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第四章 基本平面图形
第1节 线段、射线、直线
【基础性作业】
1．下列四种实践方式：①木匠弹墨线、②打靶瞄准、③弯曲公路改直、④拉绳插秧，其中可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释的有 （填序号）.
2．A、B、C、D四点的位置如图所示，按下列要求作图（不写作法，保留作图痕迹）.
（1）连接AB，作射线AC、AD；
（2）作直线BD与射线AC相交于点O；
（3）在射线AD上作线段DE，使DE=AB-AC；
（4）设AE=a，DE=b，若M、N分别是AE、DE的中点，求MN的长（用含a、b的式子表示）.
【拓展性作业】
3．现有AB、CD两根木条，M、N分别是AB、CD的中点，将两根木条叠放在一起.
（1）若按如图①所示叠放，AB=10，CD=6，则MN= ；
图①
（2）若按如图②所示叠放，BD-AC=a，则MN= .（用含a的式子表示）
图②
【参考答案】
1．①②④
解：本问题情境符合几何基本事实.木匠弹墨线、打靶瞄准、拉绳插秧可以利用“两点确定一条直线”来解释，而弯曲公路改直，则可以利用“两点之间线段最短”来解释.
【设计意图】本题考查直线的性质，掌握“两点确定一条直线”“两点之间线段最短”的基本事实是正确判断的关键.
2．（1）如图所示：
（2）如图所示：
（3）如图所示：
（4）或
解：（4）由（3）可知，分情况讨论：
①当E点在D点左侧时：
因为AE=a，DE=b，M、N分别是AE、DE的中点，
所以求，，
所以；
②当E点在D点右侧时：
因为AE=a，DE=b，M、N分别是AE、DE的中点，
所以求，，
所以.
【设计意图】本题考查了作线段等于已知线段、线段的和差、线段中点的性质，数形结合是解题的关键.
3．（1）2；（2）
解：（1）因为AB=10，CD=6，M、N分别是AB、CD的中点，
所以，，
所以MN=AM-CN=5-3=2；
（2）因为M是AB的中点，
所以AM=BM，
所以MN+CN+AC=MD+BD，
所以MN+CN-MD=BD-AC，
因为N是CD中点，
所以CN=DN，
所以MN+DN-MD=BD-AC=a，
所以2MN=a，
所以.
【设计意图】本题考查两点间的距离，关键是由线段中点定义得到线段的和差关系：MN+CN-MD=BD-AC，将木条抽象成线段，培养抽象能力、逻辑推理能力.
第2节 角
【基础性作业】
1．下列作图语句正确的是（ ）
A．以点O为顶点作∠AOB B．延长线段AB到C，使AC=BC
C．作∠AOB，使∠AOB=∠α D．以A为圆心作弧
2.（1）0.25°= 分= 秒；
（2）2 700″= 分= 度.
3．如图是部分节目的播出时间，分别确定出钟表上时针与分针所成的最小的角的度数.
【拓展性作业】
4.已知∠AOB是一个直角，作射线OC，再分别作∠AOC和∠BOC的平分线OD、OE.
（1）如图①，当∠BOC=40°时，求∠DOE的度数；
（2）如图②，当射线OC在∠AOB内绕O点旋转时，∠DOE的大小是否发生变化若变化，说明理由；若不变，求∠DOE的度数；
（3）当射线OC在∠AOB外绕O点旋转且∠AOC为钝角时，画出图形，求∠DOE的度数.
图① 图②
【探究性作业】
5.一副三角板由一个等腰直角三角形和一个含30°角的直角三角形组成.
（1）利用这副三角板构成一个含15°角的方法很多.请你画出其中两种不同构成的示意图，并在图上作出必要的标注，不写作法.
（2）用一副三角板可以画出哪些不同度数的角？想一想这些度数有什么共同特点？
【参考答案】
1.C
【设计意图】此题主要考查了尺规作图的定义：“用没有刻度的直尺和圆规作图”，进而培养学生严谨的数学语言表达.
2.（1）0.25°＝15′＝900″；（2）2 700″=15′＝0.75°
【设计意图】此题主要考查了度、分、秒的换算，巩固度、分、秒的转化.
3.
节目 时间 大格度数 小格度数 夹角
新闻联播 19：00 30°×5 0° 150°
新闻30分 12：00 0° 0° 0°
今日说法 12：35 30°×5 35×0.5° 167.5°
电视剧 20：00 30°×4 0° 120°
【设计意图】此题主要考查了角的认识，钟面角，理解钟面被数字1～12平均分成12大格，每每一大格的度数为30°是解决问题的关键，同时让学生感受到角在生活中的应用非常广泛，培养学生用数学的眼光观察世界.
4.（1）如图①，∠AOC=90°-∠BOC=50°，
∵OD、OE分别平分∠AOC和∠BOC，
，，
∴∠DOE=∠COD+∠COE=45°；
图① 图②
（2）如图②，∠DOE的大小不变，理由是：
∠DOE=∠COD+∠COE
=45°
（3）∠DOE的大小发生变化情况如下：
如图③，则∠DOE为45°；如图④，则∠DOE为135°.
答案图③
分两种情况：如图③所示，
∵OD、OE分别平分∠AOC和∠BOC，
，，
；
答案图④
如图④所示，∵OD、OE分别平分∠AOC和∠BOC，
，，
.
【设计意图】此题考查了角的计算，熟练掌握角平分线定义是解本题的关键.从第（1）问到第（3）问，层层递进，不仅检测了角平分线的简单运用，也让学生初步体会从特殊到一般，培养学生几何直观的同时也培养学生从变中找不变，培养学生逻辑推理能力.
5.（1）用一副三角板画15°，如下图所示：
（2）用一副三角板可以画出15°，30°，45°，60°，75°，90°，105°，120°，135°，150°，165°等度数，我们发现它们的共同特点是15°的正整数倍.
【设计意图】此题考查角与角之间的运算，利用一副三角板的特点，发现角与角之间的关系，进而作图.这是一个开放型的问题，发展学生的几何直观和分类讨论的意识.
第3节 多边形和圆的初步认识
【基础性作业】
1.从五边形的一个顶点出发，可以画出 条对角线.
2.圆心角是60°的扇形的半径为6，则这个扇形的面积是 .
3．如图，在3×3的方格纸中，每个小方格都是边长为1 cm的正方形，点A、B、O是格点，则图中扇形OAB中阴影部分的面积是 .
【拓展性作业】
4．如图，在正方形ABCD中，对角线BD的长为.若将BD绕点B旋转后，点D落在BC延长线上的点D′处，点D经过的路径为弧DD′，则图中阴影部分的面积是 .
【探究性作业】
5．探究归纳题：
（1）试验分析：如图（1），经过A点可以做 条对角线；同样，经过B点可以做 条对角线；经过C点可以做 条对角线；经过D点可以做 条对角线.通过以上分析和总结，图（1）共有 条对角线.
（2）拓展延伸：运用图（1）的分析方法，可得：
图（2）共有 条对角线；
图（3）共有 条对角线；
（3）探索归纳：对于n边形（n＞3），共有 条对角线.（用含n的式子表示）
（4）特例验证：十边形有 对角线.
【参考答案】
1.两
【设计意图】本题主要考查了多边形的对角线的定义，n边形从一个顶点出发可引出（n﹣3）条对角线是需要熟记的内容.
2.6π
【设计意图】本题考查了扇形面积的计算，属于基础题．熟记公式是解题的关键.
3.
【设计意图】本题考查扇形、三角形面积公式的综合运用，需分析图形形状，将无法直接运用面积公式求解的图形，转化为两个可以分别运用面积公式的图形，是解题关键.
4.
【设计意图】本题考查扇形面积的计算、三角形的面积，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件.
5.（1）1，1，1，1，2；（2）5，9；（3）；（4）35
【设计意图】本题考查了多边形的对角线，发现多边形对角线公式是解题关键.
回顾与思考
【基础性作业】
1．已知平面上A、B、C三点，过每两点画一条直线，那么直线的条数有（ ）
A．3条 B．1条 C．1条或3条 D．0条
2．从正多边形一个顶点出发共有7条对角线，则这个正多边形每个外角的度数为（ ）
A．36° B．40° C．45° D．60°
3．下列说法正确的是（ ）
A．射线AB和射线BA不是同一条射线
B．10.15°＝10°15'
C．若AO＝BO，则点O是线段AB的中点
D．晚上8点整，钟表的时针与分针的夹角是150°
4．如图，在A、B两处观测到C处的方位角分别是（ ）
A．北偏东65°，北偏西40° B．北偏东65°，北偏西50°
C．北偏东25°，北偏西40° D．北偏东35°，北偏西50°
【拓展性作业】
5．将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BD、BE为折痕，若∠ABE＝20°，则∠DBC为 度.
【探究性作业】
6．如图所示，O为直线AD上一点，以O为顶点作∠COE＝90°，射线OF平分∠AOE.
（1）在如图位置，若∠AOC＝50°，求∠COF和∠FOD的度数；
（2）在如图位置，若∠AOC＝α，请直接写出∠COF的度数（用α表示）.
【参考答案】
1.C
【设计意图】本题考查了直线的性质，解题的关键是掌握直线的性质：经过两点有且只有一条直线.
2.A
【设计意图】本题考查了多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫作多边形的对角线．熟记n边形从一个顶点出发可引出（n﹣3）条对角线是解题的关键.
3.A
【设计意图】本题考查了度分秒的换算，直线、射线、线段，两点间距离，钟面角，需熟练掌握.
4.B
【设计意图】本题考查了方向角，方向角是表示方向的角；以正北、正南方向为基准，来描述物体所处的方向.
5.70
【设计意图】此题考查了角的计算，根据翻折变换的性质，得出三角形折叠以后的图形和原图形全等，对应的角相等，得出∠ABE＝∠A′BE，∠DBC＝∠DBC′是解题的关键.
6.解：（1）∵∠COE＝90°，∠AOC＝50°，
∴∠AOE＝∠COE﹣∠AOC＝90°﹣50°＝40°，
∵射线OF平分∠AOE，
∴∠AOF＝∠EOF＝＝＝20°，
∴∠COF＝∠AOC+∠AOF＝50°+20°＝70°，
∵O为直线AD上一点，
∴∠AOD＝180°，
∴∠FOD＝∠AOD﹣∠AOF＝180°﹣20°＝160°.
（2）∵∠COE＝90°，∠AOC＝α，
∴∠AOE＝∠COE﹣∠AOC＝90°﹣α，
∵射线OF平分∠AOE，
∴∠AOF＝∠EOF＝＝，
∴∠COF＝∠AOC+∠AOF＝α+＝.
【设计意图】本题考查角平分线的定义与角的计算，掌握并灵活运用角平分线的定义是解题的关键.
单元作业设计
【基础性作业】
1．摆放教室课桌时，常常先把每一列最前和最后的课桌摆好，然后再依次摆中间的课桌，很容易就整整齐齐了，依据的数学知识是（ ）
A．两点之间，线段最短
B．线段是直线的一部分
C．两点确定一条直线
D．两点之间线段的长度，叫作这两点之间的距离
2.如图，某轮船在点处测得灯塔位于北偏东方向上，测得灯塔位于南偏东方向上，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．过多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成7个三角形，这个多边形的边数是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
4.如图，点，在线段上，若，则（ ）
A． B． C． D．
5．一副三角尺拼成如图所示的图案，则∠AOB的度数为 .
6.如图，是一段高铁行驶路线图，图中字母表示的5个点表示5个车站，在这段路线上往返行车，需印制 种车票.
7．某校初一年级420学生来自甲、乙、丙三个地区，梳理各区人数，制成如下的扇形统计图，请分别求出甲扇形的圆心角度数及来自丙地区的学生人数.
8．如图，以点为顶点，射线为一边，利用尺规作，使得.
9．如图，线段，点是线段的中点，点在线段上.
（1）求线段的长度；
（2）若，求线段的长度.
10．如图，将一副三角板的两个直角顶点叠放在一起.
（1）若，则 ， ， ；
（2）比较与的大小关系，并说明理由；
（3）猜想与的数量关系，并说明理由.
【拓展性作业】
11.为了服务于民，需要在如图所示的活动场所ABCD中建立一个标志建筑O，要求满足标志O到便民场所的四个顶点A，B，C，D的距离之和最短，若你负责此项目的设计，请问是否存在这样的点O满足的要求？若存在，请你用相关几何知识进行说明，并在图中标注点O的位置，若不存在，请说明理由.
12．综合与探究
【背景知识】
如图甲，已知线段，，线段在线段上运动，，分别是，的中点.
【知识探究】
（1）若，则 cm；
（2）当线段在线段上运动时，试判断的长度是否发生变化？如果不变，请求出的长度，如果变化，请说明理由；
【类比探究】
（3）对于角，也有和线段类似的规律．如图乙，已知在内部转动，，分别平分和，若，，求.
【参考答案】
1.A
【设计意图】本问题情境适合用几何基本事实（两点确定一条直线）来解释.将生活情境与数学问题紧密联系，用几何事实解释生活现象，发展应用意识.
2．A
【设计意图】将角的计算及方位角问题融入航行的问题，考查学生的对方位角的理解，对角和（差）运算的掌握，发展几何直观与推理能力.
3．C
解：设这个多边形的边数是，由题意得：n-2=8，所以.
【设计意图】考查多边形的相关概念，将多边形的边数与过一个顶点对角线分割三角形的个数联系，体会数形结合的思想方法，发展空间观念及推理能力.
4.B
解：由两边都减，得，即.
【设计意图】通过线段的简单和（差）计算比较线段的长短，与等式的基本性质融合，发展几何直观及推理能力.
5.105°
解：由图可知，，，
因为，
所以，
所以∠AOB=180°-105°=75°.
【设计意图】借助学生熟悉的三角板设计角度和（差）的问题，让学生体会数学问题与生活息息相关，发展几何直观及推理能力.
6.20
解：根据题意，这段路线有10条线段，所以，在这段路线上往返行车，需印制10×2=20种车票.
【设计意图】以高铁行驶路线图为背景，正确的表示线段，分析出线段数量与车票数量的的数量关系，解决问题，发展应用意识.
7．解：甲扇形的圆心角的度数为；
来自丙地区的学生人数420×35%=147人.
【设计意图】能根据已有扇形面积占圆面积的比例求出扇形圆心角的度数，掌握就圆心角度数的基本方法，解决简单问题.
8．解：如图所示：
①当所作的角在∠DAC内时：
；
②当所作的角在BC下方时：
【设计意图】能用尺规作一个角等于已知角，巩固尺规作等角的基本方法，问题解决中，体会分类讨论的数学思想.
9．解：（1）因为，点C是线段AB的中点，
所以；
（2）因为，，
所以，
所以.
【设计意图】理解线段中点的意义，会进行简单的线段和（差）计算，能用数学符合表达思维，发展几何直观及推理能力.
10．解：（1）
，
，
．
故答案为；；.
（2）.
理由如下：因为，，
所以．
（3）．
理由如下：因为，
所以，
又因为，
所以．
又因为，
所以.
【设计意图】将一副三角板共直角顶点摆放，能对角进行简单的和（差）计算，结合等式的基本性质得到两个角的数量关系，发展几何直观及推理能力.
11.解：四边形ABCD对角线AC，BD的交点O满足要求理由如下：
要使最小，则点是线段、的交点．
理由如下：如果存在不同于点的交点，连接、、、，那么，
即，
同理，，
，
即点是线段、的交点时，之和最小．
【设计意图】以生活中的实际问题为背景，通过动手实践探究线段和的最值，运用基本事实解释其正确性.学生逐步从直观感知走向操作确认，再用符号表达，积累操作经验.
12．解：（1）因为，，，
所以，
因为，分别是，的中点，
所以，，
所以；
（2）的长度不变．理由如下：
因为、分别是，的中点，
所以，，
.
因为，，所以；
（3）因为、分别平分和，
所以，，
所以
.
【设计意图】综合应用线段、角的知识解决较为复杂的线段和（差）及角和（差）的问题，要求学生说理清楚，发展推理能力.将线段问题与角问题类比解决，渗透类比的数学思想，由解决特殊位置的求值问题发展到一般位置的数量关系问题，渗透一般到特殊的数学思想.
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