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新人教版七年级数学上名师点拨与训练
第2章 有理数的运算
本章复习与小结
一、知识框架
二、知识点梳理
知识点1:有理数的运算
1 ．法则：
（1）加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．③一个数同0相加，仍得这个数．
（2）减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数．即a-b=a+(-b) ．
（3）乘法法则：①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．②任何数同0相乘，都得0．
（4）除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．即a÷b=a·(b≠0) ．
（5）乘方运算的符号法则：①负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；②正数的任何次幂都是正数，0的任何非零次幂都是0．
　 (6)有理数的混合运算顺序：①先乘方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行；
③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．
注意：“奇负偶正”口诀的应用：
（1）多重负号的化简，这里奇偶指的是“－”号的个数，例如：－[－（－3）]=－3，
－[+（－3）]=3．
（2）有理数乘法，当多个非零因数相乘时，这里奇偶指的是负因数的个数，正负指结果中积的符号，例如：（－3）×（－2）×（－6）=－36，而（－3）×（－2）×6=36．
（3）有理数乘方，这里奇偶指的是指数，当底数为负数时，指数为奇数，则幂为负；指数为偶数，则幂为正，例如： ， ．
2．运算律：
（1）交换律: ① 加法交换律:a+b=b+a； ②乘法交换律:ab=ba；
（2）结合律: ①加法结合律： (a+b)+c=a+(b+c)； ②乘法结合律：（ab）c=a(bc)
（3）分配律：a(b+c)=ab+ac
知识点02:有理数的大小比较
比较大小常用的方法有：（1）数轴比较法；（2）法则比较法：正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小；(3) 作差比较法．（4）作商比较法；（5)倒数比较法．
知识点03:科学记数法、近似数及精确度
1.科学记数法：把一个大于10的数表示成的形式（其中，是正整数），此种记法叫做科学记数法．例如：200 000=．
2.近似数：接近准确数而不等于准确数的数，叫做这个精确数的近似数或近似值.如长江的长约为6300㎞，这里的6300㎞就是近似数.
要点诠释：一般采用四舍五入法取近似数，只要看要保留位数的下一位是舍还是入.
3.精确度：一个近似数四舍五入到哪一位，就称这个数精确到哪一位，精确到的这一位也叫做这个近似数的精确度.
注意：
精确度是指近似数与准确数的接近程度.
三、高频考点
1倒数
例1．的倒数是( )
A. B.2024 C. D.
针对训练1
1．一个数的倒数是,这个数是( )
A.1.25 B.0.75 C. D.
2．已知：a与b互为相反数，c与d互为倒数，x的平方是16，y是最大的负整数.求：.
2.有理数的加减
例2 .小明家购置了一辆续航为（能行驶的最大路程）的新能源纯电汽车，他将汽车充满电后连续7天每天行车电脑上显示的行驶路程记录如下表（单位：，以为标准，超过部分记为“”，不足部分记为“” ．已知该汽车第三天行驶了，第六天行驶了．
第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天
■ ●
（1）“■”处的数为 　　，“●”处的数为 　　；
（2）已知小明家这款汽车在行驶结束时，若剩余电量不足续航的，行车电脑就会发出充电提示．请通过计算说明该汽车第七天行驶结束时，行车电脑会不会发出充电提示．
针对训练2
1.已知有理数、在数轴上对应的点如图所示，则下列式子正确的是　　
A． B． C． D．
2．计算：.
3．一辆货车从超市出发，向东走3千米到达小彬家，继续向东走2.5千米到达小颖家，然后向西走10千米到达小明家，最后回到超市.
（1）以超市为原点，以向东的方向为正方向，用1个单位长度表示1千米，在数轴上表示出小明家、小彬家、小颖家的位置；
（2）小明家离小彬家多远？
（3）货车一共行驶了多少千米？
（4）货车每千米耗油0.1升，这次共耗油多少升？
3.有理数的加减运算律
例3 .计算题：
（1）.
（2）.
针对训练3
1．计算：（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
2．计算
(1).
(2).
(3)
(4).
4.有理数的乘除
例4．计算：
（1）；
（2）.
针对训练4
1．10袋小麦称重后记录如下表（单位：kg），要求每袋小麦的重量控制在kg，即每袋小麦的重量不高于91.5kg，不低于88.5kg.
小麦的袋数 1 3 2 1 2 1
小麦的重量 88.1 89 89.8 90.6 91 91.8
（1）这10袋小麦中，不符合要求的有____________袋；
（2）将符合要求的小麦以90kg为标准，超出部分记为正，不足的记为负数；
（3）求符合要求的小麦一共多少千克？
2．计算：
(1)；
(2).
3．对于任何数，我们所定运算为：.
（1）计算.
（2）计算.
5.有理数乘除运算律
例5．计算：.
针对训练5
1．先计算，再阅读材料，解决问题：
（1）计算：.
（2）认真阅读材料，解决问题：
计算：.
分析：利用通分计算的结果很麻烦，可以采用以下方法进行计算：
解：原式的倒数是：
.
故原式.
请你根据对所提供材料的理解，选择合适的方法计算：.
3．计算：
(1)
(2)
(3)
6 .乘方的意义
.若一个算式中，是底数，4是指数，则这个算式是（　　）
A． B． C． D．
针对训练6
1 .把下列各式写成乘方的形式，并指出底数和指数各是什么．
(1)(－3.14)×(－3.14)×(－3.14)×(－3.14)×(－3.14)；
(2)×××××；
(3)m·m·m·…·m,(2n个m)．
2 .代数式化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
3 .把写成乘方形式 ．
有理数的混合运算
例7．（-5）3×（-）-32÷（-2）2×（+）
针对训练7
1．计算：
（1）；
（2）．
2．计算：
①3+（-11）-（-9）；
②．
3．计算：．
4．-32×（-2）+42÷（-2）3-|-22|
有理数混合运算的实际应用
例8．一天小明和冬冬利用温差来测量山峰的高度．冬冬在山脚测得的温度是4℃，小明此时在山顶测得的温度是2℃，已知该地区高度每升高100米，气温下降0.8℃，问这个山峰有多高？
针对训练8
1．某一出租车一天下午以鼓楼为出发地在东西方向营运，向东走为正，向西走为负，行车里程（单位：km）依先后次序记录如下：
+9，-3，-5，+4，-8，+6，-3，-6，-4，+10．
（1）将最后一名乘客送到目的地，出租车离鼓楼出发点多远？在鼓楼的什么方向？
（2）若每千米的价格为2.4元，司机一个下午的营业额是多少？
2．在质量检测中，从每盒标准质量为125克的酸奶中，抽取6盒，结果如表：
编号 1 2 3 4 5 6
质量（克） 126 127 124 126 123 125
差值（克） +1 _____ _____ _____ _____ _____
（1）补全表格中相关数据；
（2）请你利用差值列式计算这6盒酸奶的质量和．
3．商人小周于上周日收购某农产品10000kg.每千克2.3元，进入批发市场后共占5个摊位，每个摊位最多容纳2000kg该农产品，每个摊位的市场管理价为每天20元，批发市场该农产品上周日的批发价为每千克2.4元，下表为本周内该农产品每天的批发价格比前一天的涨跌情况（涨记为正，跌记为负）．
星期 一 二 三 四 五
与前一天的价格涨跌情况（元） +0.3 -0.1 +0.25 +0.2 -0.5
当天的交易量（千克） 2500 2000 3000 1500 1000
（1）星期四该农产品价格为每千克多少元？
（2）本周内该农产品最高价格为每千克多少元？最低价格为每千克多少元？
（3）小周在销售过程中采用逐步减少摊位个数的方法来降低成本，增加效益，这样他在本周的买卖中共赚了多少钱？请你帮他算一算．
4．“水是生命之源”，市自来水公司为鼓励用户节约用水，按以下规定收取水费：
用水量/月 单价（元/吨）
不超过20吨的部分 1.8
超过20吨但不超过30吨的部分 2.7
超过30吨的部分 3.6
注意：另外每吨用水加收0.95元的城市污水处理费．
例如某用户2月份用水18吨，共需交纳水费18×（1.8+0.95）=49.5元；3月份用水22吨，共需交纳水费20×（1.8+0.95）+（22-20）×（2.7+0.95）=55+7.3=62.3元．
（1）该用户4月份用水20吨，共需交纳水费多少元？该用户5月份用水30吨，共需交纳水费多少元？
（2）该用户6月份共交纳水费84.2元，则该用户6月份用水多少吨？
9.科学计数法
例9．用科学记数法表示下列题目中的数：
（1）1000000000；
（2）青藏高原是世界上海拔最高的高原，它的面积是2500000平方千米；
（3）月球表面某一时刻的温度高达127℃；
（4）以纳米为单位表示0.873米．
针对训练9
1．下列用科学记数法表示的数，原来各是什么数？
（1）2×105；
（2）5.18×103；
（3）7.04×106．
2．已知A种细菌在培养过程中，每隔半小时由1个分裂成2个，在培养皿中约有3×220个细菌，其中A种细菌占所有细菌的．
（1）已知A种细菌的直径是0.0000004米，用科学记数法表示是 _____米；
（2）求经过多少小时，A种细菌的数量为220个？
（3）经过5小时，给培养皿中滴入针对A种细菌的杀菌剂，若1滴杀菌剂可以杀死210个A种细菌，则杀死该培养皿中所有A种细菌需多少滴杀菌剂？
3．我们平常用的数都是十进制的，如：3456=3×103+4×102+5×101+6．表示十进制的数要用10个数码（又叫数字）：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9．电子计算机中用的二进制只有两个数码：0，1．二进制数可以转化为十进制数，如：二进制数101=1×22+0×21+1，等于十进制数5；二进制数10110=1×24+0×23+1×22+1×21+0，等于十进制数22，那么二进制数11010等于十进制数多少呢？
4．已知10×102=1000=103，102×102=10000=104，102×103=100000=105
猜想：106×104=_____，10m×10n=_____（m、n均为正整数）
运用上述结论计算下式：（-6.4×103）×（2×106）
10 .近似数
例10．用四舍五入方法，按下列要求对 159 897 000 000 分别取近似值：
（1）精确到千万位；
（2）精确到亿位；
（3）精确到百亿位．
针对训练10
1.下列数据中，不是近似数的是(　　)
A．某次地震中，伤亡10万人
B．吐鲁番盆地低于海平面155m
C．小明班上有45人
D．小红测得数学书的长度为21.0cm
2．用四舍五入法，对下列各数按括号中的要求取近似数：
（1）0.6328（精确到0.01）
（2）7.9122（精确到个位）
（3）130.96（精确到十分位）
（4）46021（精确到百位）
3．据了解，火车票价按“”的方法来确定，已知A站至H站总里程数为1200千米，全程参考价为180元，下表是沿途各站至H站的里程数（单位：千米）：
车站名 A B C D E F G H
各站至H站的里程数 1200 1030 910 620 450 219 98 0
例如：要确定B站至D站火车票价，其票价为（元）；
（1）C站与F站的实际乘车里程数为 _____千米；
（2）求A站至F站的火车票价（精确到1元）；
（3）旅客张大妈乘火车去女儿家，上车过两站后，她拿着车票问乘务员：“我已经过了两站了，我快到站了吗？”乘务员看到王大妈手中的票价是87元，马上说下一站就到了，请向王大妈是在哪一站下车？（要求写出解答过程）
4．下列由四舍五入法得到的近似数，各精确到哪一位？
（1）150.1；
（2）0.618；
（3）3.14159；
（4）4.0013；
（5）360；
（6）32.14万．
5.近似数的准确数的范围是（　　）
A． B．
C． D．
新人教版七年级数学上名师点拨与训练
第2章 有理数的运算
本章复习与小结
一、知识框架
二、知识点梳理
知识点1:有理数的运算
1 ．法则：
（1）加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．③一个数同0相加，仍得这个数．
（2）减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数．即a-b=a+(-b) ．
（3）乘法法则：①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．②任何数同0相乘，都得0．
（4）除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．即a÷b=a·(b≠0) ．
（5）乘方运算的符号法则：①负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；②正数的任何次幂都是正数，0的任何非零次幂都是0．
　 (6)有理数的混合运算顺序：①先乘方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行；
③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．
注意：“奇负偶正”口诀的应用：
（1）多重负号的化简，这里奇偶指的是“－”号的个数，例如：－[－（－3）]=－3，
－[+（－3）]=3．
（2）有理数乘法，当多个非零因数相乘时，这里奇偶指的是负因数的个数，正负指结果中积的符号，例如：（－3）×（－2）×（－6）=－36，而（－3）×（－2）×6=36．
（3）有理数乘方，这里奇偶指的是指数，当底数为负数时，指数为奇数，则幂为负；指数为偶数，则幂为正，例如： ， ．
2．运算律：
（1）交换律: ① 加法交换律:a+b=b+a； ②乘法交换律:ab=ba；
（2）结合律: ①加法结合律： (a+b)+c=a+(b+c)； ②乘法结合律：（ab）c=a(bc)
（3）分配律：a(b+c)=ab+ac
知识点02:有理数的大小比较
比较大小常用的方法有：（1）数轴比较法；（2）法则比较法：正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小；(3) 作差比较法．（4）作商比较法；（5)倒数比较法．
知识点03:科学记数法、近似数及精确度
1.科学记数法：把一个大于10的数表示成的形式（其中，是正整数），此种记法叫做科学记数法．例如：200 000=．
2.近似数：接近准确数而不等于准确数的数，叫做这个精确数的近似数或近似值.如长江的长约为6300㎞，这里的6300㎞就是近似数.
要点诠释：一般采用四舍五入法取近似数，只要看要保留位数的下一位是舍还是入.
3.精确度：一个近似数四舍五入到哪一位，就称这个数精确到哪一位，精确到的这一位也叫做这个近似数的精确度.
注意：
精确度是指近似数与准确数的接近程度.
三、高频考点
1倒数
例1．的倒数是( )
A. B.2024 C. D.
答案：A
解析：的倒数是,
故选：A.
针对训练1
1．一个数的倒数是,这个数是( )
A.1.25 B.0.75 C. D.
答案：D
解析：∵,
∴一个数的倒数是,这个数是,
故选D.
2．已知：a与b互为相反数，c与d互为倒数，x的平方是16，y是最大的负整数.求：.
答案：
解析：因为a与b互为相反数，c与d互为倒数，x的平方是16，y是最大的负整数，
所以，，，.
.
2.有理数的加减
例2 .小明家购置了一辆续航为（能行驶的最大路程）的新能源纯电汽车，他将汽车充满电后连续7天每天行车电脑上显示的行驶路程记录如下表（单位：，以为标准，超过部分记为“”，不足部分记为“” ．已知该汽车第三天行驶了，第六天行驶了．
第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天
■ ●
（1）“■”处的数为 　　，“●”处的数为 　　；
（2）已知小明家这款汽车在行驶结束时，若剩余电量不足续航的，行车电脑就会发出充电提示．请通过计算说明该汽车第七天行驶结束时，行车电脑会不会发出充电提示．
【思路点拨】（1）观察表格可知：第三天行驶了，第六天行驶了，然后根据以为标准，超过部分记为“”，不足部分记为“”，进行解答即可；
（2）先求出新能源纯电汽车7天行驶的总路程，再求出用电量剩余时汽车所行驶的路程，然后进行比较即可判断．
【规范解答】解：（1）由表格可知：第三天行驶了，第六天行驶了，
第三天处的数为：，第六天处记录的数为：，
“■”处的数为，“●”处的数为，
故答案为：，；
（2）由题意得：
，
，
，
，
行车电脑不会发出充电提示．
【考点评析】本题主要考查了有理数的加减运算，解题关键是理解题意，列出正确的算式．
针对训练2
1.已知有理数、在数轴上对应的点如图所示，则下列式子正确的是　　
A． B． C． D．
【思路点拨】根据、在数轴上对应的点表示的有理数可知：，，，，据此判断即可．
【规范解答】解：根据、在数轴上对应的点表示的有理数可知：
，，，，
、，故错误，不符合题意；
、，故错误，不符合题意；
、，故错误，不符合题意；
、，正确，符合题意．
故选：．
【考点评析】本题考查了数轴及有理数减法，熟练掌握数轴的相关知识是关键．
2．计算：.
答案：
解析：观察分数，，，，，，
.
3．一辆货车从超市出发，向东走3千米到达小彬家，继续向东走2.5千米到达小颖家，然后向西走10千米到达小明家，最后回到超市.
（1）以超市为原点，以向东的方向为正方向，用1个单位长度表示1千米，在数轴上表示出小明家、小彬家、小颖家的位置；
（2）小明家离小彬家多远？
（3）货车一共行驶了多少千米？
（4）货车每千米耗油0.1升，这次共耗油多少升？
答案：（1）见解析
（2）小明家离小彬家7.5千米
（3）货车一共行驶了20千米
（4）这次共耗油2升
解析：（1）如图所示：
（2）根据数轴可知：小明家离小彬家是7.5个单位长度，所以是7.5千米.
即小明家离小彬家7.5千米.
（3）（千米）.
即货车一共行驶了20千米.
（4）（升）.
即这次共耗油2升.
3.有理数的加减运算律
例3 .计算题：
（1）.
（2）.
答案：（1）
（2）
解析：（1）原式
；
（2）原式
.
【点睛】本题主要考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握有理数加、减法运算法则，是解题的关键
针对训练3
1．计算：（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
答案：（1）原式；
（2）原式；
（3）原式；
（4）原式.
本题主要考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握有理数加、减法运算法则、运算律，是解题的关键
2．计算
(1).
(2).
(3)
(4).
答案：(1).
(2).
(3).
(4).
本题主要考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握有理数加、减法运算法则、运算律，是解题的关键
4.有理数的乘除
例4．计算：
（1）；
（2）.
答案：（1）-40
（2）3
解析：（1）原式
；
（2）原式
.
针对训练4
1．10袋小麦称重后记录如下表（单位：kg），要求每袋小麦的重量控制在kg，即每袋小麦的重量不高于91.5kg，不低于88.5kg.
小麦的袋数 1 3 2 1 2 1
小麦的重量 88.1 89 89.8 90.6 91 91.8
（1）这10袋小麦中，不符合要求的有____________袋；
（2）将符合要求的小麦以90kg为标准，超出部分记为正，不足的记为负数；
（3）求符合要求的小麦一共多少千克？
答案：（1）2
（2），，，，，，，
（3）719.2kg
解析：（1）2
（2）将符合要求的小麦以90kg为标准，超出部分记为正，不足的记为负，如下：
，，，，，，，.
（3）符合要求的小麦一共有：（kg）.
2．计算：
(1)；
(2).
答案：(1)
(2)
解析：（1）
；
（2）
.
3．对于任何数，我们所定运算为：.
（1）计算.
（2）计算.
答案：（1）22
（2）
解析：（1）
；
（2）
，
.
5.有理数乘除运算律
例5．计算：.
答案：5
解析：原式
=
.
针对训练5
1．先计算，再阅读材料，解决问题：
（1）计算：.
（2）认真阅读材料，解决问题：
计算：.
分析：利用通分计算的结果很麻烦，可以采用以下方法进行计算：
解：原式的倒数是：
.
故原式.
请你根据对所提供材料的理解，选择合适的方法计算：.
答案：（1）8
（2）
解析：（1）计算：；
（2）原式的倒数是：
故原式.
2．
答案：原式
3．计算：
(1)
(2)
(3)
答案：(1)25
(2)349
(3)-14
解析：（1）
=（- - - + ）x(-36)
=（- ）x（-36）+（- ）x（-36）+ x(-36)
=16+15-6
=25
=（10- ）x35
=10x35 - x35
=350-1
=349
=x(-9-18+1)
=x(-26)
=-14
6 .乘方的意义
.若一个算式中，是底数，4是指数，则这个算式是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据中，a叫做幂的底数，n叫做幂的指数，去列式即可．
【详解】解：是底数，4是指数，这个算式是．
故选：B．
【点睛】本题考查了幂的构造，底数，指数，正确理解幂的意义是解题的关键．
针对训练6
1 .把下列各式写成乘方的形式，并指出底数和指数各是什么．
(1)(－3.14)×(－3.14)×(－3.14)×(－3.14)×(－3.14)；
(2)×××××；
(3)m·m·m·…·m,(2n个m)．
【答案】见解析
【解析】首先化成幂的形式，再指出底数和指数各是什么．
(1)(－3.14)×(－3.14)×(－3.14)×(－3.14)×(－3.14)＝(－3.14)5，其中底数是－3.14，指数是5；
(2)×××××＝()6，其中底数是，指数是6；
(3)m·m·m·…·m＝m2n，其中底数是m，指数是2n.
【方法总结】乘方是一种特殊的乘法运算，幂是乘方的结果，当底数是负数或分数时，要先用括号将底数括起来再写指数．
2 .代数式化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查有理数的乘法和乘方运算，解题的关键是正确理解乘法的意义．根据乘法和乘方的意义即可求解.
【详解】解：原式．
故选：C．
3 .把写成乘方形式 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了乘方的定义：求个相同因数的积的运算叫乘方，掌握乘方的定义是解题的关键．
由乘方的定义即可得出结果．
【详解】解：根据乘方的定义可得：．
故答案为：．
有理数的混合运算
例7．（-5）3×（-）-32÷（-2）2×（+）
【解析】原式先计算乘方运算，再计算乘除运算，最后算加减运算即可得到结果．
解：原式=-125×（-）-32÷4×
=75-10
=65．
针对训练7
1．计算：
（1）；
（2）．
【解析】根据有理数的运算法则和顺序计算．注意同级运算中的先后顺序．
解：（1）原式=；
（2）原式=．
2．计算：
①3+（-11）-（-9）；
②．
【解析】①根据有理数的加减法则进行计算；
②根据乘方的法则、绝对值的性质以及有理数的混合运算法则进行计算．
解：①原式=3-11+9=1；
②原式=4+（-4）×（-）+×（-16）
=4+6-1
=9．
3．计算：．
【解析】先算乘方和括号里面的除法，再算加法，再算乘方，再算乘法，最后算减法．
解：原式=-1-[1-2]2×（-）
=-1-（-）2×（-）
=-1-×（-）
=-1+
=-．
4．-32×（-2）+42÷（-2）3-|-22|
【解析】原式先计算乘方运算，再计算乘除运算，最后算加减运算即可得到结果．
解：原式=-9×（-2）+16÷（-8）-4
=18-2-4
=12．
有理数混合运算的实际应用
例8．一天小明和冬冬利用温差来测量山峰的高度．冬冬在山脚测得的温度是4℃，小明此时在山顶测得的温度是2℃，已知该地区高度每升高100米，气温下降0.8℃，问这个山峰有多高？
【解析】先设出这个山峰的高度是x米，再根据题意列出关系式4-×0.8=2，解出x的值即可．
解：设这个山峰的高度是x米，根据题意得：
4-×0.8=2，
解得：x=250．
答：这个山峰有250米．
针对训练8
1．某一出租车一天下午以鼓楼为出发地在东西方向营运，向东走为正，向西走为负，行车里程（单位：km）依先后次序记录如下：
+9，-3，-5，+4，-8，+6，-3，-6，-4，+10．
（1）将最后一名乘客送到目的地，出租车离鼓楼出发点多远？在鼓楼的什么方向？
（2）若每千米的价格为2.4元，司机一个下午的营业额是多少？
【解析】（1）根据有理数的加法运算，可得计算结果，根据正数和负数，可得方向；
（2）根据行车就交费，可得营业额．
解：（1）9-3-5+4-8+6-3-6-4+10=0（千米）
答：将最后一名乘客送到目的地，出租车离鼓楼出发点0千米，在鼓楼处；
（2）（9+|-3|+|-5|+4+|-8|+6+|-3|+|-6|+|-4|+10）×2.4=139.2（元），
答：若每千米的价格为2.4元，司机一个下午的营业额是139.2元．
2．在质量检测中，从每盒标准质量为125克的酸奶中，抽取6盒，结果如表：
编号 1 2 3 4 5 6
质量（克） 126 127 124 126 123 125
差值（克） +1 _____ _____ _____ _____ _____
（1）补全表格中相关数据；
（2）请你利用差值列式计算这6盒酸奶的质量和．
【答案】(1)+2;(2)-1;(3)+1;(4)-2;(5)0;
【解析】（1）根据已知条件列式即可得到结论；
（2）根据题意列式计算即可．
解：（1）补全表格中相关数据如下：
编号 1 2 3 4 5 6
质量（克） 126 127 124 126 123 125
差值（克） +1 +2 -1 +1 -2 0
故答案为：+2，-1，+1，-2，0；
（2）这6盒酸奶的质量和：6×125+（1+2-1+1-2+0）=751（克），
答：这6盒酸奶的质量和是751克；
3．商人小周于上周日收购某农产品10000kg.每千克2.3元，进入批发市场后共占5个摊位，每个摊位最多容纳2000kg该农产品，每个摊位的市场管理价为每天20元，批发市场该农产品上周日的批发价为每千克2.4元，下表为本周内该农产品每天的批发价格比前一天的涨跌情况（涨记为正，跌记为负）．
星期 一 二 三 四 五
与前一天的价格涨跌情况（元） +0.3 -0.1 +0.25 +0.2 -0.5
当天的交易量（千克） 2500 2000 3000 1500 1000
（1）星期四该农产品价格为每千克多少元？
（2）本周内该农产品最高价格为每千克多少元？最低价格为每千克多少元？
（3）小周在销售过程中采用逐步减少摊位个数的方法来降低成本，增加效益，这样他在本周的买卖中共赚了多少钱？请你帮他算一算．
【解析】（1）根据价格的涨跌情况即可作出判断；
（2）计算出每天的价格即可作出判断；
（3）根据售价-进价-摊位费用=收益，即可进行计算．
解：（1）2.4+0.3-0.1+0.25+0.2=3.05（元）；
所以星期四该农产品价格为每千克3.05元；
（2）星期一的价格是：2.4+0.3=2.7元；
星期二的价格是：2.7-0.1=2.6元；
星期三的价格是：2.6+0.25=2.85元；
星期四是：2.85+0.2=3.05元；
星期五是：3.05-0.5=2.55元．
因而本周内该农产品的最高价格为每千克3.05元，最低价格为每千克2.55元；
（3）（2.7-2.3）×2500-20×5+（2.6-2.3）×2000-20×4+（2.85-2.3）×3000-20×3+（3.05-2.3）×1500-20×2+（2.55-2.3）×1000-20×1
=0.4×2500-100+0.3×2000-80+0.55×3000-60+0.75×1500-40+0.25×1000-20
=900+520+1590+1085+230
=4325．
答：共赚了4325元．
4．“水是生命之源”，市自来水公司为鼓励用户节约用水，按以下规定收取水费：
用水量/月 单价（元/吨）
不超过20吨的部分 1.8
超过20吨但不超过30吨的部分 2.7
超过30吨的部分 3.6
注意：另外每吨用水加收0.95元的城市污水处理费．
例如某用户2月份用水18吨，共需交纳水费18×（1.8+0.95）=49.5元；3月份用水22吨，共需交纳水费20×（1.8+0.95）+（22-20）×（2.7+0.95）=55+7.3=62.3元．
（1）该用户4月份用水20吨，共需交纳水费多少元？该用户5月份用水30吨，共需交纳水费多少元？
（2）该用户6月份共交纳水费84.2元，则该用户6月份用水多少吨？
【解析】（1）由分段缴费分别计算即可；
（2）设该用户6月份用水x吨，由题意列出方程，解方程即可．
解：（1）4月份用水20吨，共需交纳水费20×（1.8+0.95）=55元；
5月份用水30吨，共需交纳水费20×（1.8+0.95）+（30-20）×（2.7+0.95）=55+36.5=91.5元；
答：该用户4月份用水20吨，共需交纳水费55元，该用户5月份用水30吨，共需交纳水费91.5元；
（2）设该用户6月份用水x吨，
6月份共交纳水费84.2元，
∵55＜84.2＜91.5，
∴20吨＜x＜30吨，
由题意得：20×（1.8+0.95）+（x-20）×（2.7+0.95）=84.2，
解得：x=28，
答：该用户6月份用水28吨．
9.科学计数法
例9．用科学记数法表示下列题目中的数：
（1）1000000000；
（2）青藏高原是世界上海拔最高的高原，它的面积是2500000平方千米；
（3）月球表面某一时刻的温度高达127℃；
（4）以纳米为单位表示0.873米．
【解析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
解：（1）1000000000=109；
（2）2500000=2.5×106；
（3）127=1.27×102；
（4）∵1纳米=10-9米，
∴0.873米=8.73×10-8纳米．
针对训练9
1．下列用科学记数法表示的数，原来各是什么数？
（1）2×105；
（2）5.18×103；
（3）7.04×106．
【解析】（1）利用科学记数法的法则解答即可；
（2）利用科学记数法的法则解答即可；
（3）利用科学记数法的法则解答即可．
解：（1）∵2×105=200000，
∴2×105的原数为200000；
（2）∵5.18×103=5180，
∴5.18×103的原数为5180；
（3）∵7.04×106=7040000，
∴7.04×106的原数为7040000．
2．已知A种细菌在培养过程中，每隔半小时由1个分裂成2个，在培养皿中约有3×220个细菌，其中A种细菌占所有细菌的．
（1）已知A种细菌的直径是0.0000004米，用科学记数法表示是 _____米；
（2）求经过多少小时，A种细菌的数量为220个？
（3）经过5小时，给培养皿中滴入针对A种细菌的杀菌剂，若1滴杀菌剂可以杀死210个A种细菌，则杀死该培养皿中所有A种细菌需多少滴杀菌剂？
【答案】4×10-7
【解析】（1）根据科学记数法的表示方法可得答案；
（2）首先求出A种细菌的数量，再根据每隔半小时由1个分裂成2个可得答案；
（3）先计算出5小时后A种细菌的数量，再列式计算即可．
解：（1）0.0000004=4×10-7．
故答案为：4×10-7；
（2）∵A种细菌现有数量为3×220×=218（个），每隔半小时由1个分裂成2个，
∴半小时后分裂成219个，1小时后分裂成220个．
答：经过1小时，A种细菌的数量为220个；
（3）5小时后，A种细菌的数量为228个，
228÷210=218．
答：需218滴杀菌剂．
3．我们平常用的数都是十进制的，如：3456=3×103+4×102+5×101+6．表示十进制的数要用10个数码（又叫数字）：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9．电子计算机中用的二进制只有两个数码：0，1．二进制数可以转化为十进制数，如：二进制数101=1×22+0×21+1，等于十进制数5；二进制数10110=1×24+0×23+1×22+1×21+0，等于十进制数22，那么二进制数11010等于十进制数多少呢？
【解析】根据题目信息，参照题中两个二进制数转化为十进制数的方法，可得11010=1×24+1×23+0×22+1×21+0，利用有理数的乘方法则及加法法则得出结果．
解：根据二进制数转化为十进制数的方法，可得，
二进制数11010=1×24+1×23+0×22+1×21+0
=16+8+2
=26．
故二进制数11010等于十进制数26．
4．已知10×102=1000=103，102×102=10000=104，102×103=100000=105
猜想：106×104=_____，10m×10n=_____（m、n均为正整数）
运用上述结论计算下式：（-6.4×103）×（2×106）
【答案】(1)1010;(2)10m+n;
【解析】猜想：根据同底数幂的乘法法则计算即可求解；
根据单项式乘单项式计算即可求解．
解：猜想：106×104=1010，10m×10n=10m+n；
（2）（-6.4×103）×（2×106）
=（-6.4×2）（103×106）
=-12.8×109
=-1.28×1010．
故答案为：1010，10m+n．
10 .近似数
例10．用四舍五入方法，按下列要求对 159 897 000 000 分别取近似值：
（1）精确到千万位；
（2）精确到亿位；
（3）精确到百亿位．
【解析】（1）把百万位上的数字7进行四舍五入即可；
（2）把千万位上的数字9进行四舍五入即可；
（3）把十亿位上的数字9进行四舍五入即可．
解：（1）159 897 000 000≈1.5990×1011（精确到千万位）；
（2）159 897 000 000≈1.599×1011（精确到亿位）；
（3）159 897 000 000≈1.6×1011（精确到百亿位）．
针对训练10
1.下列数据中，不是近似数的是(　　)
A．某次地震中，伤亡10万人
B．吐鲁番盆地低于海平面155m
C．小明班上有45人
D．小红测得数学书的长度为21.0cm
【答案】C
【解析】A.某次地震中，伤亡10万人中的10为近似数，所以A选项错误；B.吐鲁番盆地低于海平面155m中的155为近似数，所以B选项错误；C.小明班上有45人中45为准确数，所以C选项正确；D.小红测得数学书的长度为21.0cm中的21.0为近似数，所以D选项错误，故选C.
【方法总结】经过“四舍五入”得到的叫近似数，一般用工具量出来的数都是近似数；能表示原来物体或事件的实际数量的数是准确数，一般通过计数数出来的数都是准确数．
2．用四舍五入法，对下列各数按括号中的要求取近似数：
（1）0.6328（精确到0.01）
（2）7.9122（精确到个位）
（3）130.96（精确到十分位）
（4）46021（精确到百位）
【解析】（1）把3后面的2四舍五入即可；
（2）将9按要求四舍五入即可得到答案；
（3）十分位就是数字9所表示的数位；
（4）首先用科学记数法表示，然后按要求精确即可．
解：（1）0.6328（精确到0.01）≈0.63；
（2）7.9122（精确到个位）≈8
（3）130.96（精确到十分位）≈131.0
（4）46021≈4.60×104．
3．据了解，火车票价按“”的方法来确定，已知A站至H站总里程数为1200千米，全程参考价为180元，下表是沿途各站至H站的里程数（单位：千米）：
车站名 A B C D E F G H
各站至H站的里程数 1200 1030 910 620 450 219 98 0
例如：要确定B站至D站火车票价，其票价为（元）；
（1）C站与F站的实际乘车里程数为 _____千米；
（2）求A站至F站的火车票价（精确到1元）；
（3）旅客张大妈乘火车去女儿家，上车过两站后，她拿着车票问乘务员：“我已经过了两站了，我快到站了吗？”乘务员看到王大妈手中的票价是87元，马上说下一站就到了，请向王大妈是在哪一站下车？（要求写出解答过程）
【答案】691
【解析】（1）根据里程数表格，利用910减去219即可得；
（2）根据火车票价的确定方法列式计算即可得；
（3）设张大妈的实际乘车里程数为x千米，根据票价是87元建立方程，解方程可得x的值，再对照表格数据进行分析即可得出答案．
解：（1）C站与F站的实际乘车里程数为910-219=691（千米），
故答案为：691．
（2）（元），
答：A站至F站的火车票价为147元．
（3）设张大妈的实际乘车里程数为x千米，
则，
解得x=580，
所以张大妈上车后，经过三站下车，实际乘车里程数为580千米，
对照表格可知，A站与D站的距离、B站与E站的距离均为580千米，
答：王大妈在D站或E站下车．
4．下列由四舍五入法得到的近似数，各精确到哪一位？
（1）150.1；
（2）0.618；
（3）3.14159；
（4）4.0013；
（5）360；
（6）32.14万．
【解析】利用近似数的精确度求解．
解：（1）150.1，精确到十分位；
（2）0.618，精确到千分位；
（3）3.14159，精确到十万分位；
（4）4.0013，精确到万分位；
（5）360，精确到个位；
（6）32.14万=321400，精确到百位．
5.近似数的准确数的范围是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查近似数和准确数，掌握近似数和准确数的定义是解题关键．近似数可能是由原数“四舍”得到的，也可能是“五入”得到的，若是“四舍”得到的，则原数的十分位上是0，百分位上的数小于5，据此进行解答即可．
【详解】解：结合四舍五入法取近似值的方法可知：只有大于等于小于的数，经过四舍五入才能得，所以a的范围是：．
故选：C．
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