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专题24.4 圆周角定理【十大题型】
【人教版】
【题型1 圆周角的定义】 1
【题型2 圆周角定理求角度】 2
【题型3 同弧（等弧）所对的圆周角关系】 4
【题型4 直径所对的圆周角90°的应用】 5
【题型5 利用圆内接四边形的性质求角】 6
【题型6 利用圆内接四边形的性质求线段长度】 7
【题型7 利用圆内接四边形的性质进行证明】 8
【题型8 确定圆的条件】 10
【题型9 尺规作外接圆】 10
【题型10 求外接圆的半径】 12
知识点1：圆周角定理
圆周角定理 定理：圆周角的度数等于它所对的弧的圆心角度数的一半 是所对的圆心角， 是所对的圆周角，
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等 和都是所对的圆周角
推论2：直径所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径 是的直径 是所对的圆周角 是所对的圆周角 是的直径
【题型1 圆周角的定义】
【例1】（23-24九年级·全国·课后作业）下列各图中，为圆周角的是（　　）
A．B． C． D．
【变式1-1】（23-24九年级·福建厦门·期末）如图，△ABC内接于圆，弦BD交AC于点P，连接AD．下列角中，所对圆周角的是（ ）
A．∠APB B．∠ABD C．∠ACB D．∠BAC
【变式1-2】（23-24九年级·江西赣州·期末）如图，是的直径，为圆内一点，则下列说法中正确的是（ ）
A．是的弦 B．是圆心角
C．是圆周角 D．
【变式1-3】（23-24九年级·全国·课后作业）如图，A，B，C，D，E是⊙O上的五个点，则图中共有 个圆周角，分别是 ．
【题型2 圆周角定理求角度】
【例2】（2024·广东湛江·模拟预测）如图，点C是的劣弧上一点，，则的度数为（　　）

A． B． C． D．
【变式2-1】（2024·广东湛江·模拟预测）如图，是的直径，是弦，连接，若，的度数是（　　）
A． B． C． D．
【变式2-2】（2024·江苏淮安·模拟预测）如图，A、B、C三点都在上，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
【变式2-3】（2024九年级·湖南·专题练习）如图，是的直径，点在上，，则 度．
【题型3 同弧（等弧）所对的圆周角关系】
【例3】（23-24九年级·全国·假期作业）如图，是的直径，是的中点，于点，交于点．
(1)求证：；
(2)若，，求的半径及的长．
【变式3-1】（23-24九年级·全国·单元测试）如图，内接于，是的直径，点是圆上一点，连接，，，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】（23-24九年级·上海黄浦·阶段练习）如图，正六边形内接于，点M在上，则的度数为 ．
【变式3-3】（2024·安徽马鞍山·一模）如图，在中，、为弦，为直径，于E，于F，与相交于G．
(1)求证：；
(2)若，，求的半径．
【题型4 直径所对的圆周角90°的应用】
【例4】（2024九年级·江苏·专题练习）如图，已知是的直径，点是上一点，连结，，点为的中点，连结交于点．
(1)求证：；
(2)若，，求长．
【变式4-1】（23-24九年级·福建福州·期末）如图，为的直径，为的弦，D为上一点，且，连接，若，，则的度数为（　　）

A． B． C． D．
【变式4-2】（2024·江苏扬州·三模）如图，在直角坐标系中，，是上一点，B是y正半轴上一点，且，，垂足为，则的最小值为 ．
【变式4-3】（2024·四川达州·模拟预测）如图，是的外接圆，是的直径，是延长线上一点，连接，，且是的切线．
(1)求证：；
(2)若，，求的半径．
知识点2：圆内接四边形
圆的内接四边形对角互补 四边形是的内接四边形
【题型5 利用圆内接四边形的性质求角】
【例5】（23-24九年级·全国·课后作业）已知在半径为4的中，弦，点P在圆上，则的度数为 ．
【变式5-1】（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，四边形是的内接四边形，点在四边形内部，过点作的切线交的延长线于点，连接．若，，则的度数为 ．
【变式5-2】（23-24九年级·全国·单元测试）如图，是圆内接四边形的一条对角线，点D关于的对称点E在边上，连结．若，则的度数为 ．
【变式5-3】（23-24九年级·全国·单元测试）如图，小明把一副三角尺放到圆中，斜边重合，点A、B、C、D均在圆上，其中，点P是圆上任意一点（不与A、B、C、D重合），则的度数为 ．
【题型6 利用圆内接四边形的性质求线段长度】
【例6】（2024·江苏·模拟预测）如图，四边形是内接四边形，，，连接，于点，连接，若，，则的长为 ．

【变式6-1】（2024九年级·安徽·专题练习）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，∠C=120°．若AD=2，则AB的长为（　　）
A． B．2 C．2 D．4
【变式6-2】（23-24九年级·江苏无锡·期中）如图，在圆内接四边形中，，，以为轴，为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，若点的坐标为，则圆的直径长度是 ．
【变式6-3】（23-24九年级·全国·单元测试）如图，在中，，过B、C两点的交于点D，交于点E，连接并延长交于点F，连接，若，，则的值为 ．
【题型7 利用圆内接四边形的性质进行证明】
【例7】（23-24九年级·陕西延安·期中）如图，四边形内接于，、分别在、的延长线上，且，求证：．
【变式7-1】（23-24九年级·吉林白山·期末）如图，在中，以为直径的分别交于，交于，连接，．
求证：．
【变式7-2】（23-24九年级·北京通州·期末）如图，中，，以为直径的半圆与交于点D，与交于点E．
(1)求证：点D为的中点；
(2)求证：．
【变式7-3】（23-24九年级·浙江杭州·期中）已知，如图，是的直径，弦于点E，G是上一点，与的延长线交于点F，设半径为R．
(1)若，，求：
①______（用R的代数式表示）；
②的半径长．
(2)求证：．
知识点3：确定圆的条件
不在同一条直线上的三个点确定一个圆。
经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆。外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心。
【题型8 确定圆的条件】
【例8】（2024九年级·全国·专题练习）已知：A，B，C，D，E五个点中无任何三点共线，无任何四点共圆，那么过其中的三点作圆，最多能作出( )．
A．5个圆 B．8个圆 C．10个圆 D．12个圆
【变式8-1】（23-24九年级·江苏淮安·阶段练面直角坐标系内的三个点，，， 确定一个圆，（填“能”或“不能”）．
【变式8-2】（23-24九年级·江苏淮安·阶段练习）如图，小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的一块碎片应该是第 块．
【变式8-3】（23-24九年级·江苏南京·期中）如图①，若BC是Rt△ABC和Rt△DBC的公共斜边，则A、B、C、D在以BC为直径的圆上，则叫它们“四点共圆”．如图②，△ABC的三条高AD、BE、CF相交于点H，则图②中“四点共圆”的组数为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．6
【题型9 尺规作外接圆】
【例9】（2024·河南商丘·一模）如图，已知，求作：以为一边作，且满足与互补．
作法：①作边的垂直平分线；
②作边的垂直平分线，直线，交于点；
③以为圆心，长为半径作；
④连接并延长，交于点，连接．

(1)请使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）．
(2)求证：即为所求作的三角形．
【变式9-1】（2024·陕西西安·模拟预测）如图，已知，请用尺规作图法在直线上方确定一点P，连接，使．（不写作法，保留作图痕迹）

【变式9-2】（2024·浙江绍兴·模拟预测）已知如图．
（1）用直尺和圆规求作圆心O，并补全这个圆；
（2）用直尺和圆规求作这条弧的四等分点．
【变式9-3】（23-24九年级·浙江杭州·阶段练习）学习完《垂径定理》这一节内容后，同学们学到了如何用直尺和圆规来平分一条已知弧的方法，老师接下来请小亮同学做如下四等分圆弧问题的操作：
请利用直尺和圆规四等分．
小亮的作法如下：
如图， （1）连接； （2）作的垂直平分线交于点M，交于点T； （3）分别作线段，线段的垂直平分线，交于N，P两点；那么N，M，P三点把四等分．
(1)请你帮判断小亮作法是否正确；若不正确，请你利用直尺和圆规四等分所给的（保留作图痕迹）．
(2)找出圆的心（保留作图痕迹）．
【题型10 求外接圆的半径】
【例10】（2024·浙江杭州·三模）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝8，按下列步骤作图：①以点A为圆心，适当的长度为半径作弧，分别交AB，AC于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径作弧相交于点H，作射线AH；②分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径作弧相交于点M，N，作直线MN，交射线AH于点O；③以点O为圆心，线段OA长为半径作圆．则⊙O的半径为 ．
【变式10-1】（23-24九年级·江苏南京·阶段练习）如图，在中，，，是的外接圆．

(1)请用圆规和无刻度的直尺画出，不写作法，保留作图痕迹，用黑色笔将痕迹加黑；
(2)求的半径；
(3)若在同一平面内的也经过、两点，且，请直接写出的半径的长．
【变式10-2】（2024·江苏常州·一模）如图，在中，，交的延长线于点C，交的延长线于点E．
(1)求证：．
(2)运用无刻度的直尺和圆规画出的外接圆，且当，时，的外接圆半径为________．
【变式10-3】（23-24九年级·湖北武汉·阶段练习）如图是由3个边长为2的正方形组成的物件，将它镶嵌在一个圆形的金属框上，使A，B，C三点恰好在金属框上，则该金属框的半径是（ ）
A． B． C． D．421世纪教育网(www.21cnjy.com)
专题24.4 圆周角定理【十大题型】
【人教版】
【题型1 圆周角的定义】 2
【题型2 圆周角定理求角度】 4
【题型3 同弧（等弧）所对的圆周角关系】 6
【题型4 直径所对的圆周角90°的应用】 12
【题型5 利用圆内接四边形的性质求角】 17
【题型6 利用圆内接四边形的性质求线段长度】 20
【题型7 利用圆内接四边形的性质进行证明】 25
【题型8 确定圆的条件】 30
【题型9 尺规作外接圆】 32
【题型10 求外接圆的半径】 36
知识点1：圆周角定理
圆周角定理 定理：圆周角的度数等于它所对的弧的圆心角度数的一半 是所对的圆心角， 是所对的圆周角，
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等 和都是所对的圆周角
推论2：直径所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径 是的直径 是所对的圆周角 是所对的圆周角 是的直径
【题型1 圆周角的定义】
【例1】（23-24九年级·全国·课后作业）下列各图中，为圆周角的是（　　）
A．B． C． D．
【答案】D
【分析】此题考查了圆周角定义．顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角，此题比较简单，解题的关键是理解圆周角的定义．
根据由圆周角的定义逐项判定即可．
【详解】解：A、的边不是与圆相交所得，所以不是圆周角，故此选项不符合题意；
B、的边、都不是与圆相交所得，所以不是圆周角，故此选项不符合题意；
C、的顶点没在圆上，所以不是圆周角，故此选项不符合题意；
D、符合圆周角定义，是圆周角，故此选项符合题意；
故选：D．
【变式1-1】（23-24九年级·福建厦门·期末）如图，△ABC内接于圆，弦BD交AC于点P，连接AD．下列角中，所对圆周角的是（ ）
A．∠APB B．∠ABD C．∠ACB D．∠BAC
【答案】C
【分析】根据题意可直接进行求解．
【详解】解：由图可知：所对圆周角的是∠ACB或∠ADB，
故选C．
【点睛】本题主要考查圆周角的定义，熟练掌握圆周角是解题的关键．
【变式1-2】（23-24九年级·江西赣州·期末）如图，是的直径，为圆内一点，则下列说法中正确的是（ ）
A．是的弦 B．是圆心角
C．是圆周角 D．
【答案】B
【分析】根据弦、圆心角、圆周角的概念可直接进行排除选项．
【详解】解：A、点C不在上，所以AC不是的弦，故错误，不符合题意；
B、因为点O是圆心，所以∠BOC是圆心角，故正确，符合题意；
C、点C不在上，所以∠C不是圆周角，故错误，故不符合题意；
D、当点C在圆上时，则OC=OA=OB，若成立，则AC+OC＜OA+OB，
∴AC＜OA，与题干矛盾，
∴D选项错误，不符合题意；
故选B．
【点睛】本题主要考查弦、圆心角、圆周角的概念，熟练掌握弦、圆心角、圆周角的概念是解题的关键．
【变式1-3】（23-24九年级·全国·课后作业）如图，A，B，C，D，E是⊙O上的五个点，则图中共有 个圆周角，分别是 ．
【答案】 6 ∠ACB，∠BCE，∠ACE，∠CBD，∠CED，∠BDE
【分析】根据圆周角的定义进行判断即可.
【详解】根据题意可知图中共有6个圆周角，分别是∠ACB，∠BCE，∠ACE，∠CBD，∠CED，∠BDE.
故答案为6；∠ACB，∠BCE，∠ACE，∠CBD，∠CED，∠BDE.
【点睛】本题考查圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角.
【题型2 圆周角定理求角度】
【例2】（2024·广东湛江·模拟预测）如图，点C是的劣弧上一点，，则的度数为（　　）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了圆周角定理和圆内接四边形性质的应用，正确作辅助线是解此题的关键．
在优弧上取一点D，连接，，根据圆周角定理求出，再根据圆内接四边形性质即得．
【详解】在优弧上取一点D，连接，，
∵，
∴，
∴．
故选：C．

【变式2-1】（2024·广东湛江·模拟预测）如图，是的直径，是弦，连接，若，的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题考查了圆周角定理．注意在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．根据邻补角的性质求得的度数，再根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半即可求得的度数，
【详解】解：∵，
∴．
∵，
∴．
故选：C．
【变式2-2】（2024·江苏淮安·模拟预测）如图，A、B、C三点都在上，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．直接根据圆周角定理求解即可．
【详解】解：根据圆周角定理可得：
故选：B．
【变式2-3】（2024九年级·湖南·专题练习）如图，是的直径，点在上，，则 度．
【答案】
【分析】本题考查了圆周角定理，邻补角，根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半求出的度数，根据平角的定义即可得到的度数，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．
【详解】解：∵是所对的圆周角，
∴，
∴，
故答案为：．
【题型3 同弧（等弧）所对的圆周角关系】
【例3】（23-24九年级·全国·假期作业）如图，是的直径，是的中点，于点，交于点．
(1)求证：；
(2)若，，求的半径及的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)半径为，BF为
【分析】（1）根据同弧或等弧所对的圆周角相等得，根据直径所对的圆周角是直角得，再结合，可得出，即可得证；
（2）根据圆心角、弧、弦之间的关系得，在中，得，得出的半径，再根据，得，继而得到，设，则，在中，根据勾股定理得出，
解得：，即可得解．
【详解】（1）证明：∵是的中点，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴，即，
∵，
∴，即，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，，，
∴，
在中，，
∴的半径为，
∵，
∴，
在中，，
设，则，
∵在中，，
∴，
解得：，
∴，
∴的半径为，的长为．
【点睛】本题考查同弧或等弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，圆心角、弧、弦之间的关系，直角三角形两锐角互余，等角对等边，勾股定理，等积法等知识点．掌握圆的基本性质是解题的关键．
【变式3-1】（23-24九年级·全国·单元测试）如图，内接于，是的直径，点是圆上一点，连接，，，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了圆的基本性质，等腰三角形的性质，圆周角定理；由圆的基本性质得，，由圆周角定理得，由等腰三角形的性质即可求解；掌握圆周角定理和圆的基本性质是解题的关键．
【详解】解： 是的直径，
，
，
又 ，
，
，
，
，
，
，
．
故选：C．
【变式3-2】（23-24九年级·上海黄浦·阶段练习）如图，正六边形内接于，点M在上，则的度数为 ．
【答案】/60度
【分析】本题考查了正六边形的性质、圆周角定理；熟练掌握正六边形的性质，由圆周角定理求出是解决问题的关键．
连接，由正六边形的性质得出，由圆周角定理即可求解．
【详解】解：如图：连接，
∵多边形是正六边形，
，
，
，
故答案为：．
【变式3-3】（2024·安徽马鞍山·一模）如图，在中，、为弦，为直径，于E，于F，与相交于G．
(1)求证：；
(2)若，，求的半径．
【答案】(1)见详解
(2)
【分析】本题考查了圆的基本性质，垂径定理，等腰三角形的判定及性质，勾股定理等；
（1）连接，由同弧所对的圆周角相等得，由同角的余角相等得，从而可得，由等腰三角形的判定及性质即可得证；
（2）连接，设，可得 ，由线段和差得 ，由垂径定理得，由勾股定理得，即可求解；
掌握垂径定理，能构建直角三角形，并熟练利用勾股定理求解是解题的关键．
【详解】（1）证明：如图，连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：如图，连接，
设，
，
，
，
，
为直径，，
，
在中，
，
，
解得：，，
故的半径为．
【题型4 直径所对的圆周角90°的应用】
【例4】（2024九年级·江苏·专题练习）如图，已知是的直径，点是上一点，连结，，点为的中点，连结交于点．
(1)求证：；
(2)若，，求长．
【答案】(1)证明见解析；
(2)．
【分析】（）连接，由圆心角、弧、弦的关系得到，由等腰三角形的性质推出，由圆周角定理推出，即可证明；
（）设圆的半径是，得到，由垂径定理得，由勾股定理得到，求出，因此，由勾股定理即可求出．
【详解】（1）证明：连接，
∵是中点，
∴，
∵，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∴；
（2）解：设圆的半径是，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，勾股定理，等腰三角形的性质，垂径定理，解题的关键是熟练掌握知识点的应用．
【变式4-1】（23-24九年级·福建福州·期末）如图，为的直径，为的弦，D为上一点，且，连接，若，，则的度数为（　　）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查圆周角定理，等腰三角形判定和性质，连接，交于点，易得垂直平分，利用勾股定理求出的长，得到为等腰直角三角形，得到，圆周角定理，得到，，利用三角形的内角和定理，即可得出结果．
【详解】解：连接，交于点，则：，
∵，
∴垂直平分，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵为的直径，，
∴，，
∴，
∴；
故选C
【变式4-2】（2024·江苏扬州·三模）如图，在直角坐标系中，，是上一点，B是y正半轴上一点，且，，垂足为，则的最小值为 ．
【答案】/
【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，圆周角定理，点到圆上的最短距离，勾股定理等知识点，合理作出辅助线是解题的关键．
过点作轴，交的延长线于点，利用判定出得到，再根据推出点的运动轨迹，取的中点，连接，用勾股定理求出的长，即可求得最小值．
【详解】解：如图，过点作轴，交的延长线于点，
∵，
∴．
∵，轴，
∴，，
∴，
又∵，，
∴（ASA），
∴，
∵，
∴点在以为直径的圆上，
取的中点，连接，
∴，，
∴当点三点共线时，有的最小值为；
故答案为：．
【变式4-3】（2024·四川达州·模拟预测）如图，是的外接圆，是的直径，是延长线上一点，连接，，且是的切线．
(1)求证：；
(2)若，，求的半径．
【答案】(1)见解析
(2)的半径为2
【分析】本题主要考查了圆的基本性质、圆周角、切线的性质、勾股定理等知识，正确作出辅助线是解题关键．
（1）连接，结合“直径所对的圆周角为直角”可得，即有，再结合切线的性质可得，进而可得，可证明，结合，易得，即可证明结论；
（2）设，在中，根据勾股定理可得，代入数值并计算，即可获得答案．
【详解】（1）证明：如图，连接，
∵是的直径，
∴，
∴，
∵是的切线，为半径，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：设，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得，
即的半径为2．
知识点2：圆内接四边形
圆的内接四边形对角互补 四边形是的内接四边形
【题型5 利用圆内接四边形的性质求角】
【例5】（23-24九年级·全国·课后作业）已知在半径为4的中，弦，点P在圆上，则的度数为 ．
【答案】或
【分析】如图，过点O作于点C，连接，．由，可得，分当点P在优弧上时，当点P在劣弧上两种情况，再进一步解答可得答案；
【详解】解：如图，当点P在优弧上时，过点O作于点C，
连接，．
由垂径定理可得．
在中，，
∴，
∴．
在中，
∵，
∴．
∴所对的圆心角，
则．
当点P在劣弧上时，
．
故答案为：或
【点睛】本题考查的是垂径定理，圆周角定理的应用，圆的内接四边形的性质和解直角三角形，能够分情况讨论是解题的关键．
【变式5-1】（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，四边形是的内接四边形，点在四边形内部，过点作的切线交的延长线于点，连接．若，，则的度数为 ．
【答案】/105度
【分析】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，圆内接四边形的性质等知识，连接，利用等边对等角得出，，利用切线的性质可求出，然后利用圆内接四边形的性质求解即可．
【详解】解∶连接，
∵，，
∴，，
∵是切线，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是的内接四边形，
∴，
故答案为：．
【变式5-2】（23-24九年级·全国·单元测试）如图，是圆内接四边形的一条对角线，点D关于的对称点E在边上，连结．若，则的度数为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质以及三角形的外角，直接利用圆内接四边形的性质结合三角形外角的性质得出答案．
【详解】解：∵圆内接四边形，
∴，
∵点D关于的对称点E在边上，
∴，
∴．
故答案为：．
【变式5-3】（23-24九年级·全国·单元测试）如图，小明把一副三角尺放到圆中，斜边重合，点A、B、C、D均在圆上，其中，点P是圆上任意一点（不与A、B、C、D重合），则的度数为 ．
【答案】或
【分析】本题考查了圆周角定理，圆内角四边形内角和问题，分为当点P在优弧上时以及当点P在劣弧上时两种情况下进行求解即可．
【详解】解：当点P在优弧上时，
；
当点P在劣弧上时，四边形为圆内接四边形，
，
，
.的度数为或，
故答案为：或．
【题型6 利用圆内接四边形的性质求线段长度】
【例6】（2024·江苏·模拟预测）如图，四边形是内接四边形，，，连接，于点，连接，若，，则的长为 ．

【答案】
【分析】连接，由，得到，求得是等边三角形，根据等边三角形的性质得到，，求得，推出，根据全等三角形的性质得到，求得，得到，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】解：连接，

∵，
∴，
∵，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【变式6-1】（2024九年级·安徽·专题练习）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，∠C=120°．若AD=2，则AB的长为（　　）
A． B．2 C．2 D．4
【答案】D
【分析】连接OD，根据圆内接四边形的性质求出∠A=60°，得出△AOD是等边三角形，根据等边三角形的性质得出OD=OA=AD=2，求出直径AB即可．
【详解】解：连接OD，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠A+∠C=180°，
∵∠C=120°，
∴∠A=60°，
∵OD=OA，
∴△AOD是等边三角形，
∴AD=OD=OA，
∵AD=2，
∴OA=OD=OB=2，
∴AB=2+2=4，
故选：D．
【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质和等边三角形的性质和判定，能根据圆内接四边形的性质得出∠A+∠C=180°是解此题的关键．
【变式6-2】（23-24九年级·江苏无锡·期中）如图，在圆内接四边形中，，，以为轴，为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，若点的坐标为，则圆的直径长度是 ．
【答案】
【分析】本题考查圆内接四边形的性质，等腰直角三角形的性质以及圆周角定理，得到线段为圆的直径是解答的关键．圆内接四边形中，相对的角互补，结合已知条件可求出的度数，从而判定为等腰直角三角形；根据勾股定理可得的值，进而得到圆的直径．
【详解】解：四边形是圆内接四边形，
，
，
，
又，
，
，
点的坐标为，
，
．
，
线段为圆的直径，
圆的直径为．
故答案为：．
【变式6-3】（23-24九年级·全国·单元测试）如图，在中，，过B、C两点的交于点D，交于点E，连接并延长交于点F，连接，若，，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了圆周角定理及其推论、圆内接四边形的性质及勾股定理等知识点，会综合运用所学的知识点解决问题是解题的关键．根据圆内接四边形的性质及邻补角的定义证明，证明是等腰直角三角形，得出即可解答．
【详解】解： 四边形内接于，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
是的直径，
，
，
四边形是的内接四边形，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
则，
故答案为：．
【题型7 利用圆内接四边形的性质进行证明】
【例7】（23-24九年级·陕西延安·期中）如图，四边形内接于，、分别在、的延长线上，且，求证：．
【答案】见解析
【分析】本题考查了圆内接四边形对角互补，平行线的判定定理；根据四边形内接于，可得，根据已知条件得出，即可得证．
【详解】证明：∵四边形内接于，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【变式7-1】（23-24九年级·吉林白山·期末）如图，在中，以为直径的分别交于，交于，连接，．
求证：．
【答案】见解析
【分析】本题综合考查了圆内接四边形性质和等腰三角形的判定与性质，熟练运用相关知识是解答关键，根据等腰三角形性质得出，再根据圆内接四边形性质得出，证出即可证出结论．
【详解】证明：，
．
，，
，
，
．
【变式7-2】（23-24九年级·北京通州·期末）如图，中，，以为直径的半圆与交于点D，与交于点E．
(1)求证：点D为的中点；
(2)求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了等腰三角形的判定及性质、圆周角定理、圆内接四边形的性质：
（1）连接，利用等腰三角形的“三线合一”性质即可求证结论；
（2）方法一：根据圆内接四边形的性质及等腰三角形的判定即可求证结论；
方法二：利用等腰三角形的性质及圆周角定理即可求证结论；
熟练掌握相关知识是解题的关键．
【详解】（1）证明：连结，如图：
为半圆的直径，
∴，
∴，
∵，
∴点D为AB的中点．
（2）方法一：证明：∵，
∴，
∵四边形为圆内接四边形，
∴，
∴，
∴．
方法二：证明：连结，，
∵，，
∴，
∵，，
∴．
∴，
∴．
∵，
∴．
【变式7-3】（23-24九年级·浙江杭州·期中）已知，如图，是的直径，弦于点E，G是上一点，与的延长线交于点F，设半径为R．
(1)若，，求：
①______（用R的代数式表示）；
②的半径长．
(2)求证：．
【答案】(1)①；②5
(2)见解析
【分析】（1）①利用减去即可表示；②连接，设的半径为．在中，根据，构建方程即可解决问题；
（2）连接，根据垂径定理得到，根据圆周角定理得到，根据圆内接四边形的性质证明即可．
【详解】（1）解：①设的半径为．
∴；
②连接．
，
，
在中，，
，
解得．
（2）证明：连接，
弦
，
，
四边形是圆内接四边形，
，
．
【点睛】本题考查的是圆周角定理和垂径定理的应用，以及圆内接四边形的性质，掌握相应定理，学会添加常用辅助线是解题的关键．
知识点3：确定圆的条件
不在同一条直线上的三个点确定一个圆。
经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆。外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心。
【题型8 确定圆的条件】
【例8】（2024九年级·全国·专题练习）已知：A，B，C，D，E五个点中无任何三点共线，无任何四点共圆，那么过其中的三点作圆，最多能作出( )．
A．5个圆 B．8个圆 C．10个圆 D．12个圆
【答案】C
【分析】根据过不共线三点可作一个圆，找出不共线三点的组数即可．
【详解】解：过其中的三点作圆，最多能作出10个，即分别过点ABC、ABD、ABE、ACD、ACE、ADE、BCD、BCE、BDE、CDE的圆．
故选C．
【点睛】本题考查三点共圆问题，掌握查确定圆的个数方法是解题关键．
【变式8-1】（23-24九年级·江苏淮安·阶段练面直角坐标系内的三个点，，， 确定一个圆，（填“能”或“不能”）．
【答案】不能
【分析】本题考查确定圆的条件，解题的关键是掌握：不在同一直线上的三个点确定一个圆．
判断三个点在不在一条直线上即可．
【详解】解：∵，，，在这条直线上，，
∴三个点，，不能确定一个圆．
故答案为：不能．
【变式8-2】（23-24九年级·江苏淮安·阶段练习）如图，小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的一块碎片应该是第 块．
【答案】①
【分析】根据不在一条直线上三点确定一个圆即可解得．
【详解】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心．只要有一段弧，即可确定圆心和半径．
所以小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是①．
故答案为：①．
【点睛】本题考查的是垂径定理的推论的应用，确定圆的条件，掌握确定圆的的条件是解题的关键．
【变式8-3】（23-24九年级·江苏南京·期中）如图①，若BC是Rt△ABC和Rt△DBC的公共斜边，则A、B、C、D在以BC为直径的圆上，则叫它们“四点共圆”．如图②，△ABC的三条高AD、BE、CF相交于点H，则图②中“四点共圆”的组数为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】D
【分析】根据两个直角三角形公共斜边时，四个顶点共圆，结合图形求解可得．
【详解】解：如图，
以AH为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（A、F、H、E），
以BH为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（B、F、H、D），
以CH为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（C、D、H、E），
以AB为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（A、E、D、B），
以BC为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（B、F、E、C），
以AC为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（A、F、D、C），
共6组．
故选D．
【点睛】本题考查四点共圆的判断方法．解题的关键是明确有公共斜边的两个直角三角形的四个顶点共圆．
【题型9 尺规作外接圆】
【例9】（2024·河南商丘·一模）如图，已知，求作：以为一边作，且满足与互补．
作法：①作边的垂直平分线；
②作边的垂直平分线，直线，交于点；
③以为圆心，长为半径作；
④连接并延长，交于点，连接．

(1)请使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）．
(2)求证：即为所求作的三角形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据题意画出的垂直平分线，交于点，以为圆心，长为半径作，连接并延长，交于点，连接即可求解；
（2）根据直径所对的圆周角是直角，圆内接四边形对角互补，即可得证．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；

（2）证明：∵是的直径，
∴是直角，
∴是直角三角形，
∵是的内接四边形，
∴，
∴即为所求作三角形．
【变式9-1】（2024·陕西西安·模拟预测）如图，已知，请用尺规作图法在直线上方确定一点P，连接，使．（不写作法，保留作图痕迹）

【答案】见解析
【分析】作的外接圆，再根据同弧所对的圆周角相等在直线上方取圆上一点P即可．
【详解】解：如图，点P为所求,

【点睛】此题考查了三角形的外接圆的作图，圆周角定理等知识，熟练掌握三角形的外接圆的作图和圆周角定理是解题的关键．
【变式9-2】（2024·浙江绍兴·模拟预测）已知如图．
（1）用直尺和圆规求作圆心O，并补全这个圆；
（2）用直尺和圆规求作这条弧的四等分点．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）在上任意取一点E（A、B除外），连接AE，BE，作线段AE，BE的垂直平分线交于点O，以O为圆心，OA为半径作⊙O即可；
（2）连接AB，作AB的垂直平分线交于点C，连接AC、BC，分别作AC和BC的垂直平分线，交于点D、E即可．
【详解】解：（1）如图所示：点O和圆O即为所作；
（2）如图所示：D、C、E即为四等分点．
【点睛】本题考查作图—复杂作图，解题的关键是理解圆的相关性质，掌握垂直平分线的作法．
【变式9-3】（23-24九年级·浙江杭州·阶段练习）学习完《垂径定理》这一节内容后，同学们学到了如何用直尺和圆规来平分一条已知弧的方法，老师接下来请小亮同学做如下四等分圆弧问题的操作：
请利用直尺和圆规四等分．
小亮的作法如下：
如图， （1）连接； （2）作的垂直平分线交于点M，交于点T； （3）分别作线段，线段的垂直平分线，交于N，P两点；那么N，M，P三点把四等分．
(1)请你帮判断小亮作法是否正确；若不正确，请你利用直尺和圆规四等分所给的（保留作图痕迹）．
(2)找出圆的心（保留作图痕迹）．
【答案】(1)不正确，正确作图见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了垂径定理，确定圆心的位置：
（1）利用垂径定理即可判断小亮的作法是否正确；先作线段的垂直平分线，交于M，再分别作线段的垂直平分线交于N、P，则点M、N、P即为的四等分点；
（2）在上任取一点C，分别作线段的垂直平分线，二者的交点即为圆心的位置．
【详解】（1）解：小亮作法错误，理由：
直线，平分的是线段，，但，不是，对应的圆上的弦，所以作法错误；
正确作法如下，先作线段的垂直平分线，交于M，再分别作线段的垂直平分线交于N、P，则点M、N、P即为的四等分点；
（2）解：在上任取一点C，分别作线段的垂直平分线，二者的交点即为圆心的位置．
【题型10 求外接圆的半径】
【例10】（2024·浙江杭州·三模）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝8，按下列步骤作图：①以点A为圆心，适当的长度为半径作弧，分别交AB，AC于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径作弧相交于点H，作射线AH；②分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径作弧相交于点M，N，作直线MN，交射线AH于点O；③以点O为圆心，线段OA长为半径作圆．则⊙O的半径为 ．
【答案】5
【分析】如图，设交于．解直角三角形求出，再在中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．
【详解】解：如图，设交于．半径为，
，平分，
，，
，
在中，则有，
解得，
故答案为：5．
【点睛】本题考查作图-复杂作图，等腰三角形的性质，垂径定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
【变式10-1】（23-24九年级·江苏南京·阶段练习）如图，在中，，，是的外接圆．

(1)请用圆规和无刻度的直尺画出，不写作法，保留作图痕迹，用黑色笔将痕迹加黑；
(2)求的半径；
(3)若在同一平面内的也经过、两点，且，请直接写出的半径的长．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)或
【分析】（1）分别作出两边的垂直平分线，交点即为圆心O；
（2）过点作，垂足为，连接、，根据勾股定理即可求解；
（3）分两种情况说明的半径的长．
【详解】（1）解：如图所示：
（2）过点作，垂足为，连接、，
，，
垂直平分，
，
点在的垂直平分线上，即在上，
，
，
在中，，，
，
设，则．
在中，，
，即．
解得，
即的半径为；
（3）当也经过、两点，
则设，
，则或，
，
或．
所以的半径的长为或．
【点睛】本题考查了尺规作图，三角形外接圆与外心、等腰三角形的性质、勾股定理、垂径定理，解决本题的关键是准确确定点的两个位置．
【变式10-2】（2024·江苏常州·一模）如图，在中，，交的延长线于点C，交的延长线于点E．
(1)求证：．
(2)运用无刻度的直尺和圆规画出的外接圆，且当，时，的外接圆半径为________．
【答案】(1)见解析
(2)作图见解析，
【分析】本题考查了作图-复杂作图，全等三角形的判定和性质，勾股定理，证明三角形全等是解题的关键.
（1）由“”可证
（2）分别作的垂直平分线，两条直线交于点，以点为圆心，长为半径画圆即可画出的外接圆，由勾股定理可求的长， 即可求解.
【详解】（1）)证明：，
，
又 ，
在 和 ，
，
；
（2）
∵，，
∴， ，
∴，
的外接圆半径 ，
故答案为：
【变式10-3】（23-24九年级·湖北武汉·阶段练习）如图是由3个边长为2的正方形组成的物件，将它镶嵌在一个圆形的金属框上，使A，B，C三点恰好在金属框上，则该金属框的半径是（ ）
A． B． C． D．4
【答案】A
【分析】作的垂直平分线交于点，连接，设的垂直平分线交网格线于点，连接， 根据作图可得是过三点的圆的圆心，网格可得则，得出是等腰直角三角形，进而勾股定理求得，即可求解．
【详解】解：如图所示，作的垂直平分线交于点，连接，设的垂直平分线交网格线于点，连接，
根据作图可得是过三点的圆的圆心，
根据网格可得
∴
又∵
∴是等腰直角三角形，
∵ 小正方形的边长为2，
∴，
∴
故选：A．
【点睛】本题考查了确定圆的条件，圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
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