资源简介

第三章 整式及其加减
第1节 代数式
【基础性作业】
1.根据题意列代数式.
（1）产量由m千克先增长15%，再降低了20%后，达到 千克.
（2）如图是一个“数值转换机”，当输入x时，输出的结果是 .
（3）如图，用字母表示图中阴影部分的面积为 .
（4）如图，用棋子摆出一组“口”字，按照这种方法摆下去，则摆第n个“口”字需用棋子 枚.
2.将第1题中的单项式和多项式分别填入所属的圈中，并指出其中：各单项式的系数分别是多少？多项式中哪个次数最高？次数是多少？
3.第1题的（4）小问中的代数式还可以表示什么？
4.求代数式的值.
（1）当a=-3，b=时，求代数式的值；
（2）若代数式的值是6，求代数式的值.
5.列代数式并求值.
电教室里座位的排数是20，已知若第一排的座位数是18，并且后一排总比前一排的座位数多2个，则电教室里第m排有多少个座位？并求出第19排有多少个座位？
【拓展性作业】
6.填写下表，并观察5n+6和n2这两个代数式的值的变化情况.
1 2 3 4 5 6 7 8
（1）随着n的值逐渐变大，5n+6和n2这两个代数式的值如何变化？
（2）估计一下，哪个代数式的值先超过100？
（3）你还能提出什么问题或猜想？
7.某移动公司开设了两中通讯业务：全球通用户先交50元月租费然后每通话1分钟再付话费0.4元；金卡快捷通用户不交月租费，每通话1分钟再付话费0.6元.
（1）一个月通话x分钟，求出两种收方式费下，客户应付话费多少元？
（2）一客户一个月通话300分钟，你认为哪一种通讯方式比较合算？
【参考答案】
1.(1)0.92m；(2)；(3)；(4)4n
【设计意图】让学生经历在几何、代数、实际问题中用代数式表示数量关系和变化规律的过程，发展符号意识，提高推理能力，同时体会代数式的广泛应用.
2.单项式：0.92m；系数：0.92；次数：1；4n；系数：4；次数：1.
次数最高的多项式：；次数：3.
【设计意图】在第1题的基础上让学生主动地对所列的代数式进行分类，加深对整式相关概念的理解，有意识地抽象代数式、整式、单项式、多项式之间的关系，建立知识结构.
3.合理即可，例如一间教室有四扇窗户，n间教室有4n扇窗户.
【设计意图】在第1题的基础上，实现代数式的符号语言与文字语言的双向转化，发展学生的逆向思维与符号意识.
4.（1）；（2）2
【设计意图】学生在代数式求值过程中感受从一般到特殊的思想，提高计算能力.并在（2）问中体会整体思想，建立代数式之间的数量关系.
5.2m+16；54
【设计意图】本题考查用代数式表达数字规律，学生能够在具体情境中找到规律，用代数式表达，并求代数式的值，体会特殊与一般的双向转化.
6.（1）
1 2 3 4 5 6 7 8
11 16 21 26 31 36 41 46
1 4 9 16 25 36 49 64
（2）n2
（3）合理即可，例如两个代数式的值什么时候相等.
【设计意图】首先让学生能够正确求出代数式的值，其次能根据代数式的值推断代数式本身所反映的规律.在这个过程中进一步理解代数式的作用与意义，提高合情推理能力.
其次教学时还可以让学生尝试提出新的问题，例如什么时候这两个代数式的值相等？并进行猜想，初步感受方程和代数式，函数和代数式之间的关系，由此设计了第（3）问，发展学生的问题意识.
7.（1）全球通客户应付（0.4x+50）元；金卡快捷通客户应付0.6x元.
（2）当通话300分钟时，全球通客户应付170元；金卡快捷通客户应付180元.所以选择全球通.
【设计意图】通过解决方案选择问题，感受代数式在实际生活中的应用，体会代数式求值的意义，发展应用意识.
第2节 整式的加减
【基础性作业】
1．已知2x3ym与﹣xny2是同类项，则mn＝ .
2．先化简，再求值：2（5ab﹣4b2）﹣3（3ab﹣2b2）+2b2，其中a＝2，b＝.
【拓展性作业】
3.如图是一个矩形娱乐场所，小亮为其设计的方案如图所示.其中半圆形休息区和矩形游泳池以外的地方都是绿地.
（1）如果这个娱乐场所需要有一半以上的绿地，并且它的长是宽的1.5倍，小亮同学设计的游泳池的长和宽分别是大矩形长和宽的一半，你说他的设计合理吗？为什么？
（2）若这个自由活动区域需要占游泳馆总面积的及以上才符合要求，并且游泳馆的长与宽之间满足，请问：这个设计方案是否符合要求？为什么？
（3）你能给这个娱乐场所提供一个既符合要求又美观的方案吗？如果能，请画出来说明设计要求.
【参考答案】
1.∵2x3ym与﹣xny2是同类项，
∴m＝2，n＝3，
∴mn＝23＝8.
【设计意图】考查了同类项的定义，解题关键是熟练掌握同类项是含有相同的字母，相同字母的指数也相同的单项式.
2.原式＝10ab﹣8b2﹣9ab+6b2+2b2＝ab，
当a＝2，b＝时，
原式＝2×（）＝﹣1.
【设计意图】考查合并同类项，化简后计算求值.要求学生熟悉合并同类项的基本步骤，并能够正确操作.
3.（1）设娱乐场的宽为x，那么长为1.5x，面积为1.5x2，小亮设计的游泳池的面积为：＝0.375x2，休息区的面积＝0.125π×≈0.098x2，那么绿地的面积为1.5x2﹣0.375x2﹣0.098x2≈1.027x2＞矩形面积的一半，所以符合要求；
（2）这个设计方案不符合要求，理由如下：
当时，自由活动区域的面积为平方米，
又∵游泳馆总面积为：，
∴，
∵，
∴这个设计方案不符合要求.
（3）
【设计意图】主要考查了列代数式、整式的运算和数形结合的能力，提高学生的阅读能力和创造能力，体现数学来源于生活并运用于生活.
第3节 探索与表达规律
【基础性作业】
1.按一定规律排列的单项式：a2，4a3，9a4，16a5，25a6，…，第n个单项式是（ ）
A.n2an+1
B.n2an﹣1
C.nnan+1
D.（n+1）2an
2．将一根绳子对折1次，从中间剪断，绳子变成3段；将一根绳子对折2次，从中间剪断，绳子变成5段；将一根绳子对折3次，从中间剪断，绳子变成9段；将一根绳子对折4次，从中间剪断，绳子变成17段；现把一根足够长的绳子对折7次，从中间剪断，绳子会变成（ ）
A．65段 B．129段 C．257段 D．513段
3.观察下列“蜂窝图”，按照这样的规律，则第2 024个图案中的“”的个数是（ ）
A．6 074 B．6 072 C．6 070 D．6 073
4.用火柴棒按下图中的方式搭图形.
（1）按图示规律填空：
图形符号 ① ② ③ ④ ⑤
火柴棒根数
（2）按照这种方式搭下去，搭第n个图形需要多少根火柴？
5.解密：小华在心里想好一个数，按照下列步骤进行运算：把这个数乘上2，然后加上3，再把所得新数乘以5，最后再把得到的数减去4.他把结果告诉小明，小明马上就知道他心里想的数了.你知道为什么吗？
【拓展性作业】
6.蓬蓬国王为了获得贫穷老百姓的支持，图一个“乐善好施”的好名声，决定施舍每个男人1美元，每个女人50美分（1美元等于100美分）.为了不使他花费过多，这位陛下盘算来盘算去，最后想出了一个妙法，决定将他的直升机于正午12时在一个贫困的山村着陆.因为他十分清楚，在那个时刻，村庄里有50％的男人都外出打猎去了.该村庄里共有成年人口3 060人，儿童忽略不计，女性比男性多.请问，这位“精打细算”的国王要施舍掉多少钱？山村里究竟有多少男人，多少女人，题中没有明确说明，条件也残缺不全，这道题能做吗？
【参考答案】
1.A
【设计意图】寻找等差数列与等比数列的规律，并用代数式表示规律.
2.A
【设计意图】在具体情境中抽象出数字规律，并用代数式表示数字规律.
3.D
【设计意图】探索图形的变化规律，并用代数式表示规律.
4.（1）
图形符号 ① ② ③ ④ ⑤
火柴棒根数 4 6 8 10 12
（2）搭第n个图形需要2（n+1）根火柴.
【设计意图】将图形的变化规律转化为数字的变化规律，并用代数式表达规律.
5.设小华在心里想好的数为x，则运算过程为：5（2x+3）-4=10x+11.
【设计意图】给定简单的数学情境，让学生从数学的角度分析、表达规律，用字母表示并借助运算解释该现象，发展学生的逻辑推理能力.
6.假设这个村庄里有男人x人，则女人有(3 085-x)人，国工施舍的总钱数为(1-0.5)x+0.5(3 060-x)=0.5x+1 530-0.4x=1 530（美元）.原来国王施舍的钱数与村庄里的男人数无关！
【设计意图】给定较为复杂的生活情境，让学生抽象出数学的研究对象，并用字母表示并借助运算解释现象，发展学生的应用意识与创新意识.
问题解决策略：归纳
【基础性作业】
1.设计一副“低多边形风格”图案，并根据设计主题进行涂色.
【拓展性作业】
2.针对一类规律探究的问题，设计一个解决问题的方案.
【参考答案】
1.提示：学生既可以设计一个“非长方形”的基础图案，比如梅花鹿，山川外廓等，利用本课所学的分割方法进行图案的设计，也可以从一个三角形入手，向外增加三角形的方法进行设计.
【设计意图】在此过程中运用本节所学习的分割方法，体会图形的分割与生长的辩证关系.
2.示例：
【问题提出】
将一个边长为n（n≥2）的菱形的四条边n等分，连接各边对应的等分点，则该菱形被剖分的网格中的平行四边形的个数和菱形个数分别是多少？
【探究方案】
（一）要研究上面的问题，我们不妨先从特例入手，进而找到一般规律.
探究一：将一个边长为2的菱形的四条边分别2等分，连接各边对应的等分点，则该菱形被剖分的网格中的平行四边形的个数和菱形个数分别是多少？
探究二：将一个边长为3的菱形的四条边分别3等分，连接各边对应的等分点，则该菱形被剖分的网格中的平行四边形的个数和菱形个数分别是多少？
探究三：将一个边长为4的菱形的四条边分别4等分，连接各边对应的等分点，则该菱形被剖分的网格中的平行四边形的个数和菱形个数分别是多少？
（二）得出结论：
将一个边长为n（n≥2）的菱形的四条边n等分，连接各边对应的等分点，根据上边的规律，得出该菱形被剖分的网格中的平行四边形的个数是 和菱形个数分别是 .（用含n的代数式表示）.
（三）结论应用：
（1）将一个边长为n（n≥2）的菱形的四条边n等分，连接各边对应的等分点，若得出该菱形被剖分的网格中的平行四边形的个数是441个，则n＝ .
（2）将一个边长为n（n≥2）的菱形的四条边n等分，连接各边对应的等分点，当该菱形被剖分的网格中的平行四边形的个数与菱形个数之比是135∶19时，则n＝ .
【设计意图】让学生运用归纳法，经历观察——发现——猜想——证明等完整的几何推理过程，进一步理解和掌握数学解决问题策略：归纳的一般步骤与思想方法，培养抽象能力与应用意识.
回顾与思考
【基础性作业】
1.列代数式
（1）三个连续的整数中，若n是最小的一个，则这三个数的和为 .
（2）一条河的水流速度是2.5 km/h，船在静水中的速度是v km/h，船在这条河中顺水行驶的速度是 km/h，逆水行驶时的速度是 km/h.
（3）下图是一所住宅的建筑平面图（图中长度单位：m），这所住宅的建筑面积是 m2.
（4）用火柴棒按如图所示的方式搭图形，按这种方式搭下去，搭第n个图形需 根火柴棒.
2.化简代数式
（1）
（2）3（-x+2y）-2（x-y-1）
3.已知，
（1）若C1=A+B，当a=-1，b=2时，C1的值是多少？
（2）若，则C2的表达式是什么？
（3）若2A-3B+C3=0，则C3的表达式是什么？
（4）判断C1，C2，C3的表达式是单项式还是多项式，若是单项式请指明系数和次数，若是多项式请指明项数和次数.
4.做大小两个长方体纸盒，尺寸如下（单位：cm）：
长 宽 高
小纸盒 a b c
大纸盒 1.5a 2b 2c
（1）做这两个纸盒共用料多少？
（2）做大纸盒比小纸盒多用料多少平方厘米？
【拓展性作业】
5.某商店出售一种商品，其原价为m元，现有如下两种调价方案：一种是先提价10%，在此基础上再降价10%；另一种方案是先降价10%，在此基础上再提价10%.
（1）用这两种方案调价的结果是否一样？调价后的结果是不是都恢复了原价？
（2）两种调价方案改为：一种是先提价20%，在此基础上再降价20%；另一种方案是先降价20%，在此基础上再提价20%.此时结果怎样？
（3）你能总结出什么规律？
（4）你能尝试用符号表达（3）中你所发现的规律吗？
【参考答案】
1.（1）3n＋3；（2）v＋2.5；v-2.5；（3）x2+2x+18；（4）6n＋6
【设计意图】通过在丰富的背景下列代数，提升学生分析数量关系的能力，体会代数式的一般性，增强应用意识.
2.（1）3a3b+3b2；（2）-5x+8y+2
【设计意图】通过对代数式的化简，熟练进行合并同类项和去括号，提升运算能力，加深对整式加减运算法则的理解.
3.（1）；10；（2）C2=ab；（3）；（4）C1多项式，两项，2次；C2单项式，系数为1，次数为2；C3多项式，三项，2次.
【设计意图】第（1）问和第（2）问的目的是让学生能够熟练进行整式的加减和代入求值，提高学生的计算能力，同时感受A+B和B-A与A，B的关系，为完全平方公式的学习埋下伏笔.
4.（1）(8ab+10bc+8ca) cm2；（2）(4ab+6bc+4ca) cm2
【设计意图】在几何背景下，列出整式并应用整式的加减运算法则，体会整式的作用与意义.
5.（1）结果一样，价格均为m（1+10%）（1-10%），不是恢复原价.
（2）结果一样，价格均为m（1+20%）（1-20%），不是恢复原价.
（3）在原价的基础上，先提高后降价和先降价后提高相同的百分比，结果一样，但都不是原价.
（4）m（1+a%）（1-a%）=m（1-a%）（1+a%）
（答案可以用其他字母表达)
【设计意图】本题是对课上“票价方案”活动的延伸.第（1）问和第（2）问让学生经历整式计算的过程，理解两种方案结果一样且都不能恢复原价，直观感受代数式的作用，进一步发展学生的符号意识.（3）问和（4）问让学生由特殊推理到一般，并尝试用符号表达规律，提高学生推理能力，发展抽象素养（提高抽象能力）.
单元作业设计
【基础性作业】
1．下列各式中，整式有（ ）个.
A．7 B．6 C．5 D．4
2．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．某县去年城镇居民人均可支配收入为万元，与前年相比增长，则前年城镇居民人均可支配收入为（ ）万元.
A． B． C． D．
4.请你结合生活实际，设计具体情境，解释下列代数式的意义：　 　.
5．已知，则代数式的值为　　.
6．有一种塑料杯子的高度是10 cm，两个以及三个这种杯子叠放时高度如图所示，则n个这种杯子叠放在一起高度是　　cm（用含的式子表示）.
7．先去括号，再合并同类项：
（1）；
（2）.
8.先化简，再求值：，其中，.
【拓展性作业】
9．转棋子摆出下列一组三角形，三角形的每边有枚棋子，每个三角形的棋子总数，按此款规律推断，当三角形边上有枚棋子时，该三角形的棋子总数　　
A．3n－3 B．n－3 C．2n－2 D．2n－3
10．小王购买了一套经济适用房，他准备将地面铺上地砖，地面结构如图所示，根据图中的数据（单位：m），解答下列问题：
（1）用含，的式子表示地面总面积；
（2）当，时，若铺地砖的平均费用为30元，则铺地砖的费用是多少元？
【探究性作业】
11.【阅读】
邻边不相等的长方形纸片，剪去一个正方形，余下一个四边形，称为第1次操作；在余下的四边形纸片中再剪去一个正方形，又余下一个四边形，称为第2次操作…依此类推，若第n次操作余下的四边形仍是正方形，则称原长方形为n阶方形.
如图1，邻边长分别为1和2的长方形只需第1次操作（虚线为剪裁线），余下的四边形就是正方形，则这个长方形为1阶方形；显然，图2是一个2阶方形；如图3，邻边长分别为2和3的长方形是2阶方形．
【探索】
（1）已知长方形的邻边长分别为1和a（a＞1），且这个长方形是3阶方形，请画出长方形及剪裁线的示意图，并在图形下方直接写出a的值.
【拓展】
（2）若长方形的邻边长分别为a和b（a＜b），且满足a＝4r，b＝5a+r，则这个长方形是　　阶方形．
【参考答案】
1.B
解：整式有，，8，，，，共有6个．
【设计意图】本题考查整式的定义，分式与整式的区别在于分母中是否含有未知数.
2.C
【设计意图】本题考查整式的加减，解题的关键是正确运用去括号法则和合并同类项的方法.
3.D
解：设前年城镇居民人均可支配收入为万元，
根据题意得，，.
【设计意图】本题考查根据实际问题中的数量关系列代数式，找出题目中的等量关系是解题的关键.
4.例如：汽车每小时行驶千米，行驶30千米所用时间为小时.
【设计意图】本题考查代数式的实际意义.
5.1
解：，.
【设计意图】本题考查利用整体思想代数式求值，如何选用恰当的方法是解题关键.
6.2n+8
解：由图可得，每增加一个杯子，高度增加2 cm，则个这样的杯子叠放在一起高度是：.
【设计意图】本题考查用代数式表示图形的规律，解答本题的关键是探究出规律，列出相应的代数式.
7.解：（1）原式；
（2）原式
.
【设计意图】本题考查整式的加减，解题的关键是掌握去括号，合并同类项的法则.
8.解：原式，
当，时，
上式
.
【设计意图】此题主要考查了整式的加减，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：整式的加减的实质就是去括号、合并同类项．一般步骤是：先去括号，然后合并同类项.
9.C
解：依题意得：，．
，．
，．
，．
……
当时，.
【设计意图】考查图形中的规律问题，解决问题的关键是找出图形中的变与不变，并用代数式表示出来.
10.解：（1）客厅的长为，宽为，面积为；
厨房的长为，宽为2，面积为；
卫生间的长为，宽为2，面积为；
卧室的长为，宽为，面积为；
因此总面积为，
答：地面总面积为；；
（2）当，时，（元，
答：铺地砖的费用是1 800元.
【设计意图】本题考查列代数式，代数式求值，正确表示出各个部分的面积是解题的关键．
11.解：（1）根据3阶方形的定义做出如下4种情况：
（2），，.
作图如下：
由图可知，这个长方形为8阶方形.
【设计意图】本题是基于四边形的新定义题，这类题的关键是：找最大正方形，且最后余下的也是一个正方形；有个正方形，就是阶方形；运用了数形结合的思想，使复杂问题简单化，抽象问题具体化。

展开更多......

收起↑