资源简介

第五章一元一次方程
一、单元学习主题
本单元是“数与代数”领域“方程与不等式”主题中的“一元一次方程”.
二、单元学习内容分析
1.课标分析
《标准2022》指出初中阶段数与代数是数学知识体系的基础之一,是学生认知数量关系、探索数学规律、建立数学模型的基石,可以帮助学生从数量的角度清晰准确地认识、理解和表达现实世界.数与代数领域包括“数与式”“方程与不等式”和“函数”三个主题,是学生理解数学符号,以及感悟用数学符号表达事物的性质、关系和规律的关键内容,是学生初步形成抽象能力和推理能力、感悟用数学的语言表达现实世界的重要载体.
方程与不等式的教学应当让学生经历对现实问题中量的分析,借助用字母表达的未知数,建立两个量之间关系的过程,知道方程或不等式是现实问题中含有未知数的等量关系或不等关系的数学表达,引导学生关注既含有已知数,又含有未知数的方程,感悟用字母表示数的意义,体会算术与代数的差异.在教学过程中,要关注数学知识与实际的结合,让学生在实际背景中理解数量关系和变化规律;经历从实际问题中建立数学模型、求解模型、验证反思的过程,形成模型观念;要关注基于代数的逻辑推理,能在比较复杂的情境中,提升学生发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力,以及有逻辑地表达与交流的能力.
2.本单元教学内容分析
人教版教材七年级上册第五章“一元一次方程”,本章包括三个小节:5.1方程;5.2解一元一次方程;5.3实际问题与一元一次方程.
“方程与不等式”是义务教育阶段数学课程中数与代数领域的一个重要内容,它揭示了数学中最基本的数量关系(相等关系和不等关系),是一类应用广泛的数学工具.从数学学科本身看,方程是代数学的核心内容,正是对于它的研究推动了整个代数学的发展;从代数中关于方程的分类看,一元一次方程是最简单的代数方程,也是所有代数方程的基础;从应用数学的角度看,方程是一个既方便又强大的数学工具,它能够有效地刻画现实世界中的数量关系,将实际问题转化为数学模型加以解决.
本单元主要内容包括:一元一次方程及其相关概念、一元一次方程的解法和利用一元一次方程解决实际问题.其中,以方程为工具分析问题、解决问题,即根据问题中的相等关系建立方程模型是本单元的重点之一,同时也是主要难点.分析实际问题中的数量关系并用一元一次方程表示其中的相等关系,是始终贯穿于本单元的主线.对一元一次方程的有关概念和解法的讨论,是在建立和运用方程这种数学模型的大背景之下进行的,它们在本单元前两节中占重要地位.解方程中蕴含的“化归思想”和列方程中蕴含的“数学建模思想”,是本单元中包含的主要数学思想,对于它们的体悟与内化,不仅对学生今后研究问题、解决问题以及终身的发展非常有益,而且也是深入贯彻实施《标准2022》的素养理念的渠道,与提高学生自身的数学素养有非常密切且直接的关系,更是促进学生思考、激发学生思维探究、教会学生学习方法、挖掘学生的学习潜力、有效提高初中数学教学质量和学生学业质量的重要保障.
三、单元学情分析
本单元内容是人教版教材数学七年级上册第五章一元一次方程,从学生的认知基础上看,学生在前面学段中已经学过有关于简单方程的内容,对方程有了初步的认识,会用方程表示简单情境中的数量关系,会解简单的方程,同时通过对整式的学习,学生能够进行合并同类项,去括号等整式的加减运算,即对方程的认识已经历了入门阶段,又具备了一定的基础.这些基本的、朴素的认识为进一步学习方程奠定了基础.本单元的内容是在前面对方程学习的基础之上的进一步发展,是更系统、更深入、更复杂的讨论,更强调数学思想、数学模型的渗透,结合七年级学生的思维习惯,他们虽然已经具备了一定的学习能力,但仍处于感性认识向理性认识过渡的时期,抽象思维能力还有待提高,因此教学中对问题情境的选取要符合学生的认知水平,在学生的最近发展区创设情境,给他们创造自主学习、合作探究的机会,让学生在主动参与中体验到探索成功的喜悦,在经历数学知识的形成过程中逐步体会、感悟和理解这些数学内容的内涵.
四、单元学习目标
1.经历“把实际问题抽象为数学方程”的过程,体会方程是刻画现实世界的一种有效的数学模型,通过了解一元一次方程及其相关概念,完成从算式数学到方程式数学的进步,从而发展学生的抽象能力,培养学生的模型意识.
2.掌握等式的性质,能利用它们探究一元一次方程的解法,进一步夯实学生的理论基础,培养学生的应用意识.
3.了解解方程的基本目标,理解并掌握解一元一次方程的一般步骤和解法,培养学生的运算能力,进一步体会解法中蕴含的化归思想.
4.能够通过“找出实际问题中的已知数和未知数,分析它们之间的关系,设未知数,列出方程表示问题中的相等关系”来体会数学建模的思想,培养学生的模型观念.
5.通过探究实际问题与一元一次方程的关系,进一步体会利用一元一次方程解决实际问题的基本过程,感受数学的应用价值,提高学生分析问题、解决问题的能力.
五、单元学习内容及学习方法概览
第1课时　利用合并同类项解一元一次方程
课时目标
1.经历运用方程解决实际问题的过程,让学生体会方程是刻画现实世界的有效数学模型,培养学生的模型思想.
2.通过使学生经历利用合并同类项解一元一次方程的过程,体会合并同类项这一步骤的合理性和必然性,提高学生的运算能力.
3.让学生经历分析实际问题中的已知数与未知数之间的数量关系,进而列出方程的过程,积累数学学习的经验,增强分析问题、解决问题的能力.
学习重点
利用合并同类项解一元一次方程.
学习难点
探索并发现实际问题中的相等关系,列出方程.
课时活动设计
情境引入
在一卷古埃及草卷中,记载着这样一个数学问题“它的全部与它的,其和等于19.”你能求出这个问题中的“它”吗
学生尝试回答.
设计意图:利用古代的数学问题引入本课,让学生了解数学文化的悠久历史,拓展学生的数学视野,激发学生的数学学习热情,为本节课的学习提供厚重的数学根基,支撑学生学习数学课程的信念.
探究新知
问题:某校三年共购买计算机140台,去年购买的数量是前年的2倍,今年购买的数量又是去年的2倍.前年这所学校购买了多少台计算机
学生先独立思考解答,然后小组交流,最后选派代表板演展示,教师巡视指导.
学生探究:设前年购买计算机x台,则去年购买计算机2x台,今年购买计算机4x台.
追问1:问题中的相等关系是什么,可以怎样列方程
解:前年购买量+去年购买量+今年购买量=140.
列方程,得x+2x+4x=140.
追问2:这个方程怎么解呢 我们知道,解方程的最终结果是要化成x=m的形式,为此可以做怎样的变形
解:把左边含有x的项合并同类项,可得7x=140.
系数化为1,得x=20.
所以前年这所学校购买了20台计算机.
教师总结:本题中蕴含着一个基本的相等关系:各部分量的和=总量.
思考:上面解方程中“合并同类项”起了什么作用
解:它把含未知数的项合并为一项,从而向x=m的形式迈进了一步,起到了化简的作用.
归纳:解方程就是要使方程不断向x=m的形式转化,而合并同类项是一种恒等变形,它使方程变得简单,更接近x=m的形式.
设计意图:借助贴近学生生活的实际问题,利用方程的模型表示出问题中的相等关系,为“合并同类项”解方程提供了现实原型.通过解方程的过程,让学生思考“合并同类项”这一步骤的作用,这样的深入思考、体会,会使学生更加认识到“合并同类项”这一步骤的合理性.
典例精讲
例1　解下列方程:
(1)2x-x=6-8;　(2)7x-2.5x+3x-1.5x=-15×4-6×3.
解:(1)合并同类项,得-x=-2.
系数化为1,得x=4.
(2)合并同类项,得6x=-78.
系数化为1,得x=-13.
例2　有一列数1,-3,9,-27,81,-243,…,其中第n个数是(-3)n-1(n>1),如果这列数中某三个相邻数的和是-1 701,那么这三个数各是多少
分析:从符号和绝对值两方面观察,可以发现这列数的排列规律,后面的数是它前面的数与-3的乘积.
解:设所求三个数中第1个数是x,则后两个数分别是-3x,9x.
由三个数的和是-1 701,得x-3x+9x=-1 701.
合并同类项,得7x=-1 701.
系数化为1,得x=-243.
所以-3x=729,9x=-2 187.
答:这三个数是-243,729,-2 187.
设计意图:通过例题,进一步展现和巩固利用合并同类项解方程的变形步骤,通过规范书写解方程的过程,提高学生解方程的规范性.
巩固训练
1.方程2x+x=-6的解是(　D　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.x=0 B.x=1 C.x=2 D.x=-2
2.对于方程8x+6x-10x=8,合并同类项正确的是(　B　)
A.3x=8 B.4x=8 C.-4x=8 D.2x=8
3.解下列方程:
(1)6x-5x=3; (2)-x+4x=10-1;
(3)+=10; (4)5y-7y+12y=12+5-2.
解:(1)合并同类项,得x=3.
(2)合并同类项,得3x=9.系数化为1,得x=3.
(3)合并同类项,得5x=10.系数化为1,得x=2.
(4)合并同类项,得10y=15.系数化为1,得y=.
设计意图:通过训练,及时巩固新知识,加深学生对化归思想的理解.
课堂小结
1.本节课你学到了什么知识
2.你知道合并同类项在解方程中起到了什么作用吗
3.用方程来解决实际问题的关键是什么
设计意图:通过课堂小结的形式,让学生回顾知识点,形成知识体系,有利于学生养成回顾梳理知识的习惯,让学生在对课堂所学有系统认知的基础上,深化对知识的理解程度.
课堂8分钟.
1.教材第121页练习第1,2题,第130页习题5.2第1题(1)(2),6,9题.
第1课时　利用合并同类项解一元一次方程
　　　1.一元一次方程的解法:
(1)合并同类项——分配律
(2)系数化成1——等式的性质2
2.例题讲解.
教学反思

第2课时　利用移项解一元一次方程
课时目标
1.能够根据实际问题列出一元一次方程,进一步体会方程模型的作用及应用价值,培养学生的模型意识.
2.通过经历“移项”这一解方程步骤的得出过程,掌握“ax+b=cx+d”型方程的解法,培养学生的化归思想,提高学生的运算能力.
3.通过对实际问题的解决,增强学生分析问题、解决问题、阅读理解、抽象概括的能力,培养学生的应用意识.
学习重点
利用移项解一元一次方程.
学习难点
分析实际问题中的相等关系,列出方程.
课时活动设计
情境引入
问题:把一批图书分给某班学生阅读,若每人分3本,则剩余20本;若每人分4本,则缺25本.这个班有多少名学生
学生审题之后,教师提出问题:
(1)题中含有怎样的相等关系
(2)应怎样设未知数,如何根据相等关系列出方程
学生发表见解后,教师引导学生回顾列方程解决实际问题的基本思路.学生自主分析相等关系,师生共同确定用含x的代数式表示相关的数量.
本题中除班级人数x外,这批书的总数是一个定值,它可以有两种表示方法:
每人分3本,共分出　3x　本,加上剩余的20本,这批书共有(3x+20)本;
每人分4本,共分出　4x　本,减去缺的25本,这批书共有(4x-25)本.
明确表示这批书总数的两个代数式相等,从而列方程,得3x+20=4x-25.
设计意图:以学生身边熟悉的实际问题展开讨论,营造一种轻松的学习氛围,激发学生继续学习的兴趣,根据学生情况,逐步放手,培养学生独立解决问题的能力.
探究新知
问题:(1)方程3x+20=4x-25与前面学过的一元一次方程在结构上有什么不同
(2)怎样才能将它转化为x=m(常数)的形式呢 依据是什么
教师展开问题,学生独立思考、探索,小组讨论.
解:(1)方程3x+20=4x-25的两边都有含x的项(3x与4x)和不含字母的常数项(20与-25),而上一节课中的方程中含x的项在等号的一侧,常数项在等号的另一侧.
(2)为了使方程的右边没有含x的项,等号两边减4x;为了使左边没有常数项,等号两边减20.利用等式的性质1,得3x-4x=-25-20.化简,得-x=-45.利用等式的性质2,得x=45.
教师引导学生采用下面框图的形式来表示这个过程:
在此,教师要及时归纳得出移项的定义:像上面那样把等式一边的某项变号后移到另一边,叫作移项.
移项需要满足两个条件:(1)从方程的一边移到另一边;(2)移项要改变符号.如解方程3x+20=4x-25时,要移的项是+20(由等号左边移到右边)和4x(由等号右边移到左边),不要忽略符号,要注意变号.
思考:以上解方程中“移项”起了什么作用
学生思考,小组讨论并派代表回答,师生共同整理.
总结:通过移项,可以简化方程,使含未知数的项与常数项分别位于方程左、右两边,使方程更接近于x=m的形式.
设计意图:设置上述一系列问题,自然地引出“移项”这种变形,在教学中要让学生积极观察、分析、思考、探究,使学生认识到:“移项”在解方程中的必要性,而说明“移项要变号”的道理,体现移项法则的合理性;结合解方程的过程,让学生体会化归的数学思想.
典例精讲
例1　解下列方程:
(1)3x+7=32-2x;　　　　　　　　(2)x-3=x+1.
解:(1)移项,得3x+2x=32-7.
合并同类项,得5x=25.
系数化为1,得x=5.
(2)移项,得x-x=1+3.
合并同类项,得-x=4.
系数化为1,得x=-8.
例2　若干辆汽车装运一批货物,如果每辆汽车装4吨,则这批货物有2吨不能运走;如果每辆汽车装5吨,则装完这批货物后还可以装其他货物1吨,问这批货物共有多少吨 汽车共有多少辆
解:设有x辆汽车.根据题意,得4x+2=5x-1.
移项,得4x-5x=-1-2.
合并同类项,得-x=-3.
系数化为1,得x=3.
所以4x+2=4×3+2=14(吨).
答:这批货物共有14吨,汽车共有3辆.
设计意图:设置这两个问题,向学生进一步展现利用移项、合并同类项等步骤解方程的过程,规范学生的书写步骤,从中渗透算法程序化的思想;通过列方程解决实际问题,让学生明确分析清问题中的相等关系是列方程解实际问题的前提,培养学生的读题、审题能力.
巩固训练
1.下列移项正确的是(　C　)
A.由2+x=8,得到x=8+2　　　　B.由5x=-8+x,得到5x+x=-8
C.由4x=2x+1,得到4x-2x=1 D.由5x-3=0,得到5x=-3
2.对方程7x=6+4x进行移项,得　7x-4x=6　.合并同类项,得　3x=6　.系数化为1,得　x=2　.
3.解下列方程:
(1)4-x=7;　　　　(2)4x-3=5x-4;　　　　(3)3x+4=2x+1-3x.
解:(1)移项,得-x=7-4.合并同类项,得-x=3.系数化为1,得x=-5.
(2)移项,得4x-5x=-4+3.合并同类项,得-x=-1.系数化为1,得x=1.
(3)移项,得3x-2x+3x=1-4.合并同类项,得4x=-3.系数化为1,得x=-.
4.将一堆糖果分给幼儿园某班的小朋友,如果每人2颗,那么就多8颗;如果每人3颗,那么就少12颗,这个班共有多少名小朋友
解:设这个班共有x名小朋友.
根据题意,得2x+8=3x-12.
解得x=20.
答:这个班共有20名小朋友.
设计意图:通过课堂训练,及时巩固所学知识,加深学生对解方程步骤和化归思想的理解.
课堂小结
1.本节课你学到了什么知识
2.你知道移项在解方程中起到了什么作用吗
3.用方程来解决实际问题的关键是什么
设计意图:通过课堂小结的形式,回顾知识点形成知识体系,养成回顾梳理知识的习惯,让学生对课堂所学有系统认知的基础上,深化学生对知识的理解程度.
课堂8分钟.
1.教材第124页练习第1,2题,第130页习题5.2第1题(3)(4),第4题(1)(2),8题.
第2课时　利用移项解一元一次方程
　　　1.移项的概念:把等式一边的某项变号后移到另一边,叫作移项.
2.移项的作用:使含未知数的项与常数项分别位于方程左、右两边,使方程更接近于x=m的形式.
3.移项法则:移项要变号.
4.解一元一次方程的步骤:移项、合并同类项、系数化成1.
教学反思

第3课时　利用移项和合并同类项解一元一次方程的实际问题
课时目标
1.能够根据实际问题列出一元一次方程,进一步体会方程模型的作用及应用价值,培养学生的模型意识.
2.通过使学生经历观察、分析、探究、发现实际问题中相等关系的过程,感受方程思想的现实体现,培养学生的建模意识.
3.通过探究实际问题与一元一次方程的关系,感受数学的应用价值,提高学生分析问题、解决问题的能力,培养学生的应用意识.
学习重点
建立一元一次方程解决实际问题.
学习难点
会将实际问题转化为数学问题,通过列方程解决实际问题.
课时活动设计
情境引入
从前有一只狡猾的狐狸,它平时总喜欢捉弄小动物.有一天它遇见了老虎,狐狸说:“我发现2和5是可以一样大的,我这里有一个方程5x-2=2x-2,等号两边同时加上2,得5x-2+2=2x-2+2,即5x=2x.等式两边同时除以x,得5=2.”老虎瞪大了眼睛,听傻了.请你们想一想,狐狸说得对吗 为什么
教师展开问题,学生独立思考,小组讨论,并派学生代表回答,教师巡视指导.
解:对于方程5x-2=2x-2,根据等式的性质1,等号两边同时加上2,得5x-2+2=2x-2+2,即5x=2x.这一步是对的.
对于5x=2x.等式两边同时除以x,得5=2.这一步是错误的.
追问:为什么 你的理由是什么
解:根据等式的性质2,等式两边同除以一个不为0的数,结果仍相等.而x有可能为0,所以这样做是错误的.
对于5x=2x.应根据等式的性质1,移项,得5x-2x=0.合并同类项,得3x=0.系数化为1,得x=0.
设计意图:通过这个有趣的小故事来复习我们已经学过的等式的性质和利用移项、合并同类项解一元一次方程的知识,既激发了学生学习数学的兴趣,又加深了对所学知识的理解,同时为新课的学习奠定了基础.
探究新知
问题1:一批商界人士在露天茶座聚会,他们先是两人一桌,服务员给每桌送上一瓶果汁;后来他们又改为三人一桌,服务员又给每桌送上一瓶葡萄酒;不久他们改坐成四人一桌,服务员再给每桌送上一瓶矿泉水.此外他们每人都要了一瓶可口可乐.聚会结束时,服务员共收拾了50个空瓶.如果没人带走瓶子,那么这次聚会共有几人参加
追问:这个问题中的相等关系如何寻找
学生先独立思考,然后小组讨论,选派学生代表板演展示,教师巡视指导.
分析:要求聚会有几人参加,就要先设出未知数,再根据题意列出等量关系.设共有x人参加,由题意,得一共要了瓶果汁,瓶葡萄酒,瓶矿泉水,x瓶可口可乐,即空瓶子数为各类饮料瓶子数之和,由这个等量关系,列出方程求解.
解:设这次聚会共有x人参加.
由题意,得x+++=50.
解得x=24.
答:这次聚会共有24人参加.
问题2:某制药厂制造一批药品,如用旧工艺,则废水排量要比环保限制的最大量还多200 t;如用新工艺,则废水排量比环保限制的最大量少100 t.新、旧工艺的废水排量之比为2 5,采用两种工艺的废水排量各是多少吨
学生先独立思考,然后小组讨论,选派学生代表板演展示,教师巡视指导.
分析:本题中涉及两个量的比,设未知数时应利用这种比的关系使要求的量的形式尽可能简单易算,因此根据新、旧工艺的废水排量之比为2 5,可设它们分别为2x t和5x t,再根据它们与环保限制的最大量之间的关系列方程.
学生思考后发表自己的见解,然后师生结合问题引导学生:
1.如何设未知数
学生回答:因为新、旧工艺的废水排量之比为2 5,所以可设它们分别为2x t和5x t.
2.环保限制的最大量是一个定值,如何表示
学生回答:它有两种表示方法:(1)旧工艺中:环保限制的最大量=旧工艺的废水排量-200 t;(2)新工艺中:环保限制的最大量=新工艺的废水排量+100 t.所以可列方程5x-200=2x+100求解.
解:若设新工艺的废水排量为2x t,则旧工艺的废水排量为5x t.
由题意,得5x-200=2x+100.
移项,得5x-2x=100+200.
合并同类项,得3x=300.
系数化为1,得x=100.
所以2x=200,5x=500.
答:新工艺的废水排量为200 t,旧工艺的废水排量为500 t.
追问:方程中的x是所求的量吗
注意:求出的x的值并不是要求的量的表达式,要进一步代入相应的表达式2x和5x,才能求出问题中要求的所有量.
设计意图:设置贴近实际生活的问题情境,让学生经历利用方程来解决实际问题的过程,感受数学的应用价值,体会方程模型是解决实际问题最常见,也是最有效的工具.
典例精讲
例　七年级(2)班男生、女生人数之比为5 3,后来又转来了14名女生,此时男生人数正好与女生人数相等,求原来七年级(2)班有男生多少名 女生多少名
分析:因为七年级(2)班男生、女生人数之比为5 3,所以可设男生人数为5x名,女生人数为3x名,再根据男生人数=原来女生人数+14来列方程即可.
解:设原来七年级(2)班有男生5x名,则女生人数有3x名.
由题意,得5x=3x+14.
移项,得5x-3x=14.
合并同类项,得2x=14.
系数化为1,得x=7.
所以5x=35,3x=21.
答:原来七年级(2)班有男生35名,女生21名.
设计意图:通过例题,引导学生运用已有经验、知识、方法去探索与发现新知,使学生的学习变为一个再创造的过程,成为获取知识、思想和方法的途径,进而培养学生分析问题、解决问题的能力.
巩固训练
1.小郑的年龄比妈妈小28岁,今年妈妈的年龄正好是小郑年龄的5倍,则小郑今年的年龄是(　A　)
A.7岁　　　　　B.8岁　　　　　C.9岁　　　　　D.10岁
2.根据市场调查,某种消毒液的大瓶装(500 g)和小瓶装(250 g)的销售瓶数的比为2 5.已知每天生产这种消毒液22.5吨,这些消毒液应该分装　20 000　大瓶.
3.某生态食品加工厂收购了一批质量为10 000千克的某种山货,根据市场需求对其进行粗加工和精加工处理.已知精加工的该种山货质量比粗加工的质量的3倍还多2 000千克,求粗加工的该种山货质量.
解:设粗加工的这种山货质量为x千克,则精加工的这种山货质量为(3x+2 000)千克.
由题意,得3x+2 000=10 000-x.
解得x=2 000.
答:粗加工的这种山货质量为2 000千克.
4.甲、乙、丙三位同学向贫困山区的希望小学捐赠图书,已知这三位同学捐赠图书本数的比是5 8 9,如果他们共捐书374本,那么这三位同学各捐书多少本
解:设甲捐书5x本,则乙捐书8x本,丙捐书9x本.
根据题意,得5x+8x+9x=374.
解得x=17.
所以5x=85,8x=136,9x=153.
答:甲捐书85本,乙捐书136本,丙捐书为153本.
设计意图:通过课堂训练,及时巩固所学知识,加深学生对解方程步骤、化归思想和建模思想的理解.
课堂小结
1.本节课你学到了什么知识
2.你知道移项和合并同类项在解方程中起到了什么作用吗
3.列方程解决实际问题的关键是什么
设计意图:通过课堂小结的形式,让学生回顾知识点,形成知识体系,有利于学生养成回顾梳理知识的习惯,让学生在对课堂所学有系统认知的基础上,深化对知识的理解程度.
课堂8分钟.
1.教材124页练习第3,4题,第130页习题5.2第10题.
第3课时　利用移项和合并同类项解一元一次方程的实际问题
　　　1.解一元一次方程的步骤.
2.列方程解决实际问题的关键:分析清题目中的相等关系.
3.遇比问题:设比中的一份为x.
教学反思

第4课时　利用去括号解一元一次方程
课时目标
1.能够根据实际问题列出一元一次方程,进一步体会方程模型的作用及应用价值,培养学生的模型意识.
2.通过使学生经历利用去括号解一元一次方程的过程,体会去括号这一步骤的合理性和必然性,提高学生的运算能力.
3.通过对实际问题的解决,增强学生分析问题、解决问题、阅读理解、抽象概括的能力,培养学生的应用意识.
学习重点
1.会用去括号的方法解一元一次方程.
2.将实际问题转化为数学问题,通过列方程解决实际问题.
学习难点
在将实际问题抽象为方程模型的过程中寻找等量关系.
课时活动设计
情境引入
小花家来客人了,妈妈给了小花10元钱,让她买1听果奶和4听可乐,从商店回来后,小花交给妈妈3元钱.如果我们知道1听可乐比1听果奶贵0.5元,能不能求出1听果奶是多少钱呢
教师展开问题,学生独立思考,小组讨论,选派学生代表回答,教师巡视指导.
解:设1听果奶x元,根据题意,可列出方程4(x+0.5)+x=10-3.
追问:这个方程和我们前面学过的方程有什么区别 怎样解这个方程呢
设计意图:利用学生身边的生活情境设计问题,激发学生的学习兴趣,为解一元一次方程的深入学习作铺垫.
探究新知
问题1:由教学活动1,我们得到一个方程4(x+0.5)+x=10-3.这个方程和我们之前学过的方程有什么不同 该如何解这个方程呢
学生先独立思考,小组讨论,最后选派学生代表上台板演.
解:这个方程中有带括号的式子,应该利用去括号来解方程;
去括号,得4x+2+x=7.
移项,得4x+x=7-2.
合并同类项,得5x=5.
系数化为1,得x=1.
问题2:某工厂采取节能措施,去年下半年与上半年相比,月平均用电量减少2 000 kW·h(千瓦时),全年的用电量是150 000 kW·h.这个工厂去年上半年平均每月的用电量是多少
分析:这道问题是一个“用电问题”.利用方程表示出“某工厂上、下半年用电量之和等于一年用电量”这一关系,可得一个含有括号的方程.列这个方程时依据的相等关系有:(1)月平均用电量×n(月数)=n个月用电量;(2)总量=各部分量之和.
解:设去年上半年平均每月的用电量是x kW·h,则下半年平均每月的用电量是(x-2 000)kW·h;上半年的用电量是6x kW·h,下半年的用电量是6(x-2 000)kW·h.根据全年的用电量是150 000 kW·h,列得方程6x+6(x-2 000)= 150 000.
教师再次追问:
(1)方程6x+6(x-2 000)=150 000,与前面学过的一元一次方程在结构上有什么不同
(2)怎样才能将方程转化为x=m(常数)的形式呢
学生小组讨论,教师总结得出:
(1)与前面学过的一元一次方程不同的是,该方程的左边含有x的项,且其中一项的x含在括号内,是常数6与多项式(x-2 000)的乘积,方程的右边不含有x的项.
(2)为使方程能转化成左边是含有x的项和右边是常数项的形式,必须把括号去掉,因此获得“去括号”这一解方程的步骤.
解:6x+6(x-2 000)=150 000.
去括号,得6x+6x-12 000=150 000.
移项,得6x+6x=150 000+12 000.
合并同类项,得12x=162 000.
系数化为1,得x=13 500.
在学生回答完毕之后,教师给予评价,并适时地提问:
追问1:同学们,“去括号”的目的是什么
解:“去括号”的目的就是使方程不断地向x=m的形式转化.
追问2:现阶段,我们解一元一次方程的基本步骤有哪些
师生共同归纳:
解一元一次方程的基本步骤:1.去括号;2.移项;3.合并同类项;4.系数化为1.
设计意图:设置实际生活中的情境问题,让学生感受到生活中处处存在的数学知识,而且利用方程思想解决实际问题,能再一次让学生体会到方程的实用价值.
典例精讲
例1　解下列方程:
(1)2x-(x+10)=5x+2(x-1);　　　　　(2)3x-7(x-1)=3-2(x+3).
解:(1)去括号,得2x-x-10=5x+2x-2.
移项,得2x-x-5x-2x=-2+10.
合并同类项,得-6x=8.
系数化为1,得x=-.
(2)去括号,得3x-7x+7=3-2x-6.
移项,得3x-7x+2x=3-6-7.
合并同类项,得-2x=-10.
系数化为1,得x=5.
例2　一艘船从甲码头到乙码头顺水而行,用了2 h;从乙码头返回甲码头逆水而行,用了2.5 h.已知水流的速度是3 km/h,求船在静水中的平均速度.
分析:一般情况下可以认为这艘船往返的路程相等.根据这个相等关系,可以列方程求出船在静水中的平均速度.
在学生思考过程中,可能会遇到的问题,教师要适时地进行指导:
1.本题中涉及顺、逆流的问题情境,这类问题中的基本相等关系有哪些
学生回答:(1)顺流速度=静水速度+水流速度;(2)逆流速度=静水速度-水流速度.行程问题中,“路程=速度×时间”这个基本相等关系.
2.本题的相等关系是什么
学生回答:轮船往返的路程相等,即轮船顺流航行所走的路程=逆流航行所走的路程.
解:设船在静水中的平均速度为x km/h,则顺水速度为(x+3) km/h,逆水速度为(x-3) km/h.
根据往返路程相等,列得方程2(x+3)=2.5(x-3).
去括号,得2x+6=2.5x-7.5.
移项,合并同类项,得-0.5x=-13.5.
系数化为1,得x=27.
答:船在静水中的平均速度为27 km/h.
设计意图:通过例题讲解,进一步巩固所学,培养学生积极思考的习惯,持续渗透建模思想和化归思想.
巩固训练
1.在解方程2x-3(4-2x)=5时,去括号变形正确的是(　C　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.2x-12-6x=5 B.2x-12-2x=5
C.2x-12+6x=5 D.2x-3+6x=5
2.解方程4(x-1)-x=2.步骤如下:①去括号,得4x-1-x=2x+1;②移项,得4x+x-2x=1+1;③合并同类项,得3x=2;④系数化为1,得x=.其中开始出现错误的一步是(　A　)
A.① B.② C.③ D.④
3.解下列方程:
(1)3(x-1)-2x=1;
(2)3x-2(3-x)=4(x+1)-3.
解:(1)去括号,得3x-3-2x=1.
移项,得3x-2x=1+3.
合并同类项,得x=4.
(2)去括号,得3x-6+2x=4x+4-3.
移项,得3x+2x-4x=4-3+6.
合并同类项,得x=7.
4.一架飞机在两城市之间飞行,风速为24千米/时,顺风飞行需要2小时50分,逆风飞行需要3小时.求无风时飞机的飞行速度和两城市之间的航程.
解:设无风时飞机的飞行速度为x千米/时,则顺风飞行的速度为(x+24)千米/时,逆风飞行的速度为(x-24)千米/时.
根据题意,得(x+24)=3(x-24).
解得x=840.
所以3(x-24)=2 448.
答:无风时飞机的飞行速度为840千米/时,两城市之间的航程为2 448千米.
设计意图:通过课堂训练,及时巩固学生所学知识,加深对解方程步骤、化归思想和建模思想的理解.
课堂小结
1.本节课你学到了什么知识
2.你知道去括号在解方程中起到了什么作用吗
3.列方程解决实际问题的关键是什么
设计意图:通过课堂小结的形式,让学生回顾知识点,形成知识体系,有利于学生养成回顾梳理知识的习惯,让学生在对课堂所学有系统认知的基础上,深化对知识的理解程度.
课堂8分钟.
1.教材第126页练习第1,2,3题,第130页习题5.2第2题,第4题(3),第5,7,13题.
第4课时　利用去括号解一元一次方程
　　　1.去括号的依据和作用.
2.解一元一次方程的步骤:去括号、移项、合并同类项、系数化为1.
3.分析实际问题中的相等关系,列一元一次方程解决问题.
教学反思

第5课时　利用去分母解一元一次方程
课时目标
1.能够根据实际问题列出一元一次方程,进一步体会方程模型的作用及应用价值,培养学生的模型意识.
2.通过使学生经历利用去分母解一元一次方程的过程,体会去分母这一步骤的合理性和必然性,提高学生的运算能力.
3.通过经历利用解一元一次方程的一般步骤解方程的过程,使学生体会到解方程中常用的化归和程序化的思想方法.
学习重点
会用去分母的方法解一元一次方程.
学习难点
在实际问题中建立等量关系,并根据等量关系列出方程.
课时活动设计
情境引入
问题:如图,翠湖在青山、绿水两地之间,距青山50 km,距绿水70 km.某天,一辆汽车匀速行驶,途径王家庄、青山、绿水三地的时间如表所示.王家庄距翠湖的路程有多远
地名 王家庄 青山 绿水
时间 10:00 13:00 15:00
　　教师展开问题,学生独立思考,小组讨论,并派学生代表回答,教师巡视指导.
学生审题后,教师提问:
1.这是什么问题 题中涉及哪些量 它们之间有什么数量关系
2.题中包含哪些相等关系
3.怎样设未知数 如何根据相等关系列方程
解:设王家庄距翠湖的路程为x km,则王家庄距青山的路程为(x-50)km,王家庄距绿水的路程为(x+70)km.由表可知,汽车从王家庄到青山的行驶时间为3 h,从王家庄到绿水的行驶时间为5 h.
根据汽车在各段的行驶速度相等,列得方程=.
这个方程与前面的方程都不一样,那我们该如何解方程呢
设计意图:数学来源于实践,而又反作用于实践,利用学生耳熟能详的身边问题,将实际生活中存在的数学问题抽象出来,再用数学知识来解决它,体现了数学的根本和应用价值,培养学生根据实际问题建立方程模型的能力.
探究新知
问题1:根据教学活动1列出方程=,这个方程和我们前面学的方程有什么不同吗
解:这个方程中未知数的系数不是整数.
追问:那应该如何来解这个方程
解:如果能够化去分母,把未知数的系数化成整数,就可以解方程了.
学生讨论之后,教师通过以下问题明确去分母的方法和依据:
1.怎样去分母呢
2.去分母的依据是什么
学生经过思考、讨论后得出结论:
1.在方程两边同乘各分母的最小公倍数可以去分母.
2.去分母的依据是等式的性质2.
师生共同分析解法:
解:这个方程中各分母的最小公倍数是15,方程两边都乘15,得5(x-50)=3(x+70).
去括号,得5x-250=3x+210.
移项,得5x-3x=210+250.
合并同类项,得2x=460.
系数化为1,得x=230.
因此,王家庄距翠湖的路程为230 km.
问题2:解方程:-2=-.
教师展示问题,学生思考,小组讨论,师生共同完成如下分析过程:
这个方程中各分母的最小公倍数是10,方程两边乘10,于是方程左边=10×=10×-10×2=5(3x+1)-10×2,方程右边=10×=10×-10×=(3x-2)-2(2x+3).
教师用框图展示解这个方程的流程:
注意:提醒学生去分母时不能漏乘.
师生共同归纳:解一元一次方程的一般步骤包括:去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1等.通过这些步骤,可以使以x为未知数的一元一次方程逐步转化为x=m的形式.这个过程主要依据等式的性质和运算律等.
设计意图:让学生经历用去分母解方程的过程,让学生进一步体会解题步骤中蕴含着的化归思想,同时调动学生思考问题的积极性,提高学生分析问题、解决问题的能力.
典例精讲
例1　解下列方程:
(1)-1=2+;　　　　　(2)3x+=3-.
解:(1)去分母(方程两边乘4),得2(x+1)-4=8+(2-x).
去括号,得2x+2-4=8+2-x.
移项,得2x+x=8+2-2+4.
合并同类项,得3x=12.
系数化为1,得x=4.
(2)去分母(方程两边乘6),得18x+3(x-1)=18-2(2x-1).
去括号,得18x+3x-3=18-4x+2.
移项,得18x+3x+4x=18+2+3.
合并同类项,得25x=23.
系数化为1,得x=.
例2　列方程解答下面问题:
y的3倍与1.5的和的等于y与1的差的,求y.
解:根据题意,列方程得(3y+1.5)=(y-1).
去分母(方程两边乘4),得2(3y+1.5)=y-1.
去括号,得6y+3=y-1.
移项,得6y-y=-1-3.
合并同类项,得5y=-4.
系数化为1,得y=-.
设计意图:通过练习,进一步规范解一元一次方程的一般步骤,使学生体会到解方程中常用的化归和程序化的思想方法.
巩固训练
1.解方程+=,为了去分母应将方程两边同乘(　A　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.30 B.15 C.10 D.6
2.解方程-=1,去分母正确的是(　B　)
A.1-(x-1)=1 B.2-3(x-1)=6 C.2-3(x-1)=1 D.3-2(x-1)=6
3.解下列方程:
(1)=;　(2)3-=4-;　(3)-2.5=-7.5.
解:(1)去分母,得3(x-1)=5x.
去括号,得3x-3=5x.
移项,得3x-5x=3.
合并同类项,得-2x=3.
系数化为1,得x=-.
(2)去分母,得30-2(5-2y)=40-(4-6y).
去括号,得30-10+4y=40-4+6y.
移项,得4y-6y=40-4-30+10.
合并同类项,得-2y=16.
系数化为1,得y=-8.
(3)原方程可化为-2.5=-7.5.
去分母,得150(x-1)-25=2(4+20x)-75.
去括号,得150x-150-25=8+40x-75.
移项,得150x-40x=8-75+150+25.
合并同类项,得110x=108.
系数化为1,得x=.
4.有一个人问老师,他所教的班级有多少名学生,老师说:“一半的学生在学数学,四分之一的学生在学音乐,七分之一的学生在学外语,还剩六名学生正在操场踢足球.”你知道这个班有多少名学生吗
解:设这个班有x名学生.
依题意,得+++6=x.
解得x=56.
答:这个班有56名学生.
设计意图:及时巩固所学知识,同时又让学生看到方程的形式是多种多样的,可以根据方程的具体特点,针对性地选择相应的步骤,使方程的计算更简单有效.
课堂小结
1.你知道去分母在解方程中的作用和依据吗 去分母应该注意什么
2.解一元一次方程的一般步骤是什么
3.谈谈你对一元一次方程解法的认识
设计意图:通过课堂小结的形式,让学生回顾知识点,形成知识体系,有利于学生养成回顾梳理知识的习惯,让学生在对课堂所学有系统认知的基础上,深化对知识的理解程度.
课堂8分钟.
1.教材第129页练习第1,3题,第130页习题5.2第3,15,16,17题.
第5课时　利用去分母解一元一次方程
　　　1.去分母的依据和作用.
2.解一元一次方程的步骤:去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1等.
3.分母是小数时,如何解决 ——分数的基本性质.
4.具体方程具体对待,灵活选取步骤.
教学反思

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