资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
九年级数学上点拨与精练
二次函数
22.3 实际问题与二次函数2
学习目标：
1 掌握商品利润问题中的数量关系
2 能够利用二次函数性质解决商品销售过程中的最大利润问题
老师告诉你
1.建立二次函数模型解决实际问题的一般步骤：
实际问题 建立二次函数模型 利用二次函数图像和性质求解
实际问题的解
利润问题的基本关系式
总利润=单件利润x销售数量
一、知识点梳理
知识点1 用二次函数解析式表示实际问题
用二次函数解决实际问题的一般步骤：
1.审：仔细审题，理清题意；
2.设：找出题中的变量和常量，分析它们之间的关系，与图形相关的问题要结合图形具体分析，设出适当的未知数；
3.列：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数的解析式；
4.解：依据已知条件，借助二次函数的解析式、图象和性质等求解实际问题；
5.检：检验结果，进行合理取舍，得出符合实际意义的结论.
【新知导学】
例1-1．经市场调查发现，将进货价格为45元的商品按单价70元售出时，能卖出150个．已知该商品单价每降低2元，其销售量就增加10个．设这种商品的售价减低x元时，获得的利润为y元，则下列关系式正确的是（　　）
A. y=（25-x）（150+5x） B. y=（25-x）（150+10x）
C. y=（70-x）（150+5x） D. y=（70-x）（150+10x）
【对应导练】
1．已知某种产品的成本价为30元/千克，经市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：y=-2x+80．设这种产品每天的销售利润为w（元），则w与x之间的函数表达式为（　　）
A. w=（x-30）（-2x+80） B. w=x（-2x+80）
C. w=30（-2x+80） D. w=x（-2x+50）
2．某超市经销一种水果，每千克盈利10元，每天销售500千克，经市场调查反映：若每千克涨价1元，每天销售量减少20千克，设每千克涨价x（单位：元），且0≤x≤25，每天售出商品的利润为y（单位：元），则y与x的函数关系式是（　　）
A. y=500-20x B. y=（500-20x）（10+x）
C. y=（500+10x）（10-x） D. y=（500-10x）（10+x）
知识点2 用二次函数求商品销售中的最值问题
利用二次函数的最值解答商品销售中的“最大利润”问题时，可采用以下步骤：
①设出自变量，用含自变量的代数式表示销售单价或销售量及销售收入；
②用含自变量的代数式表示销售商品的成本；
③用因变量及含自变量的代数式分别表示销售利润，即可得到函数表达式；
④根据函数表达式求出最值及取得最值时自变量的值，注意结果要符合实际意义及题意。
利润问题主要涉及两个等量关系：利润=售价-进价；
总利润=单件商品的利润×销售量．
【新知导学】
例2-1．某网店销售某款童装，每件售价60元，每星期可卖300件，为了促销，该网店决定降价销售．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖30件．已知该款童装每件成本价40元，设该款童装每件售价x元，每星期的销售量为y件．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润多少元？
【对应导练】
1．某电子厂商设计了一款制造成本为18元新型电子厂品，投放市场进行试销．经过调查，得到每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的部分数据如下：
销售单价x（元/件） … 20 25 30 35 …
每月销售量y（万件） … 60 50 40 30 …
(1)求出每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的函数关系式．
(2)根据相关部门规定，这种电子产品的销售利润率不能高于50%，而且该电子厂制造出这种产品每月的制造成本不能超过900万元．那么求出当销售单价定为多少元时，厂商每月能获得最大利润？最大利润是多少？（利润=售价﹣制造成本）
2．利川市地处湖北省西南边陲，西靠蜀渝，东接恩施，南邻潇湘，北依三峡，拥有丰富的旅游资源．某景区夏季投放一款纪念品进行销售，每件成本为20元，规定销售单价不低于成本且不高于50元，销售一段时间调研发现，每天的销售数量y（件）与销售单价x（元/件）满足一次函数关系，部分数据如下表所示∶
销售单价x（元/件） … 25 30 35 …
每天销售数量y（件） … 150 140 130 …
(1)直接写出y与x的函数关系式；
(2)若每天销售所得利润为2400元，那么销售单价应定为多少元？
(3)当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？
3．某品牌大米远近闻名，深受广大消费者好评，某超市每天购进一批成本价为元的该大米，以不低于成本价且不超过元的价格销售．当售价为元时．每天售出大米；当售价为元时，每天售出大米，通过分析销售数据发现：每天销售大米的质量与售价（元）满足一次函数关系．
(1)请写出与的函数关系式；
(2)当售价定为多少元时，每天销售该大米的利润可达到元；
(3)当售价定为多少元时，每天获利最大？最大利润为多少？
4．某服装店以每件40元的价格购进一批村衫，在试销过程中发现：每月销售量（件）与销售单价（为正整数）（元）之间符合一次函数关系，当销售单价为55元时，月销售量为140件；当销售单价为70元时，月销售量为80件．
(1)求与的函数关系式；
(2)设服装店每月销售该种村衫获利为元，求与之间的函数关系式，并求出销售单价定为多少元时，商场获利最大，最大利润是多少元？
题型训练
1.二次函数与方程的综合应用
1．某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．
(1)若商场获得了10000元销售利润，且尽量减少库存，该玩具销售单价应定为多少元？
(2)若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于540件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？
2．某商店销售乌馒头，通过分析销售情况发现，乌馒头的日销售量(单位：盒)是销售单价(单位：元/盒)的一次函数，销售单价、日销售量的部分对应值如下表，已知销售单价不低于成本价且不高于元，每天销售乌馒头的固定损耗为元，且成本价为元/盒，日销售量为盒．
销售单价/(元/盒)
日销售量/盒
(1)求乌馒头的日销售量与销售单价的函数解析式；
(2)端午节期间，商店决定采用降价促销的方式回馈顾客，在顾客获得最大实惠的前提下，当乌馒头每盒降价多少元时，商店日销售纯利润为元；
(3)当销售单价定为多少时，日销售纯利润最大，并求此日销售最大纯利润．
2.二次函数与不等式的综合应用
3．某校八年级学生小丽、小强和小红到某超市参加了社会实践活动，在活动中他们参与了某种水果的销售工作，已知该水果的进价为8元/千克，下面是他们在活动结束后的对话
小丽：如果以10元/千克的价格销售，那么每天可售出300千克．
小强：如果以13元/千克的价格销售，那么每天可获取利润750元．
小红：通过调查验证，我发现每天的销售量y（千克）与销售单价x（元）（）之间存在一次函数关系
(1)求y（千克）与x（元）（）的函数关系式；
(2)当销售单价为何值时，该超市销售这种水果每天获取的利润达到600元？【利润=销售量×（销售单价-进价）】
(3)一段时间后，发现这种水果每天的销售量均不低于225千克．则此时该超市销售这种水果每天获取的最大利润是多少？
4．小莹妈妈的花卉超市以元盆的价格新购进了某种盆栽花卉，为了确定售价，小莹帮妈妈调查了附近，，，，五家花卉店近期该种盆栽花卉的售价与日销售量情况，记录如下：
售价（元盆）
日销售量（盆）
模型建立：（1）请将以上调查数据在草稿纸上按照一定顺序重新整理，分析数据的变化规律，请求出日销售量（盆）与售价（元盆）间的关系；
模型应用：（2）根据以上信息，小莹妈妈在销售该种花卉中，每盆售价不低于成本，每盆利润率不高于，当每盆售价定为多少时，每天能够获得最大利润，最大利润是多少元？
3.二次函数与一次函数的综合应用
5．毛泽东故居景区有一商店销售一种纪念品，这种商品的成本价为10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种商品的销售价不高于20元/件，市场调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系如图所示．
(1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
(2)求每天的销售利润W（元）与销售价x（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
6．某商店经过市场调查，整理出某种商品在第x（）天的售价与销量的相关信息如下表：
时间x（天）
售价（元/件） 90
每天销量（件）
已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品的每天利润为y元．
(1)求出y与x的函数关系式；
(2)该商品在销售过程中，共有多少天每天销售利润不低于4800元？
(3)在前50天销售过程中，为了给顾客发放福利，每售出一件商品就返还2a元给顾客，且要求售价不低于80元，但是前50天的销售中，仍可以获得最大利润5832元，求出a的值．
牛刀小试
一、选择题（每小题4分，共32分）
1．童装专卖店销售一种童装，若这种童装每天获利y（元）与销售单价x（元）满足关系，若要想获得最大利润，则销售单价x为（ ）
A．25元 B．20元 C．30元 D．40元
2．喜迎圣诞，某商店销售一种进价为的商品，售价为，每星期可卖出件，若每件商品的售价每上涨元，则每星期就会少卖出件．设每件商品的售价上涨元（为正整数），每星期销售该商品的利润为元，则与的函数解析式为（ ）
A． B． C． D．
3．某种产品按质量分为个档次，生产最低档次产品，每件获利润元，每提高一个档次，每件产品利润增加元．用同样工时，最低档次产品每天可生产件，每提高一个档次产量将减少件．如果获利润最大的产品是第档次（最低档次为第一档次，档次依次随质量增加），那么等于（ ）
A． B． C． D．
4．某旅社有100张床位，当每床每晚收费10元时，客床可全部租出；若每床每晚收费提高2元，则减少10张床位租出；若每晚收费再提高2元，则再减少10张床位租出．以每次提高2元的方法变化下去，为了投资少且利润大，每床每晚应提高（ ）
A．4元和6元 B．4元 C．6元 D．8元
5．某产品进货单价为9元，按10元一件出售时，能售出50件．若每件每涨价1元，销售量就减少10件，则该产品能获得的最大利润为（ ）
A．50元 B．80元 C．90元 D．100元
6．某超市销售一种商品，发现一周利润y（元）与销售单价x（元）之间的关系满足，由于某种原因，销售单价只能为，那么一周可获得最大利润是（　　）
A．1 558元 B．1 550元
C．1 508元 D．20元
7．某服装店试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间每件服装的销售单价不低于成本，且获得的利润不得高于成本的．经试销发现，销售量y（件）与销售单价x（元）符合一次函数关系．有下列结论：
①销售单价可以是90元；
②该服装店销售这种服装可获得的最大利润为891元；
③销售单价有两个不同的值满足该服装店销售这种服装获得的利润为500元，
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
8．已知某商品每件的进价为40元，售价为每件60元，每星期可卖出该商品300件．根据市场调查反映：商品的零售价每降价1元，则每星期可多卖出该商品20件．有下列结论：
①当降价为3元时，每星期可卖360件；
②每星期的利润为6120元时，可以将该商品的零售价定为42元或者43元；
③每星期的最大利润为6250元．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
二．填空题（共5小题，每小题4分，共20分）
9．某商品每个售价元时，每天能售出个，若售价每提高元，日销售量就要少售出个，若售价每提高元，则日销售量为 个．设每天利润为元，商品进价每个为元，则与的函数解析式是 ．要使日利润达到最大，则每个售价应定为 元．
10．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加利润，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现：若这种衬衫每降价2元，商场平均每天可多售出4件，则商场降价后每天的盈利y（元）与降价x（元）的函数关系式 ．
11．某公司推出一种高效环保洗涤用品，年初上市后公司经历了亏损到盈利的过程如图的二次函数图象部分刻画了该公司年初以来累积利润万元与销售时间月之间的关系即前个月的利润总和与之间的关系根据图象提供的信息，可求出该公司第个月的利润是 万元．

12．某商店销售A，B两款商品，利润（单位：元）分别为和，其中x为销量（单位：袋），若本周销售两款商品一共20袋，则能获得的最大利润为 ．
13．某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间每天的定价为180元时，房间会住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲，宾馆需为有游客居住的房间每天支出20元费用，若想要获得最大利润，则房价应定为每个房间每天 元．
三．解答题（共6小题，每小题8分，共48分）
14．某商店销售某种特产商品，以每千克12元购进，按每千克16元销售时，每天可售出100千克，经市场调查发现，单价每涨1元，每天的销售量就减少10千克．
(1)若该商店销售这种特产商品想要每天获利480元，并且尽可能让利于顾客，那么每千克特产商品的售价应为多少元？
(2)通过计算说明，每千克特产商品售价为多少元时，每天销售这种特产商品获利最大，最大利润是多少元？
15．“利民快餐店”试销某种套餐，试销一段时间后发现，每份套餐的成本为元，该店每天固定支出费用为元（不含套餐成本）．若每份售价不超过元，每天可销售份；若每份售价超过元，每提高元，每天的销售量就减少份．为了便于结算，每份套餐的售价（元）取整数，用（元）表示该店日纯收入．该店既要吸引顾客，使每天的销售量较大，又要有较高的日纯收入．按此要求，每份套餐的售价应定为多少元？此时日纯收入为多少？
16．伴随经济发展和生活水平的日益提高，水果超市如雨后春笋般兴起．万松园一水果超市从外地购进一批水果，其进货成本是每吨0.4万元，根据预测，此批水果一段时间内的销量y（吨）（纵坐标）与每吨的销售价x万元（横坐标）之间的函数关系如图所示．
(1)请直接写出y与x之间的函数关系．
(2)如果销售利润为W万元，当每吨销售价是多少万元时，销售利润最大？最大利润是多少？
(3)若超市共花费4万元购进此批水果，按照第（2）问的售价销售一半水果后用时8天，因水果开始变质及为售卖其他新品种水果决定在后4天内将此水果全部售完，请问超市是盈利还是亏损？金额多少？
17．近年来，湖北省某地致力打造特色乡村旅游，发展以“农家乐”“高端民宿”为代表的旅游度假区．为迎接旅游旺季的到来，某民宿准备重新调整房间价格，已知该民宿有20个房间，当每个房间每天的定价为500元时，所有房间全部住满；当每个房间每天的定价每增加50元时，就会有一个房间无人入住，如果有游客居住房间，民宿每天需要对每个房间各支出100元的其他费用．设每个房间每天的定价增加x个50元（，且x为整数），该民宿每天游客居住的房间数量为y间，所获利润为W元．为吸引游客，该地物价部门要求民宿尽最大可能让利游客．
(1)分别求出y与x，W与x之间的函数关系式；
(2)当定价为多少元时，民宿每天获得的利润可以达到9600元；
(3)求当每个房间的定价为多少元时，民宿每天获得的利润最大，最大利润是多少？
18．为了落实国务院的指示精神，某地方政府出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加．某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每千克20元，市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：．设这种产品每天的销售利润为w元．
(1)求w与x之间的函数关系式．
(2)该产品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
(3)如果物价部门规定这种产品的销售价不高于每千克28元，该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克多少元？
19．宜昌某农副加工厂2023年年初投入80万元经销某种农副产品，由于物美价廉，在惠农网商平台推广下，该产品火爆畅销全国各地．已知该产品的成本为20元/件，经市场调查发现，该产品的销售单价定为25元到30元之间较为合理，该产品每年的销售量y（万件）与售价x（元/件）之间满足一种函数关系，售价x（元/件）与y（万件）的对应关系如表：
x … 20 26 28 31 35 …
y … 20 14 12 9 5 …
(1)求该产品每年的销售量y（万件）与售价x（元/件）之间的函数关系式；
(2)2023年年底该工厂共盈利16万元，2024年国家惠农政策力度更大，生产技术也有所提高，使得该特产的成本平均每件减少了1元．
①求2023年该特产的售价；
②该产品2024年售价定为多少时，工厂利润最大 最大利润是多少
九年级数学上点拨与精练
二次函数
22.3 实际问题与二次函数2
学习目标：
1 掌握商品利润问题中的数量关系
2 能够利用二次函数性质解决商品销售过程中的最大利润问题
老师告诉你
1.建立二次函数模型解决实际问题的一般步骤：
实际问题 建立二次函数模型 利用二次函数图像和性质求解
实际问题的解
利润问题的基本关系式
总利润=单件利润x销售数量
一、知识点梳理
知识点1 用二次函数解析式表示实际问题
用二次函数解决实际问题的一般步骤：
1.审：仔细审题，理清题意；
2.设：找出题中的变量和常量，分析它们之间的关系，与图形相关的问题要结合图形具体分析，设出适当的未知数；
3.列：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数的解析式；
4.解：依据已知条件，借助二次函数的解析式、图象和性质等求解实际问题；
5.检：检验结果，进行合理取舍，得出符合实际意义的结论.
【新知导学】
例1-1．经市场调查发现，将进货价格为45元的商品按单价70元售出时，能卖出150个．已知该商品单价每降低2元，其销售量就增加10个．设这种商品的售价减低x元时，获得的利润为y元，则下列关系式正确的是（　　）
A. y=（25-x）（150+5x） B. y=（25-x）（150+10x）
C. y=（70-x）（150+5x） D. y=（70-x）（150+10x）
【答案】A
【解析】当这种商品的售价减低x元时，每个的销售利润为（25-x）元，销售量为（150+5x）个，利用总利润=每个的销售利润×销售量，即可找出y关于x的函数关系式，此题得解．
解：当这种商品的售价减低x元时，每个的销售利润为70-x-45=（25-x）元，销售量为150+10×=（150+5x）个，
根据题意得：y=（25-x）（150+5x）．
故选：A．
【对应导练】
1．已知某种产品的成本价为30元/千克，经市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：y=-2x+80．设这种产品每天的销售利润为w（元），则w与x之间的函数表达式为（　　）
A. w=（x-30）（-2x+80） B. w=x（-2x+80）
C. w=30（-2x+80） D. w=x（-2x+50）
【答案】A
【解析】利用这种产品每天的销售利润=每千克的销售利润×每天的销售量，即可找出w与x之间的函数表达式．
解：根据题意得：w=（x-30）y,
即w=（x-30）（-2x+80）．
故选：A．
2．某超市经销一种水果，每千克盈利10元，每天销售500千克，经市场调查反映：若每千克涨价1元，每天销售量减少20千克，设每千克涨价x（单位：元），且0≤x≤25，每天售出商品的利润为y（单位：元），则y与x的函数关系式是（　　）
A. y=500-20x B. y=（500-20x）（10+x）
C. y=（500+10x）（10-x） D. y=（500-10x）（10+x）
【答案】B
【解析】当每千克涨价x元时，每千克盈利（10+x）元，每天可销售（500-20x）千克，利用每天售出商品的利润=每千克的销售利润×日销售量，即可得出y与x的函数关系式，此题得解．
解：当每千克涨价x元时，每千克盈利（10+x）元，每天可销售（500-20x）千克，
根据题意得：y=（500-20x）（10+x）．
故选：B．
知识点2 用二次函数求商品销售中的最值问题
利用二次函数的最值解答商品销售中的“最大利润”问题时，可采用以下步骤：
①设出自变量，用含自变量的代数式表示销售单价或销售量及销售收入；
②用含自变量的代数式表示销售商品的成本；
③用因变量及含自变量的代数式分别表示销售利润，即可得到函数表达式；
④根据函数表达式求出最值及取得最值时自变量的值，注意结果要符合实际意义及题意。
利润问题主要涉及两个等量关系：利润=售价-进价；
总利润=单件商品的利润×销售量．
【新知导学】
例2-1．某网店销售某款童装，每件售价60元，每星期可卖300件，为了促销，该网店决定降价销售．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖30件．已知该款童装每件成本价40元，设该款童装每件售价x元，每星期的销售量为y件．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润多少元？
【答案】(1)
(2)当每件售价定为55元时，每星期的销售利润最大，最大利润为6750元
【分析】本题考查了一次函数的应用、二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．
（1）根据每降价1元，每星期可多卖30件找出销量与售价之间的关系即可得；
（2）设每星期的销售利润为元，根据利润（售价成本价）销量建立与之间的函数关系式，再利用二次函数的性质求解即可得．
【详解】（1）解：由题意得：，
所以与之间的函数关系式是．
（2）解：设每星期的销售利润为元，
由题意得：
，
由二次函数的性质可知，当时，取得最大值，最大值为6750，
答：当每件售价定为55元时，每星期的销售利润最大，最大利润为6750元．
【对应导练】
1．某电子厂商设计了一款制造成本为18元新型电子厂品，投放市场进行试销．经过调查，得到每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的部分数据如下：
销售单价x（元/件） … 20 25 30 35 …
每月销售量y（万件） … 60 50 40 30 …
(1)求出每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的函数关系式．
(2)根据相关部门规定，这种电子产品的销售利润率不能高于50%，而且该电子厂制造出这种产品每月的制造成本不能超过900万元．那么求出当销售单价定为多少元时，厂商每月能获得最大利润？最大利润是多少？（利润=售价﹣制造成本）
【答案】(1)
(2)单价为27元时，厂商每月获得的利润最大，最大利润为414万元．
【分析】本题考查了二次函数的应用和一次函数的应用，解答本题的关键是得出月销售利润的表达式和用配方法求二次函数最值．
（1）根据待定系数法求解；
（2）根据厂商每月的制造成本不超过900万元，以及成本价18元，得出销售单价的取值范围，设每月获得的利润为万元，建立关于的二次函数，利用二次函数的性质求最大利润．
【详解】（1）设销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的函数关系式为：，
把，代入得 ，
解得： ，
∴每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的函数关系式为：
（2）∵厂商每月的制造成本不超过900万元，每件制造成本为18元，
∴每月的生产量为：小于等于 万件，
，
解得：，
又由销售利润率不能高于50%，得，
设每月获得的利润为万元，
则，
∵，
∴图象开口向下，对称轴左侧随的增大而增大，
∴时，w最大为：414万元，
当销售单价为27元时，厂商每月获得的利润最大，最大利润为414万元．
2．利川市地处湖北省西南边陲，西靠蜀渝，东接恩施，南邻潇湘，北依三峡，拥有丰富的旅游资源．某景区夏季投放一款纪念品进行销售，每件成本为20元，规定销售单价不低于成本且不高于50元，销售一段时间调研发现，每天的销售数量y（件）与销售单价x（元/件）满足一次函数关系，部分数据如下表所示∶
销售单价x（元/件） … 25 30 35 …
每天销售数量y（件） … 150 140 130 …
(1)直接写出y与x的函数关系式；
(2)若每天销售所得利润为2400元，那么销售单价应定为多少元？
(3)当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？
【答案】(1)
(2)销售单价应定为40元
(3)当销售单价为50元时，每天获利最大，最大利润为3000元
【分析】本题考查一次函数，一元二次方程和二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式和一元二次方程．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）根据题意列出一元二次方程求解即可；
（3）设每天获利w元，根据题意表示出w，然后利用二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）设y与x 之间的关系式为：
由已知可得：
解得
∴；
（2）根据题意得：
解得
∵规定销售单价不低于成本且不高于50元，
∴，
答：销售单价应定为40元；
（3）设每天获利w元，
∵，对称轴是直线
而
∴当时，w取最大值，最大值是（元），
答：当销售单价为50元时，每天获利最大，最大利润为3000元．
3．某品牌大米远近闻名，深受广大消费者好评，某超市每天购进一批成本价为元的该大米，以不低于成本价且不超过元的价格销售．当售价为元时．每天售出大米；当售价为元时，每天售出大米，通过分析销售数据发现：每天销售大米的质量与售价（元）满足一次函数关系．
(1)请写出与的函数关系式；
(2)当售价定为多少元时，每天销售该大米的利润可达到元；
(3)当售价定为多少元时，每天获利最大？最大利润为多少？
【答案】(1)．
(2)当售价定为元时，利润可达到元．
(3)当售价定为元时，每天获利最大，最大利润为元．
【分析】（1）设与的函数关系式为，将，代入即可解得、从而得到与的函数关系式；
（2）由（售价成本价）每天销售大米的质量利润可得关于的一元二次方程，求解后根据的取值范围即可得解；
（3）设利润为元，由（售价成本价）每天销售大米的质量利润推得，则根据二次函数的图象和性质可得当时，有最大值，每天获利最大，最大利润为元．
【详解】（1）解：设与的函数关系式为，
根据题意得，该函数经过点，，
将，代入，
得，
解得 ，
与的函数关系式为．
（2）解：根据题意，得，
，
解得，，
售价不低于成本单价且不超过元，
当售价定为元时，利润可达到元．
（3）解：设利润为元，根据题意得：
，
，，
当时，有最大值，此时，
当售价定为元时，每天获利最大，最大利润为元．
【点睛】本题考查的知识点是待定系数法求一次函数解析式、营销问题(一元二次方程的应用)、二次函数的最值、销售问题(实际问题与二次函数)，解题关键是熟练掌握二次函数的最值求法．
4．某服装店以每件40元的价格购进一批村衫，在试销过程中发现：每月销售量（件）与销售单价（为正整数）（元）之间符合一次函数关系，当销售单价为55元时，月销售量为140件；当销售单价为70元时，月销售量为80件．
(1)求与的函数关系式；
(2)设服装店每月销售该种村衫获利为元，求与之间的函数关系式，并求出销售单价定为多少元时，商场获利最大，最大利润是多少元？
【答案】(1)
(2)关系式为：，时商场获利最大，最大利润是2500元
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数和二次函数的解析式的运用，二次函数的顶点式的运用，解答时求出函数的解析式是关键．
（1）设与的函数关系式，根据售价与销量之间的数量关系建立方程组，求出其解即可；
（2）根据利润（售价进价）数量就可以表示出，
【详解】（1）解：设与的函数关系式，由题意，得
，
解得：，
与的函数关系式为：；
（2）解：由题意，得
，
与之间的函数关系式为：，
，
当时，最大利润为2500元．
题型训练
1.二次函数与方程的综合应用
1．某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．
(1)若商场获得了10000元销售利润，且尽量减少库存，该玩具销售单价应定为多少元？
(2)若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于540件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？
【答案】(1)50元
(2)8640元
【分析】本题考查了二次函数、一元二次方程及不等式组在销售问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
（1）设该玩具销售单价应定为x元（），商场销售该品牌玩具获得的利润为w元，由题意得w关于x的二次函数，根据商场获得了10000元销售利润，可得关于的一元二次方程，求得方程的解并根据问题的实际意义作出取舍即可．
（2）由玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于540件的销售任务，可得关于x的一元一次不等式组，解得x的取值范围；再将（1）中所得的二次函数写成顶点式，按照二次函数的性质可得符合题意的x值，进而得出最大利润．
【详解】（1）解：设该玩具销售单价应定为x元（），商场销售该品牌玩具获得的利润为w元，由题意得：
，
若商场获得了10000元销售利润，则，
整理得：，
解得：，
尽量减少库存，
该玩具销售单价应定为50元；
（2）由题意得：，
解得：，
，
，对称轴为直线，
时，w随x的增大而增大，
当时，（元）．
商场销售该品牌玩具获得的最大利润是8640元．
2．某商店销售乌馒头，通过分析销售情况发现，乌馒头的日销售量(单位：盒)是销售单价(单位：元/盒)的一次函数，销售单价、日销售量的部分对应值如下表，已知销售单价不低于成本价且不高于元，每天销售乌馒头的固定损耗为元，且成本价为元/盒，日销售量为盒．
销售单价/(元/盒)
日销售量/盒
(1)求乌馒头的日销售量与销售单价的函数解析式；
(2)端午节期间，商店决定采用降价促销的方式回馈顾客，在顾客获得最大实惠的前提下，当乌馒头每盒降价多少元时，商店日销售纯利润为元；
(3)当销售单价定为多少时，日销售纯利润最大，并求此日销售最大纯利润．
【答案】(1)
(2)每盒降价元
(3)当销售单价定为元盒时，最大纯利润为元
【分析】本题考查了一次函数，一元二次方程，二次函数在销售利润中的应用，求二次函数的最大值，掌握销售问题中的等量关系式是解题的关键．
（1）设，根据表格代入即可求解；
（2）根据：销售量单件利润损耗费用销售总利润，列出方程即可求解；
（3）设日销售纯利润为元，根据：销售量单件利润损耗费用销售总利润，列出函数关系式，并在范围内求最值即可．
【详解】（1）解：设，
由题意得：，
解得：，
；
（2）解：日销售量为盒，
把代入，
得：，
解得：，
即原来日销售单价为元，
设当日销售单价为元时，销售利润为元，
根据题意得：，
解得：，，
为了使顾客获得最大实惠，销售单价应该定为元，
降价为：（元），
答：当乌馒头每盒降价元时，商店每天获利为元；
（3）解：设日销售纯利润为元，由题意得：
，
，，
当时，有最大值元，
答：当销售单价定为元盒时，日销售纯利润最大，最大纯利润为元．
2.二次函数与不等式的综合应用
3．某校八年级学生小丽、小强和小红到某超市参加了社会实践活动，在活动中他们参与了某种水果的销售工作，已知该水果的进价为8元/千克，下面是他们在活动结束后的对话
小丽：如果以10元/千克的价格销售，那么每天可售出300千克．
小强：如果以13元/千克的价格销售，那么每天可获取利润750元．
小红：通过调查验证，我发现每天的销售量y（千克）与销售单价x（元）（）之间存在一次函数关系
(1)求y（千克）与x（元）（）的函数关系式；
(2)当销售单价为何值时，该超市销售这种水果每天获取的利润达到600元？【利润=销售量×（销售单价-进价）】
(3)一段时间后，发现这种水果每天的销售量均不低于225千克．则此时该超市销售这种水果每天获取的最大利润是多少？
【答案】(1)
(2)10元或14元
(3)该超市销售这种水果每天获取的最大利润是787.5元
【分析】本题考查二次函数的应用、待定系数法求函数解析式，解一元二次方程，二次函数的图像与性质，解题的关键是构建二次函数，利用二次函数性质解决实际问题，属于中考常考题型．
（1）先求出销售单价为13元千克时的销售量，再利用待定系数法即可解决问题．
（2）列出方程即可解决问题．
（3）构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题．
【详解】（1）解：当销售单价为13元/千克时，销售量为：（千克）．
设y与x的函数关系式为：，
把分别代入得：，
解得，
与x的函数关系是：．
（2）解：由题意：，
解得或10．
销售单价为每千克10元或14元时，每天获取利润600元．
（3）解：设每天水果的利润为w元，则
，
∵,
当时，w随x的增大而增大．
又水果每天的销售量均不低于225千克，
，
．
当时，W最大值（元）．
答：该超市销售这种水果每天获取的最大利润是787.5元．
4．小莹妈妈的花卉超市以元盆的价格新购进了某种盆栽花卉，为了确定售价，小莹帮妈妈调查了附近，，，，五家花卉店近期该种盆栽花卉的售价与日销售量情况，记录如下：
售价（元盆）
日销售量（盆）
模型建立：（1）请将以上调查数据在草稿纸上按照一定顺序重新整理，分析数据的变化规律，请求出日销售量（盆）与售价（元盆）间的关系；
模型应用：（2）根据以上信息，小莹妈妈在销售该种花卉中，每盆售价不低于成本，每盆利润率不高于，当每盆售价定为多少时，每天能够获得最大利润，最大利润是多少元？
【答案】（）日销售量（盆）与售价（元盆）间的关系为一次函数的关系式为；（）当每盆售价定为元时，每天能够获得最大利润，最大利润是元
【分析】（）按照售价从小到大的顺序进行排列后，得到日销售量（盆）与售价（元盆）间的关系为一次函数的关系式，然后用待定系数法即可求解；
（）设每天的利润为，列出二次函数表示式，利用二次函数的性质，进行求解即可；
考查一元二次方程和二次函数的实际应用，从表格中有效的获取信息，正确列出函数解析式是解题的关键．
【详解】解：（）按照售价从低到高排列列出表格如下：
售价（元盆）
日销售量（盆）
根据表格可知：日销售量（盆）与售价（元盆）间的关系为一次函数的关系式，
设日销售量（盆）与售价（元盆）间的关系为一次函数的关系式为，
∴，解得，
∴日销售量（盆）与售价（元盆）间的关系为一次函数的关系式为；
（）设每天的利润为，
则，
∴，
∵每盆售价不低于成本，每盆利润率不高于，
∴，即，
则当时，每天能够获得最大利润，最大利润为（元），
答：当每盆售价定为元时，每天能够获得最大利润，最大利润是元．
3.二次函数与一次函数的综合应用
5．毛泽东故居景区有一商店销售一种纪念品，这种商品的成本价为10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种商品的销售价不高于20元/件，市场调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系如图所示．
(1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
(2)求每天的销售利润W（元）与销售价x（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)
(2)每件销售价为20元时，每天的销售利润最大，最大利润是200元
【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及根据相等关系列出二次函数解析式及二次函数的性质．
（1）利用待定系数法求解可得关于y与x的函数解析式；
（2）根据“总利润每件的利润销售量”可得函数解析式，将其配方成顶点式，利用二次函数的性质进一步求解可得．
【详解】（1）解：设y与x的函数解析式为，
将、代入，得：
解得：，
所以y与x的函数解析式为；
（2）解：根据题意知，，
，
当时，W随x的增大而增大，
，
当时，W取得最大值，最大值为200，
答：每件销售价为20元时，每天的销售利润最大，最大利润是200元．
6．某商店经过市场调查，整理出某种商品在第x（）天的售价与销量的相关信息如下表：
时间x（天）
售价（元/件） 90
每天销量（件）
已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品的每天利润为y元．
(1)求出y与x的函数关系式；
(2)该商品在销售过程中，共有多少天每天销售利润不低于4800元？
(3)在前50天销售过程中，为了给顾客发放福利，每售出一件商品就返还2a元给顾客，且要求售价不低于80元，但是前50天的销售中，仍可以获得最大利润5832元，求出a的值．
【答案】(1)
(2)共有41天当天销售利润不低于4800元
(3)a的值为1
【分析】本题考查二次函数的实际应用：
（1）分和两种情况，根据总利润等于单件利润乘以销量，列出函数关系式即可；
（2）根据题意，列出不等式进行求解即可；
（3）根据题意，列出函数关系式，根据二次函数的性质，进行求解即可．
【详解】（1）解：当时，；
当时，，
综上：；
（2）当时，令，
解得：或（舍去）；
∴当时：；
同理：当，时，
解得：，
∴，
综上：当时每天销售利润不低于4800元，
即共有天每天销售利润不低于4800元；
（3）∵，
∴，
∴，
由题意，得：，
∵抛物线的对称轴为直线，
当，即：时，时，
，
∴，
解得：或（舍去）；
∴．
牛刀小试
一、选择题（每小题4分，共32分）
1．童装专卖店销售一种童装，若这种童装每天获利y（元）与销售单价x（元）满足关系，若要想获得最大利润，则销售单价x为（ ）
A．25元 B．20元 C．30元 D．40元
【答案】A
【分析】本题考查二次函数的实际应用，熟练掌握二次函数的最值问题是解题的关键，根据二次函数的性质可知，二次函数的最值是它的顶点的纵坐标，将写成顶点式的形式即可得到答案．
【详解】解：将写为顶点式的形式得：，
∴当时，取最大值，
∴要想获得最大利润，则销售单价为元，
故选：A．
2．喜迎圣诞，某商店销售一种进价为的商品，售价为，每星期可卖出件，若每件商品的售价每上涨元，则每星期就会少卖出件．设每件商品的售价上涨元（为正整数），每星期销售该商品的利润为元，则与的函数解析式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查二次函数的实际应用，根据总利润等于单件利润乘以销量，列出函数关系式即可．
【详解】解：由题意，得：；
故选A．
3．某种产品按质量分为个档次，生产最低档次产品，每件获利润元，每提高一个档次，每件产品利润增加元．用同样工时，最低档次产品每天可生产件，每提高一个档次产量将减少件．如果获利润最大的产品是第档次（最低档次为第一档次，档次依次随质量增加），那么等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】第档次产品比最低档次产品提高了个档次，则数量在60的基础上将减少；利润在8的基础上将增加，据此可求出总利润关系式，求最值即可．
【详解】解：第档次产品比最低档次产品提高了个档次，所以每天利润为
∵，
∴当时，y有最大值，
所以，生产第九档次产品获利润最大，每天获利864元．
故选：C．
4．某旅社有100张床位，当每床每晚收费10元时，客床可全部租出；若每床每晚收费提高2元，则减少10张床位租出；若每晚收费再提高2元，则再减少10张床位租出．以每次提高2元的方法变化下去，为了投资少且利润大，每床每晚应提高（ ）
A．4元和6元 B．4元 C．6元 D．8元
【答案】C
【分析】本题考查的是二次函数在实际生活中的应用．解题的关键是理解题意，找到等量关系．根据题意列出二次函数，根据二次函数的性质求出最大值．
【详解】解：设每床每晚收费应提高个元，获得利润为元，
取整数，
当或时，最大，
当时，每床收费提高元，床位最少，即投资最少．
为了投资少且利润大，每床每晚应提高6元．
故选C．
5．某产品进货单价为9元，按10元一件出售时，能售出50件．若每件每涨价1元，销售量就减少10件，则该产品能获得的最大利润为（ ）
A．50元 B．80元 C．90元 D．100元
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的应用，设售价为每个x元，则每个利润为元，销售量为，根据：每个利润销售量总利润，可得出W关于x的二次函数，利用配方法求最值即可．
【详解】解：设单价定为x元，总利润为W元，
则可得销量为：，单件利润为：，
由题意得，，
故可得当时，W取得最大值，为90元，
故选：C．
6．某超市销售一种商品，发现一周利润y（元）与销售单价x（元）之间的关系满足，由于某种原因，销售单价只能为，那么一周可获得最大利润是（　　）
A．1 558元 B．1 550元
C．1 508元 D．20元
【答案】A
【分析】本题考查二次函数的最值，根据二次函数的图象与性质可得当时，y取最大值，即一周可获得最大利润，即可求解．
【详解】解：∵，
∴抛物线的开口向下，
∵对称轴为，
∴当时，二次函数图象中，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小，
∴当时，y取最大值，即一周可获得最大利润，最大利润是1558，
故选：A．
7．某服装店试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间每件服装的销售单价不低于成本，且获得的利润不得高于成本的．经试销发现，销售量y（件）与销售单价x（元）符合一次函数关系．有下列结论：
①销售单价可以是90元；
②该服装店销售这种服装可获得的最大利润为891元；
③销售单价有两个不同的值满足该服装店销售这种服装获得的利润为500元，
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】本题考查二次函数的实际应用，根据已知条件列出总利润与销售价的函数关系式，利用二次函数的性质及其x的取值范围求出利润的最大值．利用函数的性质是解答此题的关键．
【详解】解：由题意可知，解得：，
∴销售单价不可能是90元，故①不正确；
利润与销售价的函数关系式：
，
，
抛物线的开口向下，
当时，随的增大而增大，
而，
当时，（元）．
当销售单价定为87元时，可获得最大利润，最大利润是891元，故②正确；
当时，，
解得：，（不符合题意，舍去），
则只有1个销售单价为70元时，满足该服装店销售这种服装获得的利润为500元，故③不正确；
综上，正确的结论只有1个，
故选：B．
8．已知某商品每件的进价为40元，售价为每件60元，每星期可卖出该商品300件．根据市场调查反映：商品的零售价每降价1元，则每星期可多卖出该商品20件．有下列结论：
①当降价为3元时，每星期可卖360件；
②每星期的利润为6120元时，可以将该商品的零售价定为42元或者43元；
③每星期的最大利润为6250元．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】C
【分析】设降价x元，则售价为元，每件的盈利元，每天可售出件，
①当降价为3元时，每星期可卖件；正确；
②根据题意，得，整理，得，
解得，每星期的利润为6120元时，可以将该商品的零售价定为58元或者57元；错误；
③设每星期的利润为y元，根据题意，得
，故每星期的最大利润为6125元．判断即可．
利用每天销售获得的总利润＝每件千克的销售利润×每天的销售量，构造二次函数，根据抛物线的最值，解之即可得出x的值即可求得．
本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的最值，最大利润问题，熟练掌握一元二次方程的应用，二次函数的最值是解题的关键．
【详解】设降价x元，则售价为元，每件的盈利元，每天可售出件，
①当降价为3元时，每星期可卖件；
正确；
②根据题意，得，
整理，得，
解得，
每星期的利润为6120元时，可以将该商品的零售价定为58元或者57元；
错误；
③设每星期的利润为y元，根据题意，得
，
故每星期的最大利润为6125元．错误．
故选C．
二．填空题（共5小题，每小题4分，共20分）
9．某商品每个售价元时，每天能售出个，若售价每提高元，日销售量就要少售出个，若售价每提高元，则日销售量为 个．设每天利润为元，商品进价每个为元，则与的函数解析式是 ．要使日利润达到最大，则每个售价应定为 元．
【答案】
【分析】由每天能售出500个，若售价每提高1元，日销售量就要少售出10个，即可推到出答案；由总利润销售数量单个利润即可求解．
本题考查了二次函数的应用销售问题的数量关系的运用，利润售价进价的运用，二次函数的解析式的性质的运用，二次函数的最值的运用，解答时求出二次函数的解析式是关键．
【详解】解：若售价每提高元，日销售量就要少售出个，则日销售量为：，
设每天利润为元，商品进价每个为元，则与的函数解析式是：
，
∵，
∴当利润最大时，可得：，
∴此时每个售价为：（元），
故答案为：，，．
10．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加利润，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现：若这种衬衫每降价2元，商场平均每天可多售出4件，则商场降价后每天的盈利y（元）与降价x（元）的函数关系式 ．
【答案】
【分析】本题考查二次函数的应用．商场降价后每天盈利=每件的利润×卖出的件数，把相关数值代入即可求解．
【详解】解：∵每件衬衫降价2元，商场平均每天可多售出4件，
∴每件衬衫降价x元，商场平均每天可多售出件，
∵原来每件的利润为40元，现在降价x元，
∴现在每件的利润为元，
∴．
故答案为：．
11．某公司推出一种高效环保洗涤用品，年初上市后公司经历了亏损到盈利的过程如图的二次函数图象部分刻画了该公司年初以来累积利润万元与销售时间月之间的关系即前个月的利润总和与之间的关系根据图象提供的信息，可求出该公司第个月的利润是 万元．

【答案】5.5
【分析】本题考查了二次函数的应用，正确地求出二次函数的解析式是解题的关键．
设累积利润（万元）与销售时间（月）之间的关系为，把和代入求得函数的解析式，再代入7和8作差即可得到结论．
【详解】解：设累积利润（万元）与销售时间（月）之间的关系为，
把和代入得，，
解得，
，
当时，，
当时，，
万元，
答：该公司第8个月的利润是万元，
故答案为：．
12．某商店销售A，B两款商品，利润（单位：元）分别为和，其中x为销量（单位：袋），若本周销售两款商品一共20袋，则能获得的最大利润为 ．
【答案】170元
【分析】本题考查函数模型的构建，配方法求函数的最值，设某商店销售A款商品x袋，则销售B款商品袋，根据利润函数表示出利润，再利用配方法求出函数的最值．
【详解】解：设某商店销售A款商品x袋，则销售B款商品袋，
∴总利润，
∵，，x为正整数，
∴当或时，y有最大值，
即能获得的最大利润为170元，
故答案为：170元．
13．某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间每天的定价为180元时，房间会住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲，宾馆需为有游客居住的房间每天支出20元费用，若想要获得最大利润，则房价应定为每个房间每天 元．
【答案】
【分析】本题主要考查二次函数的应用，找准等量关系是解题的关键．根据题意列出二次函数，利用二次函数的性质解题即可．
【详解】解：设房价定为元，每天的利润为元，
，
，
，
因为，
故当时，获得最大利润．
故答案为：．
三．解答题（共6小题，每小题8分，共48分）
14．某商店销售某种特产商品，以每千克12元购进，按每千克16元销售时，每天可售出100千克，经市场调查发现，单价每涨1元，每天的销售量就减少10千克．
(1)若该商店销售这种特产商品想要每天获利480元，并且尽可能让利于顾客，那么每千克特产商品的售价应为多少元？
(2)通过计算说明，每千克特产商品售价为多少元时，每天销售这种特产商品获利最大，最大利润是多少元？
【答案】(1)18元
(2)销售价格定为19时，才能使平均每天获得的利润最大，最大利润是490元
【分析】（1）设每千克水果应涨价x元，根据题意列出一元二次方程即可求出结果；
（2）设销售价格为x，用含x的式子表示所获利润，然后配方，利用平方的非负性即可求出最值．
【详解】（1）解：设每千克水果应涨价x元，根据题意，得：，
解得：，，
∵要尽可能让利于顾客，只能取，
∴售价应为（元），
答：每千克特产商品的售价应为18元；
（2）解：设每天获得的利润为W，销售价格为x，则
∴销售价格定为19时，才能使平均每天获得的利润最大，最大利润是490元．
【点睛】本题考查一元二次方程和配方法的应用，掌握实际问题中的等量关系和配方法是解题的关键．
15．“利民快餐店”试销某种套餐，试销一段时间后发现，每份套餐的成本为元，该店每天固定支出费用为元（不含套餐成本）．若每份售价不超过元，每天可销售份；若每份售价超过元，每提高元，每天的销售量就减少份．为了便于结算，每份套餐的售价（元）取整数，用（元）表示该店日纯收入．该店既要吸引顾客，使每天的销售量较大，又要有较高的日纯收入．按此要求，每份套餐的售价应定为多少元？此时日纯收入为多少？
【答案】每份套餐的售价应定为元，此时日纯收入为元．
【分析】分类讨论，当售价（元）时，计算出最高日收入；当售价（元）时，列出二次函数，并判断二次函数的最大值，由此即可求解．
【详解】解：当售价（元）时，该店日纯收入为，当时，日纯收入为元；
当售价（元）时，该店日纯收入为，
∴二次函数的图像在平面直角坐标系中，开口向下，有最大值，
∴，
售价（元）取整数，
则售价或元时，日销售量最大，
要吸引顾客，销售量较大，
∴售价为元时，最大利润为元，
∴每份套餐的售价应定为元，此时日纯收入为元．
【点睛】本题主要考查二次函数的实际运用，分析题目中的数量关系，列出函数表达式，掌握二次函数的知识是解题的关键．
16．伴随经济发展和生活水平的日益提高，水果超市如雨后春笋般兴起．万松园一水果超市从外地购进一批水果，其进货成本是每吨0.4万元，根据预测，此批水果一段时间内的销量y（吨）（纵坐标）与每吨的销售价x万元（横坐标）之间的函数关系如图所示．
(1)请直接写出y与x之间的函数关系．
(2)如果销售利润为W万元，当每吨销售价是多少万元时，销售利润最大？最大利润是多少？
(3)若超市共花费4万元购进此批水果，按照第（2）问的售价销售一半水果后用时8天，因水果开始变质及为售卖其他新品种水果决定在后4天内将此水果全部售完，请问超市是盈利还是亏损？金额多少？
【答案】(1)
(2)每吨销售价为1.5万元时，销售利润最大，最大利润是1.21万元
(3)盈利了，金额10.25万元
【分析】（1）由图可知，销售量与每吨销售价之间成一次函数，并经过点和点，使用待定系数法列出方程组求解．
（2）由（1）知销售量，而每吨的利润为，所以，进而使用配方法求出最值；
（3）把已知中的“一段时间内”理解为每天，先计算花费4万元购进此批水果的数量，先求出前8天的盈利，再求出后4天每天需要销售的水果数，代入（1）问中的函数求出售价，再计算利润，最后相加可得结论．
此题主要考查了二次函数的应用以及利用待定系数法求解一次函数关系式，并利用关系式求值的运算技能和从坐标系中提取信息的能力，是一道综合性较强的代数应用题，有一定的能力要求．
【详解】（1）解：设销售量与每吨销售价的函数关系式为：
把点和点分别代入
由题意得：，
解得：，
则与的函数关系式为：；
（2）解：
，
当时，，
每吨销售价为1.5万元时，销售利润最大，最大利润是1.21万元；
（3）解：依题意，（吨），
由题意可知：5吨售8天，
∵按照第（2）问的售价销售一半水果后用时8天
获利：，
在后4天内售完5吨，则每天售出：（吨），
，
，
获利：，
则（万元），
答：超市是盈利了，金额10.25万元．
17．近年来，湖北省某地致力打造特色乡村旅游，发展以“农家乐”“高端民宿”为代表的旅游度假区．为迎接旅游旺季的到来，某民宿准备重新调整房间价格，已知该民宿有20个房间，当每个房间每天的定价为500元时，所有房间全部住满；当每个房间每天的定价每增加50元时，就会有一个房间无人入住，如果有游客居住房间，民宿每天需要对每个房间各支出100元的其他费用．设每个房间每天的定价增加x个50元（，且x为整数），该民宿每天游客居住的房间数量为y间，所获利润为W元．为吸引游客，该地物价部门要求民宿尽最大可能让利游客．
(1)分别求出y与x，W与x之间的函数关系式；
(2)当定价为多少元时，民宿每天获得的利润可以达到9600元；
(3)求当每个房间的定价为多少元时，民宿每天获得的利润最大，最大利润是多少？
【答案】(1)，
(2)700元
(3)当每个房间的定价为800元时，民宿每天获得的利润最大，最大利润是9800元
【分析】（1）根据现有房间数量=原有房间数量-无人居住房间数量列出函数关系式，根据利润=房间数量每个房间的利润列出函数关系式即可求解；
（2）把9600代入中，求解即可；
（3）根据利润=房间个数每个房间的利润列出二次函数关系式，根据二次函数顶点式求出最大值即可；
本题主要考查二次函数的实际应用，准确列出二次函数关系式是解题的关键．
【详解】（1）解：由题意得，（，且x为整数）
．
（2）由题意得，
∴，
解得，，
∵民宿尽最大可能让利游客，，
∴每个房间的定价为（元）．
答：当定价为700元时，民宿每天获得的利润可以达到9600元．
（3），
∵，
∴当时，W有最大值为9800元，此时（元）．
答：当每个房间的定价为800元时，民宿每天获得的利润最大，最大利润是9800元．
18．为了落实国务院的指示精神，某地方政府出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加．某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每千克20元，市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：．设这种产品每天的销售利润为w元．
(1)求w与x之间的函数关系式．
(2)该产品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
(3)如果物价部门规定这种产品的销售价不高于每千克28元，该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克多少元？
【答案】(1)
(2)该产品销售价定为每千克30元时，每天销售利润最大，最大销售利润200元
(3)该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克25元
【分析】本题考查了二次函数的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出等量关系，列出函数关系式．
（1）根据销售额=销售量×销售价单x，列出函数关系式．
（2）用配方法将（2）的函数关系式变形，利用二次函数的性质求最大值．
（3）把代入（2）的函数关系式中，解一元二次方程求x，根据x的取值范围求x的值．
【详解】（1）解：由题意得：，
∴w与x的函数关系式为：．
（2）解：，
∵，
∴当时，w有最大值．w最大值为200．
答：该产品销售价定为每千克30元时，每天销售利润最大，最大销售利润200元．
（3）解：当时，可得方程，
解得，．
∵，
∴不符合题意，应舍去．
答：该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克25元．
19．宜昌某农副加工厂2023年年初投入80万元经销某种农副产品，由于物美价廉，在惠农网商平台推广下，该产品火爆畅销全国各地．已知该产品的成本为20元/件，经市场调查发现，该产品的销售单价定为25元到30元之间较为合理，该产品每年的销售量y（万件）与售价x（元/件）之间满足一种函数关系，售价x（元/件）与y（万件）的对应关系如表：
x … 20 26 28 31 35 …
y … 20 14 12 9 5 …
(1)求该产品每年的销售量y（万件）与售价x（元/件）之间的函数关系式；
(2)2023年年底该工厂共盈利16万元，2024年国家惠农政策力度更大，生产技术也有所提高，使得该特产的成本平均每件减少了1元．
①求2023年该特产的售价；
②该产品2024年售价定为多少时，工厂利润最大 最大利润是多少
【答案】(1)每年的销售量y（万件）与售价x（元/件）之间的函数关系式为；
(2)①2023年该特产的售价为28元；②该产品2024年售价定为29或30元时，工厂利润最大，最大利润是108万元．
【分析】本题主要考查二次函数的应用及一元二次方程的应用，解题时要熟练掌握并能读懂题意，学会构建方程或函数解决问题是关键．
（1）用待定系数法求出一次函数关系式即可；
（2）①由题意列出一元二次方程，并求解即可；②设2024年售价定为元，工厂利润为元，根据题意列出二次函数，并求解即可．
【详解】（1）设该产品每年的销售量y（万件）与售价x（元/件）之间的函数关系式为，
由题意得：
，解得，
每年的销售量y（万件）与售价x（元/件）之间的函数关系式为，
（2）①由题意得：，
解得：，
销售单价定为25元到30元之间，
，
2023年该特产的售价为28元；
②设2024年售价定为元，工厂利润为元，根据题意得：
，
且，
当或30时，的值最大，最大值为（万元），
该产品2024年售价定为29或30元时，工厂利润最大，最大利润是108万元．
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