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新人教版七年级数学上名师点拨与训练
第2章 有理数的运算
微专题 有理数混合运算的八种类型解题策略
类型一 运用有理数运算法则进行有理数的运算
有理数的混合运算法则
（1）先乘方，再乘除，最后加减；
（2）同级运算，从左到右进行；
（3）如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。
（在进行有理数的运算时：先确定符号，再计算绝对值）
解题策略：在较复杂的混合运算中，要边做边观察，随时调整运算顺序，若无简便方法可用，则通常利用加减号将算式分成几部分，每个部分同时单独计算，最后进行加减运算。
例1-1．计算：
（1）（-+-）×（-18）；
（2）-24-×[2-（-3）2]；
（3）8.4×103-4.8×104．
针对训练1
1．（1）计算：（-23）-（+67）+27-（-23）；
（2）计算：（-0.1）÷×（-100）；
（3）计算：．
2．计算：
（1）；
（2）．
3．计算
（1）-40-（+27）+19
（2）（-5）×6×（-）÷22．
类型二、 有理数运算法则进行有理数的运算中的纠错问题
解题策略：认真阅读解题过程，对照有理数运算顺序、运算律、运算法则分析，看解题过程是否违背有理数运算法则、运算律、运算技巧，解这类题关键是掌握运算法则并能够正确计算.
例2-1．下面是小明的计算过程，请仔细阅读．
计算：（-15）÷（-3-）×6．
解：原式=（-15）÷（-）×6 ……第一步
=（-15）÷（-25）……第二步
=-……第三步
并解答下列问题．
（1）解答过程是否有错？
（2）若有在第几步？
（3）错误原因是什么？
针对训练2
1..淇淇在计算：时，步骤如下：
解：原式①
②
③
(1)淇淇的计算过程中开始出现错误的步骤是________；（填序号）
(2)请给出正确的解题过程．
2．（1）计算：（-1）4×|-8|+（-2）3×（）2．
（2）下面是小明同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务．
．
解：2（2x-1）＞3（3x-2）-6……第一步
4x-2＞9x-6-6……第二步
4x-9x＞-6-6+2……第三步
-5x＞-10……第四步
x＞2……第五步
任务一：填空：①以上解题过程中，第二步是依据 _____（运算律）进行变形的；
②第 _____步开始出现错误，这一步错误的原因是 _____；
任务二：请直接写出该不等式的正确解集．
3．计算：（--1）×（-24）．
晓莉的计算过程如下：
解：原式=×（-24）-×（-24）-1×（-24）①
=-14-20-24②
=-58③
请问晓莉的计算过程正确吗？如果不正确，请指出开始出错的步骤，并写出正确的计算过程．
4．下面是佳佳同学的一道题的解题过程：
2÷（-）×（-3）
=[2÷（-）+2]×（-3），①
=2×（-3）×（-3）+2×4×（-3），②
=18-24，③
=6，④
（1）佳佳同学开始出现错误的步骤是 _____；
（2）请给出正确的解题过程．
类型三、 运用运算律进行有理数混合运算
加法运算律
有理数乘法运算
加法的交换律、结合律
例3-1．计算：.
针对训练3-1
1．计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
2．计算：
3．计算题：
（1）.
（2）.
乘法的交换律、结合律、分配律
例3-2．计算：.
甲同学的解法：.
乙同学的解法：.
丙同学的解法：原式的倒数为.
所以.
(1)解法正确的同学是__________.
(2)计算：.
针对训练3-2
1．计算下面各题.（能简算的要简算）
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）.
2．计算：
（1）;
（2）.
3．（1）;
（2）.
类型四、 新定义运算
正确地理解新定义的算式含义，然后严格按照新定义的计算程序，将数值代入，转化为常规的有理数混合运算算式进行计算.
例4-1．已知x、y为有理数，现规定一种新运算※，满足x※y=xy+1．
（1）求2※4的值；
（2）求（1※4）※（-2）的值．
针对训练4
1．对于任意有理数a,b,定义运算：a⊙b=a（a+b）-1，等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如，2⊙5=2×（2+5）-1=13；（-3）⊙（-5）=-3×（-3-5）-1=23．
（1）求（-2）⊙3的值；
（2）对于任意有理数m,n,请你重新定义一种运算“ ”，使得5 3=20，写出你定义的运算：m n=_____（用含m,n的式子表示）．.
2．在学习完《有理数》后，小奇对运算产生了浓厚的兴趣．借助有理数的运算，定义了一种新运算“ ”，规则如下：a b=a×b+2×a.
（1）求2 （-1）的值；
（2）求-3 （-4 ）的值；
（3）试用学习有理数的经验和方法来探究这种新运算“ ”是否具有交换律？请写出你的探究过程．
3．定义☆运算
观察下列运算：
（+3）☆（+15）=+18 （-14）☆（-7）=+21
（-2）☆（+14）=-16 （+15）☆（-8）=-23
0☆（-15）=+15 （+13）☆0=+13
（1）请你认真思考上述运算，归纳☆运算的法则：
两数进行☆运算时，同号_____，异号_____．
特别地，0和任何数进行☆运算，或任何数和0进行☆运算，_____．
（2）计算：（+11）☆[0☆（-12）]=_____．
（3）若2×（2☆a）-1=3a,求a的值．
4．用“ ”规定一种新运算：对于任意有理数a和b,规定a b=ab2+2ab+a.
如1 3=1×32+2×1×3+1=16．
（1）求2 （-1）的值；
（2）若（a-1） 3=32，求a的值；
（3）若m=2 x,n=（x） 3（其中x为有理数），试比较m、n的大小．
类型五、 利用程序流程进行计算
正确地理解转换器规定的运算顺序，然后严格按照转换器的计算程序，将数值代入，转化为常规的有理数混合运算算式进行计算.
例5-1．在数学活动课上，同学们利用如图所示的程序进行计算，计算按箭头指向循环进行．如，当初始输入5时，即x=5，第1次计算结果为16，第2次计算结果为8，第3次计算结果为4，…
（1）当初始输入1时，第1次计算结果为_____；
（2）当初始输入4时，第3次计算结果为_____；
（3）当初始输入3时，依次计算得到的所有结果中，有_____个不同的值，第20次计算结果为_____．
针对训练5
1．如图是一个运算程序：
（1）若x=-2，y=3，求m的值；
（2）若x=4，输出结果m的值与输入y的值相同，求y的值．
2．有一数值转换器，原理如图所示，如果开始输入x的值是34，则第一次输出的结果是17，第二次输出的结果是52，……，那么第2022次输出的结果是_____.
3．如图所示是计算机某计算程序，若开始输入，则最后输出的结果是______.
4．如图所示的运算程序中，若开始输入的n值为5，第1次输出的结果为16，第2次输出的结果为8，则
（1）第6次输出的结果为___________；
（2）第2023次输出的结果为__________.
5．如图是一个数值运算程序，当输入的数是-3时，输出的数是_________.
类型六、阅读理解运算过程方法进行计算
根据阅读材料提供的方法、法则、运算规则进行运算，解题的关键是通过阅读理解掌握并运用材料所提供的方法、法则正确运算。
例6-1．阅读材料：
用“☆”定义一种新运算：
下列是按照“☆”运算的运算法则进行运算的算式：
（+3）☆（+2）=+5；
（-5）☆（-4）=+9；
（-2）☆（+6）=-8；
（-5）☆（+2）=-7；
（+5）☆（-7）=-12；
（+4）☆（-2）=-6；
0☆（+2）=2；
0☆（-10）=10；
（+3）☆0=3；
（-4）☆0=4．
请你完成下列问题：
（1）归纳“☆”运算的运算法则：两数进行“☆”运算时，_____．特别地，0与任何数进行“☆”运算，或任何数与0进行“☆”运算时，_____．
（2）计算：（-3）☆[0☆（+2）]=_____．（括号的作用与它在有理数运算中的一致）
（3）我们知道加法有交换律和结合律，请你说明，这两种运算律在有理数的“☆”运算中是否适用．
针对训练6
1．阅读下面的材料，回答问题：
（1）计算：+++的值时，我们用如下方法：
+++=+++=1-+-+-+-=1-=
（2）式子“1+2+3+4+…+100”表示从1开始的100个连续自然数的和，由于式子比较长，书写不便，为了简便，我们将其表示为n,这里符号“”表示求和的意思．即n=1+2+3+4+…+100=5050.=1+++=．
①计算：1++++=_____．
②求：=中x的值．
2．阅读材料：求1+2+22+23+42+ +22019的值．
解：设S=1+2+22+23+42+ +22019
将等式两边同时乘以2，得2S=2+22+23+42+25+ +22019+22020
将下式减去上式，得S=22020-1
即1+2+22+23+42+ +22019=22020-1
请你仿照此法计算：
（1）1+5+52+53+ +510
（2）
3．阅读下列解题过程：
计算：．
分析：利用倒数的意义，先求出原式的倒数，再得原式的值．
解：
=
=-16+18-21
=-19．
所以原式=．
根据阅读材料提供的方法，完成下面的计算：
．
4．先阅读下列材料，再解决问题：
学习数轴之后，数学课外活动小组的同学发现在数轴上到两点之间距离相等的点，可以用表示这两点的数值来确定．如：①到点2和点6距离相等的点表示的数是4，则有这样的关系：4=×（2+6）；②到点-5和点-9距离相等的点表示的数是-7，有这样的关系-7=×[（-5）+（-9）]．
解决问题：根据上述规律完成下列各题：
（1）到点35和85距离相等的数是多少？
（2）到点-和距离相等的点表示的数是多少？
（3）到点-14和点-32距离相等的点表示的数是多少？你能说出你得到的规律吗？在数轴上到两个点距离相等的点表示的数为这两个点所表示数之和的一半．
5．阅读：，，，…．
问：（1）=_____；
（2）=_____；
（3）计算：．
类型七、有理数的混合运算的实际问题
理解题意，正确列式表示问题中的数量关系，按照有理数运算法则，运算顺序正确解答。
例7-1 .在疫情期间，某县城为了保障学校学生的正常学习，需每天抽取不低于总学生人数的进行核酸抽检．为了更好地统计每天抽测的学生人数，医务人员以每天抽测2000人为标准，超过的人数记作正，不足的人数记作负．下表是该县城学校一周核酸抽检情况的记录（单位：人）：
星期 一 二 三 四 五
与标准的差/人
(1)该县城哪天抽检的学生人数最多？哪天抽检的最少？分别是多少人？
(2)聪明的你，帮医务人员计算下这周该县城总共核酸抽检了学生多少人？
针对训练7
1．体育课上全班女生进行了一分钟仰卧起坐测验，达标成绩为个.下面是第一组8名女生的成绩记录，其中“+”号表示超过达标成绩的个数，“-”表示不足达标成绩的个数.
，0，，，，，，.
(1)第一组名女生中最好成绩与最差成绩相差______个；
(2)求第一组名女生的平均成绩为多少
(3)规定：一分钟仰卧起坐次数为达标成绩，不得分；超过达标成绩，每多做1个得2分；未达到达标成绩，每少做1个扣1分.若一分钟仰卧起坐总积分超过分，便可得到优秀体育小组称号，请通过计算说明第一组8名女生能否获得该称号.
2．有20筐白菜，以每筐25千克为标准，超过或不足的千克数分别用正、负数来表示，记录如下：
与标准质量的差值（千克） ﹣3 ﹣2 ﹣1.5 0 1 2.5
筐数 1 8 2 3 2 4
(1)20筐白菜中，最重的一筐比最轻的一筐重多少千克？
(2)与标准重量比较，20筐白菜总计超过或不足多少千克？
(3)若白菜每千克售价3元，则出售这20筐白菜可卖多少元？
3．，新华文具用品店最近购进了一批钢笔，进价为每支6元，为了合理定价，在销售前4天试行机动价格，卖出时每支以10元为标准，超过10元的部分记为正，不足10元的部分记为负.文具店记录了这四天该钢笔的售价情况和售出情况，如表所示：
第1天 第2天 第3天 第4天
每支价格相对标准价格（元） +1 0 -1 -2
售出支数（支） 12 15 32 33
（1）填空：第一天售价是____________元，该天赚了____________元钱；
（2）求新华文具用品店这四天出售这种钢笔一共赚了多少钱；
（3）新华文具用品店为了促销这种钢笔，决定从下周一起推出两种促销方式：方式一：购买不超过5支钢笔，每支12元；若超过5支钢笔，则超过部分每支降价4元；方式二：每支售价9元.刘老师在该店购买10支钢笔作为奖品，通过计算说明应选择上述两种促销方式中的哪种方式购买更省钱.
类型八、有理数中24点的计算问题
认真读题，掌握所给出的数之间相互计算的结果，巧妙计算
例8-1．有一种“二十四点”的游戏， 其游戏规则是这样的:任取四个1至13之间的自然数，将这四个数(每个数用且只能用一次)进行加减乘除四则运算，使其结果等于24.例如对,可作如下运算:(上述运算与视为相同方法的运算).
(1)现有四个有理数,运用上述规则写出三种不同方法的运算式，可以使用括号，使其结果等于24.
(2)另有四个有理数,运用上述规则写出使其结果等于24的运算式.
针对训练8
1.你会玩“二十四点”游戏吗？请你在“，，，”这四个数中利用有理数的混合运算，使四个数的运算结果为（每个数只能用一次），写出你的算式 ．
2.有一种“24”点游戏，其游戏规则是：任取一副扑克牌，我们约定A为1，并规定方块、红桃牌为正，黑桃、梅花牌为负．任取4张牌（可使用括号）．每个数用且只用一次，使其结果等于24．
如：抽出4张牌黑桃4、梅花2、方块4、红桃3，可做运算：．
(1)若抽出黑桃3，梅花1，方块5，红桃3，请写出1种算式，并写出计算过程，验证结果为24；
(2)若抽出黑桃3、梅花K、方块8、红桃Q，请写出2种不同的算式，并写出计算过程，验证结果为24；
(3)若抽出黑桃4、梅花7、方块2、红桃3，请设计1种含“乘方”的混合运算的算式，并写出计算过程，验证结果为24．
【答案】(1)见解析
新人教版七年级数学上名师点拨与训练
第2章 有理数的运算
微专题 有理数混合运算的八种类型解题策略
类型一 运用有理数运算法则进行有理数的运算
有理数的混合运算法则
（1）先乘方，再乘除，最后加减；
（2）同级运算，从左到右进行；
（3）如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。
（在进行有理数的运算时：先确定符号，再计算绝对值）
解题策略：在较复杂的混合运算中，要边做边观察，随时调整运算顺序，若无简便方法可用，则通常利用加减号将算式分成几部分，每个部分同时单独计算，最后进行加减运算。
例1-1．计算：
（1）（-+-）×（-18）；
（2）-24-×[2-（-3）2]；
（3）8.4×103-4.8×104．
【解析】（1）根据乘法分配律计算即可；
（2）先计算乘方，再计算乘法，最后计算减法，有括号的先计算括号内的；
（3）根据科学记数法的表示方法计算即可．
解：（1）（-+-）×（-18）
=
=14-15+1
=0；
（2）-24-×[2-（-3）2]
=
=
=-16+1
=-15；
（3）8.4×103-4.8×104．
=8400-48000
=-39600．
针对训练1
1．（1）计算：（-23）-（+67）+27-（-23）；
（2）计算：（-0.1）÷×（-100）；
（3）计算：．
【解析】（1）减法转化为加法，再进一步计算即可；
（2）除法转化为乘法，再计算乘法即可；
（3）利用乘法分配律展开、计算乘方，再计算乘除，最后计算加法即可．
解：（1）（-23）-（+67）+27-（-23）
=-23-67+27+23
=-23+23-67+27
=-40；
（2）
=0.1×2×100
=20；
（3）
=
=-8+12+2
=6．
2．计算：
（1）；
（2）．
【解析】（1）先去括号，再计算减法即可；
（2）按照含乘方的有理数的混合运算顺序计算即可．
解：（1）
=
=
=
=；
（2）
=
=
=-1+3
=2．
3．计算
（1）-40-（+27）+19
（2）（-5）×6×（-）÷22．
【解析】（1）先去括号，再从左到右依次进行计算即可；
（2）先算乘方，再算乘除．
解：（1）原式=-40-27+19
=-67+19
=-48；
（2）原式=5×6×÷4
=5×6××
=6．
类型二、 有理数运算法则进行有理数的运算中的纠错问题
解题策略：认真阅读解题过程，对照有理数运算顺序、运算律、运算法则分析，看解题过程是否违背有理数运算法则、运算律、运算技巧，解这类题关键是掌握运算法则并能够正确计算.
例2-1．下面是小明的计算过程，请仔细阅读．
计算：（-15）÷（-3-）×6．
解：原式=（-15）÷（-）×6 ……第一步
=（-15）÷（-25）……第二步
=-……第三步
并解答下列问题．
（1）解答过程是否有错？
（2）若有在第几步？
（3）错误原因是什么？
【解析】（1）根据有理数的运算顺序和运算法则判断即可得；
（2）依据混合运算顺序和运算法则判断即可得；
（3）由乘除同级运算应该从左到右依次计算和两数相除同号得正判断可得．
解：（1）解答过程有错；
（2）错误出现在第二步和第三步；
（3）第二步运算顺序错误，乘除同级运算应该从左到右依次计算；
第三步有理数的除法法则运用错误，两数相除同号得正．
针对训练2
1..淇淇在计算：时，步骤如下：
解：原式①
②
③
(1)淇淇的计算过程中开始出现错误的步骤是________；（填序号）
(2)请给出正确的解题过程．
【答案】(1)①；
(2)见解析．
【分析】（1）根据有理数的运算法则可知从①计算错误；
（2）根据有理数的运算法则计算即可．
（1）
解：由题意可知：
；
故开始出现错误的步骤是①，
（2）
解：，
，
，
．
【点睛】本题考查含乘方的有理数的运算，解题的关键是掌握运算法则并能够正确计算．
2．（1）计算：（-1）4×|-8|+（-2）3×（）2．
（2）下面是小明同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务．
．
解：2（2x-1）＞3（3x-2）-6……第一步
4x-2＞9x-6-6……第二步
4x-9x＞-6-6+2……第三步
-5x＞-10……第四步
x＞2……第五步
任务一：填空：①以上解题过程中，第二步是依据 _____（运算律）进行变形的；
②第 _____步开始出现错误，这一步错误的原因是 _____；
任务二：请直接写出该不等式的正确解集．
【答案】(1)乘法分配律;(2)五;(3)不等式两边都除以-5，不等号的方向没有改变;
【解析】（1）先算乘方，再算乘法，最后算加法；如果有绝对值，要先做绝对值内的运算；
（2）去分母；去括号；移项；合并同类项；化系数为1，依此即可求解．
解：（1）（-1）4×|-8|+（-2）3×（）2
=1×8-8×
=8-2
=6；
（2），
2（2x-1）＞3（3x-2）-6……第一步，
4x-2＞9x-6-6……第二步，
4x-9x＞-6-6+2……第三步，
-5x＞-10……第四步，
x＞2……第五步，
任务一：填空：①以上解题过程中，第二步是依据乘法分配律（运算律）进行变形的；
②第五步开始出现错误，这一步错误的原因是不等式两边都除以-5，不等号的方向没有改变；
任务二：该不等式的正确解集是x＜2．
故答案为：乘法分配律；五，不等式两边都除以-5，不等号的方向没有改变；x＜2．
3．计算：（--1）×（-24）．
晓莉的计算过程如下：
解：原式=×（-24）-×（-24）-1×（-24）①
=-14-20-24②
=-58③
请问晓莉的计算过程正确吗？如果不正确，请指出开始出错的步骤，并写出正确的计算过程．
【解析】晓莉的做法错误，第二步出错，写出正确的解答过程即可．
解：晓莉的做法错误，第②步出错，
正确解法为：
原式=×（-24）-×（-24）-1×（-24）
=-14+20+24
=30．
4．下面是佳佳同学的一道题的解题过程：
2÷（-）×（-3）
=[2÷（-）+2]×（-3），①
=2×（-3）×（-3）+2×4×（-3），②
=18-24，③
=6，④
（1）佳佳同学开始出现错误的步骤是 _____；
（2）请给出正确的解题过程．
【答案】①
【解析】根据有理数的混合运算顺序计算即可．
解：（1）佳佳同学开始出现错误的步骤是①．
故答案为：①．
（2）2÷（-）×（-3）
=
=2×（-12）×（-3）
=72．
类型三、 运用运算律进行有理数混合运算
加法运算律
有理数乘法运算
加法的交换律、结合律
例3-1．计算：.
解析：拆分后把互为相反数结合在一起进行计算.
答案：原式
解析：原式
.
针对训练3-1
1．计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
答案：解：（1）原式；
（2）原式；
（3）原式；
（4）原式.
解析：同分母的交换位置同分母的结合，互为相反数的结合在一起，符号相同的结合在一起.
2．计算：
答案：
解析：
.
3．计算题：
（1）.
（2）.
答案：（1）
（2）
解析：（1）原式
；
（2）原式
.
【点睛】本题主要考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握有理数加、减法运算法则，是解题的关键
乘法的交换律、结合律、分配律
例3-2．计算：.
甲同学的解法：.
乙同学的解法：.
丙同学的解法：原式的倒数为.
所以.
(1)解法正确的同学是__________.
(2)计算：.
答案：(1)甲、丙
(2)
解析：(1)根据甲，乙，丙同学的解法计算，可知甲，丙同学的解法是正确的，
乙同学应用了除法的分配律，而除法是没有分配律的，故乙是错误的.
故答案为：甲、丙.
(2)依据丙同学的解法可得：
原式的倒数为，
，
，
，
，
所以.
针对训练3-2
1．计算下面各题.（能简算的要简算）
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）.
答案：（1）5
（2）
（3）11
（4）
（5）
（6）
解析：（1）原式
；
（2）原式
；
（3）原式
；
（4）原式
；
（5）原式
；
（6）原式
；
2．计算：
（1）;
（2）.
答案：(1)
(2)-24
解析：（1）原式
（2）原式.
3．（1）;
（2）.
答案：（1）
（2）
解析:（1）原式
（2）原式;
类型四、 新定义运算
正确地理解新定义的算式含义，然后严格按照新定义的计算程序，将数值代入，转化为常规的有理数混合运算算式进行计算.
例4-1．已知x、y为有理数，现规定一种新运算※，满足x※y=xy+1．
（1）求2※4的值；
（2）求（1※4）※（-2）的值．
【解析】（1）根据※的含义，以及有理数的混合运算的运算方法，求出2※4的值是多少即可．
（2）根据※的含义，以及有理数的混合运算的运算方法，求出（1※4）※（-2）的值是多少即可．
解：（1）2※4
=2×4+1
=8+1
=9
（2）（1※4）※（-2）
=（1×4+1）※（-2）
=5※（-2）
=5×（-2）+1
=-10+1
=-9
针对训练4
1．对于任意有理数a,b,定义运算：a⊙b=a（a+b）-1，等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如，2⊙5=2×（2+5）-1=13；（-3）⊙（-5）=-3×（-3-5）-1=23．
（1）求（-2）⊙3的值；
（2）对于任意有理数m,n,请你重新定义一种运算“ ”，使得5 3=20，写出你定义的运算：m n=_____（用含m,n的式子表示）．
【答案】3m+2+n
【解析】（1）根据a⊙b=a（a+b）-1，可以求得题目中所求式子的值；
（2）根据题意只要写出一个符合要求的式子即可，这是一道开放性题目，答案不唯一．
解：（1）∵a⊙b=a（a+b）-1，
∴（-2）⊙3
=（-2）×[（-2）+3]-1
=（-2）×-1
=（-3）-1
=-4；
（2）∵5 3=20，
∴m n=3m+2+n,
故答案为：3m+2+n.
2．在学习完《有理数》后，小奇对运算产生了浓厚的兴趣．借助有理数的运算，定义了一种新运算“ ”，规则如下：a b=a×b+2×a.
（1）求2 （-1）的值；
（2）求-3 （-4 ）的值；
（3）试用学习有理数的经验和方法来探究这种新运算“ ”是否具有交换律？请写出你的探究过程．
【解析】（1）将a=2，b=-1代入a b=a×b+2×a计算可得；
（2）根据法则，先计算-4 =-10，再计算-3 （-10）可得；
（3）计算2 （-1）和（-1） 2即可得出答案．
解：（1）2 （-1）=2×（-1）+2×2
=-2+4
=2；
（2）-3 （-4 ）
=-3 [-4×+2×（-4）]
=-3 （-2-8）
=-3 （-10）
=（-3）×（-10）+2×（-3）
=30-6
=24；
（3）不具有交换律，
例如：2 （-1）=2×（-1）+2×2=-2+4=2；
（-1） 2=（-1）×2+2×（-1）=-2-2=-4，
∴2 （-1）≠（-1） 2，
∴不具有交换律．
3．定义☆运算
观察下列运算：
（+3）☆（+15）=+18 （-14）☆（-7）=+21
（-2）☆（+14）=-16 （+15）☆（-8）=-23
0☆（-15）=+15 （+13）☆0=+13
（1）请你认真思考上述运算，归纳☆运算的法则：
两数进行☆运算时，同号_____，异号_____．
特别地，0和任何数进行☆运算，或任何数和0进行☆运算，_____．
（2）计算：（+11）☆[0☆（-12）]=_____．
（3）若2×（2☆a）-1=3a,求a的值．
【答案】(1)两数运算取正号，再把绝对值相加;(2)两数运算取负号，再把绝对值相加;(3)等于这个数的绝对值;(4)23;
【解析】（1）根据题目中的例子可以将题目中的空填写完整；
（2）根据（1）中的结论可以解答本题；
（3）根据（1）中的结论，利用分类讨论的思想可以解答本题．
解：（1）两数进行☆运算时，同号两数运算取正号，再把绝对值相加，异号两数运算取负号，再把绝对值相加，
特别地，0和任何数进行☆运算，或任何数和0进行☆运算，等于这个数的绝对值，
故答案为：两数运算取正号，再把绝对值相加；两数运算取负号，再把绝对值相加；等于这个数的绝对值；
（2）（+11）☆[0☆（-12）]
=（+11）☆12
=11+12
=23，
故答案为：23；
（3）①当a=0时，左边=2×2-1=3，右边=0，左边≠右边，所以a≠0；
②当a＞0时，2×（2+a）-1=3a,a=3；
③当a＜0时，2×（-2+a）-1=3a,a=-5；
综上所述，a为3或-5．
4．用“ ”规定一种新运算：对于任意有理数a和b,规定a b=ab2+2ab+a.
如1 3=1×32+2×1×3+1=16．
（1）求2 （-1）的值；
（2）若（a-1） 3=32，求a的值；
（3）若m=2 x,n=（x） 3（其中x为有理数），试比较m、n的大小．
【解析】（1）根据“ ”规定一种新运算：对于任意有理数a和b,规定a b=ab2+2ab+a即可求解；
（2）根据“ ”规定一种新运算：对于任意有理数a和b,规定a b=ab2+2ab+a列出方程即可求解；
（3）根据“ ”规定一种新运算：对于任意有理数a和b,规定a b=ab2+2ab+a分别表示m和n,进行比较即可．
解：（1）2 （-1）
=2×（-1）2+2×2×（-1）+2
=2-4+2
=0；
答：2 （-1）的值为0；
（2）（a-1） 3=32
（a-1）×32+2（a-1）×3+（a-1）=32
9a-9+6a-6+a-1=32
16a=48
解得a=3
答：a的值为3；
（3）∵m=2 x,n=（x） 3
∴m-n=（2x2+4x+2）-（x+x+x）
=2x2+2≥2＞0，
∴m＞n.
类型五、 利用程序流程进行计算
正确地理解转换器规定的运算顺序，然后严格按照转换器的计算程序，将数值代入，转化为常规的有理数混合运算算式进行计算.
例5-1．在数学活动课上，同学们利用如图所示的程序进行计算，计算按箭头指向循环进行．如，当初始输入5时，即x=5，第1次计算结果为16，第2次计算结果为8，第3次计算结果为4，…
（1）当初始输入1时，第1次计算结果为_____；
（2）当初始输入4时，第3次计算结果为_____；
（3）当初始输入3时，依次计算得到的所有结果中，有_____个不同的值，第20次计算结果为_____．
【答案】(1)4;(2)4;(3)7;(4)4;
【解析】（1）把x=1代入指定的关系式求值即可；
（2）把x=4代入指定的关系式计算第1次的结果，再根据结果的奇偶数，进行第2次运算，依此类推，求出第3次计算结果即可；
（3）把x=3代入指定的关系式计算第1次的结果，再根据结果的奇偶数，进行第2次运算……依此类推，发现其计算结果有规律，按照规律，求出第20次计算结果即可；
解：（1）当x=1时，3x+1=4，
故答案为：4；
（2）当x=4时，第1次结果为：=2，第2次结果为=1，第3次结果为3x+1=4；
故答案为：4；
（3）当x=3时，
第1次结果为：3x+1=10，第2次结果为=5，第3次结果为3x+1=16；第4次结果为=8，
第5次结果为=4，第6次结果为=2，第7次结果为=1，
第8次结果为3x+1=4，……
∵（20-4）÷3=5……1，
∴第20次运算的结果为4．
∴有7个不同的值，
故答案为：7，4．
针对训练5
1．如图是一个运算程序：
（1）若x=-2，y=3，求m的值；
（2）若x=4，输出结果m的值与输入y的值相同，求y的值．
【解析】（1）若x=-2，y=3，根据-2＜3，把x、y的值代入|x|-3y即可．
（2）若x=4，输出结果m的值与输入y的值相同，则y=m,分两种情况：4＞m；4≤m,求出y的值是多少即可．
解：（1）∵x=-2，y=3，-2＜3，
∴x＜y,
∴m=|-2|-3×3=-7．
（2）∵x=4，输出结果m的值与输入y的值相同，
∴y=m,
①4＞m时，
∵|4|+3m=m,
解得m=-2，符合题意．
②4≤m时，
∵|4|-3m=m,
∴4-3m=m,
解得m=1，不符合题意，
∴y=-2．
2．有一数值转换器，原理如图所示，如果开始输入x的值是34，则第一次输出的结果是17，第二次输出的结果是52，……，那么第2022次输出的结果是_____.
答案：2
解析：第一次输出的结果是：，
第二次输出的结果是：，
第三次输出的结果是：，
第四次输出的结果是：，
第五次输出的结果是：，
第六次输出的结果是：，
第七次输出的结果是：，
第八次输出的结果是：，
第九次输出的结果是：，
第十次输出的结果是：，
第十一次输出的结果是：，
第十二次输出的结果是：，
第十三次输出的结果是：，
第十四次输出的结果是：，
…，
从第十一次开始，输出的结果分别是4、2、1，…，不断循环出现，
，
第2022次输出的结果是2.
故答案为：2.
3．如图所示是计算机某计算程序，若开始输入，则最后输出的结果是______.
答案：28
解析：把代入得：，
.
故答案为：28.
4．如图所示的运算程序中，若开始输入的n值为5，第1次输出的结果为16，第2次输出的结果为8，则
（1）第6次输出的结果为___________；
（2）第2023次输出的结果为__________.
答案：（1）4
（2）2
解析：根据运算程序可得，第1次输出的结果为16，第2次输出的结果为8，第3次输出的结果为，第4次输出的结果为，第5次输出的结果为，第6次输出的结果为，第7次输出的结果为，第8次输出的结果为，…，所以从第3次开始，后面每3次输出的结果为一个循环.因为，所以第2023次输出的结果与第4次输出的结果相同，所以第2023次输出的结果为2.
5．如图是一个数值运算程序，当输入的数是-3时，输出的数是_________.
答案：81
解析：依题图可得，，，，，.故输出的数为81.
类型六、阅读理解运算过程方法进行计算
根据阅读材料提供的方法、法则、运算规则进行运算，解题的关键是通过阅读理解掌握并运用材料所提供的方法、法则正确运算。
例6-1．阅读材料：
用“☆”定义一种新运算：
下列是按照“☆”运算的运算法则进行运算的算式：
（+3）☆（+2）=+5；
（-5）☆（-4）=+9；
（-2）☆（+6）=-8；
（-5）☆（+2）=-7；
（+5）☆（-7）=-12；
（+4）☆（-2）=-6；
0☆（+2）=2；
0☆（-10）=10；
（+3）☆0=3；
（-4）☆0=4．
请你完成下列问题：
（1）归纳“☆”运算的运算法则：两数进行“☆”运算时，_____．特别地，0与任何数进行“☆”运算，或任何数与0进行“☆”运算时，_____．
（2）计算：（-3）☆[0☆（+2）]=_____．（括号的作用与它在有理数运算中的一致）
（3）我们知道加法有交换律和结合律，请你说明，这两种运算律在有理数的“☆”运算中是否适用．
【答案】(1)同号得正，异号得负，并把绝对值相加;(2)都得这个数的绝对值;(3)-5;
【解析】（1）两数进行“☆”运算时，同号得正，异号得负，并把绝对值相加；0与任何数进行“☆”运算，或任何数与0进行“☆”运算时，都得这个数的绝对值；
（2）先算括号里面的，再算括号外面的；
（3）加法有交换律和结合律，这两种运算律在有理数的“☆”运算中还适用．
解：（1）归纳“☆”运算的运算法则：两数进行“☆”运算时，同号得正，异号得负，并把绝对值相加．特别地，0与任何数进行“☆”运算，或任何数与0进行“☆”运算时，都得这个数的绝对值．
（2）（-3）☆[0☆（+2）]
=（-3）☆（+2）
=-5．
故答案为：（1）同号得正，异号得负，并把绝对值相加；（2）都得这个数的绝对值；-5．
（3）根据（1）、（2）的运算结果知，交换律和结合律在有理数的“☆”运算中是适用的．
针对训练6
1．阅读下面的材料，回答问题：
（1）计算：+++的值时，我们用如下方法：
+++=+++=1-+-+-+-=1-=
（2）式子“1+2+3+4+…+100”表示从1开始的100个连续自然数的和，由于式子比较长，书写不便，为了简便，我们将其表示为n,这里符号“”表示求和的意思．即n=1+2+3+4+…+100=5050.=1+++=．
①计算：1++++=_____．
②求：=中x的值．
【答案】
【解析】（1）利用有理数的运算法则进行计算；
（2）利用“”表示求和的意思得到+++…+=，再把等式左边利用规律计算得到=，整理得x2+3x+2=0，然后利用因式分解法解方程．
解：（1）1++++=；
故答案为；
（2）∵=，
∴+++…+=，
∴1-+-+…+-=，
∴=，
∴x2+3x+2=0，
（x+2）（x+1）=0，
∴x1=-2，x2=-1．
2．阅读材料：求1+2+22+23+42+ +22019的值．
解：设S=1+2+22+23+42+ +22019
将等式两边同时乘以2，得2S=2+22+23+42+25+ +22019+22020
将下式减去上式，得S=22020-1
即1+2+22+23+42+ +22019=22020-1
请你仿照此法计算：
（1）1+5+52+53+ +510
（2）
【解析】（1）设M=1+5+52+53+ +510，将等式两边同时乘以5，然后按照材料中的方法进行计算，即可得到答案；
（2）设，将等式两边同时乘以3，然后按照材料中的方法进行计算，即可得到答案．
解：（1）根据材料，设M=1+5+52+53+ +510①，
∴将等式两边同时乘以5，则5M=5+52+53+ +510+511②，
由②-①，得：4M=511-1，
∴，
∴．
（2）根据材料，设③，
∴将等式两边同时乘以3，④，
由④-③，得：，
∴，
∴．
3．阅读下列解题过程：
计算：．
分析：利用倒数的意义，先求出原式的倒数，再得原式的值．
解：
=
=-16+18-21
=-19．
所以原式=．
根据阅读材料提供的方法，完成下面的计算：
．
【解析】根据材料提示运用倒数的意义，先计算原式的倒数，结果再求倒数，由此即可求解．
解：
=
=
=
=-21+14-24+35
=14+35-（21+24）
=49-45
=4，
∴原式=．
4．先阅读下列材料，再解决问题：
学习数轴之后，数学课外活动小组的同学发现在数轴上到两点之间距离相等的点，可以用表示这两点的数值来确定．如：①到点2和点6距离相等的点表示的数是4，则有这样的关系：4=×（2+6）；②到点-5和点-9距离相等的点表示的数是-7，有这样的关系-7=×[（-5）+（-9）]．
解决问题：根据上述规律完成下列各题：
（1）到点35和85距离相等的数是多少？
（2）到点-和距离相等的点表示的数是多少？
（3）到点-14和点-32距离相等的点表示的数是多少？你能说出你得到的规律吗？在数轴上到两个点距离相等的点表示的数为这两个点所表示数之和的一半．
【解析】根据题目提供的方法，数轴上到两点之间距离相等的点所表示的数等于这两点所表示的数的和的一半，利用这一规律逐个进行计算即可．
解：（1）=60，
∴到点35和85距离相等的数是60；
（2）=-，
∴到点-和距离相等的点表示的数是-；
（3）=-23，
∴到点-14和点-32距离相等的点表示的数是-23；
规律：在数轴上到两个点距离相等的点表示的数为这两个点所表示数之和的一半．
5．阅读：，，，…．
问：（1）=_____；
（2）=_____；
（3）计算：．
【答案】(1)-;(2);
【解析】（1）由题干规律得，=-；
（2）++++…+=1-+-+-+…--=1-=；
（3）++…+=（1-+-+…-）=（1-）=×=．
解：（1）由题意可得，
=-，
故答案应为：-．
（2）∵，，，…，=-，
∴
==1-+-+-+…--
==1-
=，
故答案应为：．
（3）∵==（1-），==（），（），…
∴++…+
=（1-+-+…-）
=（1-）
=×
=．
类型七、有理数的混合运算的实际问题
理解题意，正确列式表示问题中的数量关系，按照有理数运算法则，运算顺序正确解答。
例7-1 .在疫情期间，某县城为了保障学校学生的正常学习，需每天抽取不低于总学生人数的进行核酸抽检．为了更好地统计每天抽测的学生人数，医务人员以每天抽测2000人为标准，超过的人数记作正，不足的人数记作负．下表是该县城学校一周核酸抽检情况的记录（单位：人）：
星期 一 二 三 四 五
与标准的差/人
(1)该县城哪天抽检的学生人数最多？哪天抽检的最少？分别是多少人？
(2)聪明的你，帮医务人员计算下这周该县城总共核酸抽检了学生多少人？
【答案】(1)该县城星期一抽检的学生人数最多，最多为2021人；星期五抽检的学生人数最少，最少为1974人
(2)9990人
【分析】本题考查正负数的实际应用，涉及有理数混合运算等，看懂统计表格，由问题直接求解即可得到答案，熟记正负数表示相反意义的量及有理数相关运算法则是解决问题的关键．
（1）根据正数和负数的实际意义列式计算即可；
（2）根据正数和负数的实际意义列式计算即可．
【详解】（1）解：由统计表可知，该县城星期一抽检的学生人数最多，人数为：（人）；
由统计表可知，该县城星期五抽检的学生人数最少，人数为：（人）；
（2）解：
（人），
答：这周该县城总共核酸抽检了学生9990人．
针对训练7
1．体育课上全班女生进行了一分钟仰卧起坐测验，达标成绩为个.下面是第一组8名女生的成绩记录，其中“+”号表示超过达标成绩的个数，“-”表示不足达标成绩的个数.
，0，，，，，，.
(1)第一组名女生中最好成绩与最差成绩相差______个；
(2)求第一组名女生的平均成绩为多少
(3)规定：一分钟仰卧起坐次数为达标成绩，不得分；超过达标成绩，每多做1个得2分；未达到达标成绩，每少做1个扣1分.若一分钟仰卧起坐总积分超过分，便可得到优秀体育小组称号，请通过计算说明第一组8名女生能否获得该称号.
答案：(1)
(2)
(3)见解析
解析：（1）(个)，
故答案为：.
（2）(个)，
(个)，
(个)，
答：第一组8名女生的平均成绩为个；
（3）
(分)，
，
即可得到优秀体育小组称号.
2．有20筐白菜，以每筐25千克为标准，超过或不足的千克数分别用正、负数来表示，记录如下：
与标准质量的差值（千克） ﹣3 ﹣2 ﹣1.5 0 1 2.5
筐数 1 8 2 3 2 4
(1)20筐白菜中，最重的一筐比最轻的一筐重多少千克？
(2)与标准重量比较，20筐白菜总计超过或不足多少千克？
(3)若白菜每千克售价3元，则出售这20筐白菜可卖多少元？
答案：(1)5.5千克
(2)不足10千克
(3)1470元
解析：（1）最重的一筐比标准重2.5千克，最轻的一筐比标准轻3克，
故最重的一筐比最轻的一筐重：（千克），
答：最重的一筐比最轻的一筐重5.5千克.
（2），
答：20筐白菜总计不足10千克，
（3）（元），
答：出售这20筐白菜可卖1470元.
3．，新华文具用品店最近购进了一批钢笔，进价为每支6元，为了合理定价，在销售前4天试行机动价格，卖出时每支以10元为标准，超过10元的部分记为正，不足10元的部分记为负.文具店记录了这四天该钢笔的售价情况和售出情况，如表所示：
第1天 第2天 第3天 第4天
每支价格相对标准价格（元） +1 0 -1 -2
售出支数（支） 12 15 32 33
（1）填空：第一天售价是____________元，该天赚了____________元钱；
（2）求新华文具用品店这四天出售这种钢笔一共赚了多少钱；
（3）新华文具用品店为了促销这种钢笔，决定从下周一起推出两种促销方式：方式一：购买不超过5支钢笔，每支12元；若超过5支钢笔，则超过部分每支降价4元；方式二：每支售价9元.刘老师在该店购买10支钢笔作为奖品，通过计算说明应选择上述两种促销方式中的哪种方式购买更省钱.
答案：（1）11，60
（2）这四天出售这种钢笔一共赚了282元
（3）使用方式二购买省钱
解析：（1）11；60.
（2）第一天：元；第二天：元，
第三天：元；第四天：元，
（元）.
答：这四天出售这种钢笔一共赚了282元.
（3）刘老师使用方式一购买10支钢笔时，
需用元，
刘老师使用方式二购买10支钢笔时，需用元，
，
使用方式二购买省钱.
类型八、有理数中24点的计算问题
认真读题，掌握所给出的数之间相互计算的结果，巧妙计算
例8-1．有一种“二十四点”的游戏， 其游戏规则是这样的:任取四个1至13之间的自然数，将这四个数(每个数用且只能用一次)进行加减乘除四则运算，使其结果等于24.例如对,可作如下运算:(上述运算与视为相同方法的运算).
(1)现有四个有理数,运用上述规则写出三种不同方法的运算式，可以使用括号，使其结果等于24.
(2)另有四个有理数,运用上述规则写出使其结果等于24的运算式.
答案：(1)(答案不唯一);;
(2)
针对训练8
1.你会玩“二十四点”游戏吗？请你在“，，，”这四个数中利用有理数的混合运算，使四个数的运算结果为（每个数只能用一次），写出你的算式 ．
【答案】
【分析】认真读题，完全掌握，，，各数之间的相互计算的结果，培养学生的计算能力．
首先将12与相加得8，然后和2与1的和相乘，结果得24．
【详解】解：，，
．
故答案为：
2.有一种“24”点游戏，其游戏规则是：任取一副扑克牌，我们约定A为1，并规定方块、红桃牌为正，黑桃、梅花牌为负．任取4张牌（可使用括号）．每个数用且只用一次，使其结果等于24．
如：抽出4张牌黑桃4、梅花2、方块4、红桃3，可做运算：．
(1)若抽出黑桃3，梅花1，方块5，红桃3，请写出1种算式，并写出计算过程，验证结果为24；
(2)若抽出黑桃3、梅花K、方块8、红桃Q，请写出2种不同的算式，并写出计算过程，验证结果为24；
(3)若抽出黑桃4、梅花7、方块2、红桃3，请设计1种含“乘方”的混合运算的算式，并写出计算过程，验证结果为24．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】此题考查有理数的混合运算，注意数字的正负，巧妙利用计算解决问题．
（1）所给的数字为：、、5、3；
（2）所给的数字为：、、8、12；
（3）所给的数字为：、、2、3；
利用数字特点，注意数字符号：选用运算符号解决问题即可．
【详解】（1）（1）答案不唯一，如
；
（2）①答案不唯一，如
；
②答案不唯一，如
；
（3）答案不唯一，如
．
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