资源简介

第四章 整式
一、单元学习主题
本单元是“数与代数”领域“数与式”主题中的“整式”.
二、单元学习内容分析
1.课标分析
《标准2022》指出初中阶段数与代数领域包括“数与式”“方程与不等式”和“函数”三个主题,是学生理解数学符号,以及感悟用数学符号表达事物的性质、关系和规律的关键内容,是学生初步形成抽象能力和推理能力,感悟用数学的语言表达现实世界的重要载体.“数与式”是代数的基本语言,初中阶段关注用字母表述代数式以及代数式的运算,字母可以像数一样进行运算和推理,通过字母运算和推理得到的结论具有一般性.
课标的内容要求:理解整式的概念,掌握合并同类项和去括号的法则;能进行简单的整式加减运算,能进行简单的整式乘法运算(多项式乘法仅限于一次式之间和一次式与二次式的乘法).
教师应把握数与式的整体性,使学生理解除了数与数之间可以进行加减运算,整式与整式之间也可以进行加减运算,理解运算方法与运算律的关系,提升运算能力.在教学过程中,要关注数学知识与实际的结合,让学生在实际背景中理解数量关系和变化规律,经历从实际问题中建立数学模型、求解模型、验证反思的过程,形成模型观念;要关注基于代数的逻辑推理,能在比较复杂的情境中,提升学生发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力,以及有逻辑地表达与交流的能力.
2.本单元教学内容分析
人教版教材七年级上册第四章“整式的加减”,本章包括两个小节:4.1整式;4.2整式的加法与减法.
我们知道,因为可以用字母符号表示数,所以可以将字母和数(实际上都是符号)一起进行各种各样的运算,而且在运算上满足运算律.从中我们可以发现,式的运算在本质上就是对符号运用运算律所进行的形式运算.例如,两个多项式相加,就是把同类项利用分配律对它们的系数进行加减运算,当遇到有括号的多项式的加减运算时,仍然是利用交换律、结合律以及分配律对其进行加减运算.本单元的学习是对数的加减运算以及运算律的推广运用,通过本单元的学习,使学生初步形成式也可以进行运算的意识,并为代数式的其他运算打下基础,为解一元二次方程做好准备.
三、单元学情分析
整式的加减是继有理数运算后学生第一次接触式的运算,与小学阶段的学习相比,初中数学难度增加,加之受到有理数运算以及小学六年级的非负数运算的干扰,学生的计算经验已经根深蒂固,在整式运算的学习中困难增加.进入初中后,数学内容显得多而抽象,尤其是由过去的数演绎到数、式,乃至今后的形,引发了学生学习方法的变化.本章内容试图让学生通过与数的运算做类比,引出合并同类项的方法,让学生知道合并同类项的依据就是乘法对加法的分配律,甚至所有在数的运算中成立的运算律和法则在式的运算中都适用.本单元的主要任务之一就是帮助学生实现数的运算到式的计算的类比过渡,完善类比思想,简化数学思维过程,让数学思想方法在思考中得到锻炼与提升.去括号法则是本单元学习的难点,它是整式加减的基础,也是今后学习因式分解、分式运算及解方程的基础,上课时要引导学生与数的运算作比较,考察在数的运算中遇到去括号时是怎样去掉括号的,去掉括号的理由是什么,在学生弄懂数的运算中去括号的算理后,再考查式子中去括号的问题,真正引导好学生知其所以然,应用时方可得心应手.
四、单元学习目标
1.经历观察、思考、归纳总结等过程,理解整式的概念,能够准确地找到单项式的系数和次数以及多项式的项与次数.
2.通过对合并同类项法则和去括号法则的探究过程,让学生感受数学知识中数与式之间的联系性,提高学生的学习能力.
3.通过自主探究、小组合作、类比等方法,使学生掌握合并同类项法则和去括号法则,能进行简单的整式的加减运算,培养学生的运算能力、推理能力、抽象能力和应用意识.
五、单元学习内容及学习方法概览
六、单元评价与课后作业建议
本单元课后作业整体设计体现以下原则:
针对性原则:每课时课后作业严格按照《标准2022》设定针对性的课后作业,及时反馈学生的学业质量情况.
层次性原则:教师注意将课后作业分层进行,注重知识的层次性和学生的层次性.知识由易到难,由浅入深,循序渐进,突出基础知识,基本技能,渗透人人学习数学,人人有所获.重视过程与方法,发展数学的应用意识和创新意识.
自主性原则:学生可以根据自己的学习能力自主选择,每课时留下拓展性练习或自主编写自己的易错题类型.
生活性原则:本节课的知识来源于生活,应回归于生活,体现数学的应用价值.
根据以上建议,本单元课后作业设置为两部分,基础性课后作业和拓展性课后作业.
第1课时　单　项　式
课时目标
1.理解单项式及单项式系数、次数的概念,并会找出单项式的系数和次数.
2.初步培养学生观察—分析和归纳—概括的能力,让学生初步认识特殊与一般的辩证关系.
3.培养学生主动参与、积极交流的主体意识,培养学生的探索精神.
学习重点
理解单项式及单项式系数、次数的概念.
学习难点
正确地找出单项式的系数和次数.
课时活动设计
回顾引入
上一章我们学习了代数式,请同学们回忆一下代数式的概念.
学生举手回答,师生共同回忆代数式概念.
代数式:用运算符号把数或表示数的字母连接起来的式子,我们称这样的式子为代数式.
设计意图:复习已有相关知识,为本节课要学的知识打基础.
探究新知
探究1　单项式的概念
问题1:港珠澳大桥是集主桥、海底隧道和人工岛于一体的世界上最长的跨海大桥,一辆汽车从香港口岸行驶到东人工岛的平均速度为96 km/h,在海底隧道和主桥上行驶的平均速度分别为72 km/h和92 km/h.则汽车在主桥上行驶t h的路程是多少千米
追问1:这道题目属于哪种类型的实际问题 会用到什么关系式
解:属于行程问题,关系式:速度×时间=路程.
追问2:你能用式子来表示汽车行驶的路程吗 请列出式子.
解:能,用式子表示为92t.
追问3:所列式子是不是代数式 包含了哪种运算
解:是代数式,包含了乘法运算.
学生举手回答,在教师的启发引导下得出正确答案.
问题2:观察下列代数式92t,a2,0.9p,a2h,它们有什么共同特点
学生举手回答,教师启发引导学生归纳总结出单项式概念.
单项式的概念:这些代数式都是数或字母的积,像这样的代数式叫作单项式.单独的一个数或一个字母也是单项式,例如,-6,x都是单项式.
探究2　单项式的系数和次数
问题3:单项式92t,a2,0.9p,a2h中出现的数字有什么区别
学生举手回答,教师启发引导学生归纳总结出单项式的系数与次数概念.
单项式的系数:单项式中的数字因数叫作这个单项式的系数.例如:单项式92t,a2,0.9p,a2h的系数分别是92,1,0.9,.
规定:单项式表示数与字母相乘时,通常把数写在前面,如92t,单项式的系数是1或-1时,1通常省略不写,如a3,-x.
单项式的次数:一个单项式中,所有字母的指数的和叫作这个单项式的次数.如果一个单项式的次数是n,那么称这个单项式是n次单项式.例如:单项式92t是一次单项式,单项式a2h是三次单项式.
规定:对于一个非零的数,规定它的次数为0.
设计意图:让学生经历观察发现的探究过程,从而归纳总结出单项式的概念,以及单项式的系数与次数的概念,加深对单项式的相关概念的认识和理解.
典例精讲
例　用单项式填空,并指出它们的系数和次数.
(1)若三角形的一条边长为a,这条边上的高为h,则这个三角形的面积是为　 　　.
(2)一个长方体包装盒的长、宽、高分别为x cm,y cm,z cm,则这个长方体包装盒的体积为　　　　cm3.
(3)有理数n的相反数是　　　　.
(4)《北京2022年冬奥会——冰上运动》是为了纪念北京2022年冬奥会冰上运动发行的邮票.邮票1套共5枚,价格为6元,其中一种版式为一张10枚(2套),如图所示.某中学举行冬奥会有奖问答活动,买了m张这种版式的邮票作为奖品,共花费　　　　元.
(5)《中华人民共和国国旗法》规定,国旗旗面为红色长方形,其长与高之比为3 2,有五种通用尺度(即尺寸规格).若一种尺度的国旗的长为a cm,则这种尺度的国旗旗面的面积为　　　　cm2.
学生先独立思考完成,再小组讨论解答,最终确定出正确答案,教师适时引导学生观察几个单项式,注意系数是1和-1的情况,以及次数为1的情况.
解:(1)ah,它的系数是,次数是2.
(2)xyz,它的系数是1,次数是3.
(3)-n,它的系数是-1,次数是1.
(4)12m,它的系数是12,次数是1.
(5)a2,它的系数是,次数是2.
设计意图:通过例题,让学生能够熟练地利用单项式表示数量关系,并能够正确地找到单项式的系数和次数.
巩固训练
1.分别写出下列单项式的系数和次数.
(1)-ab2;　　(2);　　(3).
解:(1)-ab2的系数是-1,次数是3.
(2)的系数是,次数是6.
(3)的系数是,次数是3.
2.写出满足条件的单项式.
(1)系数是-5,含a,b两个字母,且a的指数是2,单项式的次数是6;
(2)系数是-,含x,y两个字母,且y的指数是2,单项式的次数是3.
解:(1)-5a2b4.(2)-xy2.
设计意图:通过设置不同层次的练习,不仅能使学生的新知得到及时巩固,也能使学生的思维能力得到有效提高,能更好地将知识学以致用.
课堂小结
1.单项式的概念是什么
2.单项式的系数和次数是什么
设计意图:通过课堂小结的形式,引导学生对本节课所学知识进行整理,同时明确 学习重点.
课堂8分钟.
1.教材第91页练习第1,2题,第93页习题4.1第1,2题.
第1课时　单　项　式
　　　单项式
教学反思

第2课时　多项式和整式
课时目标
1.掌握多项式、多项式的项、次数以及常数项的概念.
2.会准确迅速地确定一个多项式的项数和次数.
3.归纳出整式的概念,会区分单项式和多项式.
学习重点
理解多项式、多项式的项、次数以及整式的概念.
学习难点
正确地找出多项式的项和次数.
课时活动设计
回顾引入
上节课我们学习了单项式,请同学们回忆一下单项式以及单项式的系数与次数的概念.
学生举手回答,师生共同回忆单项式及系数与次数的概念.
单项式:数或字母的积组成的式子叫作单项式.单独的一个数或一个字母也是单项式.
单项式的系数:单项式中的数字因数叫作单项式的系数.
单项式的次数:单项式中所有字母的指数的和叫作单项式的次数.
设计意图:复习已有相关知识,为本节课要学的知识打基础.
探究新知
探究1　多项式的概念
问题1:请同学们观察下列代数式:2n-10,x2+2x+8,2a+3b,ab-πr2.
追问1:这些代数式是单项式吗 这些式子与单项式有什么区别和联系
追问2:这些式子有什么共同的特点
追问3:同学们能试着给这类代数式下个定义吗
学生举手回答,在教师的启发引导下得出答案并总结出多项式的概念.
解:这些代数式都不是单项式,这些式子中有加法运算,都是由单项式组成的.这些式子都可以看作几个单项式的和.
多项式的概念:像这样,几个单项式的和叫作多项式.
探究2　多项式的项和次数、整式的概念
问题2:请同学们观察多项式2n-10,x2+2x+8,它们是由哪些单项式组成的
追问:同学们能试着给这些单项式下个定义吗
学生举手回答,教师结合学生的回答进行点评及纠错并给出多项式的项的概念.
解:多项式2n-10可以看作单项式2n与-10的和,多项式x2+2x+8可以看作单项式x2,2x与8的和.
多项式的项的概念:每个单项式叫作多项式的项,不含字母的项叫作常数项.例如,多项式2n-10的项是2n与-10,其中-10是常数项.
问题3:请同学们说出多项式2n-10和x2+2x+8各有几项,每一项的次数分别是多少
学生举手回答,教师结合学生的回答进行点评并给出多项式的次数的概念.
解:多项式2n-10有2项,2n的次数是1,-10的次数是0;多项式x2+2x+8有3项,x2的次数是2,2x的次数是1,8的次数是0.
多项式的次数的概念:多项式里,次数最高的项的次数,叫作这个多项式的次数.例如,多项式2n-10次数最高的项是一次项2n,这个多项式的次数是1;多项式x2+2x+8次数最高的项是二次项x2,这个多项式的次数是2.
规定:单项式与多项式统称整式.例如,前面学习的单项式92t,a2,0.9p,a2h,以及多项式2n-10,x2+2x+8,2a+3b,ab-πr2等都是整式.
设计意图:让学生经历观察发现的探究过程,从而归纳总结出多项式的概念,以及多项式的项与次数的概念,加深对多项式的相关概念的认识和理解.
典例精讲
例　用多项式填空,并指出它们的项和次数.
(1)一个长方形相邻两条边的长分别为a,b,则这个长方形的周长为　　　　;
(2)m为一个有理数,m的立方与2的差为　　　　;
(3)某公司向某地投放共享单车,前两年每年投放a辆,为环保和安全起见,从第三年年初起不再投放,且每个月回收b辆.第三年年底,该地区共有这家公司的共享单车的辆数为　　　　;
(4)现存于陕西历史博物馆的我国南北朝时期的官员独孤信的印章如图所示,它由18个相同的正方形和8个相同的等边三角形围成.如果其中正方形和等边三角形的边长都为a,等边三角形的高为b,那么这个印章的表面积为　　　　.
学生先独立思考,再进行小组讨论,最终确定出正确答案,教师适时引导学生注意多项式的每一项都包含它前面的正负号.
解:(1)2a+2b,它的项分别为2a,2b,次数是1.
(2)m3-2,它的项分别为m3,-2,次数是3.
(3)2a-12b,它的项分别为2a,-12b,次数是1.
(4)18a2+4ab,它的项分别为18a2,4ab,次数是2.
设计意图:通过例题,让学生能够熟练地利用多项式表示数量关系,并能够正确地找到多项式的项和次数.
巩固训练
1.多项式x2y-xy-1的次数和常数项分别是(　B　)
A.3,1 B.3,-1 C.5,1 D.5,-1
2.写出下列各多项式的项数和次数,并指出是几次几项式.
(1)x2-3x+5; (2)a+b+c-d; (3)-a2+a2b+2a2b2.
解:(1)项数为3,次数为2,二次三项式.
(2)项数为4,次数为1,一次四项式.
(3)项数为3,次数为4,四次三项式.
设计意图:通过设置不同层次的练习,不仅能使学生的新知得到及时巩固,也能使学生的思维能力得到有效提高,能更好地将知识学习致用.
课堂小结
1.多项式的概念是什么
2.多项式的项和次数是什么
设计意图:通过课堂小结的形式,引导学生对本节课所学知识进行整理,同时明确学习重点.
课堂8分钟.
1.教材第93页练习第1,2,3题,第93页习题4.1第3,4题.
第2课时　多项式和整式
　　　1.多项式
　2.整式:单项式与多项式统称整式.
教学反思

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