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新人教版七年级数学上名师点拨与训练
第2章 有理数的运算
微专题 与绝对值有关的九种题型的解题策略
题型一、求一个数的绝对值
一般地，数轴上表示a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|。
求一个数的绝对值可以结合数轴来解决，也可以用：（1）正数的绝对值是它本身，（2）负数的绝对值是它的相反数，（3）0的绝对值是0来解决。
即：如果a>0时|a|=a;如果a<0时|a|=-a；如果a=0时|a|=0
例1-1．实数的绝对值是( )
A. B. C. D.
针对练习1
1．-2023的绝对值是( )
A.-2023 B.2023 C. D.
2．已知，，则的值为__________.
3．计算：.
4．的绝对值是( )
A. B. C.2 D.
5．化简__________
题型二、已知一个数的绝对值，求原数
绝对值相等的两个数，本身可以相等，也可以是相反数；即|a|=|b|，则得a=b或a=-b，特别注意a=b=0的情况。也要注意反推的情况，即：a=b或a=-b可以推出|a|=|b|或|a|=|-b|。
例2-1．若,则a的取值范围是( )
A. B. C. D.
针对练习2
1．若，则a的值为( )
A. B. C. D.
2．若，，，那么的值是( )
A.2或 B.或8 C.或8 D.或2
3．若，，则为( )
A.和 B. C.和 D.
4．已知，.
（1）若a，b异号，求a，b的值；
（2）若，求a，b的值.
5．如果，则x的值是( )
A. B. C. D.
6．如果，那么有理数x的值是( )
A. B.5 C.5或 D.
题型三、绝对值的非负性
若|a|+|b|=0，则a=0且b=0；若|a|+b=0，则a=0且b=0；（其中a、b可以是单独的字母，也可以是表达式）
例3-1．若与互为相反数，则的值为( )
A.3 B. C.1 D.
针对练习3
1．若与互为相反数，则的值为( )
A.3 B.﹣3 C.0 D.3或﹣3
2．若，则的值是________.
3．若，则______.
题型4、绝对值的几何意义
绝对值表示一个数对应的点到原点的距离，由于距离总是正数或零，则有理数的绝对值不可能是负数，即a取任意有理数，都有|a|0.
|a|表示一个数a在数轴上对应的点与原点之间的距离
式子|x-y|表示的几何意义：表示数轴上的数x到数y的距离
式子|x+y|表示的意义：因为|x+y|=|x-(-y)|,所以可表示数轴上的数x到数-y的距离。
例4-1．有理数a、b、c在数轴上的位置如图：
（1）用“＞”或“＜”填空：b_____0，c_____0，a+c_____0．
（2）化简：|a+c|-|b|-|c|．
针对练习4
1．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：
（1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是_____；表示-3和2两点之间的距离是_____；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m-n|，如果表示数a和-1的两点之间的距离是2，那么a=_____．
（2）若数轴上表示数a的点位于-2与4之间，则|a-4|+|a+2|的值为_____．
（3）利用数轴找出所有符合条件的整数点x,使得|x+2|+|x-5|=7，这些点表示的数的和是_____．
（4）当a=_____时，|a+3|+|a-1|+|a-4|的值最小，最小值是_____．
2．如图，数轴上的三点A、B、C分别表示有理数a、b、c,化简|a+b|-|a-c|+|b+c|．
3．已知a、b、c在数轴上的对应点如图所示，化简|a|-|a+b|+|c-a|+|b+c|．
4．阅读下列材料：
我们知道|x|的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离，即|x|=|x-0|，也就是说，|x|表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离．这个结论可以推广为|x1-x2|表示在数轴上x1，x2对应点之间的距离．
例1：已知|x|=2，求x的值．
解：在数轴上与原点距离为2的点的对应数为+2和-2，即该方程的解为x=±2．
例2：已知|x-1|=2，求x的值．
解：在数轴上与表示数1对应的点距离为2的点的对应数为3和-1，即该方程的解为x=3或x=-1．仿照阅读材料中的解法，求下列各式中x的值．
（1）|x|=3；
（2）|x-2|=3；
（3）|x+1|=2；
（4）|x-1|＞2．
5 .如图，数轴上的A、B、C三点所表示的数分别为a，b，c，点A与点C到点B的距离相等，如果，那么该数轴的原点O的位置应该在（ ）

A．点A的左边 B．点A与点B之间 C．点B与点C之间 D．点C的右边
6．实数在数轴上的位置如图所示，则化简式子的结果是__________.
题型五、利用绝对值意义解决实际问题
绝对值越小，表示数据越接近标准数据，绝对值越大表示数据越偏离标准数据
1．已知零件的标准直径是100mm，检验员某次抽查了五件样品，检查结果如下（“+”表示超出标准直径的部分，“-”表示不足标准直径的部分）：
序号 1 2 3 4 5
直径长度（mm） +0.1 -0.15 0.2 -0.05 +0.25
（1）指出哪件样品的大小最符合要求；
（2）如果规定误差的绝对值在0.18mm之内是合格品，误差的绝对值在0.18~0.22mm之间是次品，误差的绝对值超过0.22mm是废品，那么这五件样品分别属于哪类产品？
针对练习5
1．正式足球比赛时所用的足球质量有严格规定，下面是对6个足球质量进行检查的结果（用正数记超过规定质量的数，用负数记不足规定质量的数）（单位：克）.
-8，+10，-6，+9，+4，-11.
指出哪个足球的质量好些，并用绝对值的知识进行说明.
2．一袋大米的标准质量为25千克，抽查一个加工厂生产的六袋大米，结果如下:（其中正数表示超出标准的质量，单位:千克/袋）
问:哪袋大米的质量最符合要求？你能否用所学的绝对值知识加以解释？
3 .在活动课上，有6名学生用橡皮泥做了6个乒乓球，直径可以有0.02毫米的误差，超过规定直径的毫米数记作正数，不足的记作负数，检查结果如下表：
做乒乓球的同学 李明 张兵 王敏 余佳 赵平 蔡伟
检测结果 ＋0.031 -0.017 ＋0.023 -0.021 ＋0.022 -0.011
(1)请你指出哪些同学做的乒乓球是合乎要求的？
(2)指出合乎要求的乒乓球中哪个同学做的质量最好，6名同学中，哪个同学做的质量较差？
(3)请你对6名同学做的乒乓球质量按照最好到最差排名；用学过的绝对值的知识说明．
4．如图，检测4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数.从轻重的角度看，最接近标准的是（ ）
A. B.
C. D.
题型六、利用绝对值比较有理数的大小
①正数大于0,0大于负数，正数大于负数；
②两个负数，绝对值大的反而小
例6-1．请你做评委：在一堂数学活动课上，同在一合作学习小组的小明、小亮、小丁、小彭对刚学过的知识发表了自己的一些感受：
小明说：“绝对值不大于4的整数有7个．”
小丁说：“若|a|=3，|b|=2，则a+b的值为5或1．”
小亮说：“-＜-，因为两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．”
小彭说：“代数式a2+b2表示的意义是a与b的和的平方”
依次判断四位同学的说法是否正确，如不正确，请帮他们修正，写出正确的说法．
针对练习6
1．比较用科学记数法表示的两个数的大小：
（1）-3.65×105与-1.02×106；
（2）1.45×102019与9.8×102018．
2．比较大小：-3_____-2.1（填“＞”，“＜”或“=”）；用2种方法说明你是怎么比较的．
3.有理数，在数轴上的位置如图所示，则下列各式正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．比较和的大小.
题型七、利用绝对值求最值
绝对值表示一个数对应的点到原点的距离，由于距离总是正数或零，则有理数的绝对值不可能是负数，即a取任意有理数，都有|a|0.所以|a|的最小值是0
-|a|的最大值是0
例7-1．填空：
（1）当__________时，取得最小值，这个最小值是__________；
（2）当__________时，取得最大值，这个最大值是__________.
针对练习7
1．已知a，b满足，且a，b为整数.
（1）直接写出a，b的最大值；
（2）当a，b为何值时，有最小值？
2．探索下列问题：（可根据来解决问题）
（1）若有最小值，则当（_______）时，有最小值为（_______）；
（2）当m取何值时，有最小值，最小值为多少？
（3）当m取何值时，有最大值，最大值为多少？
5．式子有最小值，其最小值是______________.
题型八、绝对值中的新定义
按照给定的运算定义、法则运算顺序进行运算
例8-1．对于有理数a，b，定义一种新运算“”规定.
（1）计算的值；
（2），求a的值.
针对练习8
1．小明在电脑中设置了一个有理数的运算程序：输入数，加*键，在输入数，就可以得到运算：.
（1）求的值；
（2）求的值.
2．借助有理数的运算，对任意有理数a，b，定义一种新运算，规则如下：
例如，.
(1)填空：①___________；②，则___________；
(2)请验证等式是否成立.
3．定义运算，如.若，且，则b的值为( ).
A.7 B.1 C.1或7 D.3或-3
题型九、绝对值与数轴综合
根据点在数轴上的位置确定数或式子的正负，利用正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，去绝对值符号，化简计算。
例9-1．有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则化简|a-b|+2|a+c|-|b-2c|的结果是_____．
针对练习9
1．数a、b、c在数轴上对应的位置如图所示，化简|a+c|-|c+b|+|a-b|．
2．已知，a、b、c在数轴上的位置如图．
（1）在数轴上标出-a、-b、-c的位置，并用“＜”号将a、b、c、-a、-b、-c连接起来．
（2）化简：|a+1|-|c-b|-|b-1|+|c-2a|．
（3）若a+b+c=0，且b与-1的距离和c与-1的距离相等，求2（b+2c）-a（a-1）-（c-b）的值．
3．（1）已知|a|=4，|b|=6，求a+b的值；
（2）在（1）的条件下，若|a-b|=|a|+|b|，求a-b的值；
（3）在（1）的条件下，若|a+b|=a+b,求a-b的值．
4．有理数a,b,c在数轴上的位置如图所示．
（1）用“＜”连接：0，a,b,c；
（2）化简代数式：|b-a|-|c+a|+|b-c|．
新人教版七年级数学上名师点拨与训练
第2章 有理数的运算
微专题 与绝对值有关的九种题型的解题策略（解析版）
题型一、求一个数的绝对值
一般地，数轴上表示a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|。
求一个数的绝对值可以结合数轴来解决，也可以用：（1）正数的绝对值是它本身，（2）负数的绝对值是它的相反数，（3）0的绝对值是0来解决。
即：如果a>0时|a|=a;如果a<0时|a|=-a；如果a=0时|a|=0
例1-1．实数的绝对值是( )
A. B. C. D.
答案：B
解析：∵,
∴实数的绝对值是,
故选：B.
针对练习1
1．-2023的绝对值是( )
A.-2023 B.2023 C. D.
答案：B
解析： ,故选B
2．已知，，则的值为__________.
答案：3
解析：因为，，所以.
3．计算：.
答案：4.5
解析：原式.
4．的绝对值是( )
A. B. C.2 D.
答案：D
解析：的绝对值是，
故选：D.
5．化简__________
答案：
解析：
=4-п+п-3
=1
题型二、已知一个数的绝对值，求原数
绝对值相等的两个数，本身可以相等，也可以是相反数；即|a|=|b|，则得a=b或a=-b，特别注意a=b=0的情况。也要注意反推的情况，即：a=b或a=-b可以推出|a|=|b|或|a|=|-b|。
例2-1．若,则a的取值范围是( )
A. B. C. D.
答案：D
解析：∵,
∴,
∴,
故选：D.
针对练习2
1．若，则a的值为( )
A. B. C. D.
答案：B
解析：，
，
，
故选：B.
2．若，，，那么的值是( )
A.2或 B.或8 C.或8 D.或2
答案：A
解析：，，
，，
，
，或，，
或，
故选A.
3．若，，则为( )
A.和 B. C.和 D.
答案：A
解析：由题意可知：，，
当，时，
，
当，时，
，
当，时，
原式，
当，时，
原式，
故选：A.
4．已知，.
（1）若a，b异号，求a，b的值；
（2）若，求a，b的值.
答案：（1），或，
（2），或，
解析：因为，，所以，.
（1）因为a，b异号，
所以，或，.
（2）因为，
所以，或，.
5．如果，则x的值是( )
A. B. C. D.
答案：C
解析：，
，
故选：C.
6．如果，那么有理数x的值是( )
A. B.5 C.5或 D.
答案：C
解析：
或.
故选：C.
题型三、绝对值的非负性
若|a|+|b|=0，则a=0且b=0；若|a|+b=0，则a=0且b=0；（其中a、b可以是单独的字母，也可以是表达式）
例3-1．若与互为相反数，则的值为( )
A.3 B. C.1 D.
答案：B
解析：与互为相反数，
，，
解得：，，.
故选：B.
针对练习3
1．若与互为相反数，则的值为( )
A.3 B.﹣3 C.0 D.3或﹣3
答案：A
解析：与互为相反数，
，
又，，
，，
解得，，
则，
故选A.
2．若，则的值是________.
答案：
解析：因为，，
，
所以，
解得：，
，
故答案：.
3．若，则______.
答案：1
解析：，
，，
解得，，.
则原式.
故答案为1.
题型4、绝对值的几何意义
绝对值表示一个数对应的点到原点的距离，由于距离总是正数或零，则有理数的绝对值不可能是负数，即a取任意有理数，都有|a|0.
|a|表示一个数a在数轴上对应的点与原点之间的距离
式子|x-y|表示的几何意义：表示数轴上的数x到数y的距离
式子|x+y|表示的意义：因为|x+y|=|x-(-y)|,所以可表示数轴上的数x到数-y的距离。
例4-1．有理数a、b、c在数轴上的位置如图：
（1）用“＞”或“＜”填空：b_____0，c_____0，a+c_____0．
（2）化简：|a+c|-|b|-|c|．
【答案】(1)＜;(2)＞;(3)＞;
【解析】（1）根据图示，可得：b＜0，c＞0，a+c＞0．
（2）根据绝对值的含义和求法，化简|a+c|-|b|-|c|即可．
解：（1）根据图示，可得：b＜0，c＞0，a＞0，
∴b＜0，c＞0，a+c＞0．
故答案为：＜、＞、＞．
（2）∵b＜0，c＞0，a+c＞0，
∴|a+c|-|b|-|c|
=a+c+b-c
=a+b.
针对练习4
1．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：
（1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是_____；表示-3和2两点之间的距离是_____；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m-n|，如果表示数a和-1的两点之间的距离是2，那么a=_____．
（2）若数轴上表示数a的点位于-2与4之间，则|a-4|+|a+2|的值为_____．
（3）利用数轴找出所有符合条件的整数点x,使得|x+2|+|x-5|=7，这些点表示的数的和是_____．
（4）当a=_____时，|a+3|+|a-1|+|a-4|的值最小，最小值是_____．
【答案】(1)3;(2)5;(3)-3或1;(4)6;(5)12;(6)1;(7)7;
【解析】（1）根据两点间的距离公式，可得答案；
（2）根据线段上的点到线段两端点的距离的和最小，可得答案；
（3）根据线段上的点到线段两端点的距离的和最小，可得答案．
（4）根据分类讨论的数学思想可以解答本题．
解：（1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是3，|4-1|=3；表示-3和2两点之间的距离是5，|-3-2|=5；一般地，数轴上表示m和数n的两点之间的距离等于|m-n|．如果表示数a和-1的两点之间的距离是2，则可记为：|a+1|=2，那么a=1或-3；
故答案为：3，5，1或-3；
（2）∵-2＜a＜4，
∴|a-4|+|a+2|=4-a+2+a=6，
故答案为：6；
（3）当x＞5时，|x+2|+|x-5|=x+2+x-5=2x-3＞7，
当-2≤x≤5时，|x+2|+|x-5|=x+2+5-x=7，
当x＜-2时，|x+2|+|x-5|=-x-2+5-x=-2x+3＞7，
∴使得|x+2|+|x-5|=7的所有整数为：-2，-1，0，1，2，3，4，5，
∵-2+（-1）+0+1+2+3+4+5=12，
故答案为：12；
（4）当a＞4时，|a+3|+|a-1|+|a-4|=a+3+a-1+a-4=3a-2＞10，
当1＜a≤4时，|a+3|+|a-1|+|a-4|=a+3+a-1+4-a=6+a,则7＜6+a≤10，
当-3＜a≤1时，|a+3|+|a-1|+|a-4|=a+3+1-a+4-a=8-a,则7≤8-a＜11，
当x≤-3时，|a+3|+|a-1|+|a-4|=-a-3+1-a+4-a=-3a+2≥11，
由上可得，当a=1时，|a+3|+|a-1|+|a-4|的值最小，最小值是7，
故答案为：1，7．
2．如图，数轴上的三点A、B、C分别表示有理数a、b、c,化简|a+b|-|a-c|+|b+c|．
【解析】由数轴上点的位置，得到a,b都小于0，c大于0，且b的绝对值小于c的绝对值，进而判断出a+b,a-c及b+c的正负，利用绝对值的代数意义化简，合并后即可得到结果．
解：由数轴上点的位置得到：a＜b＜0，c＞0，且|b|＜|c|，
∴a+b＜0，a-c＜0，b+c＞0，
则|a+b|-|a-c|+|b+c|=-a-b+a-c+b+c=0．
3．已知a、b、c在数轴上的对应点如图所示，化简|a|-|a+b|+|c-a|+|b+c|．
【解析】本题涉及数轴、绝对值，解答时根据绝对值定义分别求出绝对值，再根据整式的加减，去括号、合并同类项即可化简．
解：由图可知，a＞0，a+b＜0，c-a＜0，b+c＜0，
∴原式=a+（a+b）-（c-a）-（b+c）
=a+a+b-c+a-b-c
=3a-2c.
4．阅读下列材料：
我们知道|x|的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离，即|x|=|x-0|，也就是说，|x|表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离．这个结论可以推广为|x1-x2|表示在数轴上x1，x2对应点之间的距离．
例1：已知|x|=2，求x的值．
解：在数轴上与原点距离为2的点的对应数为+2和-2，即该方程的解为x=±2．
例2：已知|x-1|=2，求x的值．
解：在数轴上与表示数1对应的点距离为2的点的对应数为3和-1，即该方程的解为x=3或x=-1．仿照阅读材料中的解法，求下列各式中x的值．
（1）|x|=3；
（2）|x-2|=3；
（3）|x+1|=2；
（4）|x-1|＞2．
【解析】（1）|x|=3表示在数轴上与原点距离为3点的对应数为-3或3；
（2）|x-2|=3，表示在数轴上与2的距离为3点的对应数为-1或5；
（3）|x+1|=2表示在数轴上与-1的距离为2点的对应数为1或-3；
（4）|x-1|＞2表示在数轴上与1的距离大于2点的对应数，在数轴上距离1两个单位的数是-1与3．
解：（1）|x|=3表示在数轴上与原点距离为3点的对应数为-3或3，即x的值为3或-3；
（2）|x-2|=3表示在数轴上与2的距离为3点的对应数为-1或5，即x的值为-1或5；
（3）|x+1|=2表示在数轴上与-1的距离为2点的对应数为1或-3，即x的值为1或-3；
（4）|x-1|＞2表示在数轴上与1的距离大于2点的对应数，在数轴上距离1两个单位的数是-1与3，
∴|x-1|＞2的解为x＜-1或x＞3．
5 .如图，数轴上的A、B、C三点所表示的数分别为a，b，c，点A与点C到点B的距离相等，如果，那么该数轴的原点O的位置应该在（ ）

A．点A的左边 B．点A与点B之间 C．点B与点C之间 D．点C的右边
【答案】C
【分析】根据绝对值是数轴上表示数的点到原点的距离，分别判断出点到原点的距离的大小，由此即可得．
【详解】，
点A到原点的距离最大，点C其次，点B最小，
又，
原点O的位置是在点B与点C之间，且靠近点B的地方，
故选：C．
【点评】本题考查了数轴、绝对值，熟练掌握数轴的定义是解题关键．
6．实数在数轴上的位置如图所示，则化简式子的结果是__________.
答案：
解析：由数轴可得：，所以，所以.
题型五、利用绝对值意义解决实际问题
绝对值越小，表示数据越接近标准数据，绝对值越大表示数据越偏离标准数据
1．已知零件的标准直径是100mm，检验员某次抽查了五件样品，检查结果如下（“+”表示超出标准直径的部分，“-”表示不足标准直径的部分）：
序号 1 2 3 4 5
直径长度（mm） +0.1 -0.15 0.2 -0.05 +0.25
（1）指出哪件样品的大小最符合要求；
（2）如果规定误差的绝对值在0.18mm之内是合格品，误差的绝对值在0.18~0.22mm之间是次品，误差的绝对值超过0.22mm是废品，那么这五件样品分别属于哪类产品？
．答案：（1）第4件样品的大小最符合要求.
（2）因为，，，
所以第1,2,4件样为合格；
因为，，所以第3件样品为次品；
因为，所以第5件样品为废品.
解析：
针对练习5
1．正式足球比赛时所用的足球质量有严格规定，下面是对6个足球质量进行检查的结果（用正数记超过规定质量的数，用负数记不足规定质量的数）（单位：克）.
-8，+10，-6，+9，+4，-11.
指出哪个足球的质量好些，并用绝对值的知识进行说明.
答案：【解】第5个足球的质量好些.因为，，所以检查结果为+4的足球质量与规定的足球质量最相近，所以超过规定质量数为4克的（即第5个）足球的质量好些.
2．一袋大米的标准质量为25千克，抽查一个加工厂生产的六袋大米，结果如下:（其中正数表示超出标准的质量，单位:千克/袋）
问:哪袋大米的质量最符合要求？你能否用所学的绝对值知识加以解释？
答案：因为，
所以的绝对值最小，说明这袋大米的质量最接近标准质量，所以第1袋大米的质量最符合要求.
3 .在活动课上，有6名学生用橡皮泥做了6个乒乓球，直径可以有0.02毫米的误差，超过规定直径的毫米数记作正数，不足的记作负数，检查结果如下表：
做乒乓球的同学 李明 张兵 王敏 余佳 赵平 蔡伟
检测结果 ＋0.031 -0.017 ＋0.023 -0.021 ＋0.022 -0.011
(1)请你指出哪些同学做的乒乓球是合乎要求的？
(2)指出合乎要求的乒乓球中哪个同学做的质量最好，6名同学中，哪个同学做的质量较差？
(3)请你对6名同学做的乒乓球质量按照最好到最差排名；用学过的绝对值的知识说明．
【答案】(1)张兵、蔡伟；
(2)蔡伟；李明；
(3)蔡伟、张兵、余佳、赵平、王敏、李明；说明见详解．
【分析】（1）绝对值大于0.02毫米的就是不合格，所以张兵、蔡伟是合格的；
（2）绝对值越小质量越好，越大质量越差，所以蔡伟做的质量最好，李明的最差；
（3）按绝对值由大到小排即可．
【详解】（1）直径与规定直径不超过0.02毫米的误差视为合格，张兵的是，蔡伟的是，两人的都不超过0.02毫米的误差，
张兵、蔡伟做的乒乓球是合格的．
（2）蔡伟做的为毫米，李明做的为，
蔡伟做的质量最好，李明的最差．
（3），
6名同学做的乒乓球质量按照最好到最差排名为：蔡伟、张兵、余佳、赵平、王敏、李明．
【点评】此题考查了正数与负数，以及绝对值的意义，正确理解题目的意思是解此题的关键．
4．如图，检测4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数.从轻重的角度看，最接近标准的是（ ）
A. B.
C. D.
答案：C
题型六、利用绝对值比较有理数的大小
①正数大于0,0大于负数，正数大于负数；
②两个负数，绝对值大的反而小
例6-1．请你做评委：在一堂数学活动课上，同在一合作学习小组的小明、小亮、小丁、小彭对刚学过的知识发表了自己的一些感受：
小明说：“绝对值不大于4的整数有7个．”
小丁说：“若|a|=3，|b|=2，则a+b的值为5或1．”
小亮说：“-＜-，因为两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．”
小彭说：“代数式a2+b2表示的意义是a与b的和的平方”
依次判断四位同学的说法是否正确，如不正确，请帮他们修正，写出正确的说法．
【解析】根据绝对值、整数的定义直接求得结果；
由|a|=3，|b|=2，可得a=±3，b=±2，可分为4种情况求解；
根据两个负数，绝对值大的其值反而小比较；
根据代数式的意义判断．
解：四个人说的只有小亮说法是正确的；小明的改为“绝对值不大于4的整数有9个．”
小丁的改为说：“若|a|=3，|b|=2，则a+b的值为±5或±1．”
小彭的改为说：“代数式a2+b2表示的意义是a的平方与b的平方的和”或“代数式a2+b2表示的意义是a、b的平方和”．
针对练习6
1．比较用科学记数法表示的两个数的大小：
（1）-3.65×105与-1.02×106；
（2）1.45×102019与9.8×102018．
【解析】（1）根据科学记数法a×10n表示的数，“还原”成通常表示的数，再按照整数大小的比较方法比较大小；
（2）中的数化为底数相同，指数相同的数，然后比较大小即可．
解：（1）∵-1.02×106=-1 020 000，
-3.65×105=-365 000，
∵-365 000＞-1 020 000，
∴-3.65×105＞-1.02×106，
（2）∵1.45×102 019=14.5×102018，
14.5×102018＞9.8×102018，
∴14.5×102018＞9.8×102 018．
2．比较大小：-3_____-2.1（填“＞”，“＜”或“=”）；用2种方法说明你是怎么比较的．
【答案】＜
【解析】（1）根据-3与-2.1的差的正负，判断出它们的大小关系即可．
（2）两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．
解：（1）∵（-3）-（-2.1）=-0.9＜0，
∴-3＜-2.1．
（2）|-3|=3，|-2.1|=2.1，
∵3＞2.1，
∴-3＜-2.1．
故答案为：＜．
3.有理数，在数轴上的位置如图所示，则下列各式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意可得，且，然后进行逐一辨别．
【详解】解：由题意可得，且，
，，，，
选项A、B、C不符合题意，选项D符合题意，
故选：D
【点睛】此题考查了运用数轴表示实数大小的能力，关键是能正确理解相关知识，并能运用数形结合思想进行求解．
4．比较和的大小.
答案：因为，且，所以.
题型七、利用绝对值求最值
绝对值表示一个数对应的点到原点的距离，由于距离总是正数或零，则有理数的绝对值不可能是负数，即a取任意有理数，都有|a|0.所以|a|的最小值是0
-|a|的最大值是0
例7-1．填空：
（1）当__________时，取得最小值，这个最小值是__________；
（2）当__________时，取得最大值，这个最大值是__________.
答案：（1）2024；0；
（2）1；2024
解析：（1）因为是非负数，所以的最小值为0，此时；
（2）对于，的值越小，的值越大.因为是非负数，所以的最小值是0，此时，有最大值2024.
针对练习7
1．已知a，b满足，且a，b为整数.
（1）直接写出a，b的最大值；
（2）当a，b为何值时，有最小值？
答案：（1）a的最大值为3，b的最大值为4
（2），
解析：（1）因为，且a，b为整数，所以a的最大值为3，b的最大值为4.
（2）因为，所以当时，最小.因为，所以b的最小值为.所以当，时，有最小值.
2．探索下列问题：（可根据来解决问题）
（1）若有最小值，则当（_______）时，有最小值为（_______）；
（2）当m取何值时，有最小值，最小值为多少？
（3）当m取何值时，有最大值，最大值为多少？
答案：（1）6，0
（2）时，这个最小值为3
（3），最大值为5
解析：（1），
时，的值最小，且最小值为0，
此时；
故答案为：6；0.
（2）
当时，有最小值，这个最小值为3.
（3）
，
当时，有最大值，这个最大值为5.
4 .若的最小值为3，则a的值为______.
答案：2或-4
解析：表示数轴上x到与x到-1的距离之和，
且其最小值为3，
当x介于与-1之间时，
与-1的距离为3，即
若，解得；
若，解得
故答案为：2或-4.
5．式子有最小值，其最小值是______________.
答案：7
解析：表示在数轴上表示数x的点到表示数3的点与表示数-4的点的距离之和，
因此当时，这两个距离之和就是表示数3的点与表示数-4的点之间的距离，为7，即：，
当或时，这两个距离之和都会大于表示数3的点与表示数-4的点的距离，即：，
当时，有最小值，最小值是7.
故答案为：7.
题型八、绝对值中的新定义
按照给定的运算定义、法则运算顺序进行运算
例8-1．对于有理数a，b，定义一种新运算“”规定.
（1）计算的值；
（2），求a的值.
答案：（1）
（2）a的值是3或-4
解析：（1）解：
；
（2）解：，
，
，
或，
或.
针对练习8
1．小明在电脑中设置了一个有理数的运算程序：输入数，加*键，在输入数，就可以得到运算：.
（1）求的值；
（2）求的值.
答案：（1）-10
（2）0
解析：（1）
=-3-2-|2-(-3|
=-3-2-5
=-10
=[3-4-|4-3|]*（-5）
=（-2）*（-5）
=-2-（-5）-|-5-（-2）|
=-2+5-3
=0
2．借助有理数的运算，对任意有理数a，b，定义一种新运算，规则如下：
例如，.
(1)填空：①___________；②，则___________；
(2)请验证等式是否成立.
答案：(1)①3
②1或
(2)不成立
解析：（1）①，
，
故答案为：3；
②，
，
，
，，
x的值为1或，
故答案为：1或；
（2），，
，
不成立.
3．定义运算，如.若，且，则b的值为( ).
A.7 B.1 C.1或7 D.3或-3
答案：C
解析：由新定义的运算得：
再将代入得：，即
由绝对值的定义得：或
解得：或
故选：C.
题型九、绝对值与数轴综合
根据点在数轴上的位置确定数或式子的正负，利用正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，去绝对值符号，化简计算。
例9-1．有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则化简|a-b|+2|a+c|-|b-2c|的结果是_____．
【答案】-3a
【解析】根据数轴判断出c＜a＜0＜b,且|a|＜|b|＜|c|，从而知a-b＜0、a+c＜0、b-2c＞0，再去绝对值符号、合并同类项可得．
解：由数轴可知c＜a＜0＜b,且|a|＜|b|＜|c|，
则a-b＜0、a+c＜0、b-2c＞0，
∴原式=b-a-2（a+c）-（b-2c）
=b-a-2a-2c-b+2c
=-3a,
故答案为：-3a.
针对练习9
1．数a、b、c在数轴上对应的位置如图所示，化简|a+c|-|c+b|+|a-b|．
【解析】根据数轴先取绝对值再合并同类项即可．
解：由数轴得，c＜b＜0＜a,且|c|＞|a|＞|b|，
|a+c|-|c+b|+|a-b|=-a-c+c+b+a-b
=0．
2．已知，a、b、c在数轴上的位置如图．
（1）在数轴上标出-a、-b、-c的位置，并用“＜”号将a、b、c、-a、-b、-c连接起来．
（2）化简：|a+1|-|c-b|-|b-1|+|c-2a|．
（3）若a+b+c=0，且b与-1的距离和c与-1的距离相等，求2（b+2c）-a（a-1）-（c-b）的值．
【解析】（1）在数轴上标出-a、-b、-c的位置，即可用“＜”号将a、b、c、-a、-b、-c连接起来；
（2）判断a+1，c-b,b-1，c-2a的符号，再化简即可；
（3）求出a,b+c的值代入计算即可．
解：（1）在数轴上标出-a、-b、-c的位置如下：
因此，c＜-a＜-b＜b＜a＜-c；
（2）由各个数在数轴上的位置可知：a+1＞0，c-b＜0，b-1＜0，c-2a＜0，
∴|a+1|-|c-b|-|b-1|+|c-2a|=a+1-b+c-1+b-c+2a=3a.
（3）∵b与-1的距离和c与-1的距离相等，
∴|b+1|=|c+1|，即b+1=-c-1，
∴b+c=-2，
又∵a+b+c=0，
∴a=-b-c=2，
∴2（b+2c）-a（a-1）-（c-b）
=2b+4c-a2+a-c+b
=-a2+a+3b+3c
=-4+2+（-6）
=-8．
3．（1）已知|a|=4，|b|=6，求a+b的值；
（2）在（1）的条件下，若|a-b|=|a|+|b|，求a-b的值；
（3）在（1）的条件下，若|a+b|=a+b,求a-b的值．
【解析】（1）根据题意，利用绝对值的代数意义求出a与b的值，即可求出a+b的值；
（2）根据题意，利用绝对值的代数意义求出a与b的值，即可求出a-b的值；
（3）根据题意，利用绝对值的代数意义求出a与b的值，即可求出a-b的值．
解：（1）∵|a|=4，|b|=6，
∴a=4或-4，b=6或-6，
则a+b=10或-2或2或-10；
（2）∵|a|=4，|b|=6，
∴a=±4，b=±6，
∵|a-b|=|a|+|b|，
∴a、b异号，
∴a=4时，b=-6，或a=-4时，b=6，
∴a-b=4-（-6）=4+6=10，或a-b=-4-6=-10；
（3）∵|a+b|=a+b,
∴a+b≥0，
∴a=4，b=6或a=-4，b=6，
∴a-b=4-6=-2，
或a-b=-4-6=-10．
4．有理数a,b,c在数轴上的位置如图所示．
（1）用“＜”连接：0，a,b,c；
（2）化简代数式：|b-a|-|c+a|+|b-c|．
【解析】（1）根据数轴比较即可；
（2）根据数轴得出b＜c＜0＜a,|c|＜|a,再去掉绝对值符号，最后求出答案即可．
解：（1）从数轴可知：b＜c＜0＜a；
（2）从数轴可知：b＜c＜0＜a,|c|＜|a|，
所以|b-a|-|c+a|+|b-c|
=a-b-（c+a）+（c-b）
=a-b-c-a+c-b
=-2b.
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