资源简介

有理数
一、单元学习主题
本单元是“数与代数”领域“数与式”主题中的“有理数”.
二、单元学习内容分析
1.课标分析
《义务教育数学课程标准(2022年版)》(以下简称《标准2022》)指出初中阶段数与代数领域包括“数与式”“方程与不等式”和“函数”三个主题,是学生理解数学符号,以及感悟用数学符号表达事物的性质、关系和规律的关键内容,是学生初步形成抽象能力和推理能力、感悟用数学的语言表达现实世界的重要载体.“数与式”是代数的基本语言,初中阶段关注用字母表述代数式,以及代数式的运算,字母可以像数一样进行运算和推理,通过字母的运算和推理得到的结论具有一般性.
课标的内容要求:①理解负数的意义,会用正数和负数表示具体情境中具有相反意义的量;理解有理数的意义,能用数轴上的点表示有理数,能比较有理数的大小.
②借助数轴理解相反数和绝对值的意义,初步体会数形结合的思想方法,掌握求有理数的相反数和绝对值的方法.
教师应把握数与式的整体性,一方面,通过对有理数的认识,帮助学生进一步感悟数是对数量的抽象,知道绝对值是对数量大小和线段长度的表达;另一方面,通过代数式和代数式运算的教学,让学生进一步理解用字母表示数的意义,通过基于符号的运算和推理,建立符号意识,感悟数学结论的一般性,理解运算方法与运算律的关系,提升运算能力.在教学过程中,要关注数学知识与实际的结合,让学生在实际背景中理解数量关系和变化规律,经历从实际问题中建立数学模型、求解模型、验证反思的过程,形成模型观念;要关注基于代数的逻辑推理,能在比较复杂的情境中,提升学生发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力,以及有逻辑地表达与交流的能力.
2.本单元教学内容分析
人教版教材七年级上册第一章“有理数”,本章包括两个小节:1.1正数和负数;1.2有理数及其大小比较.
数及其运算是中小学数学课程的核心内容.小学已经安排了自然数、正分数及其运算等学习内容.本单元借助生活实例引入负数.通过添加负数这一类“新数”,使数的范围扩张到有理数.
引入负数是实际的需要,也是学习后续内容,特别是“数与代数”内容的需要,学生可以从中体会根据实际和数学的需要引入“新数”的好处.
有理数的概念可以利用数轴来认识、理解;同时,利用数轴又可以把这些概念串在一起.数轴是数形结合思想的产物.引进数轴后,可以用数轴上的点直观地表示有理数,为学生提供了理解相反数、绝对值的直观工具,同时也为学习有理数的运算法则做了准备.引入相反数的概念,一方面可以加深对相反意义的量的认识,另一方面可以为学习绝对值、有理数运算做准备.绝对值概念借助距离概念加以定义.在数轴上,一个点由方向和距离(长度)确定;相应地,一个实数由符号与绝对值确定.这里,“方向”与“符号”对应,“距离”与“绝对值”对应,又一次体现了数与形的结合、转化.所以,绝对值概念可以促进对数轴概念的理解,同时也是学习数的大小比较、数的运算的基础.
本单元重点是理解正负数、有理数和绝对值的相关概念;难点是在理解概念的基础上,养成良好的思维习惯.
三、单元学情分析
本单元内容是人教版教材数学七年级上册第一章有理数.学生在小学已经学习了自然数、正分数及其运算、用字母表示数的知识,这些都是学习本章的基础.
实际上,小学学过的数及运算的知识,就是有理数及其运算的知识,数的范围限制在“正数和0”.因此,本单元内容的教学,首先要做好与以往算术知识和方法的衔接,在原有基础上自然引申出新的问题和思路.例如,对负数的认识,借助实际生活、生产中大量存在的“相反意义的量”,提出引入“新数”的需要,然后借助“大于0的数叫作正数”,自然引入“在正数前面加上符号‘-’(负号)的数叫作负数”.
另外,本单元渗透了用字母表示数的知识,例如,用-a表示a的相反数;用字母表示求一个数的绝对值的结论;等等.这样,既使问题阐述得更简明、更深入,也使学过的数与代数的知识得到巩固、加强和提高.
总之,加强与小学学过的数及运算的衔接,不仅有利于学生理解本单元知识,也有利于培养学生提出问题的能力.
四、单元学习目标
1.理解有理数的意义,能用数轴上的点表示有理数,能比较有理数的大小.
2.能借助数轴理解相反数和绝对值的意义,掌握求有理数的相反数和绝对值的方法,知道|a|的含义(这里a表示有理数).
五、单元学习内容及学习方法概览
有理数
课时划分 内容本质与研究方法
1.1　正数和负数 通过提出问题,根据问题归纳正数和负数的概念;培养学生观察、发现问题的能力,培养学生积极思考、合作交流的意识和能力
续表
有理数
课时划分 内容本质与研究方法
1.2　有理数及其 大小比较 1.2.1　有理数 的概念 提出问题,根据问题归纳有理数的概念,并对有理数进行分类;培养学生观察、发现问题的能力,培养学生分类讨论的数学思想
1.2.2　数轴 提出问题,根据问题归纳数轴的概念,让学生积极参与探究数轴的活动,并学会与他人交流合作;让学生感受在特定的条件下数与形是可以互相转化的,让学生体验生活中的数学
1.2.3　相反数 通过归纳相反数在数轴上所表示的点的特征,培养归纳能力;渗透数形结合思想,感受事物之间的对应统一的辩证思想
1.2.4　绝对值 提出问题,通过探索求一个数绝对值的方法让学生通过观察,发现规律,总结方法;培养学生积极参与数学活动,在数学活动中体验成功的乐趣
1.2.5　有理数 的大小比较 经历用数轴比较有理数大小的方法和形成过程,体会负数的大小比较与自己原有认知体系的不同;经历形式多样的数学活动,让学生通过观察、思考和自己动手操作,体验有理数大小比较法则的探索过程
六、单元评价与课后作业建议
本单元课后作业整体设计体现以下原则:
针对性原则:每课时课后作业严格按照《标准2022》设定针对性的课后作业,及时反馈学生的学业质量情况.
层次性原则:教师注意将课后作业分层进行,注重知识的层次性和学生的层次性.知识由易到难,由浅入深,循序渐进,突出基础知识,基本技能,渗透人人学习数学,人人有所获.重视过程与方法,发展数学的应用意识和创新意识.
生活性原则:本节课的知识来源于生活,应回归于生活,体现数学的应用价值.
根据以上建议,本单元课后作业设置为两部分,基础性课后作业和拓展性课后作业.
课时目标
1.经历从现实生活中的实例引入负数的过程,体会数学与现实生活的密切联系.
2.能用正数和负数表示生活中具有相反意义的量,知道具有相反意义的两个量之间的关系.
3.感受特殊与一般和分类讨论的数学思想.
学习重点
认识正数、负数,能用正数和负数表示具有相反意义的量.
学习难点
理解负数的概念,正确区分两种不同意义的量,理解“0”的意义.
课时活动设计
回顾引入
问题:小学学过哪些数 请举例说明.这些数之间有什么关系呢
学生先独立思考,然后小组讨论展示,教师进行补充.
追问:小学学过的数有最大的数吗 有最小的数吗 有比0还要小的数吗
观察下列图片,体会这些数是怎么产生和发展的.
想一想:这些数足以表示我们生活中的量吗
设计意图:引导学生回顾小学学过的数,帮助学生理清这些数之间的关系,让学生对数有初步分类的意识,为后面学习有理数及其分类打好基础,通过追问有没有比0更小的数,制造悬念,为负数的学习作铺垫.
探究新知
探究1　正数、负数的概念
温度比0 ℃高,称为零上温度;温度比0 ℃低,称为零下温度.零上温度和零下温度是以0 ℃为分界点的具有相反意义的量.零上3摄氏度用3 ℃表示,零下3摄氏度则用-3 ℃表示,这里出现了“-3”.类似地,盈利额和亏损额是具有相反意义的量,如果用50万元表示盈利50万元,就可以用-10万元表示亏损10万元;增长的百分率和减少的百分率是具有相反意义的量,如果用7.8%表示增长7.8%,就可以用-0.7%表示减少0.7%.
上面出现了数3,-3,50,-10,7.8%,-0.7%,请同学们观察这些数,它们有什么特点
学生自主交流,教师进行指导.
教师给出正数、负数的概念:
在数学中,像3,50,7.8%这样大于0的数叫作正数,像-3,-10,-0.7%这样在正数前加上符号“-”的数叫作负数,其中符号“-”是负号,读作“负”.有时,为了明确表达与负数的相反意义,在正数的前面也加上符号“+”(读作“正”).
注意:0既不是正数,也不是负数.
请同学们自己写出几个正数和负数,并说一说这些数可以表示什么
探究2　用正数和负数表示具有相反意义的量
在探究1中,我们知道正数和负数可以表示具有相反意义的量,请同学们思考下面的问题:
问题1:如果水位升高3 m时,水位变化记作+3 m,那么水位下降3 m时,水位变化记作多少米
解:在上面问题中,我们看到表示相反意义的量的词语是“升高”和“下降”,并且升高记为正,所以下降应记为负,所以水位下降3 m时,水位变化记作-3 m.
问题2:水位不升不降时,水位变化应如何表示
解:水位没有变化时,应表示为0.
问题3:数字0一般表示什么含义呢 在小学的学习中,数字0一般表示“没有”,在这里“0”还有什么意义
学生分小组探讨,教师进行总结.
总结:“0”除了表示“没有”外,还是正数与负数的分界.在实际问题中,“0”还可以作为基准.
设计意图:引导学生认识正数、负数,在用正数和负数表示具有相反意义的量的过程中,进一步感受负数的必要性,会用正数和负数表示具有相反意义的量.了解“0”除了表示“没有”外,还是正数、负数的分界.
典例精讲
例1　某校组织学生去劳动实践基地采摘橘子,并称重、封装.一箱橘子的标准质量为2.5 kg.如果用正数表示超过标准质量的克数,那么
(1)比标准质量多65 g和比标准质量少30 g各怎么表示
(2)50 g,-27 g各表示什么意思
解:(1)比标准质量多65 g用+65 g表示,比标准质量少30 g用-30 g表示.
(2)50 g表示这箱橘子的质量比标准质量多50 g,-27 g表示这箱橘子的质量比标准质量少27 g.
例2　(1)一个月内,李明体重增加1.2 kg,张华体重减少0.5 kg,刘伟体重无变化,写出他们这个月的体重增长值.
(2)四种品牌的手机今年第二季度的销售量与第一季度相比,变化率如下:
A品牌减少2%,B品牌增长4%,C品牌增长1%,D品牌减少3%.
写出今年第二季度这些品牌的手机销售量的增长率.
解:(1)这个月李明体重增长1.2 kg,张华体重增长-0.5 kg,刘伟体重增长0 kg.
(2)四种品牌的手机今年第二季度销售量的增长率是:A品牌-2%,B品牌4%,C品牌1%,D品牌-3%.
追问:增长-2%,是什么意思 什么情况下增长率是0
学生分小组讨论交流,教师进行总结.
设计意图:通过例1加深学生对正数和负数的认识,并会用正数和负数表示具有相反意义的量,加强学生的应用意识;通过例2加深学生对增长、减少及“0”的意义的理解,并让学生自己进行总结,提高学生的总结概括能力.
巩固训练
1.下列各组数,都是正数或都是负数的是(　B　)
A.4,2,-3　　　　B.3,6,7　　　　C.-6,-0.5,0　　　　D.0,4,8
2.下列说法不正确的是(　C　)
A.0是自然数 B.0是整数
C.0是正数 D.0既不是正数,也不是负数
3.如果+3吨表示运入3吨大米,那么运出5吨大米表示为(　A　)
A.-5吨 B.+5吨 C.-2吨 D.+2吨
4.如果水位上升2米记作+2米,那么-3米表示　水位下降3米　.
5.根据《国家学生体质健康标准》的单项指标中“男生立定跳远单项评分表”的规定,九年级男生及格的标准是1.85 m.九年级小贤跳了2.05 m,记为+0.20 m;九年级小明跳了1.83 m,记为　-0.02　m.
设计意图:通过练习,让学生巩固所学知识,加深对所学知识的理解,提高综合运用能力.
课堂小结
1.什么是具有相反意义的量
2.什么是正数 什么是负数
3.引入负数后,“0”还具有哪些意义
设计意图:学生通过自主反思总结,回顾本节课所学知识,促进对本节课内容的整体理解和把握.
课堂8分钟.
1.教材第5页习题1.1第1,2,3,4,5,6,7,8题.
1.1　正数和负数
　　　1.正数和负数的概念.
　　　2.用正数和负数表示具有相反意义的量.
　　　3.“0”的意义.
教学反思

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