资源简介

2.2.1　有理数的乘法
第1课时　有理数乘法法则
课时目标
1.经历探究有理数乘法法则的过程,认识有理数乘法法则的合理性,发展观察、归纳、猜想、验证的能力.
2.掌握有理数乘法的运算法则,会求一个数的倒数.
3.能利用有理数的乘法解决简单的实际问题,体会数学与现实世界的联系,增强数学的应用意识.
学习重点
理解有理数的乘法法则以及倒数的概念.
学习难点
有理数乘法法则的探究过程以及对法则的理解.
课时活动设计
情境引入
如图,有甲、乙两座水库,甲水库的水位每天升高3 cm,乙水库的水位每天下降3 cm.如果用“+”号表示水位的上升,用“-”号表示水位的下降,请用算式表示,4天后甲、乙两座水库水位的总变化量分别是多少
4天后,甲水库水位的总变化量:3×4=12(cm);
乙水库水位的总变化量:(-3)×4=
议一议:(-3)×4=(-3)+(-3)+(-3)+(-3)=-12.
那么4×(-3)= 　(-4)×(-3)= 　　(-4)×0=
设计意图:通过实际问题,引出本节课要解决的问题,给出有理数相乘的几种情况,为下面的学习作铺垫.
探究新知
探究　有理数乘法法则
观察下面的乘法算式,你能发现什么规律
　　(1)3×3=9,
3×2=6,
3×1=3,
3×0=0;
(2)3×3=9,
2×3=6,
1×3=3,
0×3=0.
学生自主探究,请两名同学代表回答.
对于(1)中的算式,随着后一个乘数逐次递减1,积逐次递减3.对于(2)中的算式,随着前一乘数逐次递减1,积逐次递减3.
问题1:对于(1)中算式,要使这个规律在引入负数后仍然成立,那么当后一个乘数从0减小为-1时,积应该怎样变化 填空并说一说它的变化规律:
3×(-1)=　-3　,3×(-2)=　-6　,3×(-3)=　-9　.
问题2:对于(2)中算式,要使这个规律在引入负数后仍然成立,那么当前一个乘数从0减小为-1时,积应该怎样变化 填空并说一说它的变化规律:
(-1)×3=　-3　,(-2)×3=　-6　,(-3)×3=　-9　.
学生分小组交流讨论,从符号和绝对值两个角度分别观察上述所有等式,你能发现什么规律
师生总结:正数乘正数,积为正数;正数乘负数,积为负数;负数乘正数,积也为负数.积的绝对值等于乘数的绝对值的积.
根据上面总结出的规律,计算下面的算式.
(-3)×3=　-9　,(-3)×2=　-6　,(-3)×1=　-3　,(-3)×0=　0　.
观察上面的算式,随着后一个乘数的变化,积是怎样变化的
解:随着后一个乘数逐次递减1,积逐次增加3.
根据发现的规律计算下面算式,从积的符号和算式的符号观察,可以得到什么结论
(-3)×(-1)=　3　,(-3)×(-2)=　6　,(-3)×(-3)=　9　.
教师引导学生归纳出如下结论:
负数乘负数,积为正数,且积的绝对值等于乘数的绝对值的积.
与有理数加法类似,有理数相乘,也既要确定积的符号,又要确定积的绝对值.即①先判断是同号、异号或是同0相乘;②再确定积的符号;③最后将绝对值相乘.
一般地,我们有如下的有理数乘法法则:
两数相乘,同号得正,异号得负,且积的绝对值等于乘数的绝对值的积.
任何数与0相乘,都得0.
有理数乘法法则也可以表示如下:
设a,b为正有理数,c为任意有理数,则
(+a)×(+b)=a×b,(-a)×(-b)=+(a×b);
(-a)×(+b)=-(a×b),(+a)×(-b)=-(a×b);
c×0=0,0×c=0.
显然,两个有理数相乘,积是一个有理数.
设计意图:类比非负数的乘法法则,引导学生自己发现有理数乘法法则并总结,提高学生的思维能力和归纳总结能力.
典例精讲
例1　计算:
(1)8×(-1);　　　　　(2)×(-2);　　　　　(3)×.
解:(1)8×(-1)=-(8×1)=-8.
(2)×(-2)=+=1.
(3)×=+=.
总结:在例1(2)中,×(-2)=1,我们说-和-2互为倒数,一般地,在有理数中仍然有:乘积是1的两个数互为倒数.
例2　用正负数表示气温的变化量,上升为正,下降为负,登山队攀登一座山峰,每登高1 km气温的变化量为-6 ℃.登高3 km后,气温有什么变化
解:(-6)×3=-18.
答:登高3 km后,气温下降18 ℃.
设计意图:通过例题讲解,从中归纳出倒数的概念,培养学生灵活应用的能力和总结归纳的能力.通过练习获取学生掌握知识的反馈信息,对于存在的问题及时解决.
巩固训练
1.计算(-1)×4的结果为(　A　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.-4 B.4 C.-3 D.3
2.-的倒数是(　A　)
A.-2 020 B.- C.2 021 D.
3.有理数,0,1,-3,任取两个数相乘,所得的积中最小是　-3　.
4.计算:(1)-5×(+3); (2)-4×(-8);
(3)(-3)×; (4)×.
解:(1)-5×(+3)=-(5×3)=-15.
(2)-4×(-8)=+(4×8)=32.
(3)(-3)×=-=-.
(4)×=+=.
学生自主完成,教师订正并给予评价.
设计意图:通过设置不同层次的练习,不仅能使学生的新知得到及时巩固,也使学生的思维能力得到有效提高,能更好地将知识学以致用.最后针对练习结果进行统一订正,并对同学们的表现作出及时评价,体现课程评价在课堂中的合理应用.
课堂小结
1.有理数乘法法则:
(1)两数相乘,同号得正,异号得负,且积的绝对值等于乘数的绝对值的积.
(2)任何数与0相乘,都得0.
2.乘积是1的两个数互为倒数.
设计意图:回顾本节课内容,加深学生对本节课知识的理解,提高学生归纳总结及表达的能力.
课堂8分钟.
1.教材第40页练习第1,2,3题,第47页习题2.2第1,2,3题.
教学反思

第2课时　有理数的乘法运算律
课时目标
1.经历有理数乘法运算律的归纳、概括的过程,能用乘法运算律进行简化运算,培养学生的抽象能力与运算能力.
2.在探究和交流的过程中,发展学生观察、猜想、归纳、概括的能力.
学习重点
有理数的乘法运算律.
学习难点
熟练利用乘法运算律进行简化运算.
课时活动设计
回顾引入
思考:(1)有理数的乘法法则是什么
(2)进行有理数乘法运算的运算步骤是什么
(3)小学学过哪些乘法的运算律
(4)小学学过的乘法运算律,在有理数范围内仍然适用吗
设计意图:通过复习乘法法则及乘法的运算步骤,为本节课的学习作铺垫;复习小学学过的运算律,并提出问题“有理数范围内是否仍然适用”,激发学生的探究欲望.
探究新知
探究　有理数乘法运算律
师生活动:小组谈论,设计研究思路.
问题1:计算下列各式,并观察比较各组算式所得的积相同吗
(1)(-4)×8=　-32　,8×(-4)=　-32　.
(2)(-5)×(-7)=　35　,(-7)×(-5)=　35　.
换几组乘数再试一试,结果仍是这样吗
思考:你能得到什么结论 你能用语言表达这一结论吗
结论:一般地,在有理数乘法中,两个数相乘,交换乘数的位置,积不变.
乘法交换律:ab=ba.
问题2:计算下列各式,并观察比较各组算式所得的积相同吗
(1)[(-3)×2]×(-5)=　(-6)　×(-5)=　30　,
(-3)×[2×(-5)]=(-3)×　(-10)　=　30　;
(2)×(-6)=　2　×(-6)=　-12　,
(-4)×=(-4)×　3　=　-12　.
换几组乘数再试一试,结果仍是这样吗
思考:你能得到什么结论 你能用语言表达这一结论吗
结论:在有理数乘法中,三个数相乘,先把前两个数相乘,或者先把后两个数相乘,积不变.
乘法结合律:(ab)c=a(bc).
根据乘法交换律和结合律,多个有理数相乘,可以任意交换乘数的位置,也可以先把其中的几个数相乘.
问题3:计算下列各式,并观察比较各组算式所得的积相同吗
(1)(-6)×=　-1　,
(-6)×+(-6)×=　-1　.
换几组乘数再试一试,结果仍是这样吗
思考:你能得到什么结论 你能用语言表达这一结论吗
结论:一般地,在有理数中,一个数与两个数的和相乘,等于把这个数分别与这两个数相乘,再把积相加.
乘法对加法的分配律(简称分配律):a(b+c)=ab+ac.
设计意图:类比非负数的乘法运算律和有理数加法运算律,通过举例验证,引导学生掌握有理数的乘法运算律,培养学生的抽象概括能力,发展学生的数学思维.
典例精讲
例　(1)计算2×3×0.5×(-7);
(2)用两种方法计算×12.
解:(1)2×3×0.5×(-7)=(2×0.5)×[3×(-7)]=1×(-21)=-21.
(2)解法1:×12=×12=-×12=-1.
解法2:×12=×12+×12-×12=3+2-6=-1.
设计意图:通过引导学生运用乘法运算律进行乘法运算,感受乘法运算律为运算带来的便捷,体会数学学习的一致性,培养学生的计算能力,发展学生的数学思维.
巩固训练
1.算式×25×=25×中,运用了(　A　)
A.乘法交换律和乘法结合律　　　　　B.分配律
C.乘法交换律和分配律 D.乘法结合律和分配律
2.计算:
(1)(-10)××6;　　　　(2)(-24)×;
(3)(+16)×(-72.8)×0×.
解:(1)原式=(-10)×=-10×(-2)=20.
(2)原式=(-24)×+(-24)×+(-24)×=-33-56+18=-89+18=-71.
(3)原式=0.
学生自主完成,教师订正并给予评价.
设计意图:通过设置不同层次的练习,不仅能使学生的新知得到及时巩固,也能使学生的思维能力得到有效提高,能更好地将知识学以致用.最后针对练习结果进行统一订正,并对同学们的表现作出及时评价,体现课程评价在课堂中的合理应用.
课堂小结
有理数乘法法则:
1.乘法交换律:ab=ba.
2.乘法结合律:(ab)c=a(bc).
3.乘法对加法的分配律:a(b+c)=ab+ac.
设计意图:回顾本节课内容,加深学生对本节课知识的理解,提高学生归纳总结及表达的能力.
课堂8分钟.
1.教材第43页练习第1题,第47页习题2.2第4题.
.
第2课时　有理数的乘法运算律
　　　有理数的乘法运算律:
(1)交换律:ab=ba.　(2)结合律:(ab)c=a(bc).
(3)乘法对加法的分配律:a(b+c)=ab+ac.
教学反思

第3课时　多个有理数的乘法
课时目标
1.掌握多个有理数乘法运算的方法.
2.掌握多个有理数相乘的符号法则.
学习重点
熟练计算多个有理数相乘.
学习难点
多个有理数相乘结果的符号确定.
课时活动设计
复习回顾
有理数乘法的运算法则和运算律有哪些
设计意图:回顾上节课的内容,为本节课的学习作铺垫.
探究新知
探究　多个有理数的乘法
计算并观察下面各式的积,它们的积是正的还是负的
(1)1×2×3×4=　24　;
(2)(-1)×2×3×4=　-24　;
(3)(-1)×(-2)×3×4=　24　;
(4)(-1)×(-2)×(-3)×4=　-24　;
(5)(-1)×(-2)×(-3)×(-4)=　24　.
通过上面的计算,请填写下表:
算式 (1) (2) (3) (4) (5)
负因数的个数 0 1 2 3 4
积的符号
　　思考:多个不为0的有理数相乘,那么积的符号与负的乘数的个数之间有什么关系
学生先独立思考,然后小组讨论,并发表见解.
结论:几个不为0的数相乘,负的乘数的个数是偶数时,积为正数;负的乘数的个数是奇数时,积为负数.
如果有乘数为0,那么积有什么特点
几个数相乘,如果其中有乘数为0,那么积为0.
这样,遇到多个不为0的数相乘,可以先用上面的结论确定积的符号,再把乘数的绝对值相乘作为积的绝对值.
设计意图:通过类比,让学生发现、总结多个有理数相乘积的符号规律,培养学生的推理能力和运算能力.
典例精讲
例1　不计算,说出下列各式积的符号.
(1)-6×(-4)×(-9)×(-8)×(+7);
(2)6×(-4)×9×(-8)×(-7);
(3)-5×(-4)×(-9)×(-3)×(-7).
解:(1)正.　(2)负.　(3)负.
例2　计算:(1)(-3)×××;
(2)(-5)×6××.
解:(1)(-3)×××=-=-.
(2)(-5)×6××=5×6××=6.
设计意图:通过例题,练习学生多个有理数的乘法运算,理解并掌握多个有理数乘法运算的方法.培养学生的计算能力,发展学生的数学思维.
巩固训练
计算:(1)×××;
(2)×24;
(3)(-1)××××0×(-9).
解:(1)原式=×××=.
(2)原式=×24-×24=21-18=3.
(3)原式=0.
设计意图:通过练习,不仅能使学生的新知得到巩固,也能使学生的思维能力得到有效提高.
课堂小结
1.几个不为0的数相乘,负的乘数的个数是偶数时,积为正数;负的乘数的个数是奇数时,积为负数;几个数相乘,如果其中有乘数为0,那么积为0.
2.遇到多个不为0的数相乘,可以先用上面的结论确定积的符号,再把乘数的绝对值相乘作为积的绝对值.
设计意图:回顾本节课内容,加深学生对本节课的知识的理解,提高学生归纳总结及表达的能力.
课堂8分钟.
1.教材第43页练习第2题,第47页习题2.2第5题.
第3课时　多个有理数的乘法
　　　 多个不为0的有理数相乘,积的符号与负的乘数的个数的关系:
当负的乘数有奇数个时,积为负;
当负的乘数有偶数个时,积为正.
几个数相乘,如果其中有乘数为0,那么积为0.
教学反思

2.2.2　有理数的除法
第1课时　有理数除法法则
课时目标
1.经历探究有理数除法法则的过程,体会归纳、类比的数学思想方法,培养学生的数学抽象能力.
2.掌握有理数除法的运算法则,会进行有理数的除法运算,培养学生的运算能力.
学习重点
有理数的除法运算,理解除法与乘法的互逆关系.
学习难点
有理数除法法则的探究过程以及熟练运算.
课时活动设计
回顾引入
1.你能叙述有理数的乘法法则吗
2.满足什么条件的两个数互为倒数
设计意图:通过回顾有理数的乘法法则和倒数,引入本节课要学习的内容,为进一步学习有理数的除法做准备.
探究新知
探究　有理数除法法则
根据除法是乘法的逆运算,完成下列计算:
(1)8×9=72,72÷9=　8　,72×=　8　.
(2)2×(-3)=-6,(-6)÷2=　-3　,(-6)×=　-3　.
(3)(-4)×2=-8,(-8)÷(-4)=　2　,(-8)×=　2　.
思考:(1)观察上面各组算式的计算结果以及算式的特点,你能得到什么结论
(2)请再举出具有上述特点的两组算式,并检验你的结论.
学生回答问题,尝试归纳,教师适时进行点拨.
师生总结有理数的除法法则:除以一个(不等于0的数),等于乘这个数的倒数.这个法则也可以表示为
a÷b=a·(b≠0)
两个有理数相除(除数不为0),商是一个有理数.
思考:(1)观察上面的式子,结合有理数乘法积的符号规律,谈一谈如何确定商的符号
(2)0除以任何一个不等于0的数,结果等于多少
结论:两数相除,同号得正,异号得负,且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商.0除以任何一个不等于0的数,都得0.
设计意图:通过让学生观察、对比,让学生感受有理数的乘法与除法之间的联系,并总结除法法则,充分经历由特殊到一般这一归纳概括有理数除法法则的过程,培养学生的抽象能力,发展学生的数学核心素养.
典例精讲
例1　计算:
(1)(-36)÷9;　　　　　　　(2)÷.
解:(1)(-36)÷9=-(36÷9)=-4.
(2)÷=×=.
例2　化简:
(1); (2).
解:(1)=(-2)÷3=-(2÷3)=-.
(2)=(-45)÷(-12)=45÷12=.
提示:带有分数线的数可以理解为分子除以分母.
在例2中,我们得到=-,这表明是负分数,因而是有理数;反过来看,-=,又表明-可以写成这样两个整数相除的形式.
一般地,根据有理数的除法,形如(p,q是整数,q≠0)的数都是有理数;有理数又都可以写成上述形式(整数可以看成分母为1的分数).这样,有理数就是形如(p,q是整数,q≠0)的数.
设计意图:通过例题讲解,引导学生思考有理数除法运算的计算过程,体会有理数的除法法则,明白运算的算理,培养学生的运算能力和说理能力.
巩固训练
1.计算:
(1)÷;　　　　(2)(-8.7)÷2.9.
解:(1)原式=×=4.
(2)原式=-(8.7÷2.9)=-3.
2.化简:
(1);　　　　(2).
解:(1)原式=(-36)÷4=-(36÷4)=-9.
(2)原式=(-45)÷(-60)=45÷60==.
设计意图:通过设置练习,不仅能使学生的新知得到巩固,也能使学生的思维能力得到有效提高.
课堂小结
有理数除法法则:
1.除以一个不等于0的数,等于乘这个数的倒数,也可以表示为a÷b=a·(b≠0).
2.两数相除,同号得正,异号得负,且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商.
3.0除以任何一个不等于0的数,都得0.
设计意图:学生通过归纳总结,可进一步加深对有理数除法法则的理解,提高学生概括总结及表达的能力.
课堂8分钟.
1.教材第45页练习第1,2题,第47页习题2.2第6,8题.
教学反思

第2课时　有理数的加减乘除混合运算
课时目标
1.理解有理数的减法转化成加法、有理数的除法转化成乘法的意义,能熟练进行有理数的加、减、乘、除混合运算.
2.经历把有理数减法转化成加法、有理数的除法转化成乘法运算的过程,体会转化的数学思想方法,培养学生的运算能力.
学习重点
有理数的加、减、乘、除混合运算.
学习难点
混合运算中的运算顺序及运用运算律进行简便运算.
课时活动设计
回顾引入
1.请大家说一说小学学过的四则运算顺序.
2.有理数的加、减、乘、除运算法则各是什么
设计意图:回顾以前学过的四则运算顺序和有理数的加、减、乘、除法则,为本节课的学习作铺垫.
探究新知
大家能根据小学学过的混合运算,说一说什么是有理数的混合运算吗
学生自主探讨,教师引导学生进行总结.
总结:一个运算中,含有有理数的加、减、乘、除等多种运算,称为有理数的混合运算.
问题:式子3+50÷2×-1中含有哪几种运算 根据小学学过的混合运算说一说先算什么,后算什么
教师按下图进行分析,向学生讲解.
有理数的加、减、乘、除混合运算顺序与小学所学的混合运算一样,先算乘除,再算加减,同级运算从左往右依次计算.如有括号,先算括号里面的.
请同学们尝试自己计算上面的算式.教师提示:可将除法转化为乘法.
解:3+50÷2×-1=3+50××-1=3+(-5)-1=3-5-1=-3.
设计意图:通过小学学过的混合运算顺序进行讲解,有利于学生理解.让学生经历探索有理数的混合运算顺序的过程,加深学生对有理数混合运算顺序的理解.
典例精讲
例1　计算:
(1)-8+4÷(-2);　　　　　(2)(-7)×(-5)-90÷(-15).
解:(1)-8+4÷(-2)=-8+(-2)=-10.
(2)(-7)×(-5)-90÷(-15)=35-(-6)=35+6=41.
例2　某公司去年1月—3月平均每月亏损1.5万元,4月— 6月平均每月盈利32万元,7月—10月平均每月盈利21.7万元,11月—12月平均每月亏损2.3万元.这个公司去年总的盈亏情况如何
解:记盈利额为正数,亏损额为负数.由
　(-1.5)×3+32×3+21.7×4+(-2.3)×2
=-4.5+96+86.8-4.6
=173.7
可知,这个公司去年全年盈利173.7万元.
计算器是一种方便实用的计算工具,用计算器进行比较复杂的数的计算,比笔算要快捷得多.
例如,可以用计算器计算例2中的(-1.5)×3+32×3+21.7×4+(-2.3)×2.
如果计算器带符号键,只需按键
①⑤ ③ ③② ③ ②①⑦ ④ ②③ ②,
显示结果为173.7,
就可以得到答案173.7.
设计意图:通过例题,让学生学会运用有理数的混合运算法则,并会用计算器计算复杂的算式.
巩固训练
计算:(1)-2.5÷×;　　　(2)-4×÷×2.
解:(1)原式=-××=1.
(2)原式=-4××(-2)×2=8.
学生自主完成,教师订正并给予评价.
设计意图:通过设置练习,不仅能使学生的新知得到及时巩固,也能使学生的思维能力得到有效提高,能更好地将知识学以致用.最后针对练习结果进行统一订正,并对同学们的表现作出及时评价,体现课程评价在课堂中的合理运用.
课堂小结
本节课我们研究了有理数的混合运算,请同学们带着以下问题进行总结:
1.有理数的加、减、乘、除混合运算的运算顺序.
2.运算过程中符号的确定.
3.这节课还有哪些收获呢
设计意图:学生通过自主反思,可以加深对有理数加、减、乘、除混合运算的理解,及时总结反思,感悟知识的获取过程,提高学生归纳总结及表达的能力.
课堂8分钟.
1.教材第47页练习第1,2,3题,第47页习题2.2第9,10,11题.
第2课时　有理数的加减乘除混合运算
　　　有理数加减乘除混合运算顺序与小学所学混合运算一样,先算乘除,再算加减,同级运算从左往右依次计算.如有括号,先算括号里面的.
教学反思

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