资源简介

22.1.2　二次函数y=ax2 的图象和性质
◇教学目标◇
　　1.经历探索二次函数y=x2的图象作法和性质的过程,获得利用图象研究二次函数性质的经验.
2.通过类比y=x2的图象及性质,得出y=-x2的图象及性质.
3.会用描点法画出二次函数y=ax2的图象,知道抛物线的有关概念.
4.掌握二次函数y=ax2的图象和性质.
5.在画图、观察、比较等探究活动中,形成良好的思维习惯和学习方法.
6.在探究二次函数y=ax2性质的活动中,体会通过探究得到发现的乐趣.
◇教学重难点◇
教学重点
二次函数y=ax2(a≠0)的图象和由图象概括的二次函数y=ax2的性质.
教学难点
用描点法画出二次函数y=ax2的图象以及探索二次函数性质.
◇教学过程◇
一、情境导入
如图是某篮球运动员投篮示意图,你知道篮球从出手到落入篮圈内的路线是什么图形吗 它是如何画出来的
我们把篮球从出手到落入篮圈内的曲线叫抛物线,你还能举出一些抛物线的例子吗
二、合作探究
探究点1　画二次函数y=ax2的图象
典例1　在同一平面直角坐标系中画出二次函数y=-2x2和y=x2的图象.
[解析]　(1)列表如下:
x … -2 -1 0 1 2 …
y=-2x2 … -8 -2 0 -2 -8 …
y=x2 … 4 1 0 1 4 …
(2)描点:如图所示.
(3)连线:如图所示.
画二次函数y=ax2的图象时注意以下几点:
(1)选取恰当的自变量值,求出相应函数值,一定要注意x=0是必须取的;
(2)连线时按一定顺序用平滑的曲线连接.
探究点2　二次函数y=ax2的图象与性质
典例2　画出函数y=2x2的图象,回答下列问题:
(1)图象是抛物线吗 如果是抛物线,那么它的顶点是　　　　,对称轴是　　　　.
(2)图象有最高点还是最低点 坐标是多少
(3)当x<0时,随着x值的增大,y的值如何变化 当x>0呢
[解析]　列表:
x … -2 -1 0 1 2 …
y=2x2 … 8 2 0 2 8 …
在平面直角坐标系内描出相应各点的坐标如图所示,用平滑的曲线连接图中各点,即得到此函数的图象.
(1)由图可以看出,图象是抛物线,顶点为原点,对称轴是y轴.
(2)从图象可知,图象有最低点(0,0).
(3)当x<0时,随着x的值增大,y的值逐渐减小;当x>0时,随着x的值增大,y的值逐渐增大.
二次函数y=ax2(a>0)的性质:
(1)函数y=ax2(a>0)的图象是一条抛物线,它的开口向上,对称轴是y轴,顶点是原点.抛物线在x轴上方,并向上无限延伸,顶点是抛物线的最低点.
(2)当x>0时,y随x的增大而增大;当x<0时,y随x的增大而减小;当x=0时,y取最小值0.
探究点3　二次函数y=ax2的图象与性质的运用
典例3　已知函数y=(m+2)是关于x的二次函数.
(1)求满足条件的m值.
(2)m为何值时,抛物线有最低点 求出这个最低点.这时当x为何值时,y随x的增大而增大
(3)m为何值时,函数有最大值 最大值是多少 这时当x为何值时,y随x的增大而减小
[解析]　(1)∵y=(m+2)是关于x的二次函数,
∴
解得m=2或m=-3.
(2)∵抛物线有最低点,∴m+2>0,
∴当m=2时,抛物线有最低点,这个最低点的坐标是(0,0),
∴当x>0时,y随x的增大而增大.
(3)∵二次函数有最大值,
∴m+2<0,即m<-2,
∴当m=-3时,函数有最大值,最大值为0,
∴当x>0时,y随x的增大而减小.
抛物线有最高点或最低点与a的正负有关,当a>0时,抛物线开口向上,图象有最低点;当a<0时,抛物线开口向下,图象有最高点.
变式训练　已知二次函数y=(m-1)的图象开口方向向下,则m的值为　　　　.
[答案]　-
三、板书设计
二次函数y=ax2的图象和性质
函数y=x2与y=-x2的异同点:
相同点:(1)图象相同:都是抛物线;(2)对称轴相同:都是y轴;(3)顶点相同:都是原点.
不同点:(1)开口方向不同:y=x2的开口向上,y=-x2的开口向下;(2)增减性不同:当x>0时,y=x2是y随x的增大而增大,y=-x2是y随x的增大而减小;当x<0时,y=x2是y随x的增大而减小,y=-x2是y随x的增大而增大;当x=0时,y=x2取最小值,图象有最低点,y=-x2取最大值,图象有最高点.
◇教学反思◇
　　本节课是研究二次函数图象与性质的第一节,抛物线对学生而言是全新的知识.教学中引导学生画出最简单的二次函数y=x2和y=-x2图象,形象直观地引出了抛物线的概念,并结合图形初步归纳出二次函数y=ax2的性质.
在教学中注意图象与解析式的联系.在探究图象性质时,要注意关注学生是否理解,而不是让学生死记硬背二次函数的性质.另外,要尽量利用多媒体进行教学.

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