资源简介

(共19张PPT)
如图,在△ABC中，D、E、F分别是AB、AC、BC的中点.
问题1：连结图中6个点中的任意两点，可以产生新的线段，你能说一说吗？
问题2：找一找，哪些线段是你已经学过的？哪些没有学过？
4.5 三角形的中位线
浙教版义务教育教科书《数学》八年级下册
认识中位线
连结三角形两边中点的线段叫三角形的中位线
∵D、 E分别为AB、AC的中点
∴DE为△ABC的中位线
同理DF、EF也为△ ABC的中位线
三角形有三条中位线
跟踪训练
（1）如果D、E分别是AB、AC的中点，那么DE为△ABC的______;
（2）如果DE为△ABC的中位线，那么D、E分别是AB、AC的_____.
中位线
中点
探索学习
如图，DE是△ABC的中位线.
（1）提出猜想：
（2）实验操作：
大胆假设
结论：
三角形的中位线平行于第三边（位置关系）
并且等于第三边的一半（数量关系）
小心求证
证明：延长DE到F，使EF=DE，连接CF
∵DE=EF,AE=EC,∠AED= ∠CEF
∴△ADE≌△CFE
∴∠ADE=∠F，AD=CF=BD，
∴AB∥CF
∴四边形BCFD是平行四边形
证法2
证明：作BC的中点F，连接FE并延长至点G，使得EF=EG,连接AG.
∵EF=EG AE=EC，∠AEG=∠CEF
∴△AEG≌△CEF ∴AG=FC=BF
又∵∠GAE=∠FCE，∴AG∥FC
∴四边形ABFG是平行四边形
∴BF=AG=FC，AB=GF
又∵D为AB中点，E为GF中点，
∴DB∥=EF
∴四边形DBFE是平行四边形
∴DE∥BF，即DE∥BC，DE=BF=FC
即DE=1/2BC
证法3
证明：延长DE到点F，使EF=DE，连结AF、CF、CD
∵AE=EC∴DE=EF
∴四边形ADCF是平行四边形
∴AD FC
又∵D为AB中点，∴DB FC
所以，四边形BCFD是平行四边形
证法4
证明：作BC的中点F，连接FE并延长至点G，使得EF=EG,连接AG、AF、CG.
∵EF=EG AE=EC，
∴四边形AFCG是平行四边形
∴AG=CF=BF,又∵AG∥BF
∴四边形ABFG是平行四边形.
又∵D为AB中点，E为GF中点，
∴DB∥EF，且DB=EF，
∴四边形DBFE是平行四边形
∴DE∥BF，即DE∥BC，DE=BF=FC
即DE=1/2BC
三角形中位线定理
三角形的中位线平行且等于第三边的一半.
几何语言：
适用范围
① 证明平行问题
② 证明一条线段是另一条线段的两倍或一半
为了测量一个池塘的宽BC,在池塘一侧的平地上选一点A,再分别找出线段AB，AC的中点D、E，若测出DE=15m，就能求出池塘BC的长吗？
练习1
（1）已知: 如图1-1,DE,EF是△ABC的两条中位线.求证:四边形BFED是平行四边形.
（2）如图1-2,DE是△ABC的中位线,AF是BC边上的中线,DE和AF交于点O.求证:DE与AF互相平分.
练习2
A
B
C
D
E
F
G
H
证明：如图，连接AC
∵EF是△ABC的中位线
∴EF AC
同理得：GH AC
∴EF GH
∴四边形EFGH是平行四边形.
小结：有中位线而无三角形，即可通过辅助线添加得到三角形
顺次连接四边形各边中点的线段组成一个平行四边形
进一步拓展
已知：在四边形ABCD中，E，F分别是对角线AC，BD的中点，M，N分别是AB，CD的中点.
求证：EF与MN互相平分
小结：有三角形而无中位线，可连结两边中点得中位线
开拓思维
已知：如图，△ABC是锐角三角形.分别以AB，AC为边向外侧作等边三角形ABM和等边三角形CAN.D，E，F分别是MB，BC，CN的中点，连结DE，EF.
求证：DE=EF
小结
（1）三角形中位线的概念
（3）定理应用：①定理应用为证明平行关系提供了新的证据；②定理为证明一条线段是另一条线段的2倍或一半提供了一个新的途径
（2）三角形中位线定理
（4）在应用中位线定理时，应同时出现三角形和中位线
提高题
3、如图，在△ABC中，D是BC的中点，AE平分∠BAC，BE⊥AE于点E，且AC=14，ED=3，则AB的长是______.
课后作业
作业本A本
学法指导中小学教育资源及组卷应用平台
三角形的中位线
教材分析
本课选自浙教版义务教育教科书《数学》八年级下册第四章第五节。主要内容包括三角形中位线的概念、三角形中位线定理的证明、三角形中位线定理的应用。三角形中位线是三角形中重要的线段，三角形中位线定理是三角形的一个重要的性质定理，是前面已经学过的平行线、全等三角形、平行四边形性质等知识内容的应用和深化，是三角形和四边形建立关系的一个纽带，同时也为证明直线的平行和线段的倍分关系提供了新的方法和依据。在三角形中位线定理的证明及应用中，处处渗透归纳、类比、转化等化归思想，它是数学解题的重要思想方法，对拓宽学生思维有着重要意义。
学情分析
本班学生已经学行线、全等三角形、平行四边形等相关知识，对于一些基本知识已经熟练掌握。但是主动灵活运用所学知识解决问题的能力还比较薄弱。初二学生已初步具备一定的思维分析能力，但还不够成熟，特别是添加适当的辅助线进行证明的能力还有待提高。在本节学习中，学生容易出现以下问题：一是如何证明线段的倍分问题，二是应用中位线性质定理时怎样添加辅助线的问题。
教学目标
知识与技能
理解三角形的中位线的概念；
掌握三角形的中位线定理；
探索三角形中位线定理的一些简单应用。
过程与方法
进一步经历“探索—猜想—证明”的过程，发展探究能力、推理论证的能力，培养数学应用意识；
在定理的证明和应用过程中体会归纳、类比、转化等数学思想方法。
情感态度与价值观
培养学生实事求是、善于观察、勇于探索、严密细致的科学态度；
在探索过程中，体验成功的喜悦，树立学习的信心。
教学重点、难点
教学重点：三角形的中位线定理的证明、掌握和应用
教学难点：三角形的中位线定理的证明中需适当添加辅助线，具有较高的难度
教学方法与工具
教学方法：以学生为主体采用观察、实验、归纳、转化的方法与老师讲授法相结合
教学工具：多媒体课件、三角板、几何画板
教学过程
第一部分——三角形的中位线的概念
实践探索，得到概念
如图,在△ABC中，D、E、F分别是AB、AC、BC的中点.
【引导问题】
问题1：连结图中6个点中的任意两点，可以产生新的线段，你能说一说吗？
问题2：找找哪些线段是你已经学过的，哪些没有学过？
【设计意图】学生很容易可以得到两个问题的答案，通过这一步骤可以自然而然地引入今天的课题：三角形的中位线。这样做，既可以让学生得到三角形中位线的概念，又可以让学生在无形中区分了三角形的中线和中位线。
概念学习，感悟新知
三角形中位线的定义：
连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线
如图，DE、EF、DF是三角形的3条中位线.
跟踪训练：
如果D、E分别是AB、AC的中点，那么DE为△ABC的______;
如果DE为△ABC的中位线，那么D、E分别是AB、AC的_____.
【设计意图】使学生及时加深三角形中位线的概念印象，为后面的探究打下基础，设立两道简单的抢答题，让学生有信息转化的意识，即中点之间的连线即为中位线，有中位线即有两个中点。
第二部分——三角形的中位线定理
探索猜想，得到结论
在△ABC中，并作出AB、AC的中点D、E，连结DE.
猜想：三角形的中位线DE会与第三边BC有怎样的关系？
交流猜想：①三角形的中位线与第三边有怎样的关系？②你是如何猜想出这个结论的？（归纳猜想方法：①直观感觉 ②度量 ③多画几个图观察……）
几何画板演示：
①DE是三角形ABC的中位线，拖动点A，随着△ABC形状的改变，DE还是△ABC的中位线吗？线段BC的长度是否发生改变？DE与BC的关系还成立吗？
②拖动点B，上述结论是否成立？
（4）得出结论：
三角形的中位线平行于第三边（位置关系）
并且等于第三边的一半（数量关系）
【设计意图】第一步是为了让学生大胆猜想，开拓思维。让学生交流猜想方法是为了让他们感受到猜想策略的多样性。
合理论证，得到定理
（1）引导学生把文字命题转化成几何命题，让学生说出已知和求证，并画出图形。
已知：如图，DE是△ABC的中位线.
求证：DEBC.
【设计意图】一个定理的得到需要严谨的证明，把发现的规律用命题的形式表示出来，既可以培养学生提出问题的能力，也可以让学生感受到数学严谨的魅力。
引导问题：
问题1：要证明DE∥BC，我们以前采用的是什么方法？现在这个方法可行吗？
问题2：要证明DE=BC呢？可以采用什么方法？我们要如何添加辅助线呢？
（2）学生合作交流，证明得到三角形的中位线定理
方法一：延长DE至点F，使EF=DE，连接CF.
方法二：延长DE至点F，使EF=DE，连接CF、DC、AF.
方法三：①过E作AB的平行线交BC于F，自A作BC的平行线交FE于G.
②取BC的中点F，连接EF并延长至点G，使EF=EG，连接AG.
方法四：取BC的中点F，延长EF至点G，使得EF=EG，连接AG、CG、AF.（如图4）
（3）归纳总结解题思路：
①要证明线段平行，可以由角相等或者互补得到，或者由平行四边形得出平行。
②要证明一条线段等于另一条边的一半，当根据条件和图形直接证明困难时可添加辅助线，通常采用“加倍法”（将较短线段延长一倍）或“折半法”（将较长线段折半）构造全等三角形、平行四边形得到。
【设计意图】中位线的定理证明是本节内容的难点，根本原因在于学生对于辅助线的添加不知从何下手，这时可以通过引导的方式，把新知识转向旧知识，把生疏的问题熟悉化，这实际上是数学中的转化思想的重要体现。这两道题目可以使学生领悟到转化思想在分析问题和解决问题当中的重要性。
归纳总结三角形的中位线定理
1、教师带领学生说出中位线定理：
三角形的中位线平行且等于第三边的一半
并得到几何语言：∵DE是△ABC的中位线 ∴DEBC
教师说明三角形的中位线定理的适用范围：一是证明平行问题，二是可以证明一条线段是另一条线段的两倍或一半。
（四）练习巩固，深化拓展
【练习1】为了测量一个池塘的宽BC,在池塘一侧的平地上选一点A,再分别找出线段AB，AC的中点D、E，若测出DE=15m，就能求出池塘BC的长吗？
【设计意图】基于初学者的水平，练习1简单而紧扣定理应用，让学生能及时记忆定理，同时问题取材于生活，让学生体会数学来应用于生活的价值。
【练习2】（1）已知: 如图1-1,DE,EF是△ABC的两条中位线.求证:四边形BFED是平行四边形.
（2）如图1-2,DE是△ABC的中位线,AF是BC边上的中线,DE和AF交于点O.求证:DE与AF互相平分.
【设计意图】练习2能进一步拓展学生对于定理的应用能力，而（2）也可提醒学生中位线作为辅助线的作用
第三部分——例题讲解
例 如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.
求证：四边形EFGH是平行四边形.
【师生活动】师：E、F、G、H是中点，那么EF、GF、GH、EH是什么线？
生：中位线
师：中位线定理要放到什么图形当中才能用起来？题目中有吗？没有应该怎么做？
生：放到三角形中，可通过添加辅助线把四边形转化成两个三角形
【设计意图】进一步强化中位线定理，在四边形中有中位线而无三角形，可通过添加辅助线，把四边形转化成三角形，体现了数学中的化归思想。
教师和学生一起说出证法，并板书证法，证法如下：
证明：连接AC.
∵EF是△ABC的中位线，∴EFAC
同理得：HGAC
∴EFHG
∴四边形EFGH是平行四边形.
第四部分——实战演练
1.DE是△ABC的中位线,AF是BC边上的中线,DE和AF交于点O.求证:DE与AF互相平分.
【设计意图】要求证EF与MN互相平分可转化成求证四边形EMFN是平行四边形，故辅助线的添加自然而然可以得到，接着运用中位线定理就可以解决问题。可以培养学生分析问题、解决问题的能力，并进一步感受数学的转化思想。
2.已知：如图，△ABC是锐角三角形.分别以AB，AC为边向外侧作等边三角形ABM和等边三角形CAN.D，E，F分别是MB，BC，CN的中点，连结DE，EF.
求证：DE=EF
【设计意图】有中位线而无三角形，则可添加辅助线得到三角形，将求证DE=EF转化成求证MC=BN，而MC=BN又可以转化成求证△MAC≌△BAN，进一步拓展应用中位线定理，同时也体现了数学中的转化思想。
3.如图，在△ABC中，D是BC的中点，AE平分∠BAC，BE⊥AE于点E，且AC=14，ED=3，则AB的长是______.
【设计意图】感受三角形中位线定理与等腰三角形三线合一定理之间的关系，即都有中点的存在，让同学们知道知识之间都是有联系的，都可以互相转化。
第五部分——归纳小结，提高认识
学生交流在本节课学习中的体会、收获，交流学习过程中的体验和感受，师生合作共同完成小结。
小结：
三角形的中位线的概念：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线
三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半
定理应用：①定理应用为证明平行关系提供了新的证据；②定理为证明一条线段是另一条线段的2倍或一半提供了一个新的途径
在处理定理的应用问题时，应同时出现三角形和中位线。
第六部分——课后作业
作业本A本
学法指导

展开更多......

收起↑