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专题24.3 弧、弦、圆心角的关系【十大题型】
【人教版】
【题型1 由弧、弦、圆心角的关系判断结论正误】 1
【题型2 利用弧、弦、圆心角的关系求线段长度】 2
【题型3 利用弧、弦、圆心角的关系求角度】 4
【题型4 利用弧、弦、圆心角的关系求弧的度数】 5
【题型5 利用弧、弦、圆心角的关系求面积】 6
【题型6 利用弧、弦、圆心角的关系求周长】 7
【题型7 利用弧、弦、圆心角的关系求线段比值】 8
【题型8 利用弧、弦、圆心角的关系进行证明】 9
【题型9 利用弧、弦、圆心角的关系判断线段或弧长间的关系】 11
【题型10 利用弧、弦、圆心角的关系求最值】 11
知识点：弧、弦、圆心角的关系
（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧．
（3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．
【题型1 由弧、弦、圆心角的关系判断结论正误】
【例1】（23-24九年级·山东威海·期末）如图，是的直径，点P是上一个动点（点P不与点A，B重合），在点P运动的过程中，对于如下结论：①的值为定值；②的度数为定值；③的度数始终等于度数的2倍；④若，则．正确的结论有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【变式1-1】（23-24九年级·江苏镇江·阶段练习）下列说法正确的个数有（ ）
①半圆是弧；
②面积相等的两个圆是等圆；
③所对的弦长相等的两条弧是等弧；
④如果圆心角相等，那么它们所对的弦一定相等；
⑤等弧所对的圆心角相等；
⑥平分弦的直径，平分这条弦所对的弧.
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【变式1-2】（23-24九年级·甘肃平凉·阶段练习）如图所示，在中，，那么（ ）
A． B． C． D．无法比较
【变式1-3】（23-24九年级·山东临沂·期中）平分锐角，以为圆心以任意长为半径画，分别交，，于A，B，C三点，以C为圆心，以长为半径画弧与相交于异于B点的点D，连接，．下列结论错误的是（　　）
A． B．若，则
C． D．
【题型2 利用弧、弦、圆心角的关系求线段长度】
【例2】（2024·湖北襄阳·二模）如图，已知⊙O的半径为5，弦AB、CD所对的圆心角分别是∠AOB、∠COD，若∠AOB与∠COD互补，弦CD＝6，则点O到弦AB的距离为（　　）

A．6 B．8 C．3 D．4
【变式2-1】（23-24九年级·四川南充·期末）如图，在中，圆心角是的中点，作，与交于，则图中与相等的线段有 条．
【变式2-2】（2024·安徽滁州·一模）如图，是⊙O的直径，点C为圆上一点，，D是弧的中点，与交于点E．若E是的中点，则的长为（　　）

A．5 B．3 C．2 D．1
【变式2-3】（23-24九年级·福建厦门·期中）如图，是直径，是弦，点E在弦上．D是的中点，，，若四边形为平行四边形，则的半径是（ ）

A． B． C． D．
【题型3 利用弧、弦、圆心角的关系求角度】
【例3】（23-24九年级·广西百色·期末）如图，是的直径，C是弧的中点，点D在弧上，的延长线交于点E，则等于（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】（23-24九年级·辽宁鞍山·期末）如图，点A，B，C，D在上，，点B是弧的中点，则的度数是( )
A． B． C． D．
【变式3-2】（2024·山东烟台·一模）如图，以的半径为半径，自上的A点起，在圆上依次画弧截取点B，C，D，E，F．正方形EFGH的中心为，连接FA，，则 ．
【变式3-3】（23-24九年级·浙江·期中）如图，在中，，截三边所得的弦长，则 度．
【题型4 利用弧、弦、圆心角的关系求弧的度数】
【例4】（23-24九年级·江苏泰州·阶段练习）如图，已知是的两条直径，且，过点作交于点，则弧的度数为 ．

【变式4-1】（2024·江苏盐城·模拟预测）如图，已知是的直径， ，，那么弧度数等于 ．
【变式4-2】（23-24九年级·江苏淮安·阶段练习）如图，在中，，以点为圆心，长为半径的圆交于点，交于点，求弧DE的度数．
【变式4-3】（23-24九年级·浙江杭州·期中）如图，点A．B．C在⊙O上，．弧AB的度数为 ．
【题型5 利用弧、弦、圆心角的关系求面积】
【例5】（23-24九年级·全国·单元测试）如图，已知圆内接四边形中，对角线是的直径，，是的中点，则的面积是 ．

【变式5-1】（23-24九年级·河南濮阳·期中）如图，点，，，都在上，圆的半径为，且，，则该（ ）

A． B． C． D．
【变式5-2】（2024·湖北鄂州·一模）如图，以等边的一边为直径的半圆交于点，交于点，若，则阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
【变式5-3】（2024·湖北宜昌·二模）已知：是的直径，C为上一点，将绕着点B逆时针旋转一定的角度得到，交于E点，若点D在上，连接交于点F．
(1)直接判断与的位置关系；
(2)求证：；
(3)若，，求阴影部分的面积．
【题型6 利用弧、弦、圆心角的关系求周长】
【例6】（23-24九年级·全国·课后作业）如图所示，是半径为3的上的两点．若是的中点，则四边形的周长为 ．

【变式6-1】（23-24九年级·吉林·阶段练习）如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，若BC=CD=DA=4 cm，则⊙O的周长为 ．
【变式6-2】（2024·陕西西安·模拟预测）如图的弦，且于，连接，若，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
【变式6-3】（2024·河北·中考真题）如图，点是的八等分点．若，四边形的周长分别为a，b，则下列正确的是( )

A． B． C． D．a，b大小无法比较
【题型7 利用弧、弦、圆心角的关系求线段比值】
【例7】（23-24九年级·江苏无锡·期末）如图， 将上的沿弦翻折交半径于点D， 再将沿 翻折交于点E， 连接. 若， 则 的值 ．
【变式7-1】（23-24九年级·江苏盐城·期中）如图，在中，点C是劣弧的中点，点P在劣弧上，且，于H，当，则 ．
【变式7-2】（23-24九年级·江苏泰州·阶段练习）如图，、、、依次为一直线上个点，，为等腰直角三角形，且，过点、、，且弧的度数，则的值是 ．
【变式7-3】（23-24九年级·江苏泰州·期中）如图，等边内接于，D为边上一动点（不与A、C重合），连接并延长交边于E，将沿翻折为，边交于点，若的周长记为，的周长记为，则的值为 ．

【题型8 利用弧、弦、圆心角的关系进行证明】
【例8】（23-24九年级·湖南株洲·期中）（1）如图①，过上一点作两条弦、，若，则平分，为什么？
（2）如图②，若点在内，过点的两条弦，相等，则平分吗？为什么？
（3）如图③，若点在外，过点作、，分别交于点，和，，且，则平分吗？为什么？
【变式8-1】（2024九年级·江苏·专题练习）如图，、是的两条弦，与相交于点E，．
(1)求证：；
(2)连接 作直线求证：．
【变式8-2】（2024·安徽马鞍山·一模）如图，四边形是的内接四边形，直径平分．
(1)求证：；
(2)过点A向圆外作，且，求证：四边形为平行四边形．
【变式8-3】（2024·上海·模拟预测）如图，以为直径的圆O中，点O为圆心，C为弧的中点，过点C作且．连接，分别交，于点E，F，与圆O交于点G，连接．
(1)求证：；
(2)连接，，求证：．
【题型9 利用弧、弦、圆心角的关系判断线段或弧长间的关系】
【例9】（2024 铁岭模拟）如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆O上，把半圆沿弦AC折叠，恰好经过点O，则与的关系是（　　）
A． B． C． D．不能确定
【变式9-1】（23-24九年级·全国·单元测试）从圆内一点引两条弦与，则与、度数间的关系是 ．
【变式9-2】（23-24九年级·全国·单元测试）如图,圆上有A,B,C,D四点,圆内有E,F两点且点E,F在BC上.若四边形AEFD为正方形,则下列弧长关系中,正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式9-3】（2024·江苏扬州·二模）将一张正方形的透明纸片ABCD和按如图位置叠放，顶点A、D在上，边AB、BC、CD分别与相交于点E、F、G、H，则下列弧长关系中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【题型10 利用弧、弦、圆心角的关系求最值】
【例10】（23-24九年级·陕西咸阳·期末）如图，是半圆O的直径，半圆的半径为4，点C，D在半圆上，，点P是上的一个动点，则的最小值为 ．
【变式10-1】（23-24九年级·全国·课后作业）如图1为某酒店的圆形旋转门，可看成如图2由外围的和3翼隔风玻璃组成，外围圆有通道和，且它们关于圆心中心对称，圆内的3翼隔风玻璃可绕圆心转动，且所成的夹角，3翼隔风玻璃在转动过程中，始终使大厅内外空气隔离，起到对大厅内保温作用．例如：当隔风玻璃转到如图2位置时，大厅内外空气被隔风玻璃，隔离．则通道所对圆心角的度数的最大值为（　　）

A．30° B．60° C．90° D．120°
【变式10-2】（23-24九年级·浙江杭州·期末）如图，AB是O的直径，AB＝4，C为的三等分点（更靠近A点），点P是O上一个动点，取弦AP的中点D，则线段CD的最大值为（ ）

A．2 B． C． D．
【变式10-3】（23-24九年级·山东青岛·期末）如图，是的直径，，点M在上，，N是弧的中点，P是直径上的一动点．若，则周长的最小值为 ．
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专题24.3 弧、弦、圆心角的关系【十大题型】
【人教版】
【题型1 由弧、弦、圆心角的关系判断结论正误】 1
【题型2 利用弧、弦、圆心角的关系求线段长度】 6
【题型3 利用弧、弦、圆心角的关系求角度】 11
【题型4 利用弧、弦、圆心角的关系求弧的度数】 15
【题型5 利用弧、弦、圆心角的关系求面积】 18
【题型6 利用弧、弦、圆心角的关系求周长】 23
【题型7 利用弧、弦、圆心角的关系求线段比值】 27
【题型8 利用弧、弦、圆心角的关系进行证明】 32
【题型9 利用弧、弦、圆心角的关系判断线段或弧长间的关系】 38
【题型10 利用弧、弦、圆心角的关系求最值】 42
知识点：弧、弦、圆心角的关系
（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧．
（3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．
【题型1 由弧、弦、圆心角的关系判断结论正误】
【例1】（23-24九年级·山东威海·期末）如图，是的直径，点P是上一个动点（点P不与点A，B重合），在点P运动的过程中，对于如下结论：①的值为定值；②的度数为定值；③的度数始终等于度数的2倍；④若，则．正确的结论有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】C
【分析】本题考查主要考查了圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理等知识，熟记圆中有关观念时解本题的关键．根据圆周角定理，圆心角，弧，弦之间的关系解决问题即可．
【详解】解：①由题可得：当点P从点A运动到的中点时，的值在增大，当点P从的中点运动到点B时，的值在减小，
故①错误；
②时直径，
，
的度数为定值，
②正确；
③，
，
，
的度数始终等于度数的2倍，
③正确；
④如图，取的中点，连接，，，则，
，
，
，
，
，
④错误；
正确的结论个数是2个，
故选：C
【变式1-1】（23-24九年级·江苏镇江·阶段练习）下列说法正确的个数有（ ）
①半圆是弧；
②面积相等的两个圆是等圆；
③所对的弦长相等的两条弧是等弧；
④如果圆心角相等，那么它们所对的弦一定相等；
⑤等弧所对的圆心角相等；
⑥平分弦的直径，平分这条弦所对的弧.
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【分析】根据半圆的定义判断①；根据圆的面积公式和等圆的定义判断②；根据圆心角、弧、弦的关系判断③④⑤；根据垂径定理的推论判断⑥．
【详解】解：半圆是弧，故①正确；
面积相等的两个圆半径相等，因此是等圆，故②正确；
在同圆或等圆中，所对的弦长相等的两条劣弧是等弧，两条优弧是等弧，故③错误；
在同圆或等圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弦一定相等，故④错误；
等弧所对的圆心角相等，故⑤正确；
平分弦（非直径）的直径，平分这条弦所对的弧，故⑥错误；
综上可知，正确的有①②⑤，共3个，
故选B．
【点睛】本题考查了与圆有关的概念，圆心角、弧、弦的关系，垂径定理的推论等，解题的关键是熟记相关概念或性质．
【变式1-2】（23-24九年级·甘肃平凉·阶段练习）如图所示，在中，，那么（ ）
A． B． C． D．无法比较
【答案】B
【分析】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系和三角形的三边关系，在圆上截取，再根据“根据三角形的三边关系”可解，熟练掌握圆心角、弧、弦之间的关系和三角形的三边关系是解题的关键．
【详解】解：如图，
在圆上截取，
∵，
∴，
∴，
根据三角形的三边关系知，，
∴，
故选：．
【变式1-3】（23-24九年级·山东临沂·期中）平分锐角，以为圆心以任意长为半径画，分别交，，于A，B，C三点，以C为圆心，以长为半径画弧与相交于异于B点的点D，连接，．下列结论错误的是（　　）
A． B．若，则
C． D．
【答案】D
【分析】先根据题意画好图形，如图，连接，，由角平分线的定义结合圆心角，弧，弦之间的关系，判断A；证明为等边三角形，可判断B；连接，证明，可判断C；连接，可得，可判断D ，从而可得答案．
【详解】解：如图，连接，，
∵平分锐角，
∴，
∴，故A不符合题意；
∵由作图可得，
∴，
∴，
∵，，
∴为等边三角形，
∴，
∴，故B不符合题意；
连接，
∵，，
∴，
∴，故C不符合题意；
连接，
∵，，
∴，
∴，故D符合题意．
故选D．
【点睛】本题考查的是角平分线的定义，圆心角，弧，弦之间的关系，平行线的判定，两点之间线段最短，等边三角形的性质与判定，熟练的利用圆心角，弧，弦之间的关系进行转化是解本题的关键．
【题型2 利用弧、弦、圆心角的关系求线段长度】
【例2】（2024·湖北襄阳·二模）如图，已知⊙O的半径为5，弦AB、CD所对的圆心角分别是∠AOB、∠COD，若∠AOB与∠COD互补，弦CD＝6，则点O到弦AB的距离为（　　）

A．6 B．8 C．3 D．4
【答案】C
【分析】延长CO交⊙O于E，连接DE，过O作OF⊥DE于F，OH⊥CD于H，OG⊥AB于G，线段OG的长是点O到弦AB的距离，根据垂径定理求出DH＝HC＝3，DF＝EF，根据三角形的中位线求出DE＝2OH，根据勾股定理求出OH长，再根据勾股定理求出OF长即可．
【详解】解：延长CO交⊙O于E，连接DE，过O作OF⊥DE于F，OH⊥CD于H，OG⊥AB于G，线段OG的长是点O到弦AB的距离，

∵∠COD和∠DOE互补，∠COD和∠AOB互补，
∴∠DOE＝∠AOB，
∴DE＝AB，OF＝OG，
∵OH⊥DC，CD＝6，OH过O，
∴DH＝HC＝DC＝3，∠OHD＝∠OHC＝90°，
由勾股定理得：OH＝＝＝4，
∵OC＝OE，DH＝HC，OH＝4，
∴DE＝2OH＝8，
∵OF⊥DE，OF过O，
∴DF＝EF＝DE＝4，
在Rt△DFO中，由勾股定理得：OF＝＝＝3，
∴OG＝OF＝3，
即点O到AB的距离是3，
故选：C．
【点睛】本题考查了垂径定理，互补的定义，三角形的中位线，圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系，垂径定理等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键．
【变式2-1】（23-24九年级·四川南充·期末）如图，在中，圆心角是的中点，作，与交于，则图中与相等的线段有 条．
【答案】3
【分析】此题考查了圆心角、弧、弦的关系，等边三角形的性质与判定；连接，，根据圆心角、弧的关系求出，根据圆周角定理求出，根据直角三角形的性质求出，再根据等边三角形的判定与性质求解即可．
【详解】解：如图，连接，，
，是的中点，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，，
，，
是等边三角形，
，
，
图中与相等的线段有条，
故答案为：．
【变式2-2】（2024·安徽滁州·一模）如图，是⊙O的直径，点C为圆上一点，，D是弧的中点，与交于点E．若E是的中点，则的长为（　　）

A．5 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【分析】
连接交于F，由垂径定理得，，可证，接着证明得到，计算得，然后设，则，，最后利用勾股定理计算得到BC的长．
【详解】
解：连接交于F，如图，
D是弧的中点，
，
，
是直径，
，
，
，
E是的中点，
，
，
，
，
，
，
，
设，则，
，
在中，，
，
解得，
即，
故选：C．

【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等，也考查了垂径定理．
【变式2-3】（23-24九年级·福建厦门·期中）如图，是直径，是弦，点E在弦上．D是的中点，，，若四边形为平行四边形，则的半径是（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】等弧对等弦，得到，得到三角形为等腰三角形，圆周角定理得到，平行四边形的性质，得到，三线合一得到点为的中点，连接，中位线定理，得到，垂径定理得到，进而得到三点共线，即可得出的半径．
【详解】解：∵是直径，
∴，
∵D是的中点，
∴，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
则：点为的中点，
连接，则：，，

∵，
∴三点共线，
∴；即的半径是．
故选B．
【点睛】本题考查弧，弦，角之间的关系，圆周角定理，平行四边形的性质，三角形的中位线定理，垂径定理．解题的关键是证明点为的中点．
【题型3 利用弧、弦、圆心角的关系求角度】
【例3】（23-24九年级·广西百色·期末）如图，是的直径，C是弧的中点，点D在弧上，的延长线交于点E，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由是的直径，则可得，已知C是弧的中点，则，根据圆周角定理可知，故，根据 即可解答．
【详解】解：∵是的直径，
∴，
∴，
∵C是弧的中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查了圆周角定理以及圆心角、弦、弧之间的关系定理，熟记定理并灵活运用是解题的关键．在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性．
【变式3-1】（23-24九年级·辽宁鞍山·期末）如图，点A，B，C，D在上，，点B是弧的中点，则的度数是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了同弧或等弧所对的圆心角相等，圆周角定理．熟练掌握同弧或等弧所对的圆心角相等，圆周角定理是解题的关键．
如图，连接，则，，由圆周角定理可得，计算求解即可．
【详解】解：如图，连接，
∵点B是弧的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
【变式3-2】（2024·山东烟台·一模）如图，以的半径为半径，自上的A点起，在圆上依次画弧截取点B，C，D，E，F．正方形EFGH的中心为，连接FA，，则 ．
【答案】75°/75度
【分析】连接OA，OF，OE，根据等边三角形的判定和性质，圆心角、弧、弦关系，求得∠AFE=120°，再根据正方形的性质求得∠O1FE=45°，计算角的差即可解答；
【详解】解：如图，连接OA，OF，OE，
∵FE=OF=OE，∴△OFE是等边三角形，∴∠OFE=60°，∴弧FE=60°，
由圆心角、弧、弦关系可得弧FE=弧ED=弧DC=弧CB=弧BA=60°，
∴弧AF=360°-60°×5=60°，∴∠AOF=60°，
∵OA=OF，∴△OAF是等边三角形，∴∠AFO=60°，
∴∠AFE=∠AFO+∠OFE=120°，
∵O1是正方形的中心，∴∠O1FE=45°，
∴∠AFO1=∠AFE-∠O1FE=75°，
故答案为：75°；
【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等；等边三角形的判定和性质；正方形的性质；掌握相关性质是解题关键．
【变式3-3】（23-24九年级·浙江·期中）如图，在中，，截三边所得的弦长，则 度．
【答案】125
【分析】过点O作OM⊥DE于M，OK⊥FG于K，OP⊥HI于P，如图，由于=，利用弦、圆心角和对应的弦心距的关系得到OM=OK=OP，则可判断OA平分∠BAC，OC平分∠ACB，然后根据角平分线的定义和三角形内角和求解．
【详解】解：过点O作OM⊥DE于M，OK⊥FG于K，OP⊥HI于P，如图，
∵
∴OM=OK=OP，
∴OA平分∠BAC，OC平分∠ACB，
∴∠OAC+∠OCA=（∠BAC+∠ACB）=（180°∠B）=90° ，
∴∠AOC=180°（∠OAC+∠OCA）
=180°
=125°．
故答案为：125．
【点睛】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等；在角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上．也考查了弦、弧、圆心角和弦心距的关系．
【题型4 利用弧、弦、圆心角的关系求弧的度数】
【例4】（23-24九年级·江苏泰州·阶段练习）如图，已知是的两条直径，且，过点作交于点，则弧的度数为 ．

【答案】/80度
【分析】本题考查平行线的性质，圆心角，弧，弦之间的关系，圆周角定理等知识点，
连接，根据平行线的性质求出，根据圆周角定理求出，再求出的度数，即可求出本题答案．
【详解】解：连接，

∵，，
∴，
∵，
∴
∴，
∴的度数是，
∵是的两条直径，
∴的度数是，
∴的度数是，
故答案为：．
【变式4-1】（2024·江苏盐城·模拟预测）如图，已知是的直径， ，，那么弧度数等于 ．
【答案】/54度
【分析】本题主要考了圆心角、弧、弦的关系．注意掌握数形结合思想的应用．
根据圆心角与弧的关系可求得的度数，从而即可求解．
【详解】∵
∴，
∴，
∴，
∴弧度数等于．
故答案为：．
【变式4-2】（23-24九年级·江苏淮安·阶段练习）如图，在中，，以点为圆心，长为半径的圆交于点，交于点，求弧DE的度数．
【答案】
【分析】连接，如图，先根据等腰三角形的性质和三角形内角计算出，再利用得到，然后根据三角形外角性质计算出，从而得到弧的度数．
【详解】解：连接，如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴弧的度数为．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，圆心角、弧、弦的关系：圆心角的度数等于它所弧的度数，掌握以上知识是解题的关键．
【变式4-3】（23-24九年级·浙江杭州·期中）如图，点A．B．C在⊙O上，．弧AB的度数为 ．
【答案】
【分析】在⊙O中，和对着同一条弧，根据圆周角定理，可得出的度数，再根据弧与圆心角的关系即可得到答案．
【详解】解：在⊙O中，和对着同一条弧，
又，
，
因为弧的度数和它所对的圆心角的度数相等，
所以的度数为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆周角定理，弧与圆心角的关系知识点，找出同弧所对的圆周角及圆心角是解题的关键．
【题型5 利用弧、弦、圆心角的关系求面积】
【例5】（23-24九年级·全国·单元测试）如图，已知圆内接四边形中，对角线是的直径，，是的中点，则的面积是 ．

【答案】4
【分析】四边形ABCD是梯形，连接OB，则OBCD是菱形，即可求得AD的长，而△AED是等腰直角三角形，就可求得△ADE的面积．
【详解】解：连接EO，BO，CO
∵AB=BC=CD=2，
∴∠AOB=180÷3=60°，
∴△AOB是等边三角形，
那么OA=AB=2，那么AD=2OA=4．
∵E是的中点，
∴AE=DE，
∴EO⊥AD，
∵EO=2，
∴△ADE的面积=×4×2=4．

故答案为4
【点睛】本题用到的知识点为：弦相等，那么所对的圆心角也相等．
【变式5-1】（23-24九年级·河南濮阳·期中）如图，点，，，都在上，圆的半径为，且，，则该（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了圆周角定理，圆心角、 弧、 弦之间的关系，勾股定理．连接, 求出，求出是圆的直径，根据勾股定理求出，根据计算是解题的关键．
【详解】解：连接,

，
，，
，
即是圆的直径，
，
∵圆的半径为，
，
，
由勾股定理得：
，
∴，
故选:A．
【变式5-2】（2024·湖北鄂州·一模）如图，以等边的一边为直径的半圆交于点，交于点，若，则阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】连接，，，可得，，都是等边三角形，从而得弓形的面积弓形的面积，进而得阴影部分的面积的面积，进而即可求解．
【详解】连接，，，
是等边三角形，
，，
，
，，，都是等边三角形，
，
弓形的面积弓形的面积，
阴影部分的面积的面积，
，
是等边三角形，边长为，
过点作于点，则， ，
的面积 ，
阴影部分的面积 ．
故选：A．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，弧与圆心角的关系，圆的对称性，得出阴影部分的面积等于的面积是解题的关键．
【变式5-3】（2024·湖北宜昌·二模）已知：是的直径，C为上一点，将绕着点B逆时针旋转一定的角度得到，交于E点，若点D在上，连接交于点F．
(1)直接判断与的位置关系；
(2)求证：；
(3)若，，求阴影部分的面积．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查了圆周角的性质和垂径定理，解题关键是根据旋转得出所在的圆与是等圆，再根据圆的相关性质推理即可．
（1）根据弧相等所对的弦也相等得出，进而得出点B是中点，得出；
（2）根据圆周角相等，得出，，再根据垂直可证；
（3）由（2）可证弓形和弓形的面积相等，阴影部分的面积就是三角形的面积，利用，求解即可．
【详解】（1）解：
将绕着点B逆时针旋转一定的角度得到，交于E点，所以所在的圆与是等圆，连接
∴，
∴点B是中点，
∵是的直径，
∴；
（2）证明：连接，
∵，所在的圆与是等圆，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：由（2）得，，所在的圆与是等圆，
所以弓形和弓形的面积相等，阴影部分的面积就是三角形的面积，
连接，
∵，，
∴，
∴，
∴，
所以三角形的面积=，
阴影面积为：
【题型6 利用弧、弦、圆心角的关系求周长】
【例6】（23-24九年级·全国·课后作业）如图所示，是半径为3的上的两点．若是的中点，则四边形的周长为 ．

【答案】12
【分析】通过等弧所对的圆心角相等和，得到和都是等边三角形，再求出四边形的周长．
【详解】解：连接，

∵C是的中点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴和都是等边三角形，
∴，
∴四边形的周长等于为．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是等弧所对的圆心角相等；等边三角形的判定和性质，熟练的运用等弧所对的圆心角相等是解本题的关键．
【变式6-1】（23-24九年级·吉林·阶段练习）如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，若BC=CD=DA=4 cm，则⊙O的周长为 ．
【答案】8cm
【分析】如图，连接OD、OC．根据圆心角、弧、弦的关系证得△AOD是等边三角形，则⊙O的半径长为DA=4cm；然后由圆的周长公式进行计算．
【详解】解：如图，连接OD、OC．
∵AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，若BC=CD=DA=4cm，
∴，
∴∠AOD=∠DOC=∠BOC=60°．
又OA=OD，
∴△AOD是等边三角形，
∴OA=AD=4cm，
∴⊙O的周长=2×4π=8π（cm）．
故答案为：8πcm．
【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，等边三角形的判定．该题利用“有一内角是60度的等腰三角形为等边三角形”证得△AOD是等边三角形．
【变式6-2】（2024·陕西西安·模拟预测）如图的弦，且于，连接，若，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】连接AB、OA、OD，然后由弦与弧的关系，求出，得到，再根据勾股定理求出半径，即可得到答案．
【详解】解：连接AB、OA、OD，如图，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在直角△AOD中，设OA=OD=R，
∵，
∵，
∴，
∴，
∴圆的周长为：；
故选：A．
【点睛】本题考查了圆的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，圆周角定理，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的作出辅助线，从而进行解题．
【变式6-3】（2024·河北·中考真题）如图，点是的八等分点．若，四边形的周长分别为a，b，则下列正确的是( )

A． B． C． D．a，b大小无法比较
【答案】A
【分析】连接，依题意得，，的周长为，四边形的周长为，故，根据的三边关系即可得解．
【详解】连接，

∵点是的八等分点，即
∴，
∴
又∵的周长为，
四边形的周长为，
∴
在中有
∴
故选A．
【点睛】本题考查等弧所对的弦相等，三角形的三边关系等知识，利用作差比较法比较周长大小是解题的关键．
【题型7 利用弧、弦、圆心角的关系求线段比值】
【例7】（23-24九年级·江苏无锡·期末）如图， 将上的沿弦翻折交半径于点D， 再将沿 翻折交于点E， 连接. 若， 则 的值 ．
【答案】/
【分析】本题主要考查折叠的性质，等腰三角形的性质，圆周角定理及弧，弦，圆心角之间的关系，勾股定理．连接、、，作于F，设，则，，，先利用折叠的性质和圆周角定理得到 ，再利用弧、弦、圆心角的关系得到，然后利用勾股定理计算出，接着再计算出即可．
【详解】解：连接、、，作于F，如图所示，
设，则，，
∴，
∵上的沿弦翻折交半径于点D，再将沿 翻折交于点E，
∴为等圆中的弧，
∵它们所对的圆周角为，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，
在中，，
，
∴．
故答案为：．
【变式7-1】（23-24九年级·江苏盐城·期中）如图，在中，点C是劣弧的中点，点P在劣弧上，且，于H，当，则 ．
【答案】
【分析】在上截取，连接，可以证明，得到，由，得到，由圆周角定理得到，因此，得到，即可求解．
【详解】在上截取，连接，
∵C是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识点，关键是通过作辅助线构造全等三角形．
【变式7-2】（23-24九年级·江苏泰州·阶段练习）如图，、、、依次为一直线上个点，，为等腰直角三角形，且，过点、、，且弧的度数，则的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，弧与圆心角的关系，矩形的性质，勾股定理，正确作辅助线是解题关键；连接，延长交分别为，得到是等腰直角三角形，则四边形是矩形，是等腰直角三角形，设，则，进而表示出，根据勾股定理建立关系式，整理得出，即可求解．
【详解】如图所示，连接，延长交分别为，
∵，为等腰直角三角形
∴，
∵弧的度数，
∴是等腰直角三角形，
则四边形是矩形，是等腰直角三角形，
设，则，
∴，
在中，
∴
即
整理得，
∴
故答案为：．
【变式7-3】（23-24九年级·江苏泰州·期中）如图，等边内接于，D为边上一动点（不与A、C重合），连接并延长交边于E，将沿翻折为，边交于点，若的周长记为，的周长记为，则的值为 ．

【答案】
【分析】此题考查了折叠的性质，圆周定理，等边三角形的性质，连接，，延长交于点，连接，由折叠性质可知：，则，从而有，通过弧度和差可得，所以，再由周长即可求解．在同圆或等圆中，等弧所对的圆心角、弦相等，解题的关键是熟练掌握以上知识的应用．
【详解】如图，连接，，延长交于点，连接，

由折叠性质可知：，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
设，
∴的周长，
的周长，
∴，
故答案为：．
【题型8 利用弧、弦、圆心角的关系进行证明】
【例8】（23-24九年级·湖南株洲·期中）（1）如图①，过上一点作两条弦、，若，则平分，为什么？
（2）如图②，若点在内，过点的两条弦，相等，则平分吗？为什么？
（3）如图③，若点在外，过点作、，分别交于点，和，，且，则平分吗？为什么？
【答案】（1）见解析；（2）平分，理由见解析；（3）平分，理由见解析．
【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两条的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了垂径定理．
（1）如图①，作直径，根据圆心角、弧、弦的关系，由得到，所以，则根据圆周角定理得；
（2）作于，于，连接、，如图②，根据垂径定理得到，，由于，则，根据勾股定理得，，所以，然后根据角平分线的性质定理的逆定理得到平分；
（3）与（2）的解题方法一样可得到平分．
【详解】解：（1）平分，
如图，作直径，
，
，
，
，
平分；
（2）平分．理由如下：
作于，于，连接、，如图，
则，，
，
，
而，，
，
平分；
（3）平分．理由如下：
作于，于，连接、，如图，
则，，同理（2）可得，
平分．
【变式8-1】（2024九年级·江苏·专题练习）如图，、是的两条弦，与相交于点E，．
(1)求证：；
(2)连接 作直线求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了垂直平分线的判定与性质，利用弧、弦、圆心角的关系求证，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）根据利用弧、弦、圆心角的关系得出，进而可得；
（2）因为所以，即结合，得出E、O都在的垂直平分线上，即可作答．
【详解】（1）证明：∵，
∴
∴，
即．
∴．
（2）证明：连接
∵
∴
∴
∴
∵
∴E、O都在的垂直平分线上．
∴
【变式8-2】（2024·安徽马鞍山·一模）如图，四边形是的内接四边形，直径平分．
(1)求证：；
(2)过点A向圆外作，且，求证：四边形为平行四边形．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】本题考查的是圆的相关性质--圆周角定理推论、同圆中弧弦间的关系，平行四边形的判定，
（1）先证明及，证出即可证出结论；
（2）先证明，再证明即可证出结论．
【详解】（1）证明：为直径，
，
直径平分，
，
，
，
，
；
（2）证明：
四边形为平行四边形．
【变式8-3】（2024·上海·模拟预测）如图，以为直径的圆O中，点O为圆心，C为弧的中点，过点C作且．连接，分别交，于点E，F，与圆O交于点G，连接．
(1)求证：；
(2)连接，，求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据平行四边形的判定可得四边形为平行四边形，根据为半圆的中点可得，根据矩形的判定可得平行四边形为矩形，即可证明；
（2）连接，，交于，结合（1）易知四边形为正方形，可证，得，再证垂直平分，进而证明，再根据角度之间的互余关系可得，即可则证明．
【详解】（1）证明：∵，，
∴四边形为平行四边形，
∵为半圆的中点，
∴，即，
∴平行四边形为矩形．
∴，
∴．
（2）证明：连接，，交于，
由（1）可知平行四边形为矩形，
∵，
∴四边形为正方形，则，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查圆的基本性质，矩形、正方形的判定及性质，全等三角形的判定及性质、等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键．
【题型9 利用弧、弦、圆心角的关系判断线段或弧长间的关系】
【例9】（2024 铁岭模拟）如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆O上，把半圆沿弦AC折叠，恰好经过点O，则与的关系是（　　）
A． B． C． D．不能确定
【分析】连接OC，BC，过O作OE⊥AC于D交圆O于E，根据折叠的性质得到ODOE，根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，根据三角形的中位线的性质得到ODBC，求得∠COB＝60°，得到∠AOC＝120°，于是得到结论．
【解答】解：如图，连接OC，BC，过O作OE⊥AC于D交圆O于E，
∵把半圆沿弦AC折叠，恰好经过点O，
∴ODOE，
∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴OD∥BC，
∵OA＝OB，
∴ODBC，
∴BC＝OE＝OB＝OC，
∴∠COB＝60°，
∴∠AOC＝120°，
∴，
故选：A．
【变式9-1】（23-24九年级·全国·单元测试）从圆内一点引两条弦与，则与、度数间的关系是 ．
【答案】（的度数 的度数）
【分析】本题考查了圆心角、弧、弦之间的转化，圆周角的度数等于它所对的弧的度数．连，根据三角形外角性质得到，而的度数，的度数，由此得到与、度数间的关系．
【详解】解：如图，连，
，
又的度数，的度数，
（的度数 的度数）．
【变式9-2】（23-24九年级·全国·单元测试）如图,圆上有A,B,C,D四点,圆内有E,F两点且点E,F在BC上.若四边形AEFD为正方形,则下列弧长关系中,正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由图知，BC＞AD，根据大弦对大弧知， ．
【详解】A、因为四边形AEFD为正方形，所以AD＝AE，则其所对的弧相等，因为AB＞AE，所以，故A项不正确；
B、因为四边形AEFD为正方形，所以AD＝AE，因为AB＞AE，所以AB＞AD，则可得 ，故B项不正确；
C、弦AB＜AE＋BE（三角形两边之和大于第三边），弦BC＝EF＋BE＋FC＞EF＋BE＝AE＋BE＞弦AB，所以，故C项正确；
D、由图可看出其不相等，故D项错误．
故答案选：C．
【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，利用了在同圆或等圆中大弦对大弧求解,熟练掌握关系是解题的关键.
【变式9-3】（2024·江苏扬州·二模）将一张正方形的透明纸片ABCD和按如图位置叠放，顶点A、D在上，边AB、BC、CD分别与相交于点E、F、G、H，则下列弧长关系中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】连接，根据弦与弧的关系，只要比较弦长即可比较弧长的大小即可求解．
【详解】如图，连接，过点作，交于，交于，则，
四边形是正方形，
，，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
A. ， ，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，，故该选项不正确，不符合题意；
C. ， ，故该选项正确，符合题意；
D.， ，故该选项不正确，不符合题意；
故选：C.
【点睛】本题考查了弦与弧的关系，掌握同圆或等圆中，等弦对等弧是解题的关键．
【题型10 利用弧、弦、圆心角的关系求最值】
【例10】（23-24九年级·陕西咸阳·期末）如图，是半圆O的直径，半圆的半径为4，点C，D在半圆上，，点P是上的一个动点，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】依题意，作点关于的对称点为，连接，长即为最小值；过点作，构造和进行对应线段求解；
【详解】作点关于的对称点为，连接，；过点作；
由题知，，，∴，可得对应的圆心角；
又点关于的对称点为，
∴，，∴长为的最小值
在中，，∴，；
在中，，，∴；
故填：；
【点睛】本题综合性考查圆的对称性及“将军饮马问题”的求解，关键在于熟练使用辅助线进行对应的直角三角形构造进行计算.
【变式10-1】（23-24九年级·全国·课后作业）如图1为某酒店的圆形旋转门，可看成如图2由外围的和3翼隔风玻璃组成，外围圆有通道和，且它们关于圆心中心对称，圆内的3翼隔风玻璃可绕圆心转动，且所成的夹角，3翼隔风玻璃在转动过程中，始终使大厅内外空气隔离，起到对大厅内保温作用．例如：当隔风玻璃转到如图2位置时，大厅内外空气被隔风玻璃，隔离．则通道所对圆心角的度数的最大值为（　　）

A．30° B．60° C．90° D．120°
【答案】B
【分析】由题意得可得与的最大值的和为，结合和关于圆心中心对称即可求解．
【详解】解：∵
∴与的最小值为
∴与的最大值的和为
∵和关于圆心中心对称
∴
∴，最大值为
故选：B
【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系．得出与的最大值的和为是解题关键．
【变式10-2】（23-24九年级·浙江杭州·期末）如图，AB是O的直径，AB＝4，C为的三等分点（更靠近A点），点P是O上一个动点，取弦AP的中点D，则线段CD的最大值为（ ）

A．2 B． C． D．
【答案】D
【分析】取OA的中点Q，连接DQ，OD，CQ，根据条件可求得CQ长，再由垂径定理得出OD⊥AP，由直角三角形斜边中线等于斜边一半求得QD长，根据当C,Q,D三点共线时，CD长最大求解.
【详解】解：如图，取AO的中点Q,连接CQ，QD，OD，
∵C为的三等分点，
∴的度数为60°，
∴∠AOC=60°,
∵OA=OC,
∴△AOC为等边三角形，
∵Q为OA的中点，
∴CQ⊥OA，∠OCQ=30°,
∴OQ= ,
由勾股定理可得，CQ= ,
∵D为AP的中点,
∴OD⊥AP，
∵Q为OA的中点，
∴DQ= ,
∴当D点CQ的延长线上时，即点C,Q,D三点共线时，CD长最大，最大值为 .
故选D

【点睛】本题考查利用弧与圆心角的关系及垂径定理求相关线段的长度，并且考查线段最大值问题，利用圆的综合性质是解答此题的关键.
【变式10-3】（23-24九年级·山东青岛·期末）如图，是的直径，，点M在上，，N是弧的中点，P是直径上的一动点．若，则周长的最小值为 ．

【答案】
【分析】作点N关于的对称点，则点在上，连接交于P，此时的值最小，最小值为的长，连接，，，求出，证明是正三角形，可得，然后可得答案．
【详解】解：如图，作点N关于的对称点，则点在上，连接交于P，此时的值最小，最小值为的长，连接，，，

∵N是弧的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴是正三角形，
∴，
又∵，
∴周长的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，利用轴对称求最短路径，等边三角形的判定和性质，作出辅助线，确定出取最小值时点P的位置是解题的关键．
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