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§3.5对数函数值及其运算
一、学习要求：
1、认识对数值的意义，理解两个基本对数和两个基本对数恒等式
2、了解积、商、幂的对数运算法则，并能广泛应用
3、知道常用对数和自然对数的概念，会利用计算器计算常用对数和自然对数
4、初步掌握对数换底公式和倒数公式，并能加以应用
二、学习重点、难点：
重点：对数的几个重要公式；对数运算法则；求对数值（特别是常用对数值）
难点：如何正确运用对数运算法则；对数换底公式的应用
三、学时安排：共3学时
第一学时：学习两个基本对数和两个基本对数恒等式，从而进一步理解对数的概念和对数值的意义；
第二学时：学习积、商、幂对数运算的法则，并能广泛加以应用
第三学时：学习常用对数、自然对数的概念，会利用计算器进行对数值的计算，并初步了解对数换底公式和倒数公式
四、学习过程：
第一学时
（一）课前尝试
1、学习方法：
（1）指数形式和对数形式的转换
（且）
例如：
（2）认识两个基本对数
（且）底的对数是1
（且）1的对数是0
（3）认识两个对数恒等式
（）
（）
注意的取值范围，第一个对数基本恒等式是，第二个对数基本恒等式是
2、尝试练习：
（1）求值： ；
（2）已知，则
（二）课堂探究：
探究问题：在计算中如何灵活运用两个基本对数和两个基本对数恒等式呢？
例如：已知，求的值。
分析：由，得：，
所以，，则
2、知识链接：两个对数和两个基本对数恒等式其实就是由指数形式转换而来的，它在解题计算中能起到简化运算的作用
例如：已知，求的值
分析：由，得
再由，得
例、求下列指数函数的函数值：
(1)y=10-x, x=log10； (2)y=9x, x=log3a；
解：(1)y=10-x=(10x)-1，以x=log10代入指数，得
y==()-1=
(2)y=9x=(32)x=(3x)2，以x=log3a代入指数，得
y==a2
3、拓展练习：
(1)计算：
① ②
(2)求下列对数函数的函数值：
①log5125；　log10100000；　③log21024；　　④； ⑤．
(3) 填空：log5520＝ ；= ；= ．
4、当堂训练：
(1)求下列对数函数的函数值：
①,；　　　　　②, ．
(2)填空：log3= ； = ； log31 = ； log = ．
(3)求下列指数函数的函数值：
①，； ②, ．
5、归纳总结：
（三）课后拓展：
1、求下列对数函数的函数值：
(1) , ；　　　　　(2), ．
2、求下列指数函数的函数值：
(1)y=9x, x=log9； (2)y=()x, x=log；
（四）格言警句：
在学习中要敢于做减法，就是减去前人已经解决的部分，看看还有那些问题没有解决，需要我们去探索解决。（华罗庚）
第二学时
（一）课前尝试
1、学习方法：
（1）复习回顾幂运算的两个性质：
当且时引出积、、商、幂的对数性质
log a(MN)=log aM+log aN, (a, M, N>0, a1)
log a= log aM-log aN, (a, M, N>0, a1)
logaMb=blogaM, (a, M>0, a1,bR)
（2）语言叙述：积的对数等于对数的和；
商的对数等于对数的差；
幂的对数等于指数与底的对数之积．
2、尝试练习：
（1）计算下列各题：
①loga3+loga, (a>0, a1) ②
(2)下列等式成立的是 ( )
A、 B、
C、 D、
（二）课堂探究：
探究问题：
如何简化多位数的乘、除、幂运算？有了这些积、商、幂的对数性质和求对数的手段，可以把这种运算转化为加、减、数乘运算．例如求两数之积MN，根据对数的性质，只要求出logaM, logaN，做一次加法，得到m=loga(MN)；然后只要找到一个数Q，使logaQ=m(实际上Q=am)，即得Q=MN．很长一个时期以来，对两个底a=10,a=e，人们事先计算好大量数的对数，列成对数表，logaM, logaN和Q都可以通过查表得到．这使求两个数的乘积、商或幂的运算变得十分简便．
2、知识链接：
进行对数运算时，什么情况下需要将几个对数的和、差、积、商合并为一个对数？什么情况下又需要将一个对数拆成几个对数的和、差、积、商？
例、计算：
解：原式
3、拓展练习：
（1）计算下列各题：
①loga(3a2)+loga, (a>0)； ②；
（2）等于 （ ）
A、0 B、4 C、 D、
（3）等于 （ ）
A、2 B、-1 C、-2 D、1
4、当堂训练：
（1）求下列各式的值：
① ②
（2）计算：
① ②
5、归纳总结：
（三）课后拓展：
1、用、、表示下列各式：
（1） （2）
2、计算：
（1） （2）
3、已知，求的值。（A类）
（四）格言警句：
时间是个常数，但对勤奋者来说，是个“变数”。用“分”来计算时间的人比用“小时”来计算时间的人时间多59倍。（雷巴柯夫）
第三学时
（一）课前尝试
1、学习方法：
什么是常用对数？什么是自然对数？
（2）无理数的近似值是多少？
（3）对数换底公式的形式是什么？
2、尝试练习：
（1）利用计算器求下列常用对数：
①lg2； ②lg5； ③lg0.3； ④ln48.3； ⑤ln78
（2）如何利用计算器求下列对数的值？
①； ②；
（3）求的值.
（二）课堂探究：
探究问题：
以10为底的对数函数log 10x叫做常用对数函数．为了区别于其它的底，我们用一个特殊的函数记号 “lg”来表示它，即y=lgx就是y=log10x．常用对数函数当x=b时的函数值lgb叫做b的常用对数．以e为底的对数函数logex叫做自然对数函数，也为它规定了一个特殊的函数符号“ln”，用ln x来表示logex (即y=ln x就是log ex)，其函数值也就随之被叫做自然对数．
2、知识链接：
（1）无理数e=2.7182818285.
（2）对数换底公式logab=, (c, a, b>0; a, c1)
log ab=,(a, b>0, a1)； log ab=, (a, b>0, a1)
log ab=, (a, b>0, a,b1)
（A类）例如：；
（3）应用问题
例、2000年我国国内生产总值（GDP）为89442亿元，如果我国GDP年均增长左右，按照这个增长速度。在2000年的基础上。经过多少年以后，我国GDP才能实现比2000年翻两番的目标？
解：假设经验年实现GDP比2000年翻两番的目标，根据题意，得：
即：
所以，
答：经过大约15年以后，我国GDP才能实现比2000年翻两番的目标
3、拓展练习：
（1）用常用对数和自然对数两种方法，求下列对数(保留4个有效数字)：
　①log 27； ②； ③．
（2）已知logab=，求, (a,b>0)
4、当堂训练：
（1）已知lg2=0.3010, lg3=0.4771，不用计算器求出下列对数：
①lg54；　　 ②lg200； ③lg60；
④lg0.3； ⑤lg8； ⑥lg27．
（2）利用计算器计算（结果保留4位小数）：
① ②
③ ④
5、归纳总结：
（三）课后拓展：
1、利用计算器计算（结果保留4位小数）
(1)log21000； (2) log100； (3)log38．
2、已知，，则 ；
3、已知，试用表示
4、若，求证：（A类）
5、求值：
（1） （2）
（四）格言警句：
对数可以缩短计算时间，在实效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍。（拉普拉斯）
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