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九年级数学上点拨与精练
第23章 旋转
23.1 旋转的作图
学习目标：
1.探索、掌握旋转的性质，并能根据性质作旋转后的几何图形；
2.能应用旋转的性质解决简单的数学问题．
老师告诉你
旋转作图的一般步骤;
一连：连接已知点与旋转中心；
二定： 确定旋转方向；
三量：测量旋转角度；
四截：在旋转角的一条边上以旋转中心为一端点截取等于对应线段长度的线段；
五画：顺次连接所得的点，从而画出旋转得到的图形。
一、知识点拨
知识点1 旋转作图
（1）旋转图形的作法：根据旋转的性质可知，对应角都相等，都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形。
（2）旋转作图有自己独特的特点，决定图形位置的因素较多，旋转角、旋转方向、旋转中心，其中任一元素不同，位置就不同，但得到的图形全等.
（3）利用旋转的性质作图的步骤可分为：
①连：即连接图形中每一个关键点与旋转中心；
②转：即把直线按要求绕旋转中心转过一定角度（作旋转角）
③截：即在角的另一边上截取关键点到旋转中心的距离，的到各点的对应点；
④接：即连接到所连接的各点。
【新知导学】
例1-1．如图，已知和点，求作绕点顺时针旋转得到的．（保留作图痕迹，不写作法）
【对应导练】
1．如图，在和中，， ，点B，C，D都在直线l上．
(1)按下列要求画图（不写画法，保留画图痕迹）：
①画出点E关于直线l的对称点，连接．
②以点C为旋转中心，将①中所得按逆时针方向旋转，使得与重合，得到，画出．
(2)解决下面的问题：
①线段和线段的位置关系是 请说明理由．
②求．
2．如图，在中，以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转的度数后，得，且点C恰好是的中点．
(1)画出旋转后的；
(2)求的长．
3．如图，将绕点A顺时针旋转得到，点B的对应点为D，点C的对应点为E．
(1)作出旋转后的图形（尺规作图，保留作图痕迹）；
(2)连接，若，请判断直线是否经过点E，并说明理由．
知识点2 坐标系中的旋转
利用旋转的性质，构造全等三角形，确定点的坐标，画图.
【新知导学】
例2-1．如图，在平面直角坐标系中，O是原点，Rt△AOB的两条直角边OA，OB分别在x轴的负半轴、y轴的负半轴上，且OA=2，OB=1．将Rt△AOB先绕点O按顺时针方向旋转90°，再沿x轴正方向平移1个单位长度，得到Rt△CDO．
（1）直接写出点A，C的坐标；
（2）求点A和点C之间的距离．
【对应导练】
1．如图，方格纸上的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，Rt△ABC的顶点均在格点上，在建立平面直角坐标系后，将Rt△ABC绕点B顺时针旋转90°得到Rt△A1B1C1，画出旋转后的Rt△A1B1C1，此时点A、C的对应点A1、C1的坐标分别为 _____、_____．
2．已知如图，在直角坐标平面内，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（-1，2），B（-2，1）（正方形网格中每个小正方形的边长是1个单位长度）．
（1）△A1B1C1是△ABC绕点_____逆时针旋转_____度得到的，B1的坐标是_____；
（2）求出线段AC旋转过程中所扫过的面积（结果保留π）．
3．在8×8的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，已知A（2，-4），B（4，-2）．C是第四象限内的一个格点，由点C与线段AB组成一个以AB为底，且腰长为无理数的等腰三角形．
（1）填空：C点的坐标是 _____，△ABC的面积是 _____；
（2）将△ABC绕点C旋转180°得到△A1B1C1，连接AB1、BA1，则四边形AB1A1B的形状是何特殊四边形？_____．
（3）请探究：在坐标轴上是否存在这样的点P，使四边形ABOP的面积等于△ABC面积的2倍？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
知识点3 旋转的应用
旋转中的几何探究题解题策略：
确定旋转中心：
①旋转中心即可以在图形外部，也可以在图形内部，还可以在图形的一边上；
②确定旋转中心时要看旋转中心在图形上还是在图形外，若在图形上，那一点位置没有改变，那一点就是旋转中心，若在图形外，对应点连线的垂直平分线的交点就是旋转中心。
从旋转中心出发，寻找相等线段相等角，构造全等三角形。利用全等三角形探究解决几何探究题。
【新知导学】
例3-1．如图，说出这个图形的旋转中心，它绕旋转中心至少旋转多大角度才能与原来图形重合？
【对应导练】
1．如图，三角形ABC中，∠BAC=150°，AB=6cm,三角形ABC逆时针方向旋转一定角度后，与三角形ADE重合，且点C恰好为AD中点．
（1）指出旋转中心和图中所有相等的角；
（2）求：AE的长度，请说明理由；
（3）若是顺时针旋转，把三角形ABC旋转到与三角形ADE重合，则这个最小旋转角是多少．
2．如图，有一副直角三角板如图1放置（其中∠D=45°，∠C=30°），PA，PB与直线MN重合，且三角板PAC，三角板PBD均可以绕点P逆时针旋转．
（1）在图1中，∠DPC=_____；
（2）①如图2，若三角板PBD保持不动，三角板PAC绕点P逆时针旋转，转速为10°/秒，转动一周三角板PAC就停止转动，在旋转的过程中，当旋转时间为多少时，有PC∥DB成立；
②如图3，在图1基础上，若三角板PAC的边PA从PN处开始绕点P逆时针旋转，转速为3°/秒，同时三角板PBD的边PB从PM处开始绕点P逆时针旋转，转速为2°/秒，当PC转到与原PA位置重合时，两三角板都停止转动，在旋转过程中，当∠CPD=∠BPM时，求旋转的时间是多少？
二、题型训练
1.旋转变换在作图中的应用
1 .如图，在正方形中，点E为的中点，请仅用无刻度直尺按下列要求作图（保留作图痕迹，不写作法）．
(1)在图1中，将点E绕点B顺时针旋转；
(2)在图2中，将绕点D逆时针旋转．
2..如图，△ABC中，AB＝AC，点P为△ABC内一点，∠APB＝∠BAC＝120°.若AP＋BP＝4，则PC的最小值为（　　）
A．2 B． C． D．3
2.利用旋转变换求坐标
3．如图，在平面直角坐标系中，点C的坐标为（-1，0），点A的坐标为（-3，3），将点A绕点C顺时针旋转90°得到点B，求点B的坐标．
4．如图，方格纸上的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，Rt△ABC的顶点均在格点上，在建立平面直角坐标系后，将Rt△ABC绕点B顺时针旋转90°得到Rt△A1B1C1，画出旋转后的Rt△A1B1C1，此时点A、C的对应点A1、C1的坐标分别为 _____、_____．
3.利用旋转变换求面积
5．在8×8的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，已知A（2，-4），B（4，-2）．C是第四象限内的一个格点，由点C与线段AB组成一个以AB为底，且腰长为无理数的等腰三角形．
（1）填空：C点的坐标是 _____，△ABC的面积是 _____；
（2）将△ABC绕点C旋转180°得到△A1B1C1，连接AB1、BA1，则四边形AB1A1B的形状是何特殊四边形？_____．
（3）请探究：在坐标轴上是否存在这样的点P，使四边形ABOP的面积等于△ABC面积的2倍？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
6．如图，在平面直角坐标系内，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，-2），B（4，-1），C（3，-3）（正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度）．
（1）若△A1B1C1与△ABC关于原点O成中心对称，则点A1的坐标为 _____；
（2）以坐标原点O为旋转中心，将△ABC逆时针旋转90°，得到△A2B2C2，则点A2的坐标为 _____；
（3）求出（2）中线段AC扫过的面积．
三、课堂达标
一、选择题(共8题，每小题4分，共32分)
1．如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，旋转角为α（0°＜α＜90°）．若∠1=112°，则∠α的大小是（　　）
A. 68° B. 20° C. 28° D. 22°
2．如图，正方形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴上，点D（5，3）在边AB上，以C为中心，把△CDB旋转90°，则旋转后点D的对应点D′的坐标是（　　）
A. （2，10） B. （-2，0）
C. （2，10）或（-2，0） D. （10，2）或（-2，0）
3．如图，点A、B、C、D都在方格纸的格点上，若△AOB绕点O按逆时针方向旋转到△COD的位置，则旋转的角度为（　　）
A. 30° B. 45° C. 90° D. 135°
4．如图，在等腰直角△ABC中，∠B=90°，将△ABC绕顶点A逆时针方向旋转60°后得到△AB′C′，则∠BAC′=（　　）
A. 60° B. 105° C. 120° D. 135
5．如图，将△ABC绕着点C按顺时针方向旋转20°，B点落在B′位置，A点落在A′位置，若AC⊥A′B′，则∠BAC的度数是（　　）
A. 50° B. 60° C. 70° D. 80°
6．如图所示，下图可以看作是一个菱形通过几次旋转得到的，每次可能旋转（　　）
A. 30° B. 60° C. 90° D. 150°
7．如图，正方形ABCD和正方形EFGO的边长都是1，正方形EFGO绕点O旋转时，两个正方形重叠部分的面积是（　　）
A. B.
C. D. 不能确定
8．如图，在△ABC中，AB=，AC=，∠BAC=30°，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AB1C1，连接BC1，则BC1的长为（　　）
A. 3 B. 2
C. 2 D. 4
二、填空题(共5题。每小题4分，共20分)
9．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=4，将△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°得到△DEC．若点F是DE的中点，连接AF，则AF=_____．
10．如图，直线y=x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，把△AOB绕点A顺时针旋转90°后得到△AO′B′，则点B′的坐标是 _____．
11．如图，P是正方形ABCD内一点，将△ABP绕点B顺时针方向旋转能与△CBP′重合，若PB=3，则PP′=_____．
12．如图，将Rt△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到Rt△ADE，点B的对应点D恰好落在BC边上，若AC=，∠B=60°，则CD的长为_____．
13．如图，点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补，若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：（1）PM=PN恒成立；
（2）OM-ON的值不变；
（3）△OMN的周长不变；
（4）四边形PMON的面积不变，
其中正确的序号为_____．
三、解答题(共6题，共48分)
14．（8分）如图所示，正方形ABCD中，E是CD上一点，F在CB的延长线上，且DE=BF．
（1）求证：△ADE≌△ABF；
（2）问：将△ADE顺时针旋转多少度后与△ABF重合，旋转中心是什么？
15．（8分）如图，在Rt△OAB中，∠BAO=90°，且点A的坐标是（2，0）．
（1）写出点B的坐标是_____；
（2）将点B向左平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到点C，则点C的坐标为_____．
（3）点C与点D关于原点O对称，则点D的坐标为_____；
（4）将点A绕点O按逆时针方向旋转90°，得到点E，则△ODE的面积是_____．（把答案填在相应的横线上，不用书写解答过程）
16．（8分）如图，已知正方形ABCD，点E在AB边上，点F在BC边的延长线上，且CF=AE．以图中某一点为旋转中心，将△DAE按逆时针方向旋转一定角度后恰好与△DCF重合．
（1）旋转中心是点 _____，旋转角的度数为 _____°．
（2）判断△DFE的形状并说明理由．
17．（8分）在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为，，．
（1）画出绕点逆时针旋转后得到的；
（2）分别写出和的坐标．
18．（8分）如图1，一大一小两个等腰直角三角形叠放在一起，M，N分别是斜边DE，AB的中点，DE=2，AB=4．
（1）将△CDE绕顶点C旋转一周，请直接写出点M，N距离的最大值和最小值；
（2）将△CDE绕顶点C逆时针旋转120°（如图2），求MN的长．
19．（8分）（1）如图1，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，现将绕点按顺时针方向旋转90°，点的对应点为，点的对应点为，连接，如图所示则___________．
（2）如图2，在等边内有一点，且，，，如果将绕点逆时针旋转60°得出，求的度数和的长；
（3）如图3，将（2）题中“在等边内有一点”改为“在等腰直角三角形内有一点”，且，，，，求的度数．
九年级数学上点拨与精练
第23章 旋转
23.1 旋转的作图
学习目标：
1.探索、掌握旋转的性质，并能根据性质作旋转后的几何图形；
2.能应用旋转的性质解决简单的数学问题．
老师告诉你
旋转作图的一般步骤;
一连：连接已知点与旋转中心；
二定： 确定旋转方向；
三量：测量旋转角度；
四截：在旋转角的一条边上以旋转中心为一端点截取等于对应线段长度的线段；
五画：顺次连接所得的点，从而画出旋转得到的图形。
一、知识点拨
知识点1 旋转作图
（1）旋转图形的作法：根据旋转的性质可知，对应角都相等，都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形。
（2）旋转作图有自己独特的特点，决定图形位置的因素较多，旋转角、旋转方向、旋转中心，其中任一元素不同，位置就不同，但得到的图形全等.
（3）利用旋转的性质作图的步骤可分为：
①连：即连接图形中每一个关键点与旋转中心；
②转：即把直线按要求绕旋转中心转过一定角度（作旋转角）
③截：即在角的另一边上截取关键点到旋转中心的距离，的到各点的对应点；
④接：即连接到所连接的各点。
【新知导学】
例1-1．如图，已知和点，求作绕点顺时针旋转得到的．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见解析
【分析】此题主要考查了旋转变换，根据旋转的性质得出对应点位置是解题关键．
利用旋转的性质分别得出对应点的位置，进而得出答案．
【详解】解：如图所示， 即为所求．
【对应导练】
1．如图，在和中，， ，点B，C，D都在直线l上．
(1)按下列要求画图（不写画法，保留画图痕迹）：
①画出点E关于直线l的对称点，连接．
②以点C为旋转中心，将①中所得按逆时针方向旋转，使得与重合，得到，画出．
(2)解决下面的问题：
①线段和线段的位置关系是 请说明理由．
②求．
【答案】(1)见解析
(2)①平行，理由见解析；②
【分析】本题考查轴对称图形及旋转变换作图、平行线的判定、三角形的内角和，掌握轴对称和旋转作图是解题的关键．
（1）从点E向直线l引垂线，并延长相同单位，找到它的对称点，连接，把逆时针旋转与重合，再把逆时针旋转相同的角度，得到，连接得到．
（2）①等量代换利用平行线的判定即可证明是平行．②利用等腰梯形的性质及三角形的内角和是度来计算．
【详解】（1）解：如图，即为所求，
（2）解：①平行，
理由：∵，
∴，
∴．
故答案为：平行
②∵，，
∴四边形是梯形，
，
∴梯形是等腰梯形；
∴.
∵
∴，
在中，，
即，
解之得
2．如图，在中，以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转的度数后，得，且点C恰好是的中点．
(1)画出旋转后的；
(2)求的长．
【答案】(1)图见解析
(2)
【分析】本题考查了画旋转图形，旋转的性质等知识，正确画出旋转图形，掌握旋转的性质是解题的关键；
（1）按照题意画出图形即可；
（2）由旋转的性质得得，由中点即可求解．
【详解】（1）解：如图所示， 即为所求.
（2）解：由旋转的性质，可知，
所以，
因为C为的中点，所以．
3．如图，将绕点A顺时针旋转得到，点B的对应点为D，点C的对应点为E．
(1)作出旋转后的图形（尺规作图，保留作图痕迹）；
(2)连接，若，请判断直线是否经过点E，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)经过，理由见解析
【分析】本题主要考查了旋转作图，等边三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握等边三角形的性质．
（1）先分别以点A，C为圆心，线段的长为半径画弧，两弧交于点E，再以点E为半径画弧，以点A为圆心，为半径画弧，两弧交于点D，连接即可；
（2）先证明为等边三角形，得出，根据，得出，说明点B，C，E在一条直线上，即可得出结论．
【详解】（1）解：如图，先分别以点A，C为圆心，线段的长为半径画弧，两弧交于点E，再以点E为半径画弧，以点A为圆心，为半径画弧，两弧交于点D，连接，则即为所求．
（2）解：直线经过点E．
如图，连接，
根据作图可知：，
∴为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴点B，C，E在一条直线上，
∴直线经过点E．
知识点2 坐标系中的旋转
利用旋转的性质，构造全等三角形，确定点的坐标，画图.
【新知导学】
例2-1．如图，在平面直角坐标系中，O是原点，Rt△AOB的两条直角边OA，OB分别在x轴的负半轴、y轴的负半轴上，且OA=2，OB=1．将Rt△AOB先绕点O按顺时针方向旋转90°，再沿x轴正方向平移1个单位长度，得到Rt△CDO．
（1）直接写出点A，C的坐标；
（2）求点A和点C之间的距离．
【解析】（1）根据平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减：可得A、C点的坐标；
（2）根据点的坐标，在Rt△ACD中，AD=OA+OD=3，CD=2，借助勾股定理可求得AC的长．
解：（1）点A的坐标是（-2，0），点C的坐标是（1，2）．
（2）连接AC，在Rt△ACD中，AD=OA+OD=3，CD=2，
∴AC2=CD2+AD2=22+32=13，
∴AC=．
【对应导练】
1．如图，方格纸上的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，Rt△ABC的顶点均在格点上，在建立平面直角坐标系后，将Rt△ABC绕点B顺时针旋转90°得到Rt△A1B1C1，画出旋转后的Rt△A1B1C1，此时点A、C的对应点A1、C1的坐标分别为 _____、_____．
【答案】(1)（-2，4）;(2)（0，1）;
【解析】根据旋转的性质画出旋转后的Rt△A1B1C1，根据坐标系写出点的坐标即可求解．
解：如图所示，
∴A1（-2，4），C1（0，1），
故答案为：（-2，4），（0，1）．
2．已知如图，在直角坐标平面内，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（-1，2），B（-2，1）（正方形网格中每个小正方形的边长是1个单位长度）．
（1）△A1B1C1是△ABC绕点_____逆时针旋转_____度得到的，B1的坐标是_____；
（2）求出线段AC旋转过程中所扫过的面积（结果保留π）．
【答案】(1)C;(2)90;(3)（1，-2）;
【解析】（1）由旋转的性质即可得；
（2）根据勾股定理求得半径AC的长，由扇形面积公式可得答案．
解：（1）由图可知，△A1B1C1是△ABC绕点C逆时针旋转90度得到的，B1的坐标是（1，-2），
故答案为：C，90，（1，-2）；
（2）∵AC==，
∴线段AC旋转过程中所扫过的面积=．
3．在8×8的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，已知A（2，-4），B（4，-2）．C是第四象限内的一个格点，由点C与线段AB组成一个以AB为底，且腰长为无理数的等腰三角形．
（1）填空：C点的坐标是 _____，△ABC的面积是 _____；
（2）将△ABC绕点C旋转180°得到△A1B1C1，连接AB1、BA1，则四边形AB1A1B的形状是何特殊四边形？_____．
（3）请探究：在坐标轴上是否存在这样的点P，使四边形ABOP的面积等于△ABC面积的2倍？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)（1，-1）;(2)4;(3)矩形;
【解析】（1）根据题意点C在线段AB的垂直平分线上，且腰长为无理数，所以C（1，-1），利用分割法求出△ABC的面积即可；
（2）如图2，根据旋转的性质得到A1，C，A在同一直线上，B1，C，B在同一直线上，A1C=AC，B1C=BC，推出四边形AB1A1B是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论；
（3）由（1）知S△ABC=4，则S四边形ABOP=8．同（1）中的方法得S△ABO=16-4-4-2=6；当P在x轴负半轴时，当P在y轴负半轴时，而当P在x轴正半轴及y轴正半轴时均不能形成四边形ABOP；于是得到结论．
解：（1）根据题意点C坐标为（1，-1），如图1．
S△ABC=3×3-×3×1-×3×1-×2×2=4．
故答案为：（1，-1），4
（2）如图2，
∵将△ABC绕点C旋转180°得到△A1B1C1，
∴A1，C，A在同一直线上，B1，C，B在同一直线上，A1C=AC，B1C=BC，
∴四边形AB1A1B是平行四边形，
∵AC=BC，
∴A1A=B1B，
∴平行四边形AB1A1B是矩形，
故答案为：矩形；
（3）存在．
由（1）知S△ABC=4，则S四边形ABOP=8．同（1）中的方法得S△ABO=16-4-4-2=6；
当P在x轴负半轴时，S△APO=2，高为4，那么底边长为1，所以P（-1，0）；
当P在y轴负半轴时，S△APO=2，高为2，所以底边长为2，此时P（0，-2）；
而当P在x轴正半轴及y轴正半轴时均不能形成四边形ABOP；
故点P的坐标为（-1，0），（0，-2）．
知识点3 旋转的应用
旋转中的几何探究题解题策略：
确定旋转中心：
①旋转中心即可以在图形外部，也可以在图形内部，还可以在图形的一边上；
②确定旋转中心时要看旋转中心在图形上还是在图形外，若在图形上，那一点位置没有改变，那一点就是旋转中心，若在图形外，对应点连线的垂直平分线的交点就是旋转中心。
从旋转中心出发，寻找相等线段相等角，构造全等三角形。利用全等三角形探究解决几何探究题。
【新知导学】
例3-1．如图，说出这个图形的旋转中心，它绕旋转中心至少旋转多大角度才能与原来图形重合？
【解析】根据旋转角及旋转对称图形的定义结合图形特点作答．
解：这个图形的旋转中心为圆心；
∵360°÷6=60°，
∴该图形绕中心至少旋转60度后能和原来的图案互相重合．
【对应导练】
1．如图，三角形ABC中，∠BAC=150°，AB=6cm,三角形ABC逆时针方向旋转一定角度后，与三角形ADE重合，且点C恰好为AD中点．
（1）指出旋转中心和图中所有相等的角；
（2）求：AE的长度，请说明理由；
（3）若是顺时针旋转，把三角形ABC旋转到与三角形ADE重合，则这个最小旋转角是多少．
【解析】（1）根据中心旋转的性质即可解决提问．
（2）求出AC的长即可解决问题
（3）顺时针的最小旋转角=360°-∠BAC．
解：（1）旋转中心是点A，∠ACB=∠E，∠BAC=∠DAE，∠B=∠D；
（2）由旋转的性质可知，AB=AD=6cm,AC=AE，
∵AC=CD，
∴AE=CD=AD=3（cm）．
（3）顺时针的最小旋转角=360°-∠BAC=210°．
2．如图，有一副直角三角板如图1放置（其中∠D=45°，∠C=30°），PA，PB与直线MN重合，且三角板PAC，三角板PBD均可以绕点P逆时针旋转．
（1）在图1中，∠DPC=_____；
（2）①如图2，若三角板PBD保持不动，三角板PAC绕点P逆时针旋转，转速为10°/秒，转动一周三角板PAC就停止转动，在旋转的过程中，当旋转时间为多少时，有PC∥DB成立；
②如图3，在图1基础上，若三角板PAC的边PA从PN处开始绕点P逆时针旋转，转速为3°/秒，同时三角板PBD的边PB从PM处开始绕点P逆时针旋转，转速为2°/秒，当PC转到与原PA位置重合时，两三角板都停止转动，在旋转过程中，当∠CPD=∠BPM时，求旋转的时间是多少？
【答案】75°
【解析】（1）根据平角的定义即可得到结论；
（2）①如图1，根据平行线的性质得到∠CPN=∠DBP=90°，求得∠APN=30°，于是得到结论；如图2，根据平行线的性质得到∠CPB=∠DBP=90°，根据三角形的内角和得到∠CPA=60°，求得∠APM=30°，于是得到结论；
②设旋转的时间为t秒，由题知，∠APN=3t°，∠BPM=2t°，根据周角的定义得到∠CPD=360°-∠BPD-∠BPN-∠APN-∠APC=360°-45°-（180°-2t°）-（3t°）-60°=75°-t°，列方程即可得到结论．
解：（1）∵∠BPD=∠D=45°，∠APC=60°，
∴∠DPC=180°-45°-60°=75°，
故答案为：75°；
（2）①如图1，此时，BD∥PC成立，
∵PC∥BD，∠DBP=90°，
∴∠CPN=∠DBP=90°，
∵∠C=30°，
∴∠CPA=60°，
∴∠APN=30°，
∵转速为10°/秒，
∴旋转时间为3秒；
如图2，PC∥BD，
∵PC∥BD，∠PBD=90°，
∴∠CPB=∠DBP=90°，
∵∠C=30°，
∴∠CPA=60°，
∴∠APM=30°，
∵三角板PAC绕点P逆时针旋转的角度为180°+30°=210°，
∵转速为10°/秒，
∴旋转时间为21秒，
综上所述，当旋转时间为3或21秒时，PC∥DB成立；
②设旋转的时间为t秒，由题知，∠APN=3t°，∠BPM=2t°，
∴∠BPN=180°-∠BPM=180°-2t°，
∴∠CPD=360°-∠BPD-∠BPN-∠APN-∠APC=360°-45°-（180°-2t°）-（3t°）-60°=75°-t°，
当∠CPD=∠BPM，即2t°=75°-t°，
解得：t=25，
∴当∠CPD=∠BPM，旋转的时间是25秒．
二、题型训练
1.旋转变换在作图中的应用
1 .如图，在正方形中，点E为的中点，请仅用无刻度直尺按下列要求作图（保留作图痕迹，不写作法）．
(1)在图1中，将点E绕点B顺时针旋转；
(2)在图2中，将绕点D逆时针旋转．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】利用旋转图形性质与正方形性质作图即可．
【详解】（1）如图1中，连接、得到交点，连接交点与点并延长线段与交于点，
点F即为所求；
（2）如图2中，连接、交于点，连接，延长交于点，连接，延长交延长线于点，连接，即为所求．
【点评】本题考查了旋转变换作图，正方形性质，掌握旋转性质作图是解题关键．
2..如图，△ABC中，AB＝AC，点P为△ABC内一点，∠APB＝∠BAC＝120°.若AP＋BP＝4，则PC的最小值为（　　）
A．2 B． C． D．3
【答案】B
【解析】【解答】解：把△APB绕点A逆时针旋转120°得到△AP'C，作AD⊥PP'于D，
则AP=AP'，∠PAP'=120°，∠AP'C=∠APB=120°，∴∠AP'P=30°，∴PP' AP，∠PP'C=90°.
∵AP+BP=4，∴BP=4﹣PA.在Rt△PP'C中，PC ，则PC的最小值为 2 .
故答案为：B.
【分析】把△APB绕点A逆时针旋转120°得到△AP'C，作AD⊥PP'于D，根据旋转的性质得出AP=AP'，∠PAP'=120°，∠AP'C=∠APB=120°，根据等边对等角及三角形的内角和得出∠AP'P=30°，根据含30°直角三角形的边之间的关系及等腰三角形的三线合一得出PP' AP，根据角的和差得出∠PP'C=90°，.在Rt△PP'C中，利用勾股定理表示出PC的长，根据偶数次幂的非负性即可得出PC的最小值。
2.利用旋转变换求坐标
3．如图，在平面直角坐标系中，点C的坐标为（-1，0），点A的坐标为（-3，3），将点A绕点C顺时针旋转90°得到点B，求点B的坐标．
【解析】如图，过点A作AE⊥x轴于E，过点B作BF⊥x轴于F．利用全等三角形的性质解决问题即可．
解：如图，过点A作AE⊥x轴于E，过点B作BF⊥x轴于F．
∵∠AEC=∠ACB=∠CFB=90°，
∴∠ACE+∠BCF=90°，∠BCF+∠B=90°，
∴∠ACE=∠B，
在△AEC和△CFB中，
，
∴△AEC≌△CFB（AAS），
∴AE=CF，EC=BF，
∵A（-3，3），C（-1，0），
∴AE=CF=3，OC=1，EC=BF=2，
∴OF=CF-OC=2，
∴B（2，2）．
4．如图，方格纸上的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，Rt△ABC的顶点均在格点上，在建立平面直角坐标系后，将Rt△ABC绕点B顺时针旋转90°得到Rt△A1B1C1，画出旋转后的Rt△A1B1C1，此时点A、C的对应点A1、C1的坐标分别为 _____、_____．
【答案】(1)（-2，4）;(2)（0，1）;
【解析】根据旋转的性质画出旋转后的Rt△A1B1C1，根据坐标系写出点的坐标即可求解．
解：如图所示，
∴A1（-2，4），C1（0，1），
故答案为：（-2，4），（0，1）．
3.利用旋转变换求面积
5．在8×8的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，已知A（2，-4），B（4，-2）．C是第四象限内的一个格点，由点C与线段AB组成一个以AB为底，且腰长为无理数的等腰三角形．
（1）填空：C点的坐标是 _____，△ABC的面积是 _____；
（2）将△ABC绕点C旋转180°得到△A1B1C1，连接AB1、BA1，则四边形AB1A1B的形状是何特殊四边形？_____．
（3）请探究：在坐标轴上是否存在这样的点P，使四边形ABOP的面积等于△ABC面积的2倍？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)（1，-1）;(2)4;(3)矩形;
【解析】（1）根据题意点C在线段AB的垂直平分线上，且腰长为无理数，所以C（1，-1），利用分割法求出△ABC的面积即可；
（2）如图2，根据旋转的性质得到A1，C，A在同一直线上，B1，C，B在同一直线上，A1C=AC，B1C=BC，推出四边形AB1A1B是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论；
（3）由（1）知S△ABC=4，则S四边形ABOP=8．同（1）中的方法得S△ABO=16-4-4-2=6；当P在x轴负半轴时，当P在y轴负半轴时，而当P在x轴正半轴及y轴正半轴时均不能形成四边形ABOP；于是得到结论．
解：（1）根据题意点C坐标为（1，-1），如图1．
S△ABC=3×3-×3×1-×3×1-×2×2=4．
故答案为：（1，-1），4
（2）如图2，
∵将△ABC绕点C旋转180°得到△A1B1C1，
∴A1，C，A在同一直线上，B1，C，B在同一直线上，A1C=AC，B1C=BC，
∴四边形AB1A1B是平行四边形，
∵AC=BC，
∴A1A=B1B，
∴平行四边形AB1A1B是矩形，
故答案为：矩形；
（3）存在．
由（1）知S△ABC=4，则S四边形ABOP=8．同（1）中的方法得S△ABO=16-4-4-2=6；
当P在x轴负半轴时，S△APO=2，高为4，那么底边长为1，所以P（-1，0）；
当P在y轴负半轴时，S△APO=2，高为2，所以底边长为2，此时P（0，-2）；
而当P在x轴正半轴及y轴正半轴时均不能形成四边形ABOP；
故点P的坐标为（-1，0），（0，-2）．
6．如图，在平面直角坐标系内，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，-2），B（4，-1），C（3，-3）（正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度）．
（1）若△A1B1C1与△ABC关于原点O成中心对称，则点A1的坐标为 _____；
（2）以坐标原点O为旋转中心，将△ABC逆时针旋转90°，得到△A2B2C2，则点A2的坐标为 _____；
（3）求出（2）中线段AC扫过的面积．
【答案】(1)（-1，2）;(2)（2，1）;
【解析】（1）根据中心对称的定义可知，点A1与点A关于原点对称，根据关于原点对称的点的坐标特点即可求出点A1的坐标；
（2）将△ABC的三个顶点分别绕点O逆时针旋转90°得到对应点，顺次连接可得△A2B2C2，进而得到点A2的坐标；
（3）AC扫过的面积=扇形COC2的面积-扇形AOA2的面积，由此计算即可．
解：（1）∵△A1B1C1与△ABC关于原点O成中心对称，A（1，-2），
∴点A1的坐标为（-1，2）．
故答案为：（-1，2）；
（2）如图，△A2B2C2即为所求，
点A2的坐标为（2，1）．
故答案为：（2，1）；
（3）∵OA==，OC==3，
∴线段AC扫过的面积=扇形COC2的面积-扇形AOA2的面积
=-
=-
=．
三、课堂达标
一、选择题(共8题，每小题4分，共32分)
1．如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，旋转角为α（0°＜α＜90°）．若∠1=112°，则∠α的大小是（　　）
A. 68° B. 20° C. 28° D. 22°
【答案】D
【解析】先根据矩形的性质得∠BAD=∠ABC=∠ADC=90°，再根据旋转的性质得∠BAB′=α，∠B′AD′=∠BAD=90°，∠D′=∠D=90°，然后根据四边形的内角和得到∠3=68°，再利用互余即可得到∠α的大小．
解：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠BAD=∠ABC=∠ADC=90°，
∵矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，旋转角为α，
∴∠BAB′=α，∠B′AD′=∠BAD=90°，∠AD′C′=∠ADC=90°，
∵∠2=∠1=112°，
而∠ABC=∠D′=90°，
∴∠3=180°-∠2=68°，
∴∠BAB′=90°-68°=22°，
即∠α=22°．
故选：D．
2．如图，正方形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴上，点D（5，3）在边AB上，以C为中心，把△CDB旋转90°，则旋转后点D的对应点D′的坐标是（　　）
A. （2，10） B. （-2，0）
C. （2，10）或（-2，0） D. （10，2）或（-2，0）
【答案】C
【解析】分顺时针旋转和逆时针旋转两种情况讨论解答即可．
解：∵点D（5，3）在边AB上，
∴BC=5，BD=5-3=2，
①若顺时针旋转，则点D′在x轴上，OD′=2，
所以，D′（-2，0），
②若逆时针旋转，则点D′到x轴的距离为10，到y轴的距离为2，
所以，D′（2，10），
综上所述，点D′的坐标为（2，10）或（-2，0）．
故选：C．
3．如图，点A、B、C、D都在方格纸的格点上，若△AOB绕点O按逆时针方向旋转到△COD的位置，则旋转的角度为（　　）
A. 30° B. 45° C. 90° D. 135°
【答案】C
【解析】根据旋转的性质，对应边的夹角∠BOD即为旋转角．
解：∵△AOB绕点O按逆时针方向旋转到△COD的位置，
∴对应边OB、OD的夹角∠BOD即为旋转角，
∴旋转的角度为90°．
故选：C．
4．如图，在等腰直角△ABC中，∠B=90°，将△ABC绕顶点A逆时针方向旋转60°后得到△AB′C′，则∠BAC′=（　　）
A. 60° B. 105° C. 120° D. 135
【答案】B
【解析】根据等腰直角三角形的性质可得∠BAC=45°，再根据旋转的性质求出对应边的夹角∠CAC′=60°，然后根据∠BAC′=∠BAC+∠CAC′代入数据进行计算即可得解．
解：在等腰直角△ABC中，∠BAC=45°，
∵旋转角为60°，
∴∠CAC′=60°，
∴∠BAC′=∠BAC+∠CAC′=45°+60°=105°．
故选：B．
5．如图，将△ABC绕着点C按顺时针方向旋转20°，B点落在B′位置，A点落在A′位置，若AC⊥A′B′，则∠BAC的度数是（　　）
A. 50° B. 60° C. 70° D. 80°
【答案】C
【解析】根据旋转的性质可知，∠BCB′=∠ACA′=20°，又因为AC⊥A′B′，则∠BAC的度数可求．
解：∵△ABC绕着点C按顺时针方向旋转20°，B点落在B′位置，A点落在A′位置
∴∠BCB′=∠ACA′=20°
∵AC⊥A′B′，
∴∠BAC=∠A′=90°-20°=70°．
故选：C．
6．如图所示，下图可以看作是一个菱形通过几次旋转得到的，每次可能旋转（　　）
A. 30° B. 60° C. 90° D. 150°
【答案】B
【解析】根据旋转的意义，图形是由6个菱形组成的，因此图形是由菱形形顺时针或（逆时针）旋转得来的，每次旋转的度数相同，共旋转了6次．
解：根据分析，
图形是由菱形形顺时针或（逆时针）旋转6次得来的，
360÷6=60°
故选：B．
7．如图，正方形ABCD和正方形EFGO的边长都是1，正方形EFGO绕点O旋转时，两个正方形重叠部分的面积是（　　）
A. B.
C. D. 不能确定
【答案】A
【解析】根据正方形的性质得出OB=OC，∠OBA=∠OCB=45°，∠BOC=∠EOG=90°，推出∠BON=∠MOC，证出△OBN≌△OCM．
解：∵四边形ABCD和四边形OEFG都是正方形，
∴OB=OC，∠OBC=∠OCB=45°，∠BOC=∠EOG=90°，
∴∠BON=∠MOC．
在△OBN与△OCM中，
，
∴△OBN≌△OCM（ASA），
∴S△OBN=S△OCM，
∴S四边形OMBN=S△OBC=S正方形ABCD=×1×1=．
故选：A．
8．如图，在△ABC中，AB=，AC=，∠BAC=30°，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AB1C1，连接BC1，则BC1的长为（　　）
A. 3 B. 2
C. 2 D. 4
【答案】A
【解析】根据旋转的性质得出∠CAC1=60°，AC=AC1=，求出∠BAC1=90°，根据勾股定理求出即可．
解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AB1C1，AB=，AC=，
∴∠CAC1=60°，AC=AC1=，
∵∠BAC=30°，
∴∠BAC1=30°+60°=90°，
在Rt△BAC1中，由勾股定理得：BC1===3，
故选：A．
二、填空题(共5题。每小题4分，共20分)
9．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=4，将△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°得到△DEC．若点F是DE的中点，连接AF，则AF=_____．
【答案】5
【解析】根据旋转的性质，EC=BC=4，DC=AC=6，∠ACD=∠ACB=90°，由点F是DE的中点，可求出EG、GF，因为AE=AC-EC=2，可求出AG，然后运用勾股定理求出AF．
解：作FG⊥AC，
根据旋转的性质，EC=BC=4，DC=AC=6，∠ACD=∠ACB=90°，
∵点F是DE的中点，
∴FG∥CD，
∴GF=CD=AC=3，
EG=EC=BC=2，
∵AC=6，EC=BC=4，
∴AE=2，
∴AG=4，
根据勾股定理，AF=5．
10．如图，直线y=x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，把△AOB绕点A顺时针旋转90°后得到△AO′B′，则点B′的坐标是 _____．
【答案】（7，3）
【解析】首先根据直线AB来求出点A和点B的坐标，B′的横坐标等于OA+OB，而纵坐标等于OA，进而得出B′的坐标．
解：直线y=-x+4与x轴，y轴分别交于A（3，0），B（0，4）两点，
∵旋转前后三角形全等，∠O′AO=90°，∠B′O′A=90°
∴OA=O′A，OB=O′B′，O′B′∥x轴，
∴点B′的纵坐标为OA长，即为3，
横坐标为OA+OB=OA+O′B′=3+4=7，
故点B′的坐标是（7，3），
故答案为：（7，3）．
11．如图，P是正方形ABCD内一点，将△ABP绕点B顺时针方向旋转能与△CBP′重合，若PB=3，则PP′=_____．
【答案】
【解析】根据旋转不变性，可得BP=BP′，∠PBP′=90°，进而根据勾股定理可得PP′的值．
解：根据题意将△ABP绕点B顺时针方向旋转能与△CBP'重合，
结合旋转的性质可得BP=BP′，∠PBP′=90°，
根据勾股定理，可得PP′==3；
故答案为3．
12．如图，将Rt△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到Rt△ADE，点B的对应点D恰好落在BC边上，若AC=，∠B=60°，则CD的长为_____．
【答案】1
【解析】在直角三角形ABC中利用三角函数首先求得AB和BC的长，然后证明△ABD是等边三角形，根据CD=BC-BD即可求解．
解：∵直角△ABC中，AC=，∠B=60°，
∴AB===1，BC===2，
又∵AD=AB，∠B=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD=AB=1，
∴CD=BC-BD=2-1=1．
故答案是：1．
13．如图，点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补，若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：（1）PM=PN恒成立；
（2）OM-ON的值不变；
（3）△OMN的周长不变；
（4）四边形PMON的面积不变，
其中正确的序号为_____．
【答案】（1）（4）
【解析】如图作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．只要证明△POE≌△POF，△PEM≌△PFN，即可一一判断．
解：如图作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．
∵∠PEO=∠PFO=90°，
∴∠EPF+∠AOB=180°，
∵∠MPN+∠AOB=180°，
∴∠EPF=∠MPN，
∴∠EPM=∠FPN，
∵OP平分∠AOB，PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，
∴PE=PF，
在△POE和△POF中，
，
∴Rt△POE≌Rt△POF（HL），
∴OE=OF，
在△PEM和△PFN中，
，
∴△PEM≌△PFN（ASA），
∴EM=NF，PM=PN，故（1）正确，
∴S△PEM=S△PNF，
∴S四边形PMON=S四边形PEOF=定值，故（4）正确，
∵OM-ON=OE+EM-（OF-FN）=2EM，不是定值，故（2）错误，
∵OM+ON=OE+ME+OF-NF=2OE=定值，
在旋转过程中，△PMN是等腰三角形，形状是相似的，因为PM的长度是变化的，所以MN的长度是变化的，所以△OMN的周长是变化的，故（3）错误，
故答案为（1）（4）．
三、解答题(共6题，共48分)
14．（8分）如图所示，正方形ABCD中，E是CD上一点，F在CB的延长线上，且DE=BF．
（1）求证：△ADE≌△ABF；
（2）问：将△ADE顺时针旋转多少度后与△ABF重合，旋转中心是什么？
【解析】（1）根据SAS定理，即可证明两三角形全等；
（2）将△ADE顺时针旋转后与△ABF重合，A不变，因而旋转中心是A，∠DAB是旋转角，是90度．
（1）证明：在正方形ABCD中，
∠D=∠ABC=90°，
∴∠ABF=90°，
∴∠D=∠ABF=90°，
又∵DE=BF，AD=AB，
∴△ADE≌△ABF．
（2）解：将△ADE顺时针旋转90后与△ABF重合，
旋转中心是点A．
15．（8分）如图，在Rt△OAB中，∠BAO=90°，且点A的坐标是（2，0）．
（1）写出点B的坐标是_____；
（2）将点B向左平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到点C，则点C的坐标为_____．
（3）点C与点D关于原点O对称，则点D的坐标为_____；
（4）将点A绕点O按逆时针方向旋转90°，得到点E，则△ODE的面积是_____．（把答案填在相应的横线上，不用书写解答过程）
【答案】(1)（2，4）;(2)（-2，3）;(3)（2，-3）;(4)2;
【解析】（1）根据要求作出点C即可．
（2）根据要求作出点D即可．
（3）根据点D的位置写出坐标即可．
（4）利用三角形面积公式计算即可．
解：（1）B（2，4）．
（2）C（-2，3）．
（3）D（2，-3）．
（4）S△ODE=×2×2=2．
故答案为：（2，4），（-2，3），（2，-3），2．
16．（8分）如图，已知正方形ABCD，点E在AB边上，点F在BC边的延长线上，且CF=AE．以图中某一点为旋转中心，将△DAE按逆时针方向旋转一定角度后恰好与△DCF重合．
（1）旋转中心是点 _____，旋转角的度数为 _____°．
（2）判断△DFE的形状并说明理由．
【答案】(1)D;(2)90;
【解析】（1）由旋转的定义可直接求解；
（2）由旋转的性质可得∠ADC=∠EDF=90°，DE=DF，即可求解．
解：（1）∵将△DAE按逆时针方向旋转一定角度后恰好与△DCF重合，
∴∠ADC=∠EDF=90°，DE=DF，
∴旋转中心是点D，旋转角的度数为90°，
故答案为：D，90；
（2）△DEF是等腰直角三角形，
理由如下：∵将△DAE按逆时针方向旋转一定角度后恰好与△DCF重合，
∴∠ADC=∠EDF=90°，DE=DF，
∴△DEF是等腰直角三角形．
17．（8分）在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为，，．
（1）画出绕点逆时针旋转后得到的；
（2）分别写出和的坐标．
【答案】（1）见解析（2）
【解析】（1）根据网格结构找出点A、B、C绕点A逆时针旋转90°的对应点的位置，然后顺次连接即可；
（2）直接观察图像写坐标即可．
解：（1）如图所示：即为所求；
（2）由图像可得：．
【点睛】此题主要考查了图形的旋转变换正确得出各对应点的坐标是解题关键．
18．（8分）如图1，一大一小两个等腰直角三角形叠放在一起，M，N分别是斜边DE，AB的中点，DE=2，AB=4．
（1）将△CDE绕顶点C旋转一周，请直接写出点M，N距离的最大值和最小值；
（2）将△CDE绕顶点C逆时针旋转120°（如图2），求MN的长．
【解析】（1）以C为圆心，CM长为半径画圆，连接CN交DE于M1，延长NC交圆于M2，由等腰直角三角形的性质，推出CN平分∠ACB，CN=AB=×4=2，M1是DE中点，CM1=DE=×2=1，即可求出M、N距离的最小值和最大值；
（2）连接CM，CN，作NH⊥MC交MC延长线于H，由等腰直角三角形的性质推出CN=AB=2，CM=DE=1，由旋转的性质得到∠NCH=180°-∠MCN=60°，由直角三角形的性质得到CH=CN=1，NH=CH=，由勾股定理即可求出MN==．
解：（1）以C为圆心，CM长为半径画圆，连接CN交DE于M1，延长NC交圆于M2，
∵△ACB是等腰直角三角形，N是AB中点，
∴CN平分∠ACB，CN=AB=×4=2，
∵△DCE是等腰直角三角形，
∴M1是DE中点，
∴CM1=DE=×2=1，
∴M、N距离的最小值是NM1=CN-CM1=2-1=1，M、N距离的最大值是NM2=CN+CM2=2+1=3．
（2）连接CM，CN，作NH⊥MC交MC延长线于H，
∵△ACB是等腰直角三角形，N是AB中点，
∴CN=AB=2，
同理：CM=DE=1，
∵△CDE绕顶点C逆时针旋转120°，
∴∠MCN=120°，
∴∠NCH=180°-∠MCN=60°，
∴CH=CN=1，
∴NH=CH=，
∵MH=MC+CH=2，
∴MN==．
19．（8分）（1）如图1，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，现将绕点按顺时针方向旋转90°，点的对应点为，点的对应点为，连接，如图所示则___________．
（2）如图2，在等边内有一点，且，，，如果将绕点逆时针旋转60°得出，求的度数和的长；
（3）如图3，将（2）题中“在等边内有一点”改为“在等腰直角三角形内有一点”，且，，，，求的度数．
【答案】（1）；（2），；（3）
【解析】（1）根据旋转的性质只要证明是等腰直角三角形即可得到答案；
（2）根据旋转的性质，可得是等边三角形，由等边三角形的性质即可求出的长，；而又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可证），所以，从而得出结论；
（3）如图3，将绕点B逆时针旋转90°得到，，与（2）类似：可得：，求出，根据勾股定理的逆定理求出，即可得出结论．
解：∵将绕点按顺时针方向旋转90°，点的对应点为，点的对应点为，
∴，
∴．
故答案为：；
（2）∵是等边三角形，
∴，
∵将绕点逆时针旋转60°得出，，
∴，．
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴．
∵，
∴，
∴是直角三角形，即，
∴；
（3）如图3，将绕点B逆时针旋转90°得到，
与（2）类似：可得：，，，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
∵，
∴，
∴是直角三角形，即，
∴．
【点睛】本题考查了勾股定理及勾股定理的逆定理，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，旋转的性质等知识点的理解和掌握，正确作辅助线并能根据性质进行证明是解答此题的关键．
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