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九年级数学上点拨与精练
第23章 旋转
23.2.2 中心对称图形
学习目标：
1）掌握中心对称图形的概念和性质。
2）会运用中心对称图形的性质解决实际问题。
3）理解中心对称与中心对称图形的区别与联系。
学习重点： 能够判断一些常见的几何图形是否是中心对称图形。
学习难点： 确定对称中心的位置。
老师告诉你
判断中心对称图形的两个方法：
若存在一个点，使整个图形绕着这个点旋转180°后能够与原图形重合，则这个图形就是中心对称图形。
若图形上的对应点的连线都经过同一点，并且被这一点平分，则这个图形就是中心对称图形。
一、知识点拨
知识点1 中心对称图形
如果一个图形绕一个点旋转180°后，能和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形；这个点叫做它的对称中心；互相重合的点叫做对称点。
中心对称与中心对称图形的关系
【新知导学】
例1-1．在如图所示的四张扑克牌中，你认为哪一张的牌面是中心对称图形？是中心对称图形的，指出它的对称中心．
【对应导练】
1.下列环保标志，既是轴对称图形，也是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．如图分别是五角星、六角星、七角星、八角星的图形．
（1）请问其中是中心对称图形的是哪些？
（2）依此类推，36角星是不是中心对称图形？
（3）怎样判断一个n角星是否是中心对称图形？
3．阅读与思考
请阅读下列材料，并完成相应的任务．
旋转对称图形观察如图中的正六边形，点O是它的内角平分线的交点，将这个正六边形绕着点O旋转60°，旋转后的图形与旋转前的图形重合．一般地，如果把一个图形绕着某一点旋转一定角度（小于360°）后，能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做旋转对称图形，这个点叫它的对称中心．
任务：
（1）中心对称图形 _____旋转对称图形．（填“是”或“不是”）
（2）下列图形中不是旋转对称图形的有 _____，既是旋转对称图形又是中心对称图形的有 _____，旋转72°能够完全重合的图形有 _____．
4 .在下列说法中，正确的是（　　）
①中心对称图形与中心对称是两个不同的概念；
②中心对称与中心对称图形都只有一个对称中心；
③中心对称图形是指两个图形之间的一种关系；
④关于某点成中心对称的两点连线的中点刚好是对称中心．
A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．②③④
知识点2 中心对称图形的性质
中心对称图形上每一对对应点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分.
【新知导学】
例2-1．如图，在菱形ABCD中，AB=6，∠A=60°，将菱形ABCD某一边平移a长度，得菱形A1B1C1D1；将菱形A1B1C1D1沿菱形A1B1C1D1某一边平移a长度，得菱形A2B2C2D2；将菱形A2B2C2D2沿菱形A2B2C2D2某一边平移a长度，得菱形A3B3C3D3；若四个菱形构成的整个图形为中心对称图形，且四个菱形重叠部分面积为8，则a=_____．
【对应导练】
1．有下列图形：①线段，②三角形，③平行四边形，④正方形，⑤圆．其中不是中心对称图形的是 _____．（填序号）
2．如图，阴影部分组成的图案既是关于x轴成轴对称的图形又是关于坐标原点O成中心对称的图形．若点A的坐标为（1，3），点B的坐标为（3，1），点M的坐标为（a,b），点N的坐标为（c,d），则a+c的值为 _____．
3．已知：BD是△ABC的角平分线，点E，F分别在BC，AB上，且DE∥AB，BE=AF．
（1）如图1，求证：四边形ADEF是平行四边形；
（2）如图2，若△ABC为等边三角形，在不添加辅助线的情况下，请你直接写出所有是轴对称但不是中心对称的图形．
4．（1）如图1，在等边三角形ABC中，AB=2，BD是AC边上的高，延长BC至点E，使CE=CD，求BE的长；
（2）如图2，将△ABC以点C为旋转中心，顺时针旋转180°，得到△DEC，过点A作AF∥BE，交DE的延长线于点F，求证：∠B=∠F．
知识点3 中心对称图形的作图
作图的基本步骤：
1.作点的中心对称：先连接点和对称中心，然后延长一倍；
2.做图形的中心对称：先确定好图形的特殊点（如多边形的顶点、线段的端点，圆的圆心等），再作特殊点的对称点，然后顺次连接.
【新知导学】
例3-1．如图，在△ABC中，点D是AB边上的中点，已知AC=4，BC=6，
（1）画出△BCD关于点D的中心对称图形；
（2）根据图形说明线段CD长的取值范围．
【对应导练】
1．图①，图②均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．其中点A，B，C均在格点上，请在给定的网格中按要求画四边形．
（1）在图①中，找一格点D，使以点A，B，C，D为顶点的四边形是轴对称图形；
（2）在图②中，找一格点E，使以点A，B，C，E为顶点的四边形是中心对称图形．
2．已知六边形ABCDEF是以O为中心的中心对称图形（如图），画出六边形ABCDEF的全部图形，并指出所有的对应点和对应线段．
3．如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，在所给的3个矩形中分别画1个菱形（大致准确的示意图），要求菱形的顶点都在矩形的边上，且使整个图形分别符合下列条件：
图①菱形一边为AB；
图②既是中心对称图形又是轴对称图形且菱形四个顶点落在矩形不同边上；
图③是中心对称图形但不是轴对称图形且菱形面积最大．
并请在横线上直接写出各菱形的面积．
二，题型训练
1.中心对称图形的定义在识图中的应用
1．如图，如果图中的正多边形是轴对称图形，请画出它所有的对称轴；如果是中心对称图形，请指出它的对称中心的位置．
2．指出图中的中心对称图形，并画出其对称中心．
2.中心对称图形的性质在作图中的应用
3．按下列要求，画出线段AB关于点O成中心对称的线段．
（1）点O在线段AB上；
（2）点O在线段AB所在的直线外；
（3）点O在线段AB外但在线段AB所在的直线上．
4．如图，在方格中，正方形被分成4个全等的直角三角形，请你用这4个全等的直角三角形在下面三个方格中分别重新拼接成一个新的四边形，要求新的四边形是中心对称图形．
3.中心对称图形的性质在等分面积中的应用
5．如图平行四边形，试用两种方法将它分成面积相等的四个部分（要求用文字简述你设计两种方法，并在所给的两个平行四边形中正确画图）．
6．有一块方角形钢板如图所示，如何用一条直线将其分为面积相等的两部分．
三、课堂达标
一、单选题（每小题4分，共32分）
1．下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2．2024年4月24日是第九个“中国航天日”,54年前的今天,我国第一颗人造地球卫星“东方红一号”成功发射,拉开了中国人进入太空的序幕.下列航天图标中,其文字上方的图案是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
3．下列所述图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是( )
A.圆 B.菱形 C.平行四边形 D.等腰三角形
4．图中阴影部分是由4个完全相同的正方形拼接而成，若要在①，②，③，④四个区域中的某个区域处添加一个同样的正方形，使它与阴影部分组成的新图形是中心对称图形，则这个正方形应该添加在( )
A.区域①处 B.区域②处 C.区域③处 D.区域④处
5．如图，的位置经过怎样的运动和重合( )
A.沿翻折 B.平移
C.绕点M旋转90° D.绕点M旋转180°
6．下图由正六边形与两条对角线所组成，添加一条对角线使图形是中心对称图形，添加方法有( )种.
A.1 B.2 C.3 D.4
7．如图，在平面直角坐标系中，若与关于E点成中心对称，则对称中心E点的坐标是( )
A. B. C. D.
8．如图所示的是一个八角形图案，它是一个旋转对称图形.让这个图案绕着它的中心旋转后能够与它本身重合，则的度数可以是( )
A. B. C. D.
二、填空题（每小题4分，共20分）
9．如图，两张完全重合在一起的正三角形硬纸片，点O是它们的中心，若按住下面的纸片不动，将上面的纸片绕O顺时针旋转，设旋转角为，当___________时，两张硬纸片所构成的图形为中心对称图形.
10．如图，是由五个形状、大小都相同的正方形组成的图形，如果去掉其中一个正方形，使得剩下的图形是一个中心对称图形，那么不同的去法有_______________种.
11．在方格纸中,选择标有序号①②③④中的一个小正方形涂黑,与图中阴影部分构成中心对称图形,该正方形的序号是______.
12．如图,点O是的对称中心, 是边上的点,且是边上的点,且.若分别表示和
的面积,则与之间的等量关系是___________.
.
13．如图，.作折线关于点的中心对称图形，再做出新的折线关于与x轴的下一个交点的中心对称图形……以此类推，得到一个大的折线.现有一动点P从原点O出发，沿着折线以每秒1个单位的速度移动，设运动时间为t.当时，点P的坐标为________.
三、解答题（共6小题，48分）
14．（8分）图①、图②均为7×6的正方形网格，点A、B、C在格点(小正方形的顶点)上.
（1）在图①中确定格点D，并画出一个以A、B、C、D为顶点的四边形，使其为轴对称图形；
（2）在图②中确定格点E，并画出一个以A、B、C、E为顶点的四边形，使其为中心对称图形.
15．（8分）如图，在直角坐标系中，已知菱形的顶点，.
（1）请在坐标系中作出菱形关于点O的中心对称图形；
（2）点C的对应点的坐标是___________.
16．（8分）如图，将绕点O旋转，得到，当点O不在三边所在直线上时，求证：四边形是平行四边形.
17．（8分）如图，在四边形ABCD中，，E为BC边的中点，，AF与DC的延长线相交于点F.
（1）作出关于点E成中心对称的图形；
（2）探究线段AB与AF，CF之间的数量关系，并证明你的结论.
18．（8分）如图，已知与关于直线成轴对称，与关于点成中心对称，点，，都在线段上，的延长线交于点.
（1）求证：.
（2）若，请你判断与的数量关系，并说明理由.
19．（8分）阅读下面的操作过程，回答问题
在一次数学实践探究活动中，李小明同学按如图①操作，过的中点画直线，把长方形分割成两部分；而王小刚同学按如图②操作，过两点画直线，把长方形分割成两部分.
(1)若的面积分别用表示，则它们的关系是 ；
(2)根据这两位同学的分割原理，你能探索出多少种分割方法？请写出你的推理结果或猜想，并任意画出一种；
(3)由上述的实验操作过程，你能发现什么规律？
九年级数学上点拨与精练
第23章 旋转
23.2.2 中心对称图形
学习目标：
1）掌握中心对称图形的概念和性质。
2）会运用中心对称图形的性质解决实际问题。
3）理解中心对称与中心对称图形的区别与联系。
学习重点： 能够判断一些常见的几何图形是否是中心对称图形。
学习难点： 确定对称中心的位置。
老师告诉你
判断中心对称图形的两个方法：
若存在一个点，使整个图形绕着这个点旋转180°后能够与原图形重合，则这个图形就是中心对称图形。
若图形上的对应点的连线都经过同一点，并且被这一点平分，则这个图形就是中心对称图形。
一、知识点拨
知识点1 中心对称图形
如果一个图形绕一个点旋转180°后，能和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形；这个点叫做它的对称中心；互相重合的点叫做对称点。
中心对称与中心对称图形的关系
【新知导学】
例1-1．在如图所示的四张扑克牌中，你认为哪一张的牌面是中心对称图形？是中心对称图形的，指出它的对称中心．
【解析】根据中心对称图形的概念和扑克牌的花色特点求解．
解：第2张和第4张均不能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形；
第1张和第3张能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形，它们的对称中心在对角线的交点．
【对应导练】
1.下列环保标志，既是轴对称图形，也是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形的概念：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心，逐一判断即可．
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，则此项不符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，则此项不符合题意；
C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，则此项不符合题意；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形，则此项符合题意；
故选：D．
【点评】此题考查的是中心对称图形和轴对称图形的概念，掌握其概念是解决此题的关键．
2．如图分别是五角星、六角星、七角星、八角星的图形．
（1）请问其中是中心对称图形的是哪些？
（2）依此类推，36角星是不是中心对称图形？
（3）怎样判断一个n角星是否是中心对称图形？
【解析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心，据此解答即可．
解：（1）是中心对称图形的是六角星，八角星；
（2）依此类推，36角星是中心对称图形；
（3）当n是偶数时，n角星绕中心点旋转180°能完全重合，n角星是中心对称图形；
当n奇数时，n角星绕中心点旋转180°不能完全重合，n角星不是中心对称图形．
3．阅读与思考
请阅读下列材料，并完成相应的任务．
旋转对称图形观察如图中的正六边形，点O是它的内角平分线的交点，将这个正六边形绕着点O旋转60°，旋转后的图形与旋转前的图形重合．一般地，如果把一个图形绕着某一点旋转一定角度（小于360°）后，能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做旋转对称图形，这个点叫它的对称中心．
任务：
（1）中心对称图形 _____旋转对称图形．（填“是”或“不是”）
（2）下列图形中不是旋转对称图形的有 _____，既是旋转对称图形又是中心对称图形的有 _____，旋转72°能够完全重合的图形有 _____．
【答案】(1)是;(2)E;(3)A、C;(4)B、D;
【解析】（1）根据旋转对称图形和中心对称图形的定义判断即可；
（2）根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
解：（1）中心对称图形是旋转对称图形，
故答案为：是；
（2）不是旋转对称图形的有E，既是旋转对称图形又是中心对称图形的有A、C，旋转72°能够完全重合的图形有B、D．
故答案为：E；A、C；B、D．
4 .在下列说法中，正确的是（　　）
①中心对称图形与中心对称是两个不同的概念；
②中心对称与中心对称图形都只有一个对称中心；
③中心对称图形是指两个图形之间的一种关系；
④关于某点成中心对称的两点连线的中点刚好是对称中心．
A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．②③④
【分析】根据中心对称图形与中心对称的概念和性质求解．
【解答】解：①根据中心对称图形与中心对称的概念可知，中心对称图形与中心对称是两个不同的概念，故正确；
②根据中心对称图形与中心对称的性质可知，中心对称与中心对称图形都只有一个对称中心，故正确；
③中心对称图形是指一个图形之间的一种关系，故错误；
④根据中心对称的性质可知，关于某点成中心对称的两点连线的中点刚好是对称中心，故正确．
故选：A．
【点评】把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称，这个点叫做对称中心，两个图形关于点对称也称中心对称，这两个图形中的对应点，叫做关于中心的对称点．
知识点2 中心对称图形的性质
中心对称图形上每一对对应点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分.
【新知导学】
例2-1．如图，在菱形ABCD中，AB=6，∠A=60°，将菱形ABCD某一边平移a长度，得菱形A1B1C1D1；将菱形A1B1C1D1沿菱形A1B1C1D1某一边平移a长度，得菱形A2B2C2D2；将菱形A2B2C2D2沿菱形A2B2C2D2某一边平移a长度，得菱形A3B3C3D3；若四个菱形构成的整个图形为中心对称图形，且四个菱形重叠部分面积为8，则a=_____．
【答案】6-4
【解析】根据菱形的面积公式列方程求解．
解：如图：由题意得：AA1=BB1=B1B2=C1C1=C2C3=D2D3=DD3=a,
∴A2B3=6-a,∠D1A2B3=60°，
∵四个菱形重叠部分面积为8，
∴（6-a）2×=8，
解得：a=6-4，或a=6+4（不合题意，舍去），
故答案为：6-4．
【对应导练】
1．有下列图形：①线段，②三角形，③平行四边形，④正方形，⑤圆．其中不是中心对称图形的是 _____．（填序号）
【答案】②
【解析】根据中心对称图形的定义判断即可．
解：中心对称图形有：①线段，③平行四边形，④正方形，⑤圆．②不是中心对称图形．
故答案为：②．
2．如图，阴影部分组成的图案既是关于x轴成轴对称的图形又是关于坐标原点O成中心对称的图形．若点A的坐标为（1，3），点B的坐标为（3，1），点M的坐标为（a,b），点N的坐标为（c,d），则a+c的值为 _____．
【答案】-2
【解析】由图形可知，点A和点N关于x轴成轴对称，点M和点B关于坐标原点O成中心对称，求出两点的坐标，再计算即可．
解：由图形可知，点A和点N关于x轴成轴对称，点M和点B关于坐标原点O成中心对称，
因为点A的坐标为（1，3），点B的坐标为（3，1），
所以a=-3，c=1，
a+c=-3+1=-2，
故答案为：-2．
3．已知：BD是△ABC的角平分线，点E，F分别在BC，AB上，且DE∥AB，BE=AF．
（1）如图1，求证：四边形ADEF是平行四边形；
（2）如图2，若△ABC为等边三角形，在不添加辅助线的情况下，请你直接写出所有是轴对称但不是中心对称的图形．
【解析】（1）由BD是△ABC的角平分线，DE∥AB，易证得△BDE是等腰三角形，且BE=DE；又由BE=AF，可得DE=AF，即可证得四边形ADEF是平行四边形；
（2）根据等腰三角形的性质及平行四边形的性质可得答案．
（1）证明：∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠ABD=∠DBE，
∵DE∥AB，
∴∠ABD=∠BDE，
∴∠DBE=∠BDE，
∴BE=DE；
∵BE=AF，
∴AF=DE；
∴四边形ADEF是平行四边形；
（2）解：∵△ABC为等边三角形，BD是△ABC的角平分线，
∴AD=DC，D为AC的中点，BD⊥AC
∴△BDA和△BDC是以BD为轴的轴对称图形；
∵DE∥AB，
∴E为BAB的中点，
∵EF∥AC
∴F为BC的中点，
∴BG⊥EF
∴△BGF和△BGE是以BG为轴的轴对称图形，
轴对称图形为：△BDA和△BDC，△BGF和△BGE，△BGE和△DGE．
4．（1）如图1，在等边三角形ABC中，AB=2，BD是AC边上的高，延长BC至点E，使CE=CD，求BE的长；
（2）如图2，将△ABC以点C为旋转中心，顺时针旋转180°，得到△DEC，过点A作AF∥BE，交DE的延长线于点F，求证：∠B=∠F．
【解析】（1）证明△ADB≌△CDB，推出AD=CD=1，据此求解即可；
（2）根据旋转的性质得到B、C、E在同一直线上，且△ABC≌△DEC，得到∠B=∠CED，再根据平行线的性质即可证明∠B=∠F．
（1）解：∵等边三角形ABC中，BD是AC边上的高，
∴AB=BC=AC=2，∠ADB=∠CDB=90°，DB=DB，
∴△ADB≌△CDB（HL），
∴AD=CD=AC=AB=1，
∵CE=CD，
∴CE=CD=1，
∴BE=BC+CE=3，
∴BE的长为3；
（2）证明：∵将△ABC以点C为旋转中心，顺时针旋转180°，得到△DEC，
∴B、C、E在同一直线上，且△ABC≌△DEC，
∴∠B=∠CED，
∵AF//BE，
∴∠F=∠CED，
∴∠B=∠F．
知识点3 中心对称图形的作图
作图的基本步骤：
1.作点的中心对称：先连接点和对称中心，然后延长一倍；
2.做图形的中心对称：先确定好图形的特殊点（如多边形的顶点、线段的端点，圆的圆心等），再作特殊点的对称点，然后顺次连接.
【新知导学】
例3-1．如图，在△ABC中，点D是AB边上的中点，已知AC=4，BC=6，
（1）画出△BCD关于点D的中心对称图形；
（2）根据图形说明线段CD长的取值范围．
【解析】（1）根据中心对称图形的性质找出各顶点的对应点，然后顺次连接即可；
（2）根据三角形的三边关系求解即可．
解：（1）所画图形如下所示：
△ADE就是所作的图形．
（2）由（1）知：△ADE≌△BDC，
则CD=DE，AE=BC，
∴AE-AC＜2CD＜AE+AC，即BC-AC＜2CD＜BC+AC，
∴2＜2CD＜10，
解得：1＜CD＜5．
【对应导练】
1．图①，图②均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．其中点A，B，C均在格点上，请在给定的网格中按要求画四边形．
（1）在图①中，找一格点D，使以点A，B，C，D为顶点的四边形是轴对称图形；
（2）在图②中，找一格点E，使以点A，B，C，E为顶点的四边形是中心对称图形．
【解析】（1）作点B关于直线AC的对称点D，四边形ABCD为筝形．
（2）将点A向右平移1个单位，再向上平移1个单位可得点E，四边形ABCE为平行四边形．
解：（1）作点B关于直线AC的对称点D，连接ABCD，四边形ABCD为筝形，符合题意．
（2）将点A向右平移1个单位，再向上平移1个单位可得点E，连接ABCE，AE∥BC且AE=BC，
∴四边形ABCE为平行四边形，符合题意．
2．已知六边形ABCDEF是以O为中心的中心对称图形（如图），画出六边形ABCDEF的全部图形，并指出所有的对应点和对应线段．
【解析】画中心对称图形，要确保对称中心是对应点所连线段的中点，即B，O，E共线，并且OB=OE，C，O，F共线，并且OC=OF．
解：作法如下：
图中A的对应点是D，B的对应点是E，C的对应点是F；AB对应线段是DE，BC对应线段是EF，CD对应线段是AF．
3．如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，在所给的3个矩形中分别画1个菱形（大致准确的示意图），要求菱形的顶点都在矩形的边上，且使整个图形分别符合下列条件：
图①菱形一边为AB；
图②既是中心对称图形又是轴对称图形且菱形四个顶点落在矩形不同边上；
图③是中心对称图形但不是轴对称图形且菱形面积最大．
并请在横线上直接写出各菱形的面积．
【解析】根据题意，可以画出符合要求的菱形，然后根据题目中的数据，可以分别求得三个菱形的面积，本题得以解决．
解：如图所示，
S①=6×6=36，
S②=，
在符合③的图形中，设菱形的边长为a,
62+（8-a）2=a2，
解得，a=，
S③=×6=．
故答案为：36，24，．
二，题型训练
1.中心对称图形的定义在识图中的应用
1．如图，如果图中的正多边形是轴对称图形，请画出它所有的对称轴；如果是中心对称图形，请指出它的对称中心的位置．
【解析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义即可判断．
解：正五边形是轴对称图形，不是中心对称图形；正八边形既是轴对称图形，又是中心对称图形，点O就是它的对称中心．
其对称轴或对称中心如图所示：
2．指出图中的中心对称图形，并画出其对称中心．
【解析】根据中心对称图形的定义，结合选项所给图形进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
解：第（1）个图形均不能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形．
第（2）（3）（4）三个图形能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形．
如图所示，点O、M、N分别是它们的对称中心．
2.中心对称图形的性质在作图中的应用
3．按下列要求，画出线段AB关于点O成中心对称的线段．
（1）点O在线段AB上；
（2）点O在线段AB所在的直线外；
（3）点O在线段AB外但在线段AB所在的直线上．
【解析】根据中心对称图形的定义解答即可．
解：如图所示：
4．如图，在方格中，正方形被分成4个全等的直角三角形，请你用这4个全等的直角三角形在下面三个方格中分别重新拼接成一个新的四边形，要求新的四边形是中心对称图形．
【解析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心，据此解答即可．
解：如图所示：
3.中心对称图形的性质在等分面积中的应用
5．如图平行四边形，试用两种方法将它分成面积相等的四个部分（要求用文字简述你设计两种方法，并在所给的两个平行四边形中正确画图）．
【解析】直接利用平行四边形的性质分析得出答案．
解：如图所示：连接对角线即可将平行四边形分成面积相等的四个部分；
或者连接平行四边形对边中点即可将平行四边形分成面积相等的四个部分．
6．有一块方角形钢板如图所示，如何用一条直线将其分为面积相等的两部分．
【解析】思路1：先将图形分割成两个矩形，找出各自的对称中心，过两个对称中心作直线即可；
思路2：先将图形补充成一个大矩形，分别找出图中两个矩形各自的对称中心，过两个对称中心作直线即可．
解：如图所示，有三种思路：
三、课堂达标
一、单选题（每小题4分，共32分）
1．下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
答案：D
解析：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
故选：D.
2．2024年4月24日是第九个“中国航天日”,54年前的今天,我国第一颗人造地球卫星“东方红一号”成功发射,拉开了中国人进入太空的序幕.下列航天图标中,其文字上方的图案是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
答案：D
解析：选项A、B、C中的图形都不能找到一个点,使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合,所以不是中心对称图形.
选项D中的图形能找到一个点,使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合,所以是中心对称图形,
故选:D.
3．下列所述图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是( )
A.圆 B.菱形 C.平行四边形 D.等腰三角形
答案：D
解析：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项错误；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项错误；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项正确，
故选D.
4．图中阴影部分是由4个完全相同的正方形拼接而成，若要在①，②，③，④四个区域中的某个区域处添加一个同样的正方形，使它与阴影部分组成的新图形是中心对称图形，则这个正方形应该添加在( )
A.区域①处 B.区域②处 C.区域③处 D.区域④处
答案：B
解析：如图所示的图形是中心对称图形，
故选：B.
5．如图，的位置经过怎样的运动和重合( )
A.沿翻折 B.平移
C.绕点M旋转90° D.绕点M旋转180°
答案：D
解析：绕点M旋转180°可以与重合.
故选：D.
6．下图由正六边形与两条对角线所组成，添加一条对角线使图形是中心对称图形，添加方法有( )种.
A.1 B.2 C.3 D.4
答案：A
解析：如图，根据题意，添加一条对角线使图形是中心对称图形的方法只有一种方法，
，
故选：A.
7．如图，在平面直角坐标系中，若与关于E点成中心对称，则对称中心E点的坐标是( )
A. B. C. D.
答案：C
解析：连接、，则交点就是对称中心E点.
观察图形知，E.
故选：C.
8．如图所示的是一个八角形图案，它是一个旋转对称图形.让这个图案绕着它的中心旋转后能够与它本身重合，则的度数可以是( )
A. B. C. D.
答案：B
解析：这个图形平均分成八部分，最小旋转角为，则旋转的整数倍就能够与它本身重合.
故选：B.
二、填空题（每小题4分，共20分）
9．如图，两张完全重合在一起的正三角形硬纸片，点O是它们的中心，若按住下面的纸片不动，将上面的纸片绕O顺时针旋转，设旋转角为，当___________时，两张硬纸片所构成的图形为中心对称图形.
答案：或或
解析：要使两种图案构成的图形是中心对称图形，
则两张图案构成的图形至少是正六边形，
正六边形的中心角是，
要使得两张图案构成的图形是中心对称图形，它旋转角度需是的整数倍，且旋转后三角形不能与原三角形重合，
所以旋转角可以是或或.
故答案为：或或.
10．如图，是由五个形状、大小都相同的正方形组成的图形，如果去掉其中一个正方形，使得剩下的图形是一个中心对称图形，那么不同的去法有_______________种.
答案：2
解析：如图所示，去掉一个小正方形后能组成中心对称图形的情况如下，
去掉其中一个正方形，使得剩下的图形是一个中心对称图形，那么不同的去法有2种，
故答案为：2.
11．在方格纸中,选择标有序号①②③④中的一个小正方形涂黑,与图中阴影部分构成中心对称图形,该正方形的序号是______.
答案：②
解析：如图，把②涂黑后得到图形，绕中心点旋转180°可与原图重合，为中心对称图形.
12．如图,点O是的对称中心, 是边上的点,且是边上的点,且.若分别表示和
的面积,则与之间的等量关系是___________.
答案：
解析：，点O是的对称中心,.
13．如图，.作折线关于点的中心对称图形，再做出新的折线关于与x轴的下一个交点的中心对称图形……以此类推，得到一个大的折线.现有一动点P从原点O出发，沿着折线以每秒1个单位的速度移动，设运动时间为t.当时，点P的坐标为________.
答案：
解析：本题考查坐标与图形变化、探究规律.由题意可知点P从点O运动到的路程把点P从点O运动到作为一个循环.把点向右平移个单位长度，可得时，点P的坐标.，时，点P的坐标.
三、解答题（共6小题，48分）
14．（8分）图①、图②均为7×6的正方形网格，点A、B、C在格点(小正方形的顶点)上.
（1）在图①中确定格点D，并画出一个以A、B、C、D为顶点的四边形，使其为轴对称图形；
（2）在图②中确定格点E，并画出一个以A、B、C、E为顶点的四边形，使其为中心对称图形.
答案：（1）见解析
（2）见解析.
解析：（1）如图：
（2）如图：
15．（8分）如图，在直角坐标系中，已知菱形的顶点，.
（1）请在坐标系中作出菱形关于点O的中心对称图形；
（2）点C的对应点的坐标是___________.
答案：（1）见详解
（2）
解析：（1）根据网格图可知C点坐标为：，
关于原点对称的两个点的坐标，它们的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数，
的坐标为：，
，，
同理可得，，
根据，，在网格图中找对应的点，两两连线，作图如下：
四边形即为所求.
（2）根据（1）中的解答，可知的坐标为：，
故答案为：.
16．（8分）如图，将绕点O旋转，得到，当点O不在三边所在直线上时，求证：四边形是平行四边形.
答案：证明见解析
解析：证明：如图，连接，，
B点绕O点旋转到，
，点B，O，三点共线.
C点绕O点旋转到，
，点C，O，三点共线.
四边形是平行四边形.
17．（8分）如图，在四边形ABCD中，，E为BC边的中点，，AF与DC的延长线相交于点F.
（1）作出关于点E成中心对称的图形；
（2）探究线段AB与AF，CF之间的数量关系，并证明你的结论.
答案：解：（1）如图，延长AE到点M，使.连接CM，则为所求.
（2）.
证明：为关于点E成中心对称的图形，
.
.
又，
D，C，F，M四点共线.
又.
.
，.
18．（8分）如图，已知与关于直线成轴对称，与关于点成中心对称，点，，都在线段上，的延长线交于点.
（1）求证：.
（2）若，请你判断与的数量关系，并说明理由.
答案：（1）与关于直线成轴对称，
.
与关于点成中心对称，
（2）.理由如下：
由（1）得，
与关于直线成轴对称，
设，则，
设，则，
，
.
19．（8分）阅读下面的操作过程，回答问题
在一次数学实践探究活动中，李小明同学按如图①操作，过的中点画直线，把长方形分割成两部分；而王小刚同学按如图②操作，过两点画直线，把长方形分割成两部分.
(1)若的面积分别用表示，则它们的关系是 ；
(2)根据这两位同学的分割原理，你能探索出多少种分割方法？请写出你的推理结果或猜想，并任意画出一种；
(3)由上述的实验操作过程，你能发现什么规律？
答案：(1)的面积关系是.
(2)无数种如图，，直线把长方形分割成面积相等的两部分.
(3)过中心对称图形的对称中心的任意一条直线，都可把图形分割成面积相等的两部分.
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