资源简介

空间向量及其运算
教材分析
本节课的学习，可以帮助学生在学习平面向量的基础上，利用类比的方法理解空间向量的概念、运算、基本定理和应用，体会平面向量和空间向量的共性和差异，学生经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念；经历由平面向量的运算及其法则推广到空间向量的过程。
教学目标
学生经历向量由平面向空间推广的思维过程，掌握空间向量的加、减、数乘运算．
学生理解空间向量数量积的概念、性质和计算方法，掌握“夹角公式”，“求模公式”等, 能熟练地进行向量运算.
学生重点掌握利用向量的方法求立体几何中的平行、垂直、夹角及长度问题的方法.
学生在联系、类比与转化的过程中提高运算、抽象、推理等数学思维能力
教学重难点
重点：熟练掌握空间向量的加法、减法、数乘、数量积的计算方法.
难点：利用向量的方法解决简单的立体几何问题.
学生必备知识
1．平面向量
(1)平面向量的定义
在平面，把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模．
(2)平面向量及其模的表示方法空间向量用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模．如图，a的起点是A，终点是B，则a也可记作，其模记为|a|或||.
(3)特殊向量
名称 定义及表示
零向量 规定长度为0的向量叫零向量，记为0
单位向量 模为1的向量叫单位向量
相反向量 与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量记为－a
相等向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量
2.平面向量的加法、减法
平面向量的加、减法运算(如图)：
＝＋＝a＋b； ＝－＝a－b.
3．平面向量加法的运算律
(1)交换律　a＋b＝b＋a； (2)结合律　(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．
4．平面向量的数乘运算
(1)向量的数乘：实数λ与平面向量a的乘积仍然是一个向量，记作λa，称为向量的数乘运算．当λ>0时，λa与向量a方向相同；当λ<0时，λa与向量a方向相反；λa的长度是a的长度的|λ|倍．
(2)平面向量的数乘运算满足分配律与结合律：
分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb，结合律：λ(μa)＝(λμ)a.
5．平面向量的夹角
定义 已知非零向量a，b，任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角
记法 〈a，b〉
范围 〈a，b〉∈[0，π]．当〈a，b〉＝时，a__⊥__b
6．空间向量的数量积
(1)定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.
(2)数量积的运算律
数乘向量与向量数量积的结合律 (λa)·b＝λ(a·b)
交换律 a·b＝b·a
分配律 a·(b＋c)＝a·b＋a·c
(3)数量积的性质
两个向量数量积的性质 ①若a，b是非零向量，则a⊥b a·b＝0
②若a与b同向，则a·b＝|a|·|b|；
若反向，则a·b＝－|a|·|b|.
特别地，a·a＝|a|2或|a|＝
③若θ为a，b的夹角，则cos θ＝
④|a·b|≤|a|·|b|
教学过程
一、空间向量的概念
思考1：观察平面向量的有关概念与约定，思考能否将它们从平面推广到空间中. 如果能，尝试说出推广之后的不同之处；如果不能说明理由.
答：只要去掉“在平面内”的限定，就都可以原封不动地推广到空间中，因此，我们仍使用上述向量的概念与约定如下.
1．空间向量
(1)空间向量的定义
在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模．
(2)空间向量及其模的表示方法空间向量用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模．如图，a的起点是A，终点是B，则a也可记作，其模记为|a|或||.
(3)特殊向量
名称 定义及表示
零向量 规定长度为0的向量叫零向量，记为0
单位向量 模为1的向量叫单位向量
相反向量 与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量记为－a
相等向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量
不同之处：空间中的向量，除了共线之外，我们还要讨论共面的情形.
一般地，空间中的多个向量，如果表示它们的有向线段通过平移之后，都能在同一平面内，则称这些向量共面；否则，称这些向量不共面.
例题1: 如图1-1-2，请指出下列各组向量的位置关系.
（1），； （2），；
（3），，； （4），，；
答：（1）共线向量；（2）不共线向量，但是共面向量；
（3）共面向量；（4）不共面向量.
总结：空间中任意两个向量都是共面的；但空间中任意三个向量不一定共面;
空间向量的线性运算
1.空间向量的加法及其运算律
思考1：回忆平面向量的加法运算，思考如何定义空间向量的加法，并尝试总结空间向量加法运算与平面向量加法运算有何不同？
答：如图1-1-4，因为空间中的任意两个向量都共面，所以空间中两个向量的和，除了A点可以在空间中任意选定之外，其他的与平面情形完全一样.特别地，向量加法的三角形法则和平行四边形法则在空间中也成立.
思考2：向量加法的运算法则(1)交换律　a＋b＝b＋a；(2)结合律　(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．
它们在空间中是否成立呢？
答：如图可知，两个运算法则均成立.
2.空间向量的减法与数乘运算
任意两个空间向量总是共面的，因此可以用类似平面向量中的方法来定义两个空间向量的减法运算、数乘运算.
空间向量的减法： a-b=a＋(-b)
空间向量的数乘：实数λ与空间向量a的乘积仍然是一个向量，记作λa，称为向量的数乘运算．
（1）当λ≠0或a≠0时，λa的模是|λ||a|，且有
①当λ>0时，λa与向量a方向相同； ②当λ<0时，λa与向量a方向相反；
（2）当λ=0或a=0时，λa=0.
（3）空间向量的数乘运算满足分配律与结合律：
分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb，结合律：λ(μa)＝(λμ)a.
例题2：如图1-1-10所示，三棱锥A-BCD中，O为CD的中点，化简，并在图中作出表示化简结果的向量.
解：
空间向量的数量积
平面内两个非零向量a，b，任意在平面内选定一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角.
思考1：观察上述平面向量夹角的概念，思考空间中两个非零向量的夹角该如何定义，并尝试总结两者的不同之处.
答：由于空间中任意两个向量都一定是共面的，因此，空间两个非零向量的夹角也可以按照上述的方式进行定义.但“任意在平面内选定一点”应改成“任意在空间内选定一点”。
特别地，如果=时，则称向量a与b垂直，记作a⊥b.
例题3: 如图1-1-11所示是一个正方体，求下列各对向量的夹角:
与；（2）与；
（3）与；（4）与；
解：（1）45°（2）135°
（3）90°（4）180°
思考2：类比平面向量的数量积，说出空间向量的数量积a·b的定义？
答　已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.
即a·b=|a||b|cos〈a，b〉
思考3：请你类比平面向量说出a·b的几何意义．
答　如图1-1-12，向量a在向量b上的投影a’，a与b的数量积等于a在b上的投影a’的数量与b的长度的乘积.
思考4：请你类比平面向量说出空间向量的数量积a·b有哪些性质．
答：（1）a⊥b a·b=0；
（2）a·a=|a|2=a2；
（3）|a·b|≤|a||b|；
（4）(λa)·b=λ(a·b)；
（5）a·b=b·a (交换律）；
（6）（a+b)·c=a·c+b·c (分配律）；
第6条性质可以按如下方式进行理解
当a，b，c共面时，根据平面向量数量积的性质可知，结论成立.
当a，b，c不共面时，显然|c|≠0，设c0=,即c0是与c同向的单位向量，如图1-1-14所示，
设是一个长方体。点O与c0都在直线AB上，且=a，=b，
因此a在c0上的投影为a，=，b在c0上的投影为b，=，且
=a+b. a+b在c0上的投影为.
注意到=a，+b，.这就说明( a+b)·c0= a·c0+b·c0，
在这个式子两边同时乘以|c|，即可知（a+b)·c=a·c+b·c.
例题4: 例1　已知长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E为侧面AB1的中心，F为A1D1的中点．试计算： (1)·；(2)·；(3)·.
解　如图，设＝a，＝b，
＝c，则|a|＝|c|＝2，|b|＝4，a·b＝b·c＝c·a＝0.
(1)·＝b·[(c－a)＋b]＝|b|2＝42＝16.
(2)·＝·(a＋c)＝|c|2－|a|2＝22－22＝0.
(3)·＝·＝(－a＋b＋c)·＝－|a|2＋|b|2＝2.
两个重要的公式
①求模公式：|a|＝
②夹角公式：若θ为a，b的夹角，则cos θ＝
例题5:（1） 已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，且a与b的夹角为，则|a＋b|＝________.
（2）已知a，b是空间两个向量，若|a|＝2，|b|＝2，|a－b|＝，则cos〈a，b〉＝________.
答案（1）　
解析　|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋2×1×2×cos ＋22＝7，∴|a＋b|＝.
（2）答案　
解析　将|a－b|＝化为(a－b)2＝7，求得a·b＝，再由a·b＝|a||b|cos〈a，b〉求得cos〈a，b〉＝.
例题6: 在四棱锥P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥BC，AB⊥AD，且PA＝AB＝BC＝AD＝1，求PB与CD所成的角．
解　由题意知||＝，
||＝，＝＋，＝＋＋，
∵PA⊥平面ABCD，∴·＝·＝·＝0，
∵AB⊥AD，∴·＝0，
∵AB⊥BC，∴·＝0，
∴·＝(＋)·(＋＋)＝2＝||2＝1，
又∵||＝，||＝，
∴cos〈，〉＝＝＝，
∴〈，〉＝60°，∴PB与CD所成的角为60°.
四、教学反思
向量是工具，这个工具有其独特性。由于它的双重性，既有几何特性，又有代数特性，它可以在几何角色与代数角色之间灵活切换，所以由它来联系几何与代数就成了自然而然的事。在立体几何中，由于向量的介入，把一大部分抽象的空间想象和抽象的逻辑推理转化为向量运算,使我们拥有了解决立体几何问题的相对固化的方法，从而使我们面对那些空间想象能力要求较高的问题时，也能更轻松地驾驭。本节课为空间向量几何表示下的加减数乘运算，具有基础性，全局性，既能承担平面向量有关知识的巩固与复习，又奠定向量法解立几问题的基础，承上启下意义特别重大，教学中应该高度重视。

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