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专题24.7 切线长定理与三角形的内切圆【十大题型】
【人教版】
【题型1 利用切线长定理求线段长度】 1
【题型2 利用切线长定理求周长】 3
【题型3 利用切线长定理求面积】 4
【题型4 利用切线长定理求角度】 5
【题型5 利用切线长定理进行证明】 6
【题型6 利用切线长定理求内切圆半径】 8
【题型7 作三角形的内切圆】 9
【题型8 三角形内切圆中求最值】 10
【题型9 三角形周长、面积与内切圆半径的关系】 11
【题型10 三角形的内切圆与外接圆的综合】 12
知识点1：切线长定理、三角形的内切圆与内心
切线长定理：
（1）切线长的定义：经过园外一点作圆的切线，这点与切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。
（2）切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点与圆心的连线平分两条切线的夹角。
注意：切线与切线长就是两个完全不同的概念，必须弄清楚切线就是直线，就是不能度量的；切线长就是一条线段的长，这条线段的两个端点一个就是在圆外一点，另一个就是切点。
三角形的内切圆与内心：
（1）三角形的内切圆定义：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。这个三角形叫做圆的外切三角形。
（2）三角形的内心：三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心。
注意：三角形的内心就是三角形三条角平分线的交点，所以当三角形的内心已知时，过三角形的顶点与内心的射线，必平分三角形的内角。
【题型1 利用切线长定理求线段长度】
【例1】（23-24九年级·四川绵阳·阶段练习）如图，等腰的内切圆与，，分别相切于点D，E、F，且，，则的长是（　　）
A． B． C． D．
【变式1-1】（23-24九年级·重庆北碚·期末）如图，是的切线，为切点，经过圆心，若，则的长度是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】（23-24九年级·河北承德·期末）如图，与正方形的两边，相切，且与相切于E点．若的半径为4，且，则的长度为（ ）
A．5 B．5.5 C． D．6
【变式1-3】（23-24九年级·江苏南京·期末）如图，为的直径，，分别与⊙O相切于点B，C，过点C作的垂线，垂足为E，交于点D．若，则长为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【题型2 利用切线长定理求周长】
【例2】（23-24九年级·浙江宁波·期末）如图，是的内切圆，分别与相切于D，E两点，已知，，则的周长为（ ）
A．14 B． C．16 D．18
【变式2-1】（23-24九年级·江西赣州·阶段练习）如图，已知是边长为3的等边三角形，的半径为1，是上一动点，，分别切于点，，的另一条切线切于点，分别交，于点，．若是的中点，则的周长是（ ）
A． B．6 C． D．
【变式2-2】（23-24九年级·北京海淀·期末）如图，过点作的切线，，切点分别是，，连接．过上一点作的切线，交，于点，．若，的周长为4，则的长为（ ）
A．2 B． C．4 D．
【变式2-3】（23-24九年级·江苏南通·期中）已知是边长为3的等边三角形，的半径为是上一动点，分别切于点的另一条切线交于点，则周长的取值范围是（ ）

A． B． C． D．
【题型3 利用切线长定理求面积】
【例3】（23-24九年级·江苏镇江·期末）我们知道：过圆外一点所画的圆的两条切线长相等．
【问题解决】如图，现有一块边长为的正方形空地，在边取一点，以长为直径，在这个正方形的空地内建一个半圆形儿童游乐场，过点划出一条与这个半圆相切的分割线，正方形位于分割线右下方的部分作为娱乐区，娱乐区的最大面积等于（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】（23-24九年级·山东威海·期末）如图，的内切圆分别与三边相切于点，点和点，若，，则的面积为 ．
【变式3-2】（23-24九年级·四川·期末）如图，直线分别与⊙相切于，且∥，连接，若，则梯形的面积等于（　 　）
A．64 B．48 C．36 D．24
【变式3-3】（23-24九年级·全国·单元测试）如图所示，在中，，以为直径的与边交于点，过点作的切线，交于点．
(1)求证：．
(2)若以，，，四点为顶点的四边形是正方形，的半径为，求的面积．
(3)若，，求的半径的长．
【题型4 利用切线长定理求角度】
【例4】（23-24九年级·湖北武汉·期末）四边形是的外切四边形，若，则的度数是 ．
【变式4-1】（23-24九年级·四川广安·期末）如图，，是的两条切线，切点分别为，，连接，，若，则 °．
【变式4-2】（23-24九年级·辽宁葫芦岛·期末）如图，是的切线，是切点，分别交于，两点，若，则 ．
【变式4-3】（23-24九年级·浙江杭州·期中）如图，A是外一点，分别与相切于点B，C．P是上任意一点，过点P作的切线，交于点M，交于点N．，则的周长是 ，若，则 ．
【题型5 利用切线长定理进行证明】
【例5】（23-24九年级·北京·期末）如图，是的直径，，是的两条切线，切点分别为B，C．连接交于点D，交于点E，连接．
(1)求证：；
(2)若点E是的中点，的半径为6，求的长．
【变式5-1】（23-24九年级·江苏南京·期末）如图，，是的切线，，为切点，连接．
(1)若与相切于点，求证；
(2)若，求证与相切．
【变式5-2】（23-24九年级·河南安阳·期中）如图，在中，为直径，点M为延长线上的一点，与相切于点C，圆周上有另一点D与点C分居直径两侧，且使得，连接．
求证：①与相切；
②四边形是__________形；
③__________．
【变式5-3】（23-24九年级·广东云浮·期末）如图1所示，为的外接圆，为直径，、分别与相切于点D、C（）.E在线段上，连接并延长与直线相交于点P，B为中点.
(1)证明：是的切线.
(2)如图2，连接，，求证：.
【题型6 利用切线长定理求内切圆半径】
【例6】（23-24九年级·江苏南通·期中）如图，在中，，，，则的内切圆半径 ．
【变式6-1】（23-24九年级·河北邢台·期末）如图，将刻度尺、含角的直角三角板和量角器如图摆放（无重叠部分），若三角板角的顶点A在刻度尺上的读数是，量角器与刻度尺接触点在刻度尺上的读数是，量角器与三角板的接触点为B．
（1） ．
（2）该量角器的直径长为 ．（结果保留根号）
【变式6-2】（23-24九年级·江苏南京·期末）如图，在四边形中，分别与相切于B、E、A三点，为的直径．若，则的半径为 ．

【变式6-3】（23-24九年级·湖北荆门·期末）如图， 内切于正方形，边、上两点，，且是的切线，当的面积为时，则的半径是 ．

【题型7 作三角形的内切圆】
【例7】（2024·浙江绍兴·一模）如图，在的正方形网格中，有部分网格线被擦去．点，，在格点（正方形网格的交点）上．
（1）请用无刻度的直尺在图1中找到三角形的外心；
（2）请用无刻度的直尺在图2中找到三角形的内心．
【变式7-1】（23-24九年级·广东江门·期末）为建设绿色花园城市，某小区要在一块等边空地内修建一个圆形花坛．
(1)实践与操作：要使花坛面积最大，用尺规作图法画出圆形花坛示意图（保留作图痕迹，不要求写作法）；
(2)应用与计算：在（1）的条件下，米，求圆形花坛的面积．
【变式7-2】（23-24九年级·江苏连云港·期中）如图，点C，D分别在射线OA、OB上，求作⊙P，使它与OA、OB、CD都相切．（使用直尺、圆规、直角板作图并保留作图痕迹）

【变式7-3】（23-24九年级·江苏连云港·期中）按着要求画图．

(1)在图1中，利用直尺和圆规，作出的内切圆（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)如图2，由小正方形构成的网格中，每个正方形的顶点叫做格点．的顶点都在格点上，经过、、三点，仅用无刻度的直尺在给定的网格中按要求作图（不写作法，保留作图痕迹）．
①在图2中，找出的圆心．
②在图2中的边上找到一点，使得平分；
③在图2备用图中的上找到一点（不与点重合），使得．
【题型8 三角形内切圆中求最值】
【例8】（2024·四川内江·一模）如图，矩形的顶点A，C分别在x轴、y轴上，点B的坐标为，是的内切圆，点N，点P分别是，x轴上的动点，则的最小值是 ．

【变式8-1】（23-24九年级·江苏南京·阶段练习）如图，矩形ABCD，AD＝6，AB＝8，点P为BC边上的中点，点Q是的内切圆圆O上的一个动点，点M是CQ的中点，则PM的最大值是 ．
【变式8-2】（23-24九年级·湖北武汉·阶段练习）如图，点B的坐标为，以O点为圆心，以为半径的圆交y轴于点A，点C为第一象限圆上一动点，轴于D点，点I为的内心，则的最小值为 ．
【变式8-3】（2024九年级·全国·竞赛）如图，以的斜边为直径作，为的内心，点为上一个动点，为的中点，若，，则的最大值为 ．
【题型9 三角形周长、面积与内切圆半径的关系】
【例9】（23-24九年级·陕西西安·期中）如图，已知中，，为的内切圆，若，且的面积为24，则的周长为（　　）
A．48 B． C．24 D．
【变式9-1】（2024·广西梧州·二模）如图，是的内切圆，若的周长为18，面积为9，则的半径是（　　）

A．1 B． C．1.5 D．2
【变式9-2】（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，在中，，为中线，若，，设与的内切圆半径分别为，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式9-3】（23-24九年级·浙江·期中）小明准备以“青山看日出”为元素为永嘉县某名宿设计标志示意图，如图所示，他利用两个等边三角形和一个圆分别表示青山和日出，已知点，，，在同一条直线上，且，四边形和四边形的面积之差为，则的长是 ；连结，若是的内切圆，则圆心到的距离是 ．

【题型10 三角形的内切圆与外接圆的综合】
【例10】（23-24九年级·浙江台州·期中）如图，中，，，内心为I，连接并延长交的外接圆于D，若，则 （ ）
A． B．1 C． D．
【变式10-1】（23-24九年级·江苏扬州·期中）一个三角形三边长分别为5，12，13，R是其外接圆半径，r是其内切圆半径，则R﹣r＝ ．
【变式10-2】（23-24九年级·江苏盐城·期中）如图，I是的内心，的延长线交的外接圆于点D．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)连接、，求证：点D是的外心．
【变式10-3】（2024·山东潍坊·三模）如图，点I是△ABC的内心，BI的延长线与△ABC的外接圆⊙O交于点D，与AC交于点E，延长CD、BA相交于点F，∠ADF的平分线交AF于点G．
（1）求证：DG是⊙O的切线；
（2）若DE＝4，BE＝5，求DI的长．
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专题24.7 切线长定理与三角形的内切圆【十大题型】
【人教版】
【题型1 利用切线长定理求线段长度】 2
【题型2 利用切线长定理求周长】 6
【题型3 利用切线长定理求面积】 10
【题型4 利用切线长定理求角度】 15
【题型5 利用切线长定理进行证明】 19
【题型6 利用切线长定理求内切圆半径】 25
【题型7 作三角形的内切圆】 30
【题型8 三角形内切圆中求最值】 34
【题型9 三角形周长、面积与内切圆半径的关系】 41
【题型10 三角形的内切圆与外接圆的综合】 46
知识点1：切线长定理、三角形的内切圆与内心
切线长定理：
（1）切线长的定义：经过园外一点作圆的切线，这点与切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。
（2）切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点与圆心的连线平分两条切线的夹角。
注意：切线与切线长就是两个完全不同的概念，必须弄清楚切线就是直线，就是不能度量的；切线长就是一条线段的长，这条线段的两个端点一个就是在圆外一点，另一个就是切点。
三角形的内切圆与内心：
（1）三角形的内切圆定义：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。这个三角形叫做圆的外切三角形。
（2）三角形的内心：三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心。
注意：三角形的内心就是三角形三条角平分线的交点，所以当三角形的内心已知时，过三角形的顶点与内心的射线，必平分三角形的内角。
【题型1 利用切线长定理求线段长度】
【例1】（23-24九年级·四川绵阳·阶段练习）如图，等腰的内切圆与，，分别相切于点D，E、F，且，，则的长是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】连接，，，，，，交于点M，根据“从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角”可得，，，结合求得点E是中点，然后由等腰三角形三线合一的性质求得点A，O，E共线，在中由勾股定理求得后，利用的面积求得内切圆的半径；由切线长定理和等腰三角形三线合一的性质可得垂直平分，在中由勾股定理求得后，再利用面积法求得即可解答；
【详解】解：如下图，连接，，，，，，交于点M，
由切线长定理可知平分，，
∵，
∴，
∴，
同理根据切线长定理可知平分，，，
∴，
∴点E是中点，
根据等腰三角形三线合一的性质可得点E在的延长线上，即点A，O，E共线，
∴，
中由勾股定理可得，
∵且，
∴，
中由勾股定理可得，
等腰中由三线合一的性质可得垂直平分，
∵，
∴，
∴，
故选： D．
【点睛】本题考查了切线长定理，勾股定理，等腰三角形的性质；利用面积法求三角形内切圆半径可使计算简便．
【变式1-1】（23-24九年级·重庆北碚·期末）如图，是的切线，为切点，经过圆心，若，则的长度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了切线的性质定理，切线长定理，勾股定理，根据切线长定理，得到，根据切线性质，得，勾股定理计算即可．
【详解】∵是的切线，为切点，经过圆心，，
∴，，，
∴，
故选：B．
【变式1-2】（23-24九年级·河北承德·期末）如图，与正方形的两边，相切，且与相切于E点．若的半径为4，且，则的长度为（ ）
A．5 B．5.5 C． D．6
【答案】D
【知识点】根据正方形的性质与判定求线段长、切线的性质定理、应用切线长定理求解
【分析】设与正方形的边，切于点F，H，先证四边形是正方形，求出，再根据切线长定理可得．
【详解】解：如图，设与正方形的边，切于点F，H，
则，
，，
四边形是正方形，
的半径为4，且，
，，
，
与相切于点E，
，
故选D．
【点睛】本题考查了正方形的性质和判定，切线的性质，切线长定理等知识点的应用，解题的关键是根据切线长定理得出．
【变式1-3】（23-24九年级·江苏南京·期末）如图，为的直径，，分别与⊙O相切于点B，C，过点C作的垂线，垂足为E，交于点D．若，则长为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长、利用垂径定理求值、应用切线长定理求解
【分析】作于H，由垂径定理得到的长，从而求出的长，由勾股定理求出的长，即可求出的长．
【详解】解：作于H，
∵直径于H，
∴，
∵，分别切于C，B，
∴，直径，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查切线的性质，切线长定理，矩形的判定与性质，勾股定理，关键是通过辅助线构造直角三角形，应用勾股定理求出的长．
【题型2 利用切线长定理求周长】
【例2】（23-24九年级·浙江宁波·期末）如图，是的内切圆，分别与相切于D，E两点，已知，，则的周长为（ ）
A．14 B． C．16 D．18
【答案】C
【分析】本题主要考查切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键．
根据切线长定理得到，根据即可得到的周长．
【详解】解：如图：∵的内切圆分别与相切于点，且，
∴，
∵，
∴，
∴的周长，
故选：C．
【变式2-1】（23-24九年级·江西赣州·阶段练习）如图，已知是边长为3的等边三角形，的半径为1，是上一动点，，分别切于点，，的另一条切线切于点，分别交，于点，．若是的中点，则的周长是（ ）
A． B．6 C． D．
【答案】C
【知识点】等边三角形的性质、切线的性质定理、应用切线长定理求解
【分析】本题主要考查了切线的性质和切线长定理，根据切线长定理可知的周长，连接在中，由勾股定理求出的长即可得出结论
【详解】解：连接，如图，
∵是等边三角形，
∴
∵是的中点，
∴,
∵分别切于点M，N，
∴，
同理：，
∴的周长，
在中，，
∴的周长为，
故选：C
【变式2-2】（23-24九年级·北京海淀·期末）如图，过点作的切线，，切点分别是，，连接．过上一点作的切线，交，于点，．若，的周长为4，则的长为（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】B
【分析】本题考查切线长定理，勾股定理；利用切线长定理得出，，，再根据三角形周长等于4，可求得，从而利用勾股定理可求解．
【详解】解：∵，是的切线，切点分别是，，
∴，
∵、是的切线，切点是D，交，于点，，
∴，，
∵的周长为4，即，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
【变式2-3】（23-24九年级·江苏南通·期中）已知是边长为3的等边三角形，的半径为是上一动点，分别切于点的另一条切线交于点，则周长的取值范围是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等边三角形的性质、用勾股定理解三角形、切线的性质定理、应用切线长定理求解
【分析】连接，，根据切线长定理和切线性质、勾股定理求得，根据垂线段最短可得，当时，最小，求出最小值为，当点D与点B（或C）重合时，AD最长，此时，即可得出，从而可求得l最大与是最小值，即可得出答案．
【详解】解：连接，，设切于G，

∵，分别是的切线，
∴，
∵是的切线，
∴，，
∴，
∴周长，
∵是的切线，
∴，
∴，
∴，
∴当最小时，l最小，当最大时，l最大；
根据垂线段最短可得，当时，最小，
∵是边长为3的等边三角形，，
∴，
由勾股定理得：，
当点D与点B（或C）重合时，AD最长，此时，
∴，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查切线长定理，切线的性质，勾股定理，等边三角形的性质，垂线段最短．根据切线长定理和切线性质、勾股定理求得，以及当时，最小，点D与点B（或C）重合时，AD最长是解题的关键．
【题型3 利用切线长定理求面积】
【例3】（23-24九年级·江苏镇江·期末）我们知道：过圆外一点所画的圆的两条切线长相等．
【问题解决】如图，现有一块边长为的正方形空地，在边取一点，以长为直径，在这个正方形的空地内建一个半圆形儿童游乐场，过点划出一条与这个半圆相切的分割线，正方形位于分割线右下方的部分作为娱乐区，娱乐区的最大面积等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查切线的性质，正方形的性质，勾股定理，关键是掌握切线长定理．
当半圆面积最大，即M与A重合时，娱乐区的面积最大，由切线长定理得到，，由勾股定理列出关于的方程，求出的长即可解决问题．
【详解】解：当半圆面积最大，即M与A重合时，娱乐区的面积最大，与半圆相切于H，交于P，
∵四边形是正方形，
∴，
∴分别是半圆的切线，
∴，
设，则，，，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴娱乐区的最大面积梯形的面积．
故选：C．
【变式3-1】（23-24九年级·山东威海·期末）如图，的内切圆分别与三边相切于点，点和点，若，，则的面积为 ．
【答案】20
【分析】直接利用切线长定理得出，，，设，再结合勾股定理得出的长，进而得出答案．
本题考查了切线长定理和勾股定理，解决本题的关键是正确理解题意，熟练掌握切线长定理的相关内容，找到线段之间的关系．
【详解】的内切圆分别与斜边、直角边、切于点D、E、F，，，
，，，
设，
则
整理得，，
解得：，（不合题意舍去），
则， ，
，
故的面积为20，
故答案为20．
【变式3-2】（23-24九年级·四川·期末）如图，直线分别与⊙相切于，且∥，连接，若，则梯形的面积等于（　 　）
A．64 B．48 C．36 D．24
【答案】B
【知识点】应用切线长定理求解
【分析】先根据切线长定理得出，然后利用面积求出OF的长度，即可得到圆的半径，最后利用梯形的面积公式 即可求出梯形的面积．
【详解】连接OF，
∵直线分别与⊙相切于，
∴ ．
在 和 中，
∴,
∴．
在 和 中，
∴，
∴．
∵ ，
．
∵，
．
，
∴ ，
，
∴梯形的面积为
．
故选：B．
【点睛】本题主要考查切线的性质，切线长定理，梯形的面积公式，掌握切线的性质和切线长定理是解题的关键．
【变式3-3】（23-24九年级·全国·单元测试）如图所示，在中，，以为直径的与边交于点，过点作的切线，交于点．
(1)求证：．
(2)若以，，，四点为顶点的四边形是正方形，的半径为，求的面积．
(3)若，，求的半径的长．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【知识点】切线的性质定理、应用切线长定理求证、相似三角形的判定与性质综合
【分析】（1）根据切线长定理可得再证明得出从而可证明；
（2）连接，由四边形是正方形可得，进而得出和，运用三角形面积公式可得出结论；
（3）连接，证明得出代入数据求出，再由勾股定理求出的长即可得出圆的半径
【详解】（1）证明：如图所示，连接．
∵是直径,
∴
∴
，都是的切线，
，
；
又，，
，
．
．
（2）如图，连接．
当以，，，四点为顶点的四边形是正方形时，,
∴；
∵
∴，
∴
∵
．
（3）若，则
∵
∴
∴，即
∵ ，
∴，
在中，,
∴，
∴
【点睛】本题考查了圆的切线性质，切线长定理，相似三角形的判定与性质以及勾股定理等知识．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．
【题型4 利用切线长定理求角度】
【例4】（23-24九年级·湖北武汉·期末）四边形是的外切四边形，若，则的度数是 ．
【答案】/102度
【分析】本题主要考查了切线长定理，解题的关键是熟练掌握切线长定理及其推论．令四边形与分别相切于点E、F、G、H，连接，通过证明，即可求解．
【详解】解：令四边形与分别相切于点E、F、G、H，
连接，
∵是的外切四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
同理可得：，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【变式4-1】（23-24九年级·四川广安·期末）如图，，是的两条切线，切点分别为，，连接，，若，则 °．
【答案】
【分析】本题考查了切线的性质以及切线长定理．根据题意可得，，进而求得，根据等边对等角，即可求解．
【详解】解：，是的两条切线，
，，
，
，
，
．
故答案为：．
【变式4-2】（23-24九年级·辽宁葫芦岛·期末）如图，是的切线，是切点，分别交于，两点，若，则 ．
【答案】/度
【分析】本题考查了切线的性质定理以及切线长定理，连接，由切线的性质可求出，再由切线长定理可得出，可求得答案．
【详解】解：如图，连接，
∵分别为的切线，
∴，
∴，
∵为的切线，
∴，
∴，
故答案为：．
【变式4-3】（23-24九年级·浙江杭州·期中）如图，A是外一点，分别与相切于点B，C．P是上任意一点，过点P作的切线，交于点M，交于点N．，则的周长是 ，若，则 ．
【答案】 /110度
【分析】本题考查切线的性质、切线长定理，圆周角定理，先利用勾股定理可计算出的长，再根据切线长定理得到得到的周长，由四边形的内角和得到的度数，然后利用圆周角定理计算是解题的关键．
【详解】解：连接，，,
∵分别与切于点B，C，
∴，，，
在中，，
∵与相切于P，
∴，
∴的周长．
∵，，
∴，
∴，
∴优弧的度数为，
∴，
故答案为：，．
【题型5 利用切线长定理进行证明】
【例5】（23-24九年级·北京·期末）如图，是的直径，，是的两条切线，切点分别为B，C．连接交于点D，交于点E，连接．
(1)求证：；
(2)若点E是的中点，的半径为6，求的长．
【答案】(1)见解析；
(2)
【分析】（1）根据切线长定理得到，．根据等腰三角形的性质和中位线定理即可得到结论；
（2）根据题意得出为等边三角形，得出，得出，再由含30度角的直角三角形的性质及勾股定理求解即可．
【详解】（1）证明：∵，是的两条切线，切点分别为，，
∴，，
∴，，
∵，
∴是的中位线，
∴；
（2）∵，点是的中点，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∵是的切线，
∴，
∵的半径为6，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查切线的性质，切线长定理，中位线定理，等边三角形的判定和性质，勾股定理解三角形等知识点．熟练掌握切线的性质和切线长定理是解题的关键．
【变式5-1】（23-24九年级·江苏南京·期末）如图，，是的切线，，为切点，连接．
(1)若与相切于点，求证；
(2)若，求证与相切．
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析．
【分析】（）利用切线长定理证明，即可求证；
（）延长到点，使得，连，过点作，垂足为G，连接，，，，证明，再由证明，根据性质再证明，最后由性质即可求证；
此题考查了切线长定理和切线的判定与性质，全等三角形的性质和判定，熟练掌握以上知识点的的应用及正确添加辅助线是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵与相切，切点为，且，是的切线，，为切点，
∴ ，，
∵，
∴；
（2）证明：延长到点，使得，连接，过点作，垂足为G，连接，，，，
∵，，
∴ ，
∵，是的切线，，为切点，
∴，，
∵，，，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴平分，
又∵，，
∴，
∴与相切．
【变式5-2】（23-24九年级·河南安阳·期中）如图，在中，为直径，点M为延长线上的一点，与相切于点C，圆周上有另一点D与点C分居直径两侧，且使得，连接．
求证：①与相切；
②四边形是__________形；
③__________．
【答案】①见解析；②菱；③
【分析】①通过连接两条半径构建全等三角形，利用切线的判定即可证明与相切；②通过证明可得四边相等，根据菱形的判定即可求解；③通过等腰三角形的性质可得，，再根据切线的性质可得，再根据菱形的性质即可求解．
【详解】
解：①证：连接OC，OD
在和中
，
，
，
是的切线，
，
∴与相切；
②由①可知：，
又∵CM＝DM，AM＝AM，
∴，
∴AC＝AD，
∵AC＝AD＝CM＝MD，
∴四边形是菱形；
故答案为：菱；
③∵AM＝CM，OC＝OD，
∴，，
∵，
∴，
∵与相切，
∴，
∴，
又∵是菱形，
∴ ，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定、圆的切线的性质与判定、菱形的判定与性质、以及切线长定理等．切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角．此类题目综合性较强，熟练掌握每个知识点是解题关键．
【变式5-3】（23-24九年级·广东云浮·期末）如图1所示，为的外接圆，为直径，、分别与相切于点D、C（）.E在线段上，连接并延长与直线相交于点P，B为中点.
(1)证明：是的切线.
(2)如图2，连接，，求证：.
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）连接，根据直角三角形斜边上的中线的性质以及等边对等角得出，进而根据为切线，， ，得出，即可得证；
（2）根据、、分别与相切于点D、E、C，根据切线长定理得出，，则，，，，即可得出，进而即可得证．
【详解】（1）证明：连接，
∵为直径，
∴.
在中，B为中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵为切线，
∴，
∴
∴.
即，
∴是的切线.
（2）证明：∵、、分别与相切于点D、E、C，
∴，，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
【点睛】本题考查了切线的性质与切线长定理，掌握切线的判定方法以及切线长定理是解题的关键．
【题型6 利用切线长定理求内切圆半径】
【例6】（23-24九年级·江苏南通·期中）如图，在中，，，，则的内切圆半径 ．
【答案】1
【分析】本题考查了切线长定理，圆的切线的性质，正方形的判定与性质，熟练掌握切线长定理是解答本题的关键，首先利用切线的性质证明四边形是正方形，得到，再利用切线长定理得到，，最后由列方程即可求解．
【详解】设的内切圆与、、分别相切于点D、E、F，
，，
，
四边形是矩形，
，
四边形是正方形，
，
，，
，，
，，
在中，，
，
，
解得 ．
故答案为：1．
【变式6-1】（23-24九年级·河北邢台·期末）如图，将刻度尺、含角的直角三角板和量角器如图摆放（无重叠部分），若三角板角的顶点A在刻度尺上的读数是，量角器与刻度尺接触点在刻度尺上的读数是，量角器与三角板的接触点为B．
（1） ．
（2）该量角器的直径长为 ．（结果保留根号）
【答案】 2
【分析】本题考查了切线长定理，含30度角直角三角形的特征，勾股定理．根据题意得出和与量角器相切，则，，进而得出，即可解答．
【详解】解：令量角器与刻度尺接触点为点C，量角器圆心为点O，
根据题意可知，和与量角器相切，
∴，，，
∵A在刻度尺上的读数是，C在刻度尺上的读数是，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
根据勾股定理可得：，
∴该量角器的直径长为，
故答案为：2，．
【变式6-2】（23-24九年级·江苏南京·期末）如图，在四边形中，分别与相切于B、E、A三点，为的直径．若，则的半径为 ．

【答案】
【分析】本题考查了切线的性质，切线长定理，勾股定理，矩形的判定与性质，根据切线的性质把图形分割为矩形和直角三角形是解题的关键．
过D作于F，由切线的性质得四边形是矩形，则；由切线长定理可得的长，由勾股定理即可求解．
【详解】解：如图，过D作于F，
∵与，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∴；
∵分别与相切，
∴，
∴；
在中，由勾股定理得：，
∴，
∴的半径为．

故答案 为：
【变式6-3】（23-24九年级·湖北荆门·期末）如图， 内切于正方形，边、上两点，，且是的切线，当的面积为时，则的半径是 ．

【答案】
【分析】设正方形的边长为，则，设，，则，，，利用勾股定理得出，再由，得出，从而求出，得到．
【详解】解：设与相切于，与相切于，与相切于，
设正方形的边长为，
，
设，，
在中，
，，，
，
，
，
，
，
，
的半径为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆的切线的性质，以及勾股定理等知识，熟记切线长定理是解决问题的关键．
【题型7 作三角形的内切圆】
【例7】（2024·浙江绍兴·一模）如图，在的正方形网格中，有部分网格线被擦去．点，，在格点（正方形网格的交点）上．
（1）请用无刻度的直尺在图1中找到三角形的外心；
（2）请用无刻度的直尺在图2中找到三角形的内心．
【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【分析】（1）作以AC为对角线的平行四边形的另一条对角线，其余AC的交点即为所求；
（2）分别作出∠BAC和∠ABC的角平分线，其交点即为所求．
【详解】解：（1）如图，点即为所求；
（2）如图，点即为所求．
【点睛】本题主要考查了三角形的内心和外心、等腰三角形的性质以及平行四边形的性质等知识点，灵活运用等腰三角形的性质和平行四边形的性质成为解答本题的关键．
【变式7-1】（23-24九年级·广东江门·期末）为建设绿色花园城市，某小区要在一块等边空地内修建一个圆形花坛．
(1)实践与操作：要使花坛面积最大，用尺规作图法画出圆形花坛示意图（保留作图痕迹，不要求写作法）；
(2)应用与计算：在（1）的条件下，米，求圆形花坛的面积．
【答案】(1)图见详解
(2)
【分析】本题主要考查三角形的内切圆，熟练掌握三角形的内切圆是解题的关键；
（1）以点B为圆心，任意长为半径画弧，交于两点，大于这两点之间距离的一半为半径画弧，交于一点D，连接，交于点N，同理可作的角平分线，三线交于一点O，然后以为半径画圆，进而问题可求解；
（2）由（1）可知米，则有米，然后问题可求解．
【详解】（1）解：所作图形如图所示：
（2）解：∵是等边三角形，
∴米，，
∵平分，
∴米，
∴米，
由作图可知点O为的内切圆的圆心，也是的重心，
∴米，
∴圆形花坛的面积为．
【变式7-2】（23-24九年级·江苏连云港·期中）如图，点C，D分别在射线OA、OB上，求作⊙P，使它与OA、OB、CD都相切．（使用直尺、圆规、直角板作图并保留作图痕迹）

【答案】见解析
【分析】⊙P与OA、OB、CD都相切．即圆心P到OA、OB、CD的距离相等，故点P在OA、OB、CD所在直线成角的平分线上，然后由交点到直线的距离为半径画圆即可．
【详解】解：如图，作∠DOC的平分线OM，∠ODC的平分线DN，OM交DN于点P1，作P1F⊥OD，以P1为圆心，P1F为半径作⊙P1即可；同法作出⊙P2．
，即为所求；

【点睛】本题考查作图复杂作图，三角形的内心、角平分线的定义、切线的判定和性质等知识，掌握三角形内心的定义及性质是解题的关键，属于中考常考题型．
【变式7-3】（23-24九年级·江苏连云港·期中）按着要求画图．

(1)在图1中，利用直尺和圆规，作出的内切圆（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)如图2，由小正方形构成的网格中，每个正方形的顶点叫做格点．的顶点都在格点上，经过、、三点，仅用无刻度的直尺在给定的网格中按要求作图（不写作法，保留作图痕迹）．
①在图2中，找出的圆心．
②在图2中的边上找到一点，使得平分；
③在图2备用图中的上找到一点（不与点重合），使得．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）作任意两个角的角平分线，两条角平分线的交点即为内切圆的圆心，过圆心作一条边的垂线，得到半径，再作圆即可；
（2）①由可得为直径，利用格点找出的中点即可得到圆心；
②利用格点找出的中点G，根据等弧所对的圆周角相等可得，即平分，因此与的交点即为所求的点D；
③在格点上找到点H，使得，可得，延长交圆于点E，由垂直定理可得，进而可证．
【详解】（1）解：如图，即为的内切圆；

（2）解：①圆心如下图所示；

②点如下图所示；

③点如下图所示．

【点睛】本题考查尺规作图——作角平分线和垂线，格点作图，三角形的内心，圆周角定理，垂直径定理等，掌握格点作图的特点，综合运用上述知识点是解题的关键．
【题型8 三角形内切圆中求最值】
【例8】（2024·四川内江·一模）如图，矩形的顶点A，C分别在x轴、y轴上，点B的坐标为，是的内切圆，点N，点P分别是，x轴上的动点，则的最小值是 ．

【答案】4
【分析】延长到点，使，则点与点关于轴对称，则，过点作轴于点，连接交轴于点，交于点，则，当，，，在一条直线上时，取得最小值；利用点的坐标的特征求得线段，，利用三角形的面积关系求得的半径，延长交于点，利用矩形的性质和勾股定理求得的长度，则结论可得．
【详解】解：如图，延长到点，使，则点与点关于轴对称，则，过点作轴于点，连接交轴于点，交于点，则，当，，，在一条直线上时，取得最小值，
点的坐标为，
点的坐标为，
，，
设与三边的切点为，，，连接，，，则，，，设，
，
，
，
，
，
延长交于点，
，，
，，
，，
，
，
的最小值为4．
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，点的坐标的特征，三角形的内切圆，轴对称的最短路径问题，圆的切线的性质定理，勾股定理，作出点B关于x轴的对称点，从而得到点P的位置是解题的关键．
【变式8-1】（23-24九年级·江苏南京·阶段练习）如图，矩形ABCD，AD＝6，AB＝8，点P为BC边上的中点，点Q是的内切圆圆O上的一个动点，点M是CQ的中点，则PM的最大值是 ．
【答案】
【分析】由矩形的性质得出，，由勾股定理得出，设△的内切圆的半径为，则，解得，连接，易证是的中位线，得出，当经过圆心时，最长，则此时最长，作于，于，则，，由勾股定理得出，则，即可得出结果．
【详解】解：四边形是矩形，
，，
，
设△的内切圆的半径为，
则，
解得：，
连接，
是边上的中点，点是的中点，
是的中位线，
，
当经过圆心时，最长，则此时最长，
作于，于，
则，，
，
，
；
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形内切圆与内心、勾股定理、矩形的性质、三角形中位线的判定与性质等知识；熟练掌握矩形的性质和三角形中位线定理是解题的关键．
【变式8-2】（23-24九年级·湖北武汉·阶段练习）如图，点B的坐标为，以O点为圆心，以为半径的圆交y轴于点A，点C为第一象限圆上一动点，轴于D点，点I为的内心，则的最小值为 ．
【答案】/
【分析】连接，作的外接圆，圆心为P，根据内心定义证明，可得，当A，I，P三点共线时，取得最小值，此时，然后根据勾股定理即可解决问题．
【详解】解：如图，连接，作的外接圆，圆心为P，连接，，
∵点I为的内心，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵点B的坐标为，
∴，
∴，
∴P，
当A，I，P三点共线时，取得最小值，
此时
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形内切圆与内心，坐标与图形性质，垂径定理，解决本题的关键是掌握三角形内切圆与内心．
【变式8-3】（2024九年级·全国·竞赛）如图，以的斜边为直径作，为的内心，点为上一个动点，为的中点，若，，则的最大值为 ．
【答案】
【分析】此题考查了三角形的内切圆和外接圆，连接，，，取中点，连接，过作于点，则点在以点为圆心，为半径的圆上运动，当点三点共线时，最大值为，然后由勾股定理求出的值即可，解题的关键是熟练掌握切线长定理，三角形中位线性质定理和勾股定理的应用．
【详解】解：如图，连接，，，取中点，连接，过作于点，
∵，，，
∴由勾股定理得：，
∵为的中点，
∴，
则点在以点为圆心，为半径的圆上运动，
当点三点共线时，最大，为的值，
∵为的内心，过作于点，于点，
∴四边形为正方形，
由直角三角形的内切圆半径为，即，
∴，
取的中点G，连接，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：
，
∴最大值为，
故答案为：．
【题型9 三角形周长、面积与内切圆半径的关系】
【例9】（23-24九年级·陕西西安·期中）如图，已知中，，为的内切圆，若，且的面积为24，则的周长为（　　）
A．48 B． C．24 D．
【答案】C
【分析】本题考查了三角形内切圆的性质及正方形的判定和性质．
设的半径为r，与的三边、、的切点分别为D、E、F，连接、、．先证四边形是正方形，则，根据勾股定理求出r．又由 的周长内切圆半径，即可求出的周长．
熟练掌握“三角形内切圆的圆心是三条角平分线的交点，它到三角形三条边的距离相等”这一性质，并且能求出内切圆的半径是解题的关键．
【详解】解：如图，设的半径为，与的三边、、的切点分别为，连接、、，则，，，且，
又，
∴四边形是正方形，
，
，
，
解得，
，
，
，即的周长为，
故选：C．
【变式9-1】（2024·广西梧州·二模）如图，是的内切圆，若的周长为18，面积为9，则的半径是（　　）

A．1 B． C．1.5 D．2
【答案】A
【分析】作辅助线如解析图，根据，代入数据求解即可.
【详解】解：如图，设与的各边分别相切于点E、F、G，连接，设的半径为r，
则，，
∵
，
又的周长为18，面积为9，
∴，
∴，
故选：A.

【点睛】本题考查了利用三角形的面积求三角形的内切圆半径，掌握求解的方法是解题的关键.
【变式9-2】（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，在中，，为中线，若，，设与的内切圆半径分别为，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形的内切圆和面积，设的内切圆为，与 分别相切于点，由，，得，，连接，由可得，即得，同理得，进而即可求解，正确地作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：设的内切圆为，与 分别相切于点，
∵，，，
∴，
，
∵为斜边上的中线，
∴，
∴，
连接，，，，，，则，
∵ ，且，，，
∴，
解得，
同理可得，，
解得，
∴，
故选：C．
【变式9-3】（23-24九年级·浙江·期中）小明准备以“青山看日出”为元素为永嘉县某名宿设计标志示意图，如图所示，他利用两个等边三角形和一个圆分别表示青山和日出，已知点，，，在同一条直线上，且，四边形和四边形的面积之差为，则的长是 ；连结，若是的内切圆，则圆心到的距离是 ．

【答案】
【分析】设，表示出相关线段的长，根据四边形和四边形的面积之差，得到，求出值即可；连结，连接并延长交于点，设圆与的切点为，连接，连接，作，垂足为，证明为直角三角形，求出内切圆半径，再根据切线长定理得到，从而证明，求出，从而得到即可．
【详解】解： ，
设，则，
，，
与为等边三角形，
，，
，
，
，
，
．
连结，连接并延长交于点，设圆与的切点为，连接，连接，作，垂足为，
等边的边长为，为中点，
，，
，
，
，
，，
，
，
，，
，
，为直角三角形，
内切圆半径，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
圆心到的距离为，
故答案为：，．
【点睛】本题是圆的综合题，考查了等边三角形的性质，勾股定理，切线长定理，切线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
【题型10 三角形的内切圆与外接圆的综合】
【例10】（23-24九年级·浙江台州·期中）如图，中，，，内心为I，连接并延长交的外接圆于D，若，则 （ ）
A． B．1 C． D．
【答案】D
【分析】设的外接圆的圆心为O，连接，，，，根据圆周角定理证得是等边三角形，再根据垂径定理可得，，再根据三角形内心证得，进而解决问题．
【详解】解：如图，设的外接圆的圆心为O，连接，，，，
在中，，，内心为I，
∴平分，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∵I是的内心，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查三角形内切圆与内心、三角形外接圆与外心、垂径定理、圆周角定理、等边三角形的性质与判定、等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形的性质，证得是等边三角形是解题的关键．
【变式10-1】（23-24九年级·江苏扬州·期中）一个三角形三边长分别为5，12，13，R是其外接圆半径，r是其内切圆半径，则R﹣r＝ ．
【答案】4.5
【分析】根据勾股定理的逆定理推出，连接，，根据圆是的内切圆，得到，，，，推出正方形，设，得到方程，求出方程的解即可，进而得出其外接圆的半径，即可得出答案
【详解】如图：连接，

，
圆是的内切圆
，，，
四边形是正方形
设
直角三角形斜边长是直角三角形外接圆的直径
其外接圆半径为：
故答案为：
【点睛】本题考查了对三角形内切圆与内心以及直角三角形外接圆半径求法，切线长定理，切线的性质，正方形的性质和判定，勾股定理的逆定理等知识，综合运用这些性质进行推理是解题关键．
【变式10-2】（23-24九年级·江苏盐城·期中）如图，I是的内心，的延长线交的外接圆于点D．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)连接、，求证：点D是的外心．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）根据三角形内心的定义得，再由圆周角与弧之间的关系即可得证；
（2）连接，证出即可得证；
（3）连接，，，证出即可得证．
【详解】（1）证明：点I是的内心，
平分，
，
，
，
．
（2）证明：如图，连接，
点I是的内心，
平分，平分，
，
又，
，
，，
，
．
（3）证明：如图，连接，，，
，
．
，
∴点D是的外心．
【点睛】本题考查了三角形内心和外心的定义，圆的基本性质中圆周角与弧之间的关系等，理解定义，掌握圆的基本性质，根据题意作出辅助线是解题的关键.
【变式10-3】（2024·山东潍坊·三模）如图，点I是△ABC的内心，BI的延长线与△ABC的外接圆⊙O交于点D，与AC交于点E，延长CD、BA相交于点F，∠ADF的平分线交AF于点G．
（1）求证：DG是⊙O的切线；
（2）若DE＝4，BE＝5，求DI的长．
【答案】（1）见解析；（2）6．
【分析】（1）根据三角形内心的性质得，再利用圆内接四边形的性质得，则，从而得到，则可判断，连接OD，根据垂径定理可得OD⊥AC，故OD⊥DG，即可得证；
（2）根据三角形内心的性质得，然后证明得到，证明，利用相似比得到，则DI的长度即可求解．
【详解】（1）证明：连接OD．
∵点I是△ABC的内心，
∴∠2＝∠7，
∴，
∴OD⊥AC，
又∵∠1＝∠ADF，∠2=∠ABC，∠ADF＝∠ABC，
∴∠1＝∠2，
∵∠3＝∠2，
∴∠1＝∠3，
∴DGAC；
∴OD⊥DG，
∴DG是⊙O的切线；
（2）解：∵点I是△ABC的内心，
∴∠5＝∠6，
∵∠4＝∠7+∠5＝∠3+∠6，
即∠4＝∠DAI，
∴DA＝DI；
∵∠3＝∠7，∠AED＝∠BAD，
∴△DAE∽△DBA，
∴AD：DB＝DE：DA，即AD：9＝4：AD，
∴AD＝6，
∴DI＝6．
【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心，圆周角定理和三角形的外心，三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．
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