_________；当时，的取值范围是_________．
【答案】 ①. ②.
【解析】根据题意，得-45+3m+n=0，，确定m，n的值，从而确定函数的解析式，根据定义计算确定即可．
根据题意，得-45+3m+n=0，，
∴ ，
∴ ，
解得m=50，m=10，
当m=50时，n=-105；当m=10时，n=15；
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴n＞0，
∴，
∵对称轴为t==1，a=-5＜0，
∴时，h随t的增大而增大，
当t=1时，h最大，且（米）；当t=0时，h最最小，且（米）；
∴w=，
∴w的取值范围是，
故答案为：．
当时，的取值范围是
∵对称轴为t==1，a=-5＜0，
∴时，h随t的增大而减小，
当t=2时，h=15米，且（米）；当t=3时，h最最小，且（米）；
∴w=，w=，
∴w的取值范围是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了待定系数法确定抛物线的解析式，函数的最值，增减性，对称性，新定义计算，熟练掌握函数的最值，增减性，理解新定义的意义是解的关键．
三、解答题(共6题，共48分)
14．（8分）已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表所示：
x … -3 -2 -1 0 1 …
y … 0 -3 -4 -3 0 …
（1）这个二次函数的解析式是 _____；
（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象；
（3）当-4＜x＜0时，y的取值范围为 _____．
【答案】(1)y=x2+2x-3;(2)-4≤y＜5;
【解析】（1）利用表中数据和抛物线的对称性可得到二次函数的顶点坐标为（-1，-4），则可设顶点式y=a（x+1）2-4，然后把点（0，-3）代入求出a即可；
（2）利用描点法画二次函数图象；
（3）根据x=-4、-2时的函数值即可写出y的取值范围．
解：（1）由题意可得二次函数的顶点坐标为（-1，-4），
设二次函数的解析式为：y=a（x+1）2-4，
把点（0，-3）代入y=a（x+1）2-4，得a=1，
故抛物线解析式为y=（x+1）2-4，即y=x2+2x-3；
（2）如图所示：
（3）∵y=（x+1）2-4，
∴当x=-4时，y=（-4+1）2-4=5，
当x=-0时，y=-3，
又对称轴为x=-1，
∴当-4＜x＜0时，y的取值范围是-4≤y＜5．
15．（6分）若二次函数y=ax2+bx-3的图象经过（-1，0）和（3，0）两点，求此二次函数的表达式，并指出其顶点坐标和对称轴．
【解析】利用待定系数法求二次函数的解析式，把点 （-1，0）和（3，0）代入解析式，得出关于a,b的二元一次方程组，求出a,b的值，得出二次函数的解析式，化成顶点式，即可求出顶点坐标和对称轴．
解：∵二次函数y=ax2+bx-3的图象经过（-1，0）和（3，0）两点，
∴，
解得a=1，b=-2，
∴二次函数的表达式为y=x2-2x-3=（x-1）2-4，顶点坐标为（1，-4），对称轴为x=1．
16.（9分）如图，二次函数y=ax2+bx+c经过点A（-1，0），B（5，0），C（0，-5），点D是抛物线的顶点，过D作x轴垂线交直线BC于E．
（1）求此二次函数解析式及点D坐标．
（2）连接CD，求三角形CDE的面积．
（3）ax2+bx+c＞0时，x的取值范围是 _____．
【答案】x＜-1或x＞5
【解析】（1）设交点式=a（x+1）（x-5），再把C点坐标代入求出a即可；然后利用配方法把一般式配成顶点式得到D点坐标；
（2）利用待定系数法求出直线BC的解析式为y=x-5，则可确定E点坐标，然后利用三角形面积公式求解；
（3）结合函数图象，写出抛物线在x轴上方所对应的自变量的范围即可．
解：（1）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x-5），
把C（0，-5）代入得-5=a×（0+1）×（0-5），
解得a=1，
∴抛物线解析式为y=（x+1）（x-5），
即y=x2-4x-5；
∵y=x2-4x-5=（x-2）2-9，
∴D（2，-9），
（2）设直线BC的解析式为y=mx+n,
把B（5，0），C（0，-5）分别代入得，
解得，
∴直线BC的解析式为y=x-5，
当x=2时，y=x-5=-3，
∴E（2，-3），
∴三角形CDE的面积=×（-3+9）×2=6；
（3）当x＜-1或x＞5时，y＞0，
故答案为：x＜-1或x＞5．
17．（9分）如图，已知直线y1=kx+n与抛物线y2=-x2+bx+c都经过A（4，0）和B（0，2）．
（1）求直线和抛物线解析式；
（2）当y1＞y2时，求x的取值范围；
（3）若直线上方的抛物线有一点C，且S△ABC=6，求C的坐标．
【解析】（1）将已知两点坐标代入直线与抛物线解析式求出各字母的值，即可确定出各自的解析式；
（2）观察图象，直线y1落在抛物线y2上方的部分对应的x的取值即为所求x的取值范围；
（3）设C的坐标为（x,-x2+3.5x+2），根据S△ABC=S△AOC+S△BOC-S△AOB=6列出方程，解方程即可．
解：（1）将（4，0）与（0，2）分别代入直线解析式得：，
解得：，
即直线解析式为y1=-x+2；
将（4，0）与（0，2）分别代入抛物线解析式得：，
解得：，
即抛物线解析式为y2=-x2+3.5x+2；
（2）根据两函数交点坐标为（0，2），（4，0），
由图象得：当y1＞y2时，x的取值范围为x＜0或x＞4；
（3）设C的坐标为（x,-x2+3.5x+2），则0＜x＜4．
∵S△ABC=6，
∴S△AOC+S△BOC-S△AOB=6，
∴×4×（-x2+3.5x+2）+×2x-×4×2=6，
整理得x2-4x+3=0，
解得x1=1，x2=3，
当x1=1时，-x2+3.5x+2=-1+3.5+2=4.5；
当x2=3时，-x2+3.5x+2=-9+10.5+2=3.5；
∴C的坐标为（1，4.5）或（3，3.5）．
18．（8分）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A（-4，0），B（0，-8），与x轴的另一交点为C，其对称轴与x轴交于（-1，0）．
（1）求二次函数的表达式；
（2）若点M在线段AB上，过点M作MN⊥x轴于点N，以MN为对角线作正方形MPNQ（点P在MN右侧），当点P在抛物线上时，求点M的坐标．
【解析】（1）利用待定系数法求出a,b,c即可；
（2）连接PQ，MN交于点E．设M（t,-2t-8），则点N（t,0），利用正方形的性质求出点P的坐标，代入抛物线的解析式，构建方程求解．
解：（1）∵对称轴为直线x=-1，经过A（-4，0），B（0，-8），
∴，
解得
∴抛物线的解析式为y=x2+2x-8；
（2）设直线AB的解析式为y=kx+n,
∵A（-4，0），B（0，-8），
∴，
解得，
∴直线AB的解析式为y=-2x-8，
设M（t,-2t-8），则点N（t,0），
∵四边形MPNQ是正方形，设PQ与MN交于E，
∴PQ⊥MN，NE=EP，，
∴PQ//x轴，
∴E（t,-t-4），
∴NE=EP=t+4，
∴P（2t+4，-t-4），
∵点P在抛物线y=x2+2x-8上，
∴（2t+4）2+2（2t+4）-8=-t-4，
解得t1=-4（舍去），，
∴点M坐标为，．
19．（8分）如图，抛物线y=-x2+bx+c的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点C，直线y=-x+3经过B，C两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为抛物线第一象限上的一动点，连接PC，PB，求△PBC面积的最大值，并求出此时点P的坐标．
【解析】（1）求出B（3，0），C（0，3），再用待定系数法可得y=-x2+2x+3；
（2）过P作PH∥y轴交BC于H，设P（m,-m2+2m+3），则PH=-m2+3m,S△PBC=PH |xB-xC|=×（-m2+3m）×3=-m2+m=-（m-）2+，由二次函数性质可得答案．
解：（1）在y=-x+3中，令x=0得y=3，令y=0得x=3，
∴B（3，0），C（0，3），
把B（3，0），C（0，3）代入y=-x2+bx+c得：
，
解得，
∴y=-x2+2x+3；
（2）过P作PH∥y轴交BC于H，如图：
设P（m,-m2+2m+3），则H（m,-m+3），
∴PH=-m2+2m+3-（-m+3）=-m2+3m,
∴S△PBC=PH |xB-xC|=×（-m2+3m）×3=-m2+m=-（m-）2+，
∵-＜0，
∴当m=时，S△PBC取最大值，
此时-m2+2m+3=-（）2+2×+3=，
∴P的坐标为（，）；
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