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§4.1角的推广和度量角的弧度制
学习要求：
1、了解角的推广的必要性和重要性；
2、根据度量角的范围的推广能通过图形画出所给的角；
3、掌握终边相同的角的含义，并能写出与某个角终边相同的角的集合，并能找出在限制条件内的终边相同的角。
二、学习重点、难点：
重点：角的概念，度量角的范围的推广，找终边相同的角
难点：识别并理解各种不同的角，并能找终边相同的角。
三、学时安排：共4学时
第一学时：学习度量角的范围的推广，终边相同的角。
第二学时：掌握象限角和界限角的定义，会判断任意角是象限角还是界限角。
第三学时：理解角的弧度制的意义，会熟练地进行角度与弧度的转换；熟记特殊角的弧度与角度的互换。
第四学时：了解弧长公式，并会简单应用。
四、学习过程：
第一学时
（一）课前尝试
1、学习方法：
（1）回顾初中已经学过一些角的知识（角的范围）
（2）自主与小组合作预习P.155-P.156的内容。
2、尝试练习：
（1）分针走10分钟所转过的角度大小是 度。
（2）半圆弧所对的圆心角是 度。
（二）课堂探究：
1、探究问题：
【问题】(1) 跳水运动有“转体两周”的动作名称，怎样用角度表示？
(2) 钟表的分针走了一个半小时，怎样角度表示
2、知识链接：度量角的范围的推广
（1）正角、负角和大于周角的角
如图4-1，从OA出发，向两个相反方向旋转相同的角度，例如，分别到达OB和OC，怎么区分这两个角呢？
①按逆时针方向旋转而成的角叫做正角；
②按顺时针方向旋转而成的角叫做负角；
③射线没有旋转的角叫做零角。
根据旋转的不同方向就可以解决始边绕顶点旋转超过一周以上所成的角。
①对终边按逆时针旋转超过一周的角，则只要把在范围内的角加若个周角，就是它的大小。如图4-2，设，则
②终边按顺时针旋转超过一周的角，则要把在范围内的角减若干个周角，就是它的大小。如图4-3，设，则
图4-2 图4-3
3、拓展练习：
例1、试在图上画出下列大小的角：
（1） （2） （3）
（2）终边相同的角
通过例1 的画图，我们发现有什么特点？（学生讨论总结，由教师归纳）
任意角的终边总能与范围内的某个角的终边重合（如图4-4），不过是在的基础上，终边再在逆时针或顺时针方向上多绕若干个圈而已，因此任何角总能表示为。
图4-4
例2、在内，找出与以下各角终边相同的角，并写出与下列角终边相同角的集合。
（1） （2）
4、当堂训练：
（1）画出下列各角。
（1）（2）（3）（4）（5）（6）
（2）在内，找出与以下各角终边相同的角。
（1） （2） （3） （4）
5、归纳总结：
（三）课后拓展：
1. 分针走10分钟所转过的角度是 度．
2．在内，找出与以下各角终边相同的角．
（1） （2） （3） （4）
（5） （6） （7） （8）
（四）格言警句：
积极思考造成积极人生，消极思考造成消极人生。
第二学时
（一）课前尝试
1、学习方法：
（1）角的范围是多少？怎样找终边相同的角？
（2）自学课本上P157-P158的内容，做好知识点不理解的记录。
2、尝试练习：
（1）在内，找出与，角终边相同的角。
（2）平面直角坐标系中将平面分为几个部分？名称分别是什么？
（二）课堂探究：
1、探究问题：
如果将角的顶点放在平面直角坐标系的原点，始边落在x轴的正半轴，则角的终边最终落在什么地方？那呢？
2、知识链接：
我们发现这两个角的终边所处的位置是不同的。
若一个角的终边落在某个象限，就把这个角叫做某象限角。
当终边恰好落在坐标轴上，则把这个角叫做界限角。
如：是第一象限角，是界限角。
（1）象限角及范围
①是第一象限角
②是第二象限角
③是第三象限角
④是第四象限角
（2）界限角
①终边落在x轴正半轴
②终边落在y轴正半轴
③终边落在x轴负半轴
④终边落在y轴负半轴
3、拓展练习：
（1）判定下列角是象限角还是界限角．如果是象限角，判定它在哪个象限，并指出其中哪些角的终边相同．
　①　②　③　④　⑤
（2）　写出终边在y轴上的角的集合．
4、当堂训练：
（1）判定下列角是象限角还是界限角．如果是象限角，判定它在哪个象限
①　②　③　④　⑤　⑥　
（2） 写出终边落在直线上的角的集合．
5、归纳总结：
（三）课后拓展：
1. 判定下列角是象限角还是界限角．如果是象限角，判定它在哪个象限，并指出其中哪些角的终边相同．
(1) (2) (3) (4) (5) (6)
2.写出满足下列条件的角的集合.
(1) 终边落在x轴正半轴上;
(2) 终边落在x轴正半轴上;
(3) 终边落在x轴上．
（四）格言警句：
在数学的领域中, 提出问题的艺术比解答问题的艺术更为重要．(康托尔)
第三学时
（一）课前尝试
1、学习方法：
（1）初中阶段所学的角的定义是什么？
（2）自学课本上P159-P162的内容，做好知识点不理解的记录。
2、尝试练习：
在范围内，你知道哪些特殊角？这些角中哪些是象限角，哪些是界限角？
（二）课堂探究：
1、探究问题：
半径为的圆的周长是多少？所对的弧的长度与圆周周长之比，表示占了周角的几分之几，能直接反映所对的圆周角的大小，且与半径无关。
2、知识链接：
（1）圆的弧长与半径相等的弧所对应的圆心角的大小为弧度制度量角的单位，称为1弧度。
（2）弧度与角度互换
①周角==圆周所对的角= ②
③ ④
（3）特殊角换算表
度
弧度 0
度
弧度
（4）用弧度表示终边相同的角
与一个角的终边相同的角组成的集合用弧度制表示为
3、拓展练习：
（1）把下列用角度表示的角化为用弧度表示（结果保留）。
　①　 ②　 ③　 ④　
（2）把下列用弧度表示的角化为用角度表示（精确到）
① ②-3 ③ ④
（3）在内，找出与下列角的终边相同的角。
① ②- ③
（4）试判断角4（rad）是象限角还是界限角 若是象限角是第几象限角
4、当堂训练：
（1）把下列用角度表示的角化为用弧度表示（结果保留）。
①　②　③　④　⑤　⑥　
（2）把下列用弧度表示的角化为用角度表示。
① ② ③ ④
（3）在内，找出与下列角的终边相同的角，并说明是象限角还是界限角？
① ② ③
5、归纳总结：
（三）课后拓展：
1.把下列用角度表示的角化为用弧度表示（结果保留）。
(1) (2) (3) (4) (5)
2. 把下列用弧度表示的角化为用角度表示（精确到）
（1） （2） （3） （4）-2.5
（四）格言警句：
思维世界的发展，在某种意义上说，就是对惊奇的不断摆脱。(爱因斯坦)
第四学时
（一）课前尝试
1、学法指导：
（1）初中所学的弧长公式是什么？角度与弧度之间怎样转化？
（2）自学课本上P.162-P.163的内容。
2、尝试练习：
（1）已知半径为的圆，求圆心角为所对的弧长；
（2）变式：若将（1）中的圆心角改为，则弧长又是多少呢？
（二）课堂探究：
1、探究问题：
初中阶段所学的弧长公式是（是弧所对的圆心角）；如果此时将圆心角从角度改为弧度，公式又会是怎样的形式呢？
2、知识链接：
弧长公式：已知角的顶点为圆心的圆的半径是，用弧度制表示的角的大小为，这个角所对的长度为，则
3、拓展练习：
（1）已知圆的直径为，分别求圆心角为,所对的弧长。
（2）自行车在地面上行进时，车轮在5秒钟内转过了8圈，设车轮的半径为0．35米，则自行车前进了多少米（精确到0.1米）
4、当堂训练：
（1）已知圆的直径为，分别求圆心角为所对的弧长。
（2） 飞轮直径为米，每分钟按逆时针方向旋转300圈，求：
①飞轮每分钟转过的弧度；
②飞轮圆周上每秒钟经过的弧长。
5、归纳总结：
（三）课后拓展：
1. 已知圆的半径为，分别求圆心角为所对的弧长。
2.在半径为3的圆中，计算圆心角为所对的弧的长度。
（四）格言警句：
学习数学要多做习题，边做边思索。先知其然，然后再知其所以然。（苏步青）
图4-1
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