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九年级数学上点拨与精练
第23章 旋转
23.2.3 关于原点对称的点的坐标
学习目标：
1.能够正确认识关于原点对称的两点坐标间的关系.
2.能够运用关于原点对称的两点坐标间的关系，在平面直角坐标系中作图.
3.经历了观察、操作、交流、归纳等过程，培养学生探究问题的能力、动手能力、观察能力，以及与他人合作交流的能力.
老师告诉你
对称点的坐标特点：
两点关于x轴对称，横坐标相等，纵坐标互为相反数；
两点关于y轴对称，纵坐标相等，横坐标互为相反数；
两个关于原点对称，横纵坐标分别互为相反数。
图案设计常常利用轴对称、旋转、平移等方法，由于轴对称、旋转、平移现象在现实生活中普遍存在，并具有广泛的应用和丰富的文化价值，因此轴对称变换、旋转变换、平移变换是设计图案的常用方法。
一、知识点拨
知识点1 在直角坐标系中关于原点对称的点的坐标的关系：
（1）两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点P ′(-x，-y).
（2）P（x，y）关于原点O的对称点P’(-x，-y)。
第一象限内的点关于原点的对称点在第三象限，
第二象限内的点关于原点的对称点在第四象限，
坐标轴上的点关于原点的对称点仍在坐标轴上。
（3）关于坐标轴对称和关于原点对称的点的坐标的区别：
【新知导学】
例1-1．已知点与点关于原点对称，则的值为( )
A.6 B.5 C.4 D.3
【对应导练】
1．若点,,则点A关于点B的对称点的坐标是____________.
2．已知点与点关于原点对称，则点P坐标为_______.
3．若点与点关于原点对称,则______.
4.已知点与点关于y轴对称，
（1）______．
（2）若点P与点M关于原点对称，则______．
知识点2 关于原点对称的点的坐标的应用
在直角坐标系中作关于原点的中心对称图形
在直角坐标系中作关于原点的中心对称图形的一般步骤
1）确定关键点(通常为图形顶点等特殊点)的坐标；
2）写出关键点关于原点对称的点坐标；
3）在直角坐标系中标出对称点的坐标；
4）顺次连接对称点，所作的图形为所求图形.
【新知导学】
例2-1．每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，
（1）写出A、B、C的坐标．
（2）以原点O为对称中心，画出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1，并写出A1、B1、C1 的坐标，求△A1B1C1的面积．
【对应导练】
1．如图，正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求解答下列问题：
（1）△A1B1C1与△ABC关于坐标原点O成中心对称，则B1的坐标为 _____；
（2）△A1B1C1的面积为 _____．
2．如图，在直角坐标平面内，已知点A的坐标（-5，0）．
（1）图中点B的坐标是 _____；
（2）点B关于原点对称的点C的坐标是 _____；点A关于y轴对称的点D的坐标是 _____；
（3）△ABC的面积是 _____．
3．如图，△ABC中任意一点P（xo，yo），将△ABC平移后得到△A1B1C1，点P的对应点P1（xo+6，yo+4）．
（1）写出A1、B1、C1的坐标．
（2）若三角形外有一点M经过同样的平移后得到点N（5，3），写出M点关于原点对称的点的坐标．
知识点3 图案设计
我们学习了的全等变换有平移、轴对称、旋转，生活中常用这三种图形变换进行图案设计，在上述变换过程中，形状、大小不变，位置发生了改变。
【新知导学】
例3-1．数学活动课上，张老师组织同学们设计多姿多彩的几何图形，如图都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有3个小等边三角形已涂上阴影，请同学们在余下的空白小等边三角形中选取一个涂上阴影，使得4个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形或中心对称图形，请画出4种不同的设计图形．（规定：凡通过旋转能重合的图形视为同一种图形）
【对应导练】
1．如图所示，将大写字母A绕它上方的顶点按逆时针方向旋转90°，作出旋转后的图案，同时作出字母A向左平移5个单位的图案．
2．（1）选取1个涂上阴影，使4个阴影小正方形组成一个中心对称图形，但不是轴对称图形．
（2）请你用无刻度的直尺画一条直线把如图分成面积相等的两部分．（保留作图痕迹，不写作法）
3．正方形的花坛内准备种植两种不同颜色的花卉，要求种植的花卉能组成轴对称或中心对称图案，下面是三种不同设计方案中的一部分，请把图1、图2补成既是轴对称图形，又是中心对称图形，并画出一条对称轴，把图3补成只是中心对称图形，并把对称中心标上字母O．（在你所设计的图案中用阴影部分和非阴影部分表示两种不同颜色的花卉．）
二、题型训练
1利用.图形变换作图求坐标
1．如图，在直角坐标平面内，已知点A的坐标是（0，4）．
（1）图中B点的坐标是 _____．
（2）点B关于原点对称的点C的坐标是 _____；点A关于x轴对称的点D的坐标是 _____．
（3）△ABC的面积是 _____．
（4）如果点E在x轴上，且S△ADE=S△ABC，那么点E的坐标是 _____．
2．已知点A1（2，5）关于y轴的对称点A2，关于原点的对称点A3
（1）求△A1A2A3的面积；
（2）如果将△A1A2A3沿着直线y=-5翻折可得到△B1B2B3，请写出B1，B2，B3的坐标．
3．如图，在直角坐标系内，已知点A（-1，0）．
（1）图中点B的坐标是 _____；
（2）点B关于原点对称的点D的坐标是 _____；点A关于y轴对称的点C的坐标是 _____；
（3）四边形ABCD的面积是 _____；
（4）在y轴上找一点F，使S△ADF=S△ABC．那么点F的坐标为 _____．
2利用图形变换作图求解析式
4．（1）直线l的位置如图所示，点P为直线l上一点，直线与直线l关于x轴对称，直线与直线l关于y轴对称，点P关于x轴对称的点为，关于y轴对称的点为，请在图①和图②中分别画出直线，点和直线，点；

（2）直线关于x轴对称的直线的解析式为______，关于y轴对称的直线的解析式为______，关于原点对称的直线的解析式为______．
5．二次函数的图像是抛物线，定义一种变换，先作这条抛物线关于原点对称的抛物线，再将得到的对称抛物线向上平移个单位，得到新的抛物线，我们称叫做二次函数的阶变换．
(1)二次函数的顶点关于原点的对称点为______，这个抛物线的2阶变换的解析式为______；
(2)若二次函数的5阶变换的关系式为．
①二次函数的解析式为______；
②若二次函数的顶点为点，与轴相交的两个交点中右侧交点为，是轴上的一个动点，请求出使周长最小时，点的坐标．
有规律排列的图案探究
6．如图，在平面直角坐标系内，边长为4的等边△ABC的顶点B与原点重合，将△ABC绕顶点C顺时针旋转60°得△ACA1．将四边形ABCA1看作一个基本图形，将此基本图形不断复制并平移，则A2020的坐标为 _____．
设计图案
7．认真观察图（1）-（4）中的四个图案，回答下列问题：
（1）请写出这四个图案都具有的两个共同特征：特征1：_____；特征2：_____．
（2）请你在图5中设计出你心中最美的图案，使它也具备你所写出的上述特征．
8．如图，现有标有字母A、B、C、D、E、F、G、H、I、J、K、L的12个基本图形，这些图形可以自由翻折、旋转，用这12个图形刚好能将图（1）的55个小圆填满．
（1）请仿照图（1）将图（2）的余下部分填满；
（2）请仿照图（1）将图（3）的余下部分填满；
（3）请仿照图（1）将图（4）的余下部分填满；
说明：每填一张图时，每个基本图形必须都用上，而且只能用一次．
课堂达标
一、选择题(共8题，每小题4分，共32分)
1．已知点A（a,2015）与点A′（-2016，b）是关于原点O的对称点，则a+b的值为（　　）
A. 1 B. 5 C. 6 D. 4
2．已知点P（a+1，-+1）关于原点的对称点在第四象限，则a的取值范围在数轴上表示正确的是（　　）
A. B.
C. D.
3．点P（ac2，）在第二象限，点Q（a，b）关于原点对称的点在（　　）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
4．在平面直角坐标系中，对于平面内任意一点（x,y），若规定以下两种变换：①f（x,y）=（y,x）．如f（3，4）=（4，3）；②g（x,y）=（-y,-x）．如g（3，4）=（-4，-3）．按照以上变换有：f（g（3，4））=（-3，-4），那么g（f（-4，5））等于（　　）
A. （5，-4） B. （-4，5） C. （4，-5） D. （-5，4）
5．如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A'B'C'关于D（-1，0）成中心对称．已知点A的坐标为（-3，-2），则点A'的坐标是（　　）
A. （1，3） B. （1，2） C. （3，2） D. （2，3）
6．如图，将五角星图案绕着它的中心O旋转后能与自身重合，则旋转的角度至少为（　　）
A. 36° B. 60° C. 72° D. 108°
7．如下左图所示的图案是由六个全等的菱形拼成的，它也可以看作是以一个图案为“基本图案”，通过旋转得到的．以下图案中，不能作为“基本图案”的一个是（　　）
A. B.
C. D.
8．如图，已知菱形ABCD与菱形AEFG全等，菱形AEFG可以看作是菱形ABCD经过怎样的图形变化得到？下列结论：①经过1次平移和1次旋转；②经过1次平移和1次翻折；③经过1次旋转，且平面内可以作为旋转中心的点共有3个．其中所有正确结论的序号是（　　）
A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③
二、填空题(共5题，每小题4分，共20分)
9．如图，△ABC在第一象限，其周长为a,动点P从点A出发，沿△ABC的边从A→B→C→A运动一周，在点P运动的同时，作点P关于原点O的对称点Q，再以PQ为边作等边△PQM，点M在第二象限，点M随点P运动所形成的图形的周长为 _____．（用含a的代数式表示）
10．若点P（m-1，4）与点Q（4，2-n）关于原点成中心对称，则m+n的值是 _____．
11．如图，阴影部分组成的图案既是关于x轴成轴对称的图形又是关于坐标原点O成中心对称的图形．若点A的坐标为（1，3），点B的坐标为（3，1），点M的坐标为（a,b），点N的坐标为（c,d），则a+c的值为 _____．
12．如图，在平面直角坐标系xOy中，△AOB可以看作是△OCD经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的，写出一种由△OCD得到△AOB的过程：_____．
13．现有16个相同正方形拼成一个正方形网格，已有两个小方格涂黑，请你用不同方法再涂黑两个小方格，使涂黑后的图案成为轴对称图形．共有 _____种涂法．
三、解答题(共6题，共48分)
14．（8分）每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，
（1）写出A、B、C的坐标．
（2）以原点O为对称中心，画出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1，并写出A1、B1、C1 的坐标，求△A1B1C1的面积．
15．（8分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，-2），点P是x轴上的一个动点．
（1）A1，A2分别是点A关于原点的对称点和关于y轴对称的点，直接写出点A1，A2的坐标，并在图中描出点A1，A2．
（2）求使△APO为等腰三角形的点P的坐标．
16．（8分）已知点A1（2，5）关于y轴的对称点A2，关于原点的对称点A3
（1）求△A1A2A3的面积；
（2）如果将△A1A2A3沿着直线y=-5翻折可得到△B1B2B3，请写出B1，B2，B3的坐标．
17．（8分）如图，在平面直角坐标系中，A（0，1），B（2，2），C（1，3）．
（1）将△ABC绕点O按逆时针方向旋转90°，得到△A1B1C1，画出△A1B1C1；
（2）以点O为位似中心，将△ABC放大2倍得到△DEF，画出△DEF；
（3）若在△ABC内有一点P（a,b），则点P放大后的对应点的坐标是 _____．
18．（8分）数学活动课上，张老师组织同学们设计多姿多彩的几何图形，如图都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有3个小等边三角形已涂上阴影，请同学们在余下的空白小等边三角形中选取一个涂上阴影，使得4个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形或中心对称图形，请画出4种不同的设计图形．（规定：凡通过旋转能重合的图形视为同一种图形）
19．（8分）如图1，把△ABC沿直线BC平移线段BC的长度，得到△ECD；如图2，以BC为轴，把△ABC沿BC翻折180°，可以得到△DBC；如图3，以点A为中心，把△ABC旋转180°，可以得到△AED．像这样，其中一个三角形是由另一个三角形按平移、翻折、旋转等方法得到的，这种只改变位置，不改变形状、大小的图形变换，叫做三角形的全等变换．回答下列问题：
（1）在图4中，可以使△ABE通过平移、翻折、旋转中的哪一种方法得到△ADF？
（2）图中线段BE与DF相等吗？为什么？
九年级数学上点拨与精练
第23章 旋转
23.2.3 关于原点对称的点的坐标
学习目标：
1.能够正确认识关于原点对称的两点坐标间的关系.
2.能够运用关于原点对称的两点坐标间的关系，在平面直角坐标系中作图.
3.经历了观察、操作、交流、归纳等过程，培养学生探究问题的能力、动手能力、观察能力，以及与他人合作交流的能力.
老师告诉你
对称点的坐标特点：
两点关于x轴对称，横坐标相等，纵坐标互为相反数；
两点关于y轴对称，纵坐标相等，横坐标互为相反数；
两个关于原点对称，横纵坐标分别互为相反数。
图案设计常常利用轴对称、旋转、平移等方法，由于轴对称、旋转、平移现象在现实生活中普遍存在，并具有广泛的应用和丰富的文化价值，因此轴对称变换、旋转变换、平移变换是设计图案的常用方法。
一、知识点拨
知识点1 在直角坐标系中关于原点对称的点的坐标的关系：
（1）两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点P ′(-x，-y).
（2）P（x，y）关于原点O的对称点P’(-x，-y)。
第一象限内的点关于原点的对称点在第三象限，
第二象限内的点关于原点的对称点在第四象限，
坐标轴上的点关于原点的对称点仍在坐标轴上。
（3）关于坐标轴对称和关于原点对称的点的坐标的区别：
【新知导学】
例1-1．已知点与点关于原点对称，则的值为( )
A.6 B.5 C.4 D.3
答案：B
解析：根据中心对称的性质，，，
解得，
∴
故选：B.
【对应导练】
1．若点,,则点A关于点B的对称点的坐标是____________.
答案：
解析：∵点A关于点B的对称点为,
∴B为的中点,
设的坐标为,
∴,,
∴,
∴的坐标是.
故答案为：.
2．已知点与点关于原点对称，则点P坐标为_______.
答案：
解析：由点与点关于原点对称，得
，.
解得，，
所以点P的坐标为，
故答案为：.
3．若点与点关于原点对称,则______.
答案：12
解析：∵点与点关于原点对称,
∴,
∴.
故答案为：12.
4.已知点与点关于y轴对称，
（1）______．
（2）若点P与点M关于原点对称，则______．
【详解】解：（1）∵M（a，3）与N（-4，b）关于y轴对称，
∴a=-（-4）=4，b=3，
∴2a-b=8-3=5，
故答案为：5；
（2）由（1）得点M的坐标为（4，3），
∵点P与点M关于原点对称，
∴点M的坐标为（-4，-3），
∴，
故答案为：10．
知识点2 关于原点对称的点的坐标的应用
在直角坐标系中作关于原点的中心对称图形
在直角坐标系中作关于原点的中心对称图形的一般步骤
1）确定关键点(通常为图形顶点等特殊点)的坐标；
2）写出关键点关于原点对称的点坐标；
3）在直角坐标系中标出对称点的坐标；
4）顺次连接对称点，所作的图形为所求图形.
【新知导学】
例2-1．每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，
（1）写出A、B、C的坐标．
（2）以原点O为对称中心，画出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1，并写出A1、B1、C1 的坐标，求△A1B1C1的面积．
【解析】（1）根据各点所在的象限，对应的横坐标、纵坐标，分别写出点的坐标；
（2）首先根据关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反得到A、B、C的对称点坐标，再顺次连接即可．
解：（1）A（1，-4），B（5，-4），C（4，-1）；
（2）A1（-1，4），B1（-5，4），C1（-4，1），如图所示：
==6．
【对应导练】
1．如图，正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求解答下列问题：
（1）△A1B1C1与△ABC关于坐标原点O成中心对称，则B1的坐标为 _____；
（2）△A1B1C1的面积为 _____．
【答案】(1)（2，2）;(2)2.5;
【解析】（1）根据中心对称的性质得出B1的坐标即可；
（2）根据格子图得出△A1B1C1是等腰直角三角形，得出三角形的底和高然后计算出面积即可．
解：（1）∵△A1B1C1与△ABC关于坐标原点O成中心对称，B（-2，-2），
∴B1的坐标（2，2），
故答案为：（2，2）；
（2）由网格图知，△ABC的各边上分别为，，，
即△ABC是等腰直角三角形，
∴△A1B1C1的面积=△ABC的面积=，
故答案为：2.5．
2．如图，在直角坐标平面内，已知点A的坐标（-5，0）．
（1）图中点B的坐标是 _____；
（2）点B关于原点对称的点C的坐标是 _____；点A关于y轴对称的点D的坐标是 _____；
（3）△ABC的面积是 _____．
【答案】(1)（-3，4）;(2)（3，-4）;(3)（5，0）;(4)20;
【解析】（1）根据图示直接写出答案；
（2）关于原点对称的点的横纵坐标与原来的互为相反数；关于y轴对称的点的坐标，纵坐标不变，横坐标互为相反数；
（3）利用勾股定理的逆定理证得△ABC是直角三角形，然后利用直角三角形的面积公式来求三角形ABC的面积；
解：（1）根据图示知，点B的坐标为（-3，4）；
（2）由（1）知，B（-3，4），
∴点B关于原点对称的点C的坐标是（3，-4）；
∵点A的坐标（-5，0），
∴点A关于y轴对称的点D的坐标是（5，0）；
（3）由勾股定理求得，AB=2，AC=4，BC=10，
∴AB2+AC2=BC2，
∴AB⊥AC，
∴S△ABC=AB AC=×2×4=20；
故答案为：（1）（-3，4）；
（2）（3，-4）；（5，0）；
（3）20；
3．如图，△ABC中任意一点P（xo，yo），将△ABC平移后得到△A1B1C1，点P的对应点P1（xo+6，yo+4）．
（1）写出A1、B1、C1的坐标．
（2）若三角形外有一点M经过同样的平移后得到点N（5，3），写出M点关于原点对称的点的坐标．
【解析】（1）让原来A、B、C各点的横坐标加6，纵坐标加4即为A1、B1、C1的坐标；
（2）让点N的横坐标减6，纵坐标减4即可得到点M的坐标，M点关于原点对称的点的横纵坐标均为M横纵坐标的相反数．
解：（1）∵原来点A的坐标为（-1，2），B的坐标为（-1，0），C的坐标为（4，0），点P的对应点P1（xo+6，yo+4），
∴A1（5，6）；B1（5，4）；C1（10，4）；
（2）∵有一点M经过同样的平移后得到点N（5，3），
∴点M的坐标为（-1，-1），
∴M点关于原点对称的点的坐标为（1，1）．
知识点3 图案设计
我们学习了的全等变换有平移、轴对称、旋转，生活中常用这三种图形变换进行图案设计，在上述变换过程中，形状、大小不变，位置发生了改变。
【新知导学】
例3-1．数学活动课上，张老师组织同学们设计多姿多彩的几何图形，如图都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有3个小等边三角形已涂上阴影，请同学们在余下的空白小等边三角形中选取一个涂上阴影，使得4个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形或中心对称图形，请画出4种不同的设计图形．（规定：凡通过旋转能重合的图形视为同一种图形）
【解析】利用轴对称图形，中心对称图形的性质，画出图形即可．
解：图形如图所示：
【对应导练】
1．如图所示，将大写字母A绕它上方的顶点按逆时针方向旋转90°，作出旋转后的图案，同时作出字母A向左平移5个单位的图案．
【解析】根据旋转画图的方法及平移的方法即可求解．
解：如图所示：
2．（1）选取1个涂上阴影，使4个阴影小正方形组成一个中心对称图形，但不是轴对称图形．
（2）请你用无刻度的直尺画一条直线把如图分成面积相等的两部分．（保留作图痕迹，不写作法）
【解析】（1）根据中心对称图形定义及轴对称图形定义即可得到答案；
（2）根据梯形面积公式及矩形中心对称关系找到矩形的对称中心，连接两对称中心即可得到答案；
解：（1）由题意可得，4个阴影小正方形组成一个中心对称图形，但不是轴对称图形，
根据中心对称图形定义及轴对称图形定义可得，如下图所示，
；
（2）根据梯形面积公式及矩形的中心对称关系，找到矩形的对称中心，连接两点将两个矩形分成上下底相等的图即可，如图所示，或将矩形补全，根据梯形面积公式及矩形的中心对称关系，找到矩形的对称中心，连接两点将图形分成上下底相等的梯形，如图所示，
3．正方形的花坛内准备种植两种不同颜色的花卉，要求种植的花卉能组成轴对称或中心对称图案，下面是三种不同设计方案中的一部分，请把图1、图2补成既是轴对称图形，又是中心对称图形，并画出一条对称轴，把图3补成只是中心对称图形，并把对称中心标上字母O．（在你所设计的图案中用阴影部分和非阴影部分表示两种不同颜色的花卉．）
【解析】轴对称，把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，称这两个图形轴对称．中心对称，是指如果一个图形绕着一个点旋转180度后，所得的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫对称中心．根据定义即可求解．
解：如图所示，即为所求图形．
第一个图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，对称轴为图中虚线的位置，有4条对称轴，任意取一条均为对称轴，对称中心是4条对称轴的交点，即点O位置；
第二个图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，对称轴为图中虚线的位置，有4条对称轴，任意取一条均为对称轴，对称中心是4条对称轴的交点，即点O位置；
第三个图形是中心对称图形，对称中心是点O的位置．
二、题型训练
1利用.图形变换作图求坐标
1．如图，在直角坐标平面内，已知点A的坐标是（0，4）．
（1）图中B点的坐标是 _____．
（2）点B关于原点对称的点C的坐标是 _____；点A关于x轴对称的点D的坐标是 _____．
（3）△ABC的面积是 _____．
（4）如果点E在x轴上，且S△ADE=S△ABC，那么点E的坐标是 _____．
【答案】(1)（-2，3）;(2)（2，-3）;(3)（0，-4）;(4)8;(5)（2，0）或（-2，0）;
【解析】（1）根据点B在平面直角坐标系的位置，即可解答；
（2）根据关于原点对称，关于x轴对称点的点的坐标特征即可解答；
（3）利用大矩形面积减去三个三角形的面积进行计算即可解答；
（4）先求出AD的长，然后利用三角形的面积公式进行计算即可解答．
解：（1）由题意得：
图中B点的坐标是（-2，3），
故答案为：（-2，3）；
（2）∵B与C关于原点对称，B（-2，3），
∴C（2，-3），
∵A与D关于x轴对称，A（0，4），
∴D（0，-4），
故答案为：（2，-3），（0，-4）；
（3）如图：
=28-1-7-12
=8；
（4）∵A（0，4），D（0，-4），
∴AD=4-（-4）=4+4=8，
∵，
∴，
∴|xE|=2，
∴E（2，0）或（-2，0）．
2．已知点A1（2，5）关于y轴的对称点A2，关于原点的对称点A3
（1）求△A1A2A3的面积；
（2）如果将△A1A2A3沿着直线y=-5翻折可得到△B1B2B3，请写出B1，B2，B3的坐标．
【解析】（1）作出△A1A2A3，然后代入面积公式进行运算即可；
（2）关于y=-5对称的两点，横坐标相等，纵坐标之和为2×（-5），由此可得出各点的坐标．
解：（1）如图所示：
关于y轴对称的两点：横坐标互为相反数，纵坐标相等，则点A2坐标为（-2，5）；
关于原点对称的两点：横、纵坐标均互为相反数，则A3坐标为（-2，-5）；
则S△A1A2A3=×4×10=20．
（2）点A1（2，5）关于y=-5对称的点B1的坐标为（2，-15）；
点A2（-2，5）关于y=-5对称的点B2的坐标为（-2，-15）；
点A3（-2，-5）关于y=-5对称的点B3的坐标为（-2，-5）；
3．如图，在直角坐标系内，已知点A（-1，0）．
（1）图中点B的坐标是 _____；
（2）点B关于原点对称的点D的坐标是 _____；点A关于y轴对称的点C的坐标是 _____；
（3）四边形ABCD的面积是 _____；
（4）在y轴上找一点F，使S△ADF=S△ABC．那么点F的坐标为 _____．
【答案】(1)（-3，4）;(2)（3，-4）;(3)（1，0）;(4)8;(5)（0，-3）或（0，1）;
【解析】（1）根据坐标的意义即可得出点B的坐标；
（2）根据关于原点对称的两个点坐标之间的关系可得出点B关于原点对称的点D的坐标，同理根据关于y轴对称的两个点坐标之间的关系得出点A关于y对称点C的坐标；
（3）平行四边形ABCD的面积等于三角形ABD面积的2倍，根据坐标可求出三角形ABD的面积；
（4）三角形ABC的面积等于平行四边形ABCD面积的一半，也等于三角形ABD的面积，根据面积公式求出OF的长即可．
解：（1）过点B作x轴的垂线，垂足所对应的数为-3，因此点B的横坐标为-3，
过点B作y轴的垂线，垂足所对应的数为4，因此点B的纵坐标为4，
所以点B（-3，4）；
故答案为：（-3，4）；
（2）由于关于原点对称的两个点坐标纵横坐标均为互为相反数，
所以点B（-3，4）关于原点对称点C（3，-4），
由于关于y轴对称的两个点，其横坐标互为相反数，其纵坐标不变，
所以点A（-1，0）关于y轴对称点D（1，0），
故答案为：（3，-4），（1，0）；
（3）S平行四边形ABCD=2S△ABC=2××2×4=8，
故答案为：8；
（4）设点F的坐标为（0，y），
因为S△ABC=S平行四边形ABCD=4=S△ADF，
所以-1-y=|2|，
解得y=-3或1，
所以点F（0，-3）或（0，1），
故答案为：（0，-3）或（0，1）．
2利用图形变换作图求解析式
4．（1）直线l的位置如图所示，点P为直线l上一点，直线与直线l关于x轴对称，直线与直线l关于y轴对称，点P关于x轴对称的点为，关于y轴对称的点为，请在图①和图②中分别画出直线，点和直线，点；

（2）直线关于x轴对称的直线的解析式为______，关于y轴对称的直线的解析式为______，关于原点对称的直线的解析式为______．
【答案】（1）作图见解析
（2）；；．
【分析】本题考查了坐标与图形变化-轴对称，中心对称，熟练掌握轴对称的性质，中心对称的性质以及根据一次函数图像的对称性求解析式是解题的关键；
（1）根据轴对称的性质作图即可；
（2）根据一次函数图像的对称性求解析式即可；
【详解】（1）解：由图像可知，直线l过，，，
直线与直线l关于x轴对称，
直线过，；
直线与直线l关于y轴对称，
直线过，；
点P关于x轴对称的点为，
；
点P关于y轴对称的点为，
，作图如下：
（2）直线关于x轴对称的直线的解析式为，即；
直线关于y轴对称的直线的解析式为，即；
直线关于原点对称的直线的解析式为，即；
故答案为：；；．
5．二次函数的图像是抛物线，定义一种变换，先作这条抛物线关于原点对称的抛物线，再将得到的对称抛物线向上平移个单位，得到新的抛物线，我们称叫做二次函数的阶变换．
(1)二次函数的顶点关于原点的对称点为______，这个抛物线的2阶变换的解析式为______；
(2)若二次函数的5阶变换的关系式为．
①二次函数的解析式为______；
②若二次函数的顶点为点，与轴相交的两个交点中右侧交点为，是轴上的一个动点，请求出使周长最小时，点的坐标．
【答案】(1)，
(2)①②
【分析】（1）根据二次函数的性质求出其顶点坐标，再根据关于原点对称的点的坐标特点，写出其关于原点的对称点的坐标，根据定义即可求解解析式；
（2）①将抛物线向下平移5个单位得到，此时该抛物线的顶点坐标为，该点关于原点的对称点为，进而求解；②首先求得抛物线的顶点的坐标，点的坐标，并求得点关于轴的对称点的坐标，当点三点共线时，的周长最小，利用待定系数法解得直线的解析式，进而确定点的坐标即可．
【详解】（1）解：二次函数的顶点坐标为，
∴该点关于原点的对称点为，
作这条抛物线关于原点对称的抛物线，
则有，
将抛物线向上平移2个单位长度，
可得，
所以原抛物线的2阶变换的解析式为
故答案为：，；
（2）①将抛物线向下平移5个单位得到，
此时该抛物线的顶点坐标为，
该点关于原点的对称点为，
即二次函数的顶点坐标为，
∴二次函数的解析式为．
故答案为：；
②如下图，
对于抛物线：，
其顶点坐标的坐标为，
令，可有，
解得，，
∵与轴相交的两个交点中右侧交点为，
∴，
作点关于轴的对称点，则，
∴，
∴周长，
∴当点三点共线时，的周长最小，
设直线的解析式为，
将点，代入，
可得，解得，
∴直线的解析式为，
令，则有，
∴点的坐标为．
【点睛】本题主要考查了新定义“二次函数的阶变换”、求关于原点对称的点的坐标、二次函数的图像与性质、关于轴对称的点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、一次函数图像与坐标轴交点等知识，解题关键是掌握相关知识，并运用数形结合的思想分析问题．
有规律排列的图案探究
6．如图，在平面直角坐标系内，边长为4的等边△ABC的顶点B与原点重合，将△ABC绕顶点C顺时针旋转60°得△ACA1．将四边形ABCA1看作一个基本图形，将此基本图形不断复制并平移，则A2020的坐标为 _____．
【答案】（8082，2）
【解析】过点A作AD⊥x轴于点D，根据等边三角形的性质可求出AD，BD的长度，进而可得出点A的坐标，再由旋转的性质可得出四边形ABCA1是平行四边形，结合点A的坐标及BC的值，即可得出点A1的坐标；根据平移的性质可找出点A2，A3，…的坐标，根据规律可得出点A2020的坐标．
解：∵边长为4的等边△ABC的顶点B与原点重合，
∴OA=BC=4，∠AOC=60°．
如图，过点A作AD⊥x轴于点D，
∴BD=DC=BC=2，AD=2，
∴点A的坐标为（2，2）．
∵将△ABC绕顶点C顺时针旋转60°得到△ACA1，
∴四边形ABCA1是平行四边形，
∴AA1=BC=4，AA1∥BC，
∴点A1的坐标为（2+4，2），即（6，2）．
∵将四边形ABCA1看作一个基本图形，将此基本图形不断复制并平移，
∴点A2的坐标为（2+4×2，2），即（10，2）；
点A3的坐标为（2+4×3，2），即（14，2）；
……
由规律可得：点A2020的坐标为（2+4×2020，2），即（8082，2）．
故答案为：（8082，2）．
设计图案
7．认真观察图（1）-（4）中的四个图案，回答下列问题：
（1）请写出这四个图案都具有的两个共同特征：特征1：_____；特征2：_____．
（2）请你在图5中设计出你心中最美的图案，使它也具备你所写出的上述特征．
【答案】(1)都是轴对称图形;(2)都是中心对称图形;
【解析】（1）利用沿某条直线折叠后直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形．绕一个点旋转180度后所得的图形与原图形完全重合的图形叫做中心对称图形，进而得出即可；
（2）根据题意画出图形即可．
解：（1）特征1：都是轴对称图形；
特征2：都是中心对称图形．
故答案为：都是轴对称图形；都是中心对称图形；
（2）如图所示，
8．如图，现有标有字母A、B、C、D、E、F、G、H、I、J、K、L的12个基本图形，这些图形可以自由翻折、旋转，用这12个图形刚好能将图（1）的55个小圆填满．
（1）请仿照图（1）将图（2）的余下部分填满；
（2）请仿照图（1）将图（3）的余下部分填满；
（3）请仿照图（1）将图（4）的余下部分填满；
说明：每填一张图时，每个基本图形必须都用上，而且只能用一次．
【解析】本题只需根据各基本图形的特点，然后结合各图空白处得形状即可得出填满的方式．
解：所填图形如下：
课堂达标
一、选择题(共8题，每小题4分，共32分)
1．已知点A（a,2015）与点A′（-2016，b）是关于原点O的对称点，则a+b的值为（　　）
A. 1 B. 5 C. 6 D. 4
【答案】A
【解析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得a、b的值，进而可得答案．
解：∵点A（a,2015）与点A′（-2016，b）是关于原点O的对称点，
∴a=2016，b=-2015，
∴a+b=1，
故选：A．
2．已知点P（a+1，-+1）关于原点的对称点在第四象限，则a的取值范围在数轴上表示正确的是（　　）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】根据关于原点对称点的性质得出对应点坐标，再利用第四象限点的坐标性质得出答案．
解：∵点P（a+1，-+1）关于原点的对称点坐标为：（-a-1，-1），该对称点在第四象限，
∴，
解得：a＜-1，
则a的取值范围在数轴上表示为：
．
故选：C．
3．点P（ac2，）在第二象限，点Q（a，b）关于原点对称的点在（　　）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】A
4．在平面直角坐标系中，对于平面内任意一点（x,y），若规定以下两种变换：①f（x,y）=（y,x）．如f（3，4）=（4，3）；②g（x,y）=（-y,-x）．如g（3，4）=（-4，-3）．按照以上变换有：f（g（3，4））=（-3，-4），那么g（f（-4，5））等于（　　）
A. （5，-4） B. （-4，5） C. （4，-5） D. （-5，4）
【答案】C
【解析】根据变换f、g的变换方法解答即可．
解：g（f（-4，5））=g（5，-4）=（4，-5）．
故选：C．
5．如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A'B'C'关于D（-1，0）成中心对称．已知点A的坐标为（-3，-2），则点A'的坐标是（　　）
A. （1，3） B. （1，2） C. （3，2） D. （2，3）
【答案】B
【解析】根据点D是线段AA′的中点以及中点坐标公式解答．
解：设点A'的坐标是（a,b），
根据题意知：=-1，=0．
解得a=1，b=2．
即点A'的坐标是（1，2），
故选：B．
6．如图，将五角星图案绕着它的中心O旋转后能与自身重合，则旋转的角度至少为（　　）
A. 36° B. 60° C. 72° D. 108°
【答案】C
【解析】五角星图案，可以被平分成五部分，因而每部分被分成的圆心角是72°，并且圆具有旋转不变性，因而旋转72度的整数倍，就可以与自身重合．
解：该图形被平分成五部分，旋转72度的整数倍，就可以与自身重合，因而A、B、D错误，能与其自身重合的是C．
故选：C．
7．如下左图所示的图案是由六个全等的菱形拼成的，它也可以看作是以一个图案为“基本图案”，通过旋转得到的．以下图案中，不能作为“基本图案”的一个是（　　）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】认真观察旋转得到的图案，找到旋转中心，即可判断．
解：A、顺时针，连续旋转60度，三次即可得到．
B、不能作为“基本图案”．
C、旋转180度，即可得到．
D、旋转60度即可．
故选：B．
8．如图，已知菱形ABCD与菱形AEFG全等，菱形AEFG可以看作是菱形ABCD经过怎样的图形变化得到？下列结论：①经过1次平移和1次旋转；②经过1次平移和1次翻折；③经过1次旋转，且平面内可以作为旋转中心的点共有3个．其中所有正确结论的序号是（　　）
A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③
【答案】A
【解析】依据旋转变换以及轴对称变换，分别画图可得结论．
解：①如图1，先将菱形ABCD向右平移，再绕着点E顺时针旋转得到菱形AEFG，故①正确；
②如图2，将菱形ABCD先平移，再沿直线l翻折可得菱形AEFG，故②正确；
③如图3，经过1次旋转，且平面内可以作为旋转中心的点有A和G，共有2个，故③不正确；
故选：A．
二、填空题(共5题，每小题4分，共20分)
9．如图，△ABC在第一象限，其周长为a,动点P从点A出发，沿△ABC的边从A→B→C→A运动一周，在点P运动的同时，作点P关于原点O的对称点Q，再以PQ为边作等边△PQM，点M在第二象限，点M随点P运动所形成的图形的周长为 _____．（用含a的代数式表示）
【答案】a
【解析】设M点对应的A，B，C的点分别为Ma，Mb，Mc，由△MbQbB是等边三角形，得出MbO=OB，同理得出MbO=OB，又因∠COB=∠McOMb，得出△McOMb∽△COB，得出MbMc=BC，同理证得MaMb=AB，MaMc=AC，所以△MaMbMc的周长是△ABC的周长的倍．
解：如图，
∵点P从点A出发，沿△ABC的边从A-B-C-A运动一周，且点Q关于原点O与点P对称，
∴点Q随点P运动所形成的图形是△ABC关于O的中心对称图形，
以PQ为边作等边△PQM，M点对应的A，B，C的点分别为Ma，Mb，Mc，
∵△MbQbB是等边三角形，
∴MbO=OB，
同理McO=OC，
∵∠COB+∠BOMc=90°，∠McOMb+∠BOMc=90°，
∴∠COB=∠McOMb，
∴△McOMb∽△COB，
∴MbMc=BC，
同理，MaMb=AB，MaMc=AC，
∴△MaMbMc的周长是△ABC的周长的倍，
∵△ABC的周长为a,
∴点M随点P运动所形成的图形的周长为a.
故答案为：a.
10．若点P（m-1，4）与点Q（4，2-n）关于原点成中心对称，则m+n的值是 _____．
【答案】3
【解析】根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数这一特征即可得答案．
解：∵点P（m-1，4）与点Q（4，2-n）关于原点成中心对称，
∴m-1=-4，2-n=-4，
∴m=-3，n=6，
则m+n=-3+6=3，
故答案为：3．
11．如图，阴影部分组成的图案既是关于x轴成轴对称的图形又是关于坐标原点O成中心对称的图形．若点A的坐标为（1，3），点B的坐标为（3，1），点M的坐标为（a,b），点N的坐标为（c,d），则a+c的值为 _____．
【答案】-2
【解析】由图形可知，点A和点N关于x轴成轴对称，点M和点B关于坐标原点O成中心对称，求出两点的坐标，再计算即可．
解：由图形可知，点A和点N关于x轴成轴对称，点M和点B关于坐标原点O成中心对称，
因为点A的坐标为（1，3），点B的坐标为（3，1），
所以a=-3，c=1，
a+c=-3+1=-2，
故答案为：-2．
12．如图，在平面直角坐标系xOy中，△AOB可以看作是△OCD经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的，写出一种由△OCD得到△AOB的过程：_____．
【答案】△OCD绕C点逆时针旋转90°，并向右平移2个单位得到△AOB
【解析】根据旋转的性质，平移的性质即可得到由△OCD得到△AOB的过程．
解：△OCD绕C点逆时针旋转90°，并向右平移2个单位得到△AOB（答案不唯一）．
故答案为：△OCD绕C点逆时针旋转90°，并向右平移2个单位得到△AOB．
13．现有16个相同正方形拼成一个正方形网格，已有两个小方格涂黑，请你用不同方法再涂黑两个小方格，使涂黑后的图案成为轴对称图形．共有 _____种涂法．
【答案】17
【解析】作出4条特殊位置的对称轴，画出图形，可得结论．
解：如图所示，共有17种涂法．
故答案为：17．
三、解答题(共6题，共48分)
14．（8分）每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，
（1）写出A、B、C的坐标．
（2）以原点O为对称中心，画出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1，并写出A1、B1、C1 的坐标，求△A1B1C1的面积．
【解析】（1）根据各点所在的象限，对应的横坐标、纵坐标，分别写出点的坐标；
（2）首先根据关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反得到A、B、C的对称点坐标，再顺次连接即可．
解：（1）A（1，-4），B（5，-4），C（4，-1）；
（2）A1（-1，4），B1（-5，4），C1（-4，1），如图所示：
==6．
15．（8分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，-2），点P是x轴上的一个动点．
（1）A1，A2分别是点A关于原点的对称点和关于y轴对称的点，直接写出点A1，A2的坐标，并在图中描出点A1，A2．
（2）求使△APO为等腰三角形的点P的坐标．
【解析】（1）利用关于原点对称和y轴对称的点的坐标特征写出点A1，A2的坐标，然后描点；
（2）先计算出OA的长，再分类讨论：当OP=OA或AP=AO或PO=PA时，利用直角坐标系分别写出对应的P点坐标．
解：（1）A1（-2，2），A2（-2，-2），如图，
（2）设P点坐标为（t,0），
OA==2，
当OP=OA时，P点坐标为（-2，0）或（2，0）；
当AP=AO时，P点坐标为（4，0），
当PO=PA时，P点坐标为（2，0），
综上所述，P点坐标为（-2，0）或（2，0）或（4，0）或（2，0）．
16．（8分）已知点A1（2，5）关于y轴的对称点A2，关于原点的对称点A3
（1）求△A1A2A3的面积；
（2）如果将△A1A2A3沿着直线y=-5翻折可得到△B1B2B3，请写出B1，B2，B3的坐标．
【解析】（1）作出△A1A2A3，然后代入面积公式进行运算即可；
（2）关于y=-5对称的两点，横坐标相等，纵坐标之和为2×（-5），由此可得出各点的坐标．
解：（1）如图所示：
关于y轴对称的两点：横坐标互为相反数，纵坐标相等，则点A2坐标为（-2，5）；
关于原点对称的两点：横、纵坐标均互为相反数，则A3坐标为（-2，-5）；
则S△A1A2A3=×4×10=20．
（2）点A1（2，5）关于y=-5对称的点B1的坐标为（2，-15）；
点A2（-2，5）关于y=-5对称的点B2的坐标为（-2，-15）；
点A3（-2，-5）关于y=-5对称的点B3的坐标为（-2，-5）；
17．（8分）如图，在平面直角坐标系中，A（0，1），B（2，2），C（1，3）．
（1）将△ABC绕点O按逆时针方向旋转90°，得到△A1B1C1，画出△A1B1C1；
（2）以点O为位似中心，将△ABC放大2倍得到△DEF，画出△DEF；
（3）若在△ABC内有一点P（a,b），则点P放大后的对应点的坐标是 _____．
【答案】（2a,2b）
【解析】（1）利用网格特点和旋转的性质画出点A、B、C的对应点A1、B1、C1，然后连接即可得到△A1B1C1；
（2）先根据位似中心的位置以及放大的倍数，画出原三角形各顶点的对应顶点D、E、F，再顺次连接各顶点，得到△DEF，
（3）根据△DEF结合位似的性质即可得点P放大后的对应点的坐标．
解：（1）如图1，△A1B1C1即为所作；
（2）如图2，△DEF即为所作；
（3）在△ABC内有一点P（a,b），则点P放大后的对应点的坐标是（2a,2b），
故答案为：（2a,2b）．
18．（8分）数学活动课上，张老师组织同学们设计多姿多彩的几何图形，如图都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有3个小等边三角形已涂上阴影，请同学们在余下的空白小等边三角形中选取一个涂上阴影，使得4个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形或中心对称图形，请画出4种不同的设计图形．（规定：凡通过旋转能重合的图形视为同一种图形）
【解析】利用轴对称图形，中心对称图形的性质，画出图形即可．
解：图形如图所示：
19．（8分）如图1，把△ABC沿直线BC平移线段BC的长度，得到△ECD；如图2，以BC为轴，把△ABC沿BC翻折180°，可以得到△DBC；如图3，以点A为中心，把△ABC旋转180°，可以得到△AED．像这样，其中一个三角形是由另一个三角形按平移、翻折、旋转等方法得到的，这种只改变位置，不改变形状、大小的图形变换，叫做三角形的全等变换．回答下列问题：
（1）在图4中，可以使△ABE通过平移、翻折、旋转中的哪一种方法得到△ADF？
（2）图中线段BE与DF相等吗？为什么？
【解析】（1）根据旋转变换的定义判断即可．
（2）根据旋转变换的性质解决问题即可
解：（1）△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ADF．这里是旋转变换．
（2）BE=DF．理由：
因为△ABE 绕点 A 按逆时针方向旋转 90° 后得到△ADF，根据旋转的性质，旋转不改变图形的形状和大小，所以 BE=DF．
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