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有理数乘除法
【知识梳理】
一、有理数乘法
乘法法则：
（1）两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘。
（2）任何数同零相乘都得零。
注意：1、对于有理数，乘法运算律仍旧成立。
交换律：ab=ba 结合律：（ab）c=a（bc） 分配律：a（b+c）=ab+ac
2、计算关注两方面：符号和数值，先定号（奇负偶正），再求值。
二、有理数除法
除法法则：
（1）两数相除，同号为正，异号为负，并把绝对值相除。
（2）零除以任何一个不为零的数都得零。
注意：除以一个数（不等于零），等于乘以这个数的倒数；即，b≠0。
可以把除法变成乘法计算，故有理数乘除法可统一成乘法。
【课堂练习】
选择题
1.下列计算中，积为正数的是( )
A. B.
C. D.
2.从，，，，，这个数中取其中个不同的数作为因数，则积的最大值为( )
A. B. C. D.
3.已知三个有理数，，满足，，，则一定是 ( )
A. 负数 B. 零 C. 正数 D. 非负数
4.在简便运算时，把变形成最合适的形式是 ( )
A. B. C. D.
5.下列结论：如果一个数的倒数是它本身，那么这个数一定是；如果，那么；如果，且，那么；除以一个数等于乘这个数的倒数其中一定正确的有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
6.两个不为零的有理数相除，如果交换它们的位置，商不变，那么( )
A. 两数相等 B. 两数互为相反数
C. 两数互为倒数 D. 两数相等或互为相反数
7.若，则把称为的“和负倒数”，如：的“和负倒数”为，的“和负倒数”为，若，是的“和负倒数”，是的“和负倒数”，依此类推，则的值为( )
A. B. C. D.
8.有两个正数，，且，把大于等于且小于等于的所有数记作例如，大于等于且小于等于的所有数记作若整数在内，整数在内，那么的一切值中属于整数的个数为( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
二、填空题
9.已知与互为相反数，与互为倒数，，则______．
10.绝对值不大于的所有负整数的积是 ．
11.将减去它的，再减去余下的，再减去余下的，再减去余下的依此类推，直到最后减去余下的，最后结果是 ．
12.定义：若两个有理数的和等于这两个有理数的积，则称这两个数是一对“友好数”如：有理数与，因为，所以与是一对“友好数”．
有理数和是一对“友好数”，当时，则 ______；
对于有理数且，设的“友好数”为；的倒数为；的“友好数”为；的倒数为；依次按如上的操作，得到一组数，，，，，，当时，的值为______．
三、计算题
13.计算 ．
四、解答题
14.阅读下列材料：计算．
解法一：原式．
解法二：原式．
解法三：原式的倒数为故原式．
上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为哪个解法是错误的？
请你选择一种合适的解法解答下列问题：计算：．
15.已知，为有理数，现规定一种新运算，满足．
．
求的值．
类比我们学过的乘法交换律，新运算是否满足“交换律”？若满足请说明理由；若不满足，请举出一个反例．
16.如果四个不同的整数，，，满足，求的值．
【课后巩固】
1.下列说法：若、互为相反数，则；若，且，则；几个有理数相乘，如果负因数的个数为奇数个，则积为负；若，则；若，则与互为相反数其中错误的有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
2.六个整数的积，，，，，，互不相等，则的和可能是 ( )
A. B. C. D.
3.请你只在“加、减、乘、除和括号”中选择使用，可以重复，将四个数，，，组成算式四个数都用且每个数只能用一次，使运算结果为，你列出的算式是 只写一种
4.任何一个正整数都可以进行这样的分解：是正整数，且，如果在的所有这种分解中两因数之差的绝对值最小，我们就称是的最佳分解，并规定：例如可以分解成，，这三种，这时就有给出下列关于的说法：；；；若是一个整数的平方，则其中正确的说法是___________填序号．
5.计算：
（1） （2） （3）．
6.在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题．
【提出问题】三个有理数，，满足，求的值．
【解决问题】解：由题意，得，，三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数．
，，都是正数，即，，时，则
当，，中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设，，，则．
综上所述，值为或．
【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题：
三个有理数，，满足，求的值
若，，为三个不为的有理数，且，求的值．
7.在一次团体操排练活动中，某班名学生面向老师站成一横排，老师每次让其中任意名学生向后转不论原来方向如何，问能否经过若干次后全体学生都背对老师站立？如果能，请设计一种方案；如果不能，请说明理由．
参考答案
【课堂练习】
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
【解析】解：、如果一个数的倒数是它本身，那么这个数是或，故该选项错误；
、如果，那么或，故该选项错误；
、，，，，，，故该选项错误；
、除以一个不等于的数等于乘这个数的倒数，故该选项错误；
根据倒数的定义、绝对值的定义逐项进行判断即可．
本题考查倒数、绝对值的定义，掌握绝对值的定义、倒数是解题的关键．
6.【答案】
7.【答案】
【解析】本题考查了规律型：数字的变化类：通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．
根据和负倒数的定义分别计算出，，，，则得到从开始每个值就循环，据此求解可得．
解：因为，所以，，，
所以此数列每个数为一周期循环，因为，所以所以
8.【答案】
【解析】根据已知条件得出，，再得出的范围，即可得出整数的个数．
【解答】解：在内，在内，
，，
，即，
的一切值中属于整数的有，，，，共个
9.【答案】
【解析】本题主要考查相反数、倒数及绝对值的计算．
注意互为相反数的两数和为，互为倒数的两数积为．
解：与互为相反数，与互为倒数，，
，，
10.【答案】
11.【答案】
【解析】由题意有．
12.【答案】
【解析】解：有理数和是一对“友好数”，
，将代入得：
当时，
得：，，，，，，，
发现个数为一周期，，
根据定义得，代入数据求出数值即可；
根据题意依次写出的数值，找到规律，根据规律即可求得数值．
本题考查了新定义，找规律的题型，观察定义、归纳概括出规律是解题关键．
13.【答案】【小题】解法一：原式
解法二：原式
【小题】原式
【小题】原式
14.【答案】解：没有除法分配律，故解法一错误；
原式的倒数为：
．
所以原式．
【解析】根据有理数的运算法则进行判断，可得答案；
根据有理数的运算顺序，计算原式的倒数，即可得出答案．
15.【答案】【小题】
【小题】
【小题】不满足举例略
16.【答案】解：因为整数，，，各不相同， 所以整数，，，也各不相同． 因为， 设，，，， 所以，，，， 所以．
【课后巩固】
1.【答案】
【解析】解：根据相反数的定义，当时，此时不成立，故错误，符合题意；
根据绝对值的定义，由，且，则，故正确，不符合题意；
几个不为零的有理数相乘，如果负因数的个数为奇数个，则积为负，故错误，符合题意；
若，则，其中，，，，故错误，符合题意；
根据实数的乘方，由，得，推断出，故与互为相反数，故正确，不符合题意．
故选：．
根据相反数，绝对值，有理数的乘法，等式的基本性质，有理数的乘方解决此题．
本题主要考查相反数，绝对值，有理数的乘法，等式的基本性质，有理数的乘方，熟练掌握相反数，绝对值，有理数的乘法，等式的基本性质，有理数的乘方相关知识点是解题的关键．
2.【答案】
【解析】因为， 所以这六个互不相等的整数是，，，，，， 所以．
3.【答案】
4.【答案】
【解析】本题考查的知识点是有理数的因数，把，，，分解为两个正整数的积的形式，找到相差最少的两个数，让较小的数除以较大的数，看结果是否与所给结果相同．
解：，是正确的，故正确；
，这几种分解中和的差的绝对值最小，，故是错误的；
，其中和的绝对值最小，又，，故是错误的；
是一个整数的平方，能分解成两个相等的数，则，故是正确的，
正确的有
5.【小题1】原式
【小题2】原式
【小题3】原式的倒数为
故原式．
6.【答案】解：因为，
所以，，都是负数或其中一个为负数，另两个为正数，
当，，都是负数，即，，时，
则：；
，，有一个为负数，另两个为正数时，不妨设，，，
则；
综上所述，值为或．
因为，，为三个不为的有理数，且，
所以，，中负数有个，正数有个，
所以，
所以．
【解析】本题主要考查了绝对值的意义、分类讨论的思想方法．能不重不漏的分类，会确定字母的范围和字母的值是关键．
仿照题目给出的思路和方法，解决即可；
根据已知等式，利用绝对值的代数意义判断出，，中负数有个，正数有个，判断出的正负，原式利用绝对值的代数意义化简计算即可．
7.【答案】解：不能．理由：假设每名学生胸前有一块号码布，上面写着“”，背后有一块号码布，上面写着“”，那么一开始全体学生面向老师，胸前个“”的乘积是“”，如果最后全部背对老师，那么个“”的乘积是“”设想老师每次叫“向后转”，就是将名学生对着老师的数字都乘以“”，每次运算乘以个“”，即乘以“”，故个数的乘积始终是“”，所以让乘积变为“”是不可能的，即不可能使全体学生都背对老师站立．
【解析】本题考查的是有理数的乘法，实际问题方案设计有关知识，
假设每名学生胸前有一块号码布，上面写着“”，背后有一块号码布，上面写着“”，根据有理数的乘法法则即可解答．

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