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有理数加减法
【知识梳理】
一、有理数加法
加法法则：
（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。
（2）异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
（3）一个数与0相加，仍得这个数。
注意：1、对于有理数，加法运算律仍旧成立。交换律：a+b=b+a 结合律：（a+b）+c=a+（b+c）
2、计算关注两方面：符号和数值，先定号，再求值。
二、有理数减法
减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数；即a-b=a+（-b）。
减法法则即把减法变成加法计算，故有理数加减法可统一成加法。
【课堂练习】
选择题
1.下列说法中正确的是( )
A. 两数相加，其和大于任何一个加数
B. 异号两数相加，其和小于任何一个加数
C. 绝对值相等的异号两数相加，其和一定为零
D. 两数相加，取较小的一个加数的符号作为结果的符号
2.下列变形运用加法运算律正确的是( )
A. B.
C. D.
3.把写成省略括号的和的形式为( )
A. B. C. D.
4.小于且不小于的所有整数的和是( )
A. B. C. D.
5.若是最大的负整数，是相反数等于它本身的数，的绝对值是，则( )
A. 或 B. 或 C. D.
6.如果，那么下列式子成立的是( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
7.对幻方的研究体现了中国古人的智慧如图，这是一个幻方的图案，其中个格中的点数分别为，，，，，，，，每行、每列、每条对角线上的点数的和都是如图，这是一个没有填完整的幻方，如果它处于同一横行、同一竖列、同一斜对角线上的个数的和都相等，那么正中间的方格中的数字为( )
A. B. C. D.
8.已知整数，，，，满足下列条件：，，，，，依次类推，则的值为( )
A. B. C. D.
二、填空题
9.已知，，且，则的值是 ．
10.已知两个数和，则这两个数的和的绝对值是 ，绝对值的和是 ．
11.小马虎在计算时，误将“”看成“”，结果是，则的值为 ．
12.已知，，，，为互不相等的有理数，且，则
13.“转化”是一种解决问题的常用策略，有时画图可以帮助我们找到转化的方法例如借助图，可以把算式转化为请你观察图，可以把算式转化为 ．
三、计算题
14.计算
四、解答题
15.袋小麦称重后记录如图所示单位：．
这袋小麦的质量一共为多少千克
如果每袋小麦以为标准，那么这袋小麦总计超过或不足多少千克
16.设表示不超过的最大整数，例如：，，．
求的值；
令，求
17.如表，从左边第一个格子开始向右数，在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等．
填空： ， ， ，第个格子中的数是 ．
前个格子中所填整数之和是否可能为？若能，求出的值；若不能，请说明理由．
如果在前个格子中任取两个数，并用大数减去小数得到差值，而后将所有这样的差值累加起来称为前项的累差值．例如：前项的累差值列式为，那么前项的累差值为多少？
【课后巩固】
1.数，，在数轴上所对应的点的位置如图所示，则下列关系不正确的是( )
A. B. C. D.
2.个互不相等的有理数，每个的和都是“分母为的既约真分数分子与分母无公约数的真分数”，则这个有理数的和为( )
A. B. C. D.
3.根据图中程序计算，若输入的数是，则输出的结果是 ．
4.如图，数轴上点的初始位置表示的数为，现点做如下移动：第次点向左移动个单位长度至点，第次从点向右移动个单位长度至点，第次从点向左移动个单位长度至点，，按照这种移动方式进行下去，如果点与原点的距离不小于，那么的最小值是 .
5.计算： ．
6.一天上午，一辆警车从车站出发在一条笔直的公路上来回巡逻，行驶的路程情况如下向车站右侧方向行驶为正，单位：
，，，，，，，，，．
这辆警车在完成上述巡逻后在车站的哪一侧距车站多少千米
如果这辆警车每行驶的耗油量为，不考虑其他因素，这天上午共消耗汽油多少升
7.问题：能否将，，，，，这个数分成两组并分别求和，且使所求的两个和的差为
解答：，要满足题设要求，需将这个数分成两组，一组的和为，另一组的和为，然后把它们相减下面给出一种分法，例如：．
应用：在，，，，，，，，，这个数前面任意添上“”或“”．
能否使它们的和等于若能，给出一种添加符号的方法若不能，请说明理由
能否使它们的和等于若能，给出一种添加符号的方法若不能，请说明理由．
参考答案
【课堂练习】
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
【解析】先把加减法统一成加法，再省略括号和加号．
【解答】解：原式．
4.【答案】
【解析】此题考查了有理数比较有理数的大小和的加法，熟练掌握加法法则是解本题的关键写出所有满足题意的整数，利用互为相反数两数之和为即可得到结果．
解：小于而不小于的所有整数有：，，，，，，，，，，
和为
．
5.【答案】
【解析】本题考查了有理数的加减混合运算及绝对值，相反数的意义，由题意得出、、的值是解题的关键．由题意可得，，，代入计算即可得出答案．
解：是最大的负整数，是相反数等于它本身的数，的绝对值是
，，，
当时，；
当时，，
综上所述，或．
6.【答案】
【解析】解：、，，则，不成立，不符合题意；
B、，，则，成立，符合题意；
C、，，则，不成立，不符合题意；
D、，，则不成立，不符合题意；
根据有理数加法法则和绝对值的意义逐项排除即可．
本题考查了有理数的加减和绝对值，熟练掌握有理数加法法则和绝对值的意义是解题的关键．
7.【答案】
【解析】解：同一横行、同一竖列、同一斜对角线上的个数的和都相等，
中间的数，
那正中间的方格中的数字为．
本题考查有理数的加法，关键是由题意推出中间的数．
8.【答案】
【解析】解：，
，
，
，
，
，
所以，当是奇数时，，是偶数时，，
本题考查了数字的变化规律，根据所求出的数，观察出为奇数与偶数时的结果的变化规律是解题的关键．
9.【答案】或
【解析】因为，，
所以，．
因为，所以，．
当，时，；
当，时，．
综上可知，的值是或．
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
【解析】此题主要考查绝对值的性质，有理数的加减法，解题的关键是由条件得出或两种情况，注意去掉绝对值时的符号．
根据已知条件确定，，，，之间的关系，然后利用得出的值．
解：若，
由，得出或，此时，与题意不合
则，，，，
上面四式相得，．
若，
则，，，，
上面四式相加，得，．
综上，．
13.【答案】
14.【答案】解：
．
15.【答案】【小题】
【小题】超过
16.【答案】解：；
．
【解析】本题考查了新定义的理解应用问题以及有理数的加减混合计算、有理数的大小比较，明确不超过就是小于或等于，即“”，认真领会新定义，并能根据新定义化成一般的有理数混合计算的式子，再计算．
根据新定义得：，，，再代入计算即可；
根据新定义得：，，，再代入原式进行计算．
17.【答案】【小题】
【小题】能．因为，，所以．
【小题】由可知，表格中的数字依次以，，循环出现，当时，，所以前个数中，出现次，出现次，出现次，所以前项的累差值为．

【课后巩固】
1.【答案】
【解析】根据数轴可知，，进而对每一项进行判断即可．
解：由数轴可知，，
所以，，A正确；
，B正确；
，C错误；
，D正确．
2.【答案】
【解析】解：这个有理数，每个相加，一共得出另外个数，由于原个有理数互不相等，
可以轻易得出它们相加后得出的另外个数也是互不相等的，
而这个数根据题意都是分母的既约真分数，而满足这个条件的真分数正好有个，
这项分别是：，，，，，，，，，，
它们每一个都是原来个有理数其中个相加的和，
那么，如果再把这个以为分母的真分数相加，得出来的结果必然是原来的个有理数之和的倍．
所以，个真分数相加得出结果为，于是所求的个有理数之和为．
3.【答案】
【解析】由题图中程序得，，故输出的结果是．
4.【答案】13
【解析】第次点向左移动个单位长度至点，则表示的数为；
第次从点向右移动个单位长度至点，则表示的数为；
第次从点向左移动个单位长度至点，则表示的数为；
第次从点向右移动个单位长度至点，则表示的数为；
第次从点向左移动个单位长度至点，则表示的数为；
则表示的数为，表示的数为，表示的数为，
表示的数为，表示的数为，表示的数为，
表示的数为，表示的数为，表示的数为，
所以如果点与原点的距离不小于，那么的最小值是
5.【答案】【小题】
【小题】原式
6.【答案】解：
千米。
答：这辆警车在完成上述来回巡逻后在车站的左侧，距车站千米
升。
答：这天上午共消耗汽油升．
【解析】本题考查了正数和负数以及有理数的加法运算，根据题意列出算式是解题的关键．
求得记录的数的和，然后根据结果的正负可以确定在车站右侧或左侧，根据绝对值确定距离
求得记录的数的绝对值的和，然后乘以即可求解．
7.【答案】解：能使它们的和等于．
例如：

．
答案不唯一
不能．
理由：因为改变一组数中任意数的符号，其和的奇偶性是不变的，而是一个奇数，所以无论怎样添加符号，其和不可能为偶数，当然也不会等于．

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