资源简介

6.3.1　角 的 概 念
课时目标
1.认识角是一种基本的几何图形,理解角的概念,学会角的表示方法,培养抽象思维.
2.了解角的度量单位度、分、秒,会进行简单的换算和角度计算,提升运算能力.
3.了解方位角,能确定具体物体的方位,提高学生的识图能力.
学习重点
会用不同的方法表示同一个角,会进行角度的换算.
学习难点
理解并掌握角的表示和角度的换算.
课时活动设计
情境引入
观察下面实物,你发现这些实物中有什么相同图形吗
学生回答,教师引导.
设计意图:从实际情境入手,激发学生的学习兴趣.
探究新知
探究1　角的概念
本节课我们将在已有知识的基础上,对角作进一步的研究!
问题1:时钟的时针与分针,圆规的两条脚,剪刀的两个刀刃,水壶的壶身和壶嘴等,都给我们什么样的平面图形的形象 请把它画出来.
学生进行独立思考、画图,然后观看教师的演示过程.
教师用多媒体演示角的形成过程:一条射线OA绕端点O旋转到OB的位置,得到的平面图形——角.
问题2:从上面的活动过程中,你能知道角是由什么图形组成的吗
解:两条射线.
教师引导学生归纳:
角的概念:有公共端点的两条射线组成的图形叫作角,这个公共端点是角的顶点,这两条射线是角的两条边(如下图).
追问:下面三个图形是角吗
解:下面三个图形都不是角.
注:角必须有公共端点且必须是两条射线.
探究2　角的表示
学生活动:阅读教材第170页的有关内容,了解角的表示方法.
注:教师讲解角的不同表示方法时,着重讲解一个顶点有多个角的表示方法.
问题3:请用适当的方法表示下图中的每个角.
请一个学生板书练习,其余学生独立练习.教师巡视学生练习情况,给予评价,对多数同学作出肯定评价.
总结:角的表示方法:1.用三个大写字母表示,如∠BAD或∠DAB(注意必须把顶点字母放在中间);
2.用一个大写字母表示,如∠A.当两个或两个以上的角共用一个顶点时,不能用一个大写字母表示;
3.用小写希腊字母表示,如∠α;
4.用单独一个数字表示,如∠1.
问题4:角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形.如下图,射线OA绕端点O旋转,当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时,形成什么角 继续旋转,当OB和OA重合时,又形成什么角
教师参与学生交流,并用多媒体演示平角、周角的形成过程,启发引导学生对问题进行探索.
解:分别形成平角、周角.
探究3　角的度量
教师指导学生阅读课本,讲解角的度量方法及度、分、秒的换算.
我们常用量角器量角,度、分、秒是常用的角的度量单位,如图,把一个周角360等分,每一份就是1度的角,记作1°;把1度的角60等分,每一份叫作1分的角,记作1';把1分的角60等分,每一份叫作1秒的角,记作1″.
学生讨论交流,教师总结.
结论:1周角=　360　°,1平角=　180　°,1°=　60　',1'=　60　″.
练习:计算下列式子.
(1)57.32°=　　　　°　　　　'　　　　″;(2)17°6'36″=　　　　°.
学生思考并完成上面的填空.教师找学生代表上黑板进行演示计算,教师及时纠正计算步骤.
解:(1)57.32°=57°+0.32×60'
=57°+19.2'
=57°19'+0.2×60″
=57°19'12″.　　　　按1°=60',1'=60″,先把度化成分,再把分化成秒. (小数化整数)
(2)17°6'36″
=17°+6'+'
=17°+6.6'
=17°+°
=17.11°.　　　　 按1″=',1'=°先把秒化成分,再把分化成度. (整数化小数)
探究4　方位角
如图,货轮O在航行过程中,发现灯塔A在它南偏东60°的方向上.同时,在它北偏东40°,南偏西10°,西北(即北偏西45°)方向上又分别发现了客轮B,货轮C和海岛D.仿照表示灯塔A方位的方法,画出表示客轮B,货轮C和海岛D方向的射线.
分析:表示方向的角在航行、测绘等工作中经常用到,以正北、正南方向为基准,描述物体运动的方向,如“北偏东30°”“南偏东25°”.
解:以点O为顶点,表示正北方向的射线为角的一边,画40°的角,使它的另一边OB落在东与北之间.射线OB的方向就是北偏东40°,即客轮B所在的方向.
同理,货轮C和海岛D所在方向也可画出.结果如下图所示.
归纳:认识方位:正东、正南、正西、正北、东南、西南、西北、东北.
设计意图:从实际生活中的情景入手,从生活中的图形中提炼数学问题,从而强化生活与数学的紧密关系.
典例精讲
例1　时钟显示为10:10时,时针与分针所夹的角度是多少
解:时针每小时旋转的夹角为360°÷12=30°,所以10分钟,时针旋转的角度为5°.所以10:10时,时针与分针所夹角度为4×30°-5°=115°.
例2　一艘轮船在P处向M处的海上巡逻艇呼叫救援,如图所示,巡逻艇从M处去P处实施救援,若要航线最短,其航行的路线是怎样
解:如图所示,若要航线最短,其航行的路线为沿南偏西40°方向,航行30海里.
设计意图:通过对例题的讲解,强化学生对知识的理解、掌握和应用,让学生更深刻地理解数学的实用性.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
巩固训练
1.在钟表上,1点30分时,时针与分针所形成的角的度数是(　C　)
A.150° B.165° C.135° D.120°
2.下列各角中,不可能是钝角的是(　D　)
A.周角 B.平角 C.钝角 D.直角
3.如下图所示,把图中用数字表示的角,改用大写字母来表示,分别是　∠ADE,∠BDE,∠CED,∠B,∠AED.　.
第3题图
第4题图
4.将图中的角用不同的方法表示出来,填入下表:
表示方法1 ∠1 ∠2 ∠3 ∠4 ∠5
表示方法2 ∠BCE ∠BCA ∠BAC ∠BAD ∠ABC(或∠B)
　　5.°=　7.5　'=　450　″;6 000″=　100　'=°.
6.如下图,分别确定四个城市相对应的钟表上时针与分针所形成角的度数.
解:四个城市相对应的钟表上时针与分针所形成的角的度数分别是30°,0°,120°,90°.
7.如图,点B在点A的南偏西45°方向,点C在点A的南偏东15°方向,点C在点B的北偏东75°方向,则∠ACB的度数是多少
解:如答图所示,
由题意,可得∠BAE=45°,∠CAE=15°,∠DBC=75°.
因为点B在点A的南偏西45°方向,
所以点A在点B的北偏东45°方向.
所以∠DBA=45°.
所以∠ABC=∠DBC-∠DBA=75°-45°=30°.
因为∠BAE=45°,∠CAE=15°,
所以∠BAC=∠BAE+∠CAE=45°+15°=60°.
所以∠ACB=180°-∠ABC-∠BAC=180°-30°-60°=90°.
设计意图:检测学习效果,强化学生对新知的理解和掌握.
课堂小结
本节课我们研究了基本的几何图形——角,请同学们带着以下问题进行总结:
1.角的概念是什么
2.角的表示方法有哪些
3.角的度量与换算.
4.方位角.
设计意图:通过归纳本节课学习的主要内容,让学生自觉对所学知识进行梳理,帮助学生进行知识构建.
课堂8分钟.
1.教材第172页练习第1,2,3,4题,第178页习题6.3第1,2(1)(2)(5),5,6题.
6.3.1　角 的 概 念
　　　1.角的概念:①有公共端点的两条射线组成的图形.
②一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形.
2.角的表示方法:①用三个大写字母或一个大写字母表示;
②用一个数字加弧线表示;
③用一个小写希腊字母加弧线表示.
3.角的度量:度、分、秒.　1°=60',1'=60″.
4.方位角:
教学反思

6.3.2　角的比较与运算
课时目标
1.在现实情境中,运用类比的方法,学会比较两个角的大小.
2.丰富对角的大小关系的认识,会分析图中角的和差关系,进一步提高学生的识图能力.
3.通过动手操作,学会借助三角尺画出不同度数的角,认识角的平分线及角的等分线,会画角的平分线,培养学生的动手操作能力.
学习重点
比较角的大小,认识角的大小关系,分析角的和差关系,认识角平分线及画角平分线.
学习难点
认识复杂图形中的角的和差关系,比较两个角的大小.
课时活动设计
情境引入
教师在黑板上画出一个三角形.(如右图所示)
问题:如何比较图中线段AB,BC,CA的长短
学生回顾线段长短的比较方法,小组交流,得出适当的比较线段长短的方法.
教师活动:归纳学生的讨论结果,并演示用圆规比较AB、BC、CA三条线段长短的过程.
结论:AB>AC>BC.
那么我们如何比较图中∠A、∠B、∠C的大小呢
设计意图:从实际情境入手,引出本节课的内容,激发学生的学习兴趣.
探究新知
探究1　角的大小比较
问题1:如何比较图中∠A、∠B、∠C的大小呢
学生小组交流比较的方法,得出结论:可用量角器先量出角的度数,然后比较它们的大小.
教师对学生提出的方法给予肯定评价,并动手测量度数,比较它们的大小,板书给出结论:∠C>∠B>∠A.
追问:比较线段的长短可以使用叠合法,那么比较角的大小也可以使用叠合法吗 如何用叠合的方法比较角的大小
小组交流讨论,动手操作:每个学生都在透明纸上画一个角,然后剪下这个角,并与小组中其他同学所画的角进行比较,比较后归纳出比较方法和比较结果,然后观看多媒体演示角的比较过程.
教师巡视并指导学生进行角的比较活动过程,打开多媒体演示角的比较过程:把一个角移到另一个角上,顶点与一条边重合,两个角的另一边都在重合边的同侧,观察这两边的位置关系,就能得出这两个角的大小关系.
探究2　角的和差
问题2:类比两条线段的和与差,说明什么是两个角的和与差
小组交流讨论.
教师讲解小组讨论过程中的问题,并给出图中各角之间的和差关系(如下图).
解:各角之间的和差关系:∠AOC是∠AOB和∠BOC的和,记作∠AOC=∠AOB+∠BOC.∠AOB是∠AOC与∠BOC的差,记作∠AOB=∠AOC-∠BOC.
类似地,∠AOC-∠AOB=　∠BOC　.
探究3　借助三角尺画特殊角
问题3:你们能用一副三角尺拼出哪些特殊角
小组交流后说出这些角的度数,各小组之间互相补充.教师评价学生的结论,对学生的答案进行归纳补充.
探究4　角的平分线
我们知道,线段的中点把线段分成两条相等的线段.那么,类比线段的中点,角是否有相似的性质呢
在半透明纸上画一个角,沿着顶点对折,使角的两边重合.观察老师的演示过程,并思考下面问题.
问题4:∠AOC被折痕OB分成的两个角有什么关系
解:在图中,∠AOC被折痕OB分成的两个角相等,即∠AOB=∠BOC.
追问1:那∠AOC和∠BOC有什么关系 这个关系怎样用式子来表示 射线OB叫作什么
解:∠AOC是∠BOC的2倍,即∠AOC=2∠BOC.
教师归纳:一般地,从一个角的顶点出发,把这个角分成两个相等的角的射线,叫作这个角的平分线.
追问2:观察下图,以此类推,若∠AOB=∠BOC=∠DOC,射线OB,OC叫什么 学生讨论回答.
归纳:一般地,从一个角的顶点出发,把这个角分成三个相等的角的射线,叫作这个角的三等分线.
思考:在纸上画一个角,如何画出这个角的平分线
学生活动:思考并进行小组交流,总结出角平分线的画法并画图.
解:方法一:在半透明纸上画一个角,沿着顶点对折,使角的两边重合,沿折痕画线即可.
方法二:①先用量角器测量∠AOC的大小;
②计算∠AOB=∠BOC=∠AOC的度数;
③在∠AOC内部以OA(或OC)为始边,用量角器量∠AOC的度数,画线即可.
教师活动:对学生总结出的画法进行评价,并演示画图过程.
归纳:(1)借助量角器画图:以已知角的顶点为顶点,已知角的一边为边,在已知角的内部画一个度数等于已知角的度数的一半的角,则这个角的另一边就是已知角的平分线.
(2)用折叠方法:把角沿顶点对折,使角的两边重合,沿折痕在角的内部画一条射线,即为已知角的平分线.
设计意图:从实际生活中的情景入手,从生活中的图形中提炼出数学问题,从而强化生活与数学的紧密关系.
典例精讲
例1　如下图,已知OB平分∠AOC,OD平分∠COE,∠AOC=80°,∠DOE=30°.
求(1)∠AOB的度数;(2)∠COD的度数;(3)∠BOD的度数.
解:(1)因为OB平分∠AOC,∠AOC=80°,
所以∠AOB=∠BOC=∠AOC=×80°=40°.
(2)因为OD平分∠COE,∠DOE=30°,
所以∠COD=∠DOE=30°.
(3)因为∠BOC=40°,∠COD=30°,
所以∠BOD=∠BOC+∠COD=40°+30°=70°.
例2　如图,O是直线AB上一点,∠AOC=53°17',求∠BOC的度数.
分析:AB是直线,∠AOB是直角,∠BOC与∠AOC的和是∠AOB.
解:由题意可知,∠AOB是平角,∠AOB=∠AOC+∠BOC,
所以∠BOC=∠AOB-∠AOC=180°-53°17'=126°43'.
设计意图:通过对例题的讲解,强化学生对所学知识的理解、掌握和应用,让学生更深刻地理解数学的实用性.
巩固训练
1.如图,图中小于平角的角有(　C　)
A.3个　　　　　B.4个　　　　　C.5个　　　　　D.6个
2.比较大小:20.24°　<　20°24'(填“>”“<”或“=”).
3.如图,用“>”“<”或“=”填空:
(1)∠AOC　=　∠AOB+∠BOC;　　　
(2)∠AOC　>　∠AOB;
(3)∠BOD-∠BOC　=　∠DOC;
(4)∠AOD　<　∠AOC+∠BOD.
4.如图,OC平分∠AOB,OD平分∠AOC,则图中相等的角有　∠AOC=∠BOC,∠AOD=∠COD　,∠AOD= 　∠AOC= 　∠AOB.
5.如下图,已知∠AOC=60°,∠BOD=90°,∠AOB是∠DOC的3倍,求∠AOB的度数.
解:设∠AOD的度数为x,
因为∠AOC=60°,所以∠COD=∠AOC-∠AOD=60°-x.
因为∠AOB是∠DOC的3倍,所以∠AOB=3∠DOC=3(60°-x).
又因为∠AOB=∠AOD+∠BOD=x+90°,
所以x+90°=3(60°-x).
解得x=22.5°.
所以∠AOB=x+90°=22.5°+90°=112.5°.
设计意图:检测学习效果,强化学生对新知的理解和掌握.
课堂小结
1.角的大小比较的方法.
2.角的和与差的运算.
3.角平分线的定义.
设计意图:通过归纳本节课学习的主要内容,让学生自觉对所学知识进行梳理,帮助学生进行知识建构.
课堂8分钟.
1.教材第175页练习第1,2,3题,第178页习题6.3第3,8,10题,第185页复习题6第11题.
6.3.2　角的比较与运算
　　　1.角的比较.
2.角的和与差.
3.角平分线的定义.
教学反思

6.3.3　余角和补角
课时目标
1.在具体的现实情境中,认识一个角的余角和补角,进一步提高学生的抽象概括能力.
2.掌握余角和补角的性质,发展空间观念和运用知识的能力.
3.学会简单的逻辑推理,并能对问题的结论进行合理的猜想.
学习重点
认识角的互余、互补关系及其性质.
学习难点
通过简单的推理,归纳出余角、补角的性质,并能用规范的语言描述性质.
课时活动设计
情境引入
教师拿出2个一样的含30°角(或含45°角)的三角板,请同学们拼一拼,看看可以发现什么
设计意图:从实际情境入手,激发学生的学习兴趣,为学习本节课的内容作铺垫.
探究新知
探究1　互为余角的定义
问题1:请同学们观察一副三角尺,我们知道有一个角是直角,那么剩下的两个角有什么关系呢
解:相加为90°(30°+60°=90°,45°+45°=90°).
教师总结归纳:一般地,如图,如果两个角的和等于90°(直角),就说这两个角互为余角,简称这两个角互余,其中一个角是另一个角的余角.即∠1是∠2的余角或∠2是∠1的余角.
练习:图中给出的各角,哪些互为余角
解:因为10°+80°=90°,所以10°和80°的这两个角互为余角.
因为25°+65°=90°,所以25°和65°的这两个角互为余角.
因为44°+46°=90°,所以44°和46°的这两个角互为余角.
探究2　互为补角的定义
问题2:用一副三角尺的两个直角能组成一个什么角 动手摆一摆.
学生回答:相加为180°,能摆成一个平角.
教师总结归纳:如图,如果两个角的和等于180°(平角),就说这两个角互为补角,简称这两个角互补,其中一个角是另一个角的补角.即∠3是∠4的补角或∠4是∠3的补角.
练习:图中给出的各角,哪些互为补角
解:因为10°+170°=180°,所以10°和170°的这两个角互为补角.
因为30°+150°=180°,所以30°和150°的这两个角互为补角.
因为60°+120°=180°,所以60°和120°的这两个角互为补角.
因为80°+100°=180°,所以80°和100°的这两个角互为补角.
探究3　余角、补角的性质
问题3:如图,∠1与∠2互余,∠3与∠4互余,如果∠1=∠3,那么∠2与∠4相等吗 为什么
教师操作多媒体演示,学生观察图形的运动,得出结果:∠2=∠4.
总结:余角的性质:同角(等角)的余角相等.
教师向学生说明,除了以上从观察图形得到的结论,还可以从理论上说明其理由.
解:因为∠1+∠2=90°,∠3+∠4=90°,
所以∠2=90°-∠1,∠4=90°-∠3.
因为∠1=∠3,
所以90°-∠1=90°-∠3,即∠2=∠4.
追问:类似地,补角有没有这样的性质呢
问题4:如图,∠1与∠2互补,∠3与∠4互补,如果∠1=∠3,那么∠2与∠4相等吗 为什么
教师操作多媒体演示,学生观察图形的运动,得出结果:∠2=∠4.
总结:补角的性质:同角(等角)的补角相等.
教师向学生说明,除了以上从观察图形得到的结论,还可以从理论上说明其理由.
解:因为∠1+∠2=180°,∠3+∠4=180°,
所以∠2=180°-∠1,∠4=180°-∠3.
因为∠1=∠3,
所以180°-∠1=180°-∠3,即∠2=∠4.
探究4　余角和补角之间的关系
两个角相加的和为90°,则这两个角互为余角.如果这两个角互为余角,已知一个角,那么能不能求出另一个角的度数呢 如果这两个角互为补角呢
请带着你的想法完成表格.
∠a ∠a的余角 ∠a的补角
5°
32°
45°
77°
62°23'
x°
　　解:填表如下.
∠a ∠a的余角 ∠a的补角
5° 85° 175°
32° 58° 148°
45° 45° 135°
77° 13° 103°
62°23' 27°37' 117°37'
x° 90°-x° 180°-x°
　　认真观察表格,你有什么重要的发现
结论:同一个锐角的补角比它的余角大90°.
重要提醒:
1.如何表示一个角的余角和补角
锐角∠α的余角是(90°-∠α),∠α的补角是(180°-∠α).
2.互余和互补是两个角的数量关系,与它们的位置无关.
设计意图:运用类比思想,让学生经历合作探究过程,通过观察、发现、归纳、得出本节课学习的内容.
典例精讲
例1　若一个角的补角等于它的余角的4倍,求这个角的度数.
解:设这个角的度数是x°,则它的补角是(180-x)°,余角是(90-x)°.
根据题意,得180-x=4(90-x).
解得x=60.
答:这个角的度数是60°.
例2　如图,∠AOB=90°,∠COD=∠EOD=90°,点C,O,E在同一条直线上,且∠2=∠4,请说出∠1与∠3之间的关系,并试着说明理由.
解:∠1=∠3.理由如下:
因为∠1+∠2=∠COD=90°,∠3+∠2=∠AOB=90°,
所以∠1=∠3(同角的余角相等).
例3　如图,点O为直线AB上一点,∠BOC=130°,OM平分∠AOC.
(1)求∠AOM的度数;
(2)作射线OP,若∠BOP与∠AOM互余,求∠COP的度数.
解:(1)因为∠AOB=180°,∠BOC=130°,
所以∠AOC=∠AOB-∠BOC=180°-130°=50°.
因为OM平分∠AOC,
所以∠AOM=∠COM=∠AOC=×50°=25°.
(2)因为∠BOP与∠AOM互余,∠AOM=25°,
所以∠BOP=90°-∠AOM=90°-25°=65°.
当射线OP在∠BOC内部时,如答图1,
∠COP=∠BOC-∠BOP=130°-65°=65°;
当射线OP在∠BOC外部时,如答图2,
∠AOP=180°-∠BOP=180°-65°=115°,
∠COP=∠AOP+∠AOC=115°+50°=165°.
综上所述,∠COP的度数为65°或165°.
设计意图:通过对例题的讲解,强化学生对所学知识的理解、掌握和应用,让学生更深刻地理解数学的实用性.
巩固训练
1.如图,点O在直线AB上,∠COB=∠EOD=90°,下列说法错误的是(　D　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.∠1与∠2相等 B.∠AOE与∠2互余
C.∠AOD与∠1互补 D.∠AOD与∠COD互补
2.如图,∠ACB=90°,∠BDC=∠ADC=90°,下列说法错误的是(　D　)
A.∠ACD与∠CBD相等 B.∠BCD与∠CBD互余
C.∠BCD与∠ACD互余 D.∠A与∠BCD互余
3.已知∠1+∠2=90°,∠1=65°,则∠2的度数为(　A　)
A.25° B.35° C.115° D.125°
4.(1)70°的余角是　20°　,补角是　110°　.
(2)∠α(∠α<90°)的余角是　90°-∠α　,它的补角是　180°-∠α　.
5.一个角的补角减去10°后,等于这个角的余角的2倍,求这个角的度数.
解:设这个角的度数为x.则它的补角为180°-x,它的余角为90°-x.
根据题意,得180°-x-10°=2(90°-x).
解得x=10°.
所以这个角的度数为10°.
设计意图:检测学习效果,强化学生对新知的理解和掌握.
课堂小结
1.余角、补角的定义.
2.余角、补角的性质.
3.余角和补角之间的关系.
设计意图:通过归纳本节课学习的主要内容,让学生自觉对所学知识进行梳理,帮助学生进行知识构建.
课堂8分钟.
1.教材第177页练习第1,2,3,4题,第178页习题6.3第2(3)(4),4,7,11题.
教学反思

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