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§3.3指数函数及其图象
一、学习要求： 能理解指数函数的的概念和意义，会画出几个特殊底数的指数函数的图象，并能根据指数函数的图象说出它的性质；会用计算器求指数函数值，利用指数函数的增减性比较幂的大小；在学习的过程中体会研究具体函数及其性质的过程和方法，如具体到一般的过程、数形结合的方法等；了解指数函数模型的实际背景，体会数学与现实生活的联系。
二、学习重点、难点：
重点：指数函数的的图象和性质．
难点：用数形结合的方法从具体到一般地探究指数函数的性质．
三、学时安排：共2学时
第一学时：指数函数的概念和图象，根据函数图象分析性质，利用指数函数的增减性比较幂的大小。
第二学时：用计算器求指数函数值，指数函数的实际应用。
四、学习过程：
第一学时
（一）课前尝试
1、学习方法：
回顾函数图象的画法：列表，描点，成线；复习幂的运算法则，函数的概念及其表示法，定义域和值域，增减性和奇偶性。
2、尝试练习：
（1）计算：；
（2）列式：
①某种细胞分裂时，由1个分裂成两个，两个分裂成4个……，一个这样的细胞分裂5次后，得到多少个细胞？8次后呢？若分裂x次，得到的细胞个数y与x的函数关系是什么？
②有一根1 米长的尺子，第一次剪去尺长的一半，第二次再剪去剩余尺子的一半，……，剪了4次后剩下多少米？减x 次后尺子剩下的长度是 y，试写出y 与x 之间的关系．
③一种放射性物质不断变化成其他物质，每经过一年的残留量是原来的84%，那么以时间x年为自变量，残留量y的函数关系式是什么？
（二）课堂探究
1、探究问题
【探究1】观察前面几个函数，它们有什么共同特征？
如果用字母 a 来分别代替2，，1．84 , 那么以上几个函数都可以表示为什么形式？
一般地，函数 叫做指数函数，其中x是自变量。
为什么要规定呢
（1）如果a = 0，当 x>0 时，ax ;
当 x 0时，ax 。
（2）如果a < 0, 在实数范围内，ax 。
（3）如果a=1，y=1x=1， 即ax ，对它没有研究的必要。
为了避免上述各种情况，故要规定。
【探究2】在同一坐标系中画出下列函数的图象：
（1）； （2）；
列表：
x -3 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 3
作图：
从画出的图象中你能发现函数的图象和函数的图象有什么关系？
思考:可否利用的图象画出的图象？
以下分别是底数及时的轨迹图象
你能发现函数的图象与其底数之间有什么样的规律
你能根据指数函数的图象的特征归纳出指数函数的性质吗？
图象特征 函数性质
向x、y轴正负方向无限延伸
图象关于原点和y轴不对称
函数图象都在x轴上方
函数图象都过定点（0,1）
自左向右看，图象逐渐上升 自左向右看，图象逐渐下降
在第一象限内的图象纵坐标都大于1 在第一象限内的图象纵坐标都小于1
在第二象限内的图象纵坐标都小于1 在第二象限内的图象纵坐标都大于1
图象上升趋势是越来越陡 图象上升趋势是越来越缓
2、知识链接：
图象特点：左右无限上冲天，永与横轴不沾边；大一增，小一减，图象恒过（0,1）
3、拓展练习
⑴请判断下面函数是否是指数函数
①； ②； ③； ④
⑤； ⑥； ⑦ ； ⑧
⑵比较下列指数函数值的大小。
① ； ②
③ ④
⑶已知指数函数的图像经过点（2,9），试求出，这一点在该图像上吗？说说该函数的定义域，值域以及奇偶性。
4、当堂训练
⑴比较下列指数函数值的大小
① ② ③ ④
⑵比较下列m与n值的大小
① ② ③ ④
⑶求解m的取值范围（A类）
① ；
②
5．归纳总结
（三）课后拓展
在同一直角坐标系内作出指数函数和的图像，并且根据图像说出它们的特点。
（四）格言警句：
“人”的结构就是相互支撑，“众”人的事业需要每个人的参与。
第二学时
（一）课前尝试
1、学习方法：
阅读课本113页，学习用计算器求指数函数值的方法，并实际操作；去银行调查或网上查阅复利的计算方法，近期的存期和相应的利率， 并找找生活中蕴涵指数函数知识的实例，课上交流。
2、尝试练习：
（1）应用计算器计算与指数函数有关的函数值（结果保留4个有效数字）
① a=10，x=3.56； ② a=e，x=-1.34；
③ a=1.2，x=3．9； ④ a=6.3，x=-11
（2）列式
① 一种产品的年产量原来是a件，在今后的几年内，计划使年产量平均比上一年增加p％，试写出年产量随着年数变化的关系式。
② 一种产品的年产量原来是a件，在今后的几年内，计划使年产量平均比上一年增加p％，试写出年产量随着年数变化的关系式。设a=1200，p=25，则7年后年产量为多少？
（二）课堂探究
1、探究问题
【探究1】你知道考古学中怎样根据化石研究某种生物生活的大致年代的吗？
当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．根据此规律，请你写出生物体内碳14含量P与死亡年数t之间的关系式
【探究2】你知道银行里的复利是怎么计算的吗？
复利：即将前一期的利息和本金加在一起作为下一期的本金，再计算下一期的利息，如此反复，得到最后一起的本利和。）
某种储蓄每期的利率为r，按复利计算，若本金为a元，设存入x期后的本金和利息为y元，
①写出y随x变化的函数关系
②如果存入的本金为20000元，每期利率为4.6％，试计算存入5期后的本金和利息共为多少元
2、知识链接：
指数函数模型与生活息息相关，蕴涵在实际生活的各个领域，如经济（银行里复利的计算，国内生产总值的增长，指数型股票），人口增长，物理和化学（放射性物质镭的质量的变化，碳14的衰减）等，你还能举出其他的应用实例吗？
3、拓展练习
（1）我国人口问题很是突出，在耕地面积只占世界7%的国土上，却养育着22%的世界人口．因此，中国的人口问题是公认的社会问题．2000年第五次人口普查，中国人口已达到13亿，年增长率约为1%．为了有效地控制人口过快增长，实行计划生育成为我国一项基本国策．
①按照上述材料中的1%的增长率，从2000年起，x年后我国的人口将达到2000年的多少倍？
②到2050年我国的人口将达到多少？
③你认为人口的过快增长会给社会的发展带来什么样的影响？
（2）根据国务院发展研究中心2000年发表的《未来20年我国发展前景分析》判断，未来20年，我国GDP（国内生产总值）年平均增长率可望达到7.3％．那么，在2001～2020年，各年的GDP可望为2000年的多少倍？
4、当堂训练
（1）放射性物质镭，每经过一年后有2.1％变化为其他物质，设放射性物质镭原来的质量为a克。
①写出镭的剩余量y克随年数x变化的函数关系。
②经过多少年后，镭的剩余量是原来的80％？
（2）某厂生产某种产品，2001年的产量是800件，由于引进新的生产线，技术也在不断更新，使得年产量不断上涨，若年增长率是30％，则2008年的产量是多少？
若2001年的产量是800件，2002年产量是1000件，2003年产量是1250件，照此速度增长，到2010年的年产量是多少？（A类）
⑶本杰明．富兰克林一生为科学工作，他死后留下的财产仅有一千英磅，但他却留下了一份分配几百万英磅财产的遗嘱：“……一千英镑赠给波士顿的居民，如果他们接受了这一千英镑，那么这笔钱应该托付给一些挑选出来的居民，他们得把这钱按每年5%利率借给一些年轻的手工业者去生息。过了一百年，这笔钱就涨到131000英镑，然后用100000英镑建立一所公共建筑物，剩下31000英镑继续生息100年。在第2个100年末，这笔款增加到4061000英镑，其中1061000英镑还是由波士顿的居民来支配，而其余的3000000英镑交由马萨诺塞州的公众来管理……”
请你写出该指数模型。
用计算器按照富兰克林非凡的设想实际计算一下，该遗嘱是否站得住脚。
5．归纳总结
（三）课后拓展
仿照例题编写3-4个指数函数的习题，同桌间交换解答。
（四）格言警句：
你可以选择这样的“三心二意”：信心、恒心、决心；创意、乐意。
在R上是增函数
在R上是减函数
必经过（0，1）点
性 质
值域 域
R
定义域
图
象
a>1
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