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九年级数学上点拨与精练
第23章 旋转复习与小结
一、知识体系构建
知识点梳理
知识点1 旋转的性质及应用
旋转的定义：把一个图形绕某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转，其中O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角
旋转的性质：
（1）对应点到旋转中心的距离相等．
（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．
【典例剖析】
例1-1．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，如果将该三角形绕点A按顺时针方向旋转到△AB′C′的位置，点B′恰好落在边BC的中点处，求旋转角的大小．
【针对训练】
1．如图，D是△ABC的边BC延长线上一点，连接AD，把△ACD绕点A顺时针旋转60°恰好得到△ABE，其中D，E是对应点，若∠CAD=18°，求∠EAC的度数．
2．如图所示，△ABC的∠BAC=120°，以BC为边向形外作等边△BCD，把△ABD绕着D点按顺时针方向旋转60°到△ECD的位置，若AB=3，AC=2，求∠BAD的度数和线段AD的长．
3．如图，在Rt△MBC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D为AB边上的一点，将△BCD绕点C逆时针旋转90°得到△ACE，点B，D的对应点分别为点A，E，连结BE．
（1）求证：∠BCE+∠ACD=180°．
（2）当BC=3，BD=时，求BE的长．
4．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（2，-1）．B（1，-2），C（3，-3）．
（1）将△ABC向上平移4个单位，再向右平移1个单位，得到△A1B1C1，请画出△A1BC1；
（2）请画出△ABC关于y轴对称的△A2B2C2；
（3）将△A2B2C2绕着原点O顺时针旋转90°，得到△A3B3C3，求线段A2C2在旋转过程中扫过的面积（结果保留π）．
知识点2 中心对称及中心对称图形
中心对称的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
中心对称的性质：
（1）关于中心对称的两个图形是全等形．
（2）关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分．
（3）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等．
中心对称的判定：如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称．
中心对称图形的定义：把一个图形绕某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
中心对称与中心对称图形区别与联系：
（1）中心对称与中心对称图形的区别：中心对称是两个图形的位置关系，必须涉及两个图形，中心对称图形是指一个图形；中心对称是指其中一个图形沿对称中心旋转180°后，两个图形重合；中心对称图形是指该图形绕对称中心旋转180°，与原图形重合．
（2）中心对称与中心对称图形的联系：如果把两个成中心对称的图形拼在一起，看成一个整体，那么它就是中心对称图形；如果把中心对称图形看成以对称中心为分点的两个图形，那么这两个图形成中心对称．
中心对称与轴对称的区别与联系：
（1）中心对称与轴对称的区别：中心对称有一个对称中心——点；图形绕中心旋转180°，旋转后与另一个图形重合．轴对称有一条对称轴——直线．图形沿直线翻折180°，翻折后与另一个图形重合．
（2）中心对称与轴对称的联系：如果一个轴对称图形有两条互相垂直的对称轴，那么它必是中心对称图形，这两条对称轴的交点就是它的对称中心，但中心对称图形不一定是轴对称图形．
【典例剖析】
例2-1．下列卫视台标图案是中心对称图形的有（　　）
A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
【针对训练】
1．阅读与思考
请阅读下列材料，并完成相应的任务．
旋转对称图形观察如图中的正六边形，点O是它的内角平分线的交点，将这个正六边形绕着点O旋转60°，旋转后的图形与旋转前的图形重合．一般地，如果把一个图形绕着某一点旋转一定角度（小于360°）后，能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做旋转对称图形，这个点叫它的对称中心．
任务：
（1）中心对称图形 _____旋转对称图形．（填“是”或“不是”）
（2）下列图形中不是旋转对称图形的有 _____，既是旋转对称图形又是中心对称图形的有 _____，旋转72°能够完全重合的图形有 _____．
2．如图，在等腰直角△ABC中，∠C=90°，BC=2cm,如果以AC的中点O为旋转中心，将这个三角形旋转180°，点B落在点B'处，求BB'的长度．
3．如图，在△ABC中，点D是AB边上的中点，已知AC=4，BC=6，
（1）画出△BCD关于点D的中心对称图形；
（2）根据图形说明线段CD长的取值范围．
4．如图，正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求解答下列问题：
（1）△A1B1C1与△ABC关于坐标原点O成中心对称，则B1的坐标为 _____；
（2）△A1B1C1的面积为 _____．
知识点3 利用旋转进行证明和计算
综合利用旋转的性质，（1）对应点到旋转中心的距离相等．（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．结合图形进行证明和计算。
【典例剖析】
例3-1．菱形ABCD中，∠ABC=60°，△BEF为等边三角形，将△BEF绕点B顺时针旋转，G为线段DF的中点，连接AG、EG．
（1）如图1，E为边AB上一点（点A、E不重合），则EG、AG的关系是 _____，请说明理由．
（2）将△BEF旋转至如图2所示位置，（1）中的结论是否仍成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
【针对训练】
1．如图，在四边形ABCD中，AC，BD是对角线，△ABC是等边三角形．线段CD绕点C顺时针旋转60°得到线段CE，连接AE，DE．
（1）求证：∠CBD=∠CAE；
（2）若∠ADC=30°，AD=3，BD=5，求DE的长．

2．如图，点O是等边三角形ABC内的一点，∠BOC=150°，将△BOC绕点C按顺时针旋转得到△ADC，连接OD，OA．
（1）求∠ODC的度数；
（2）若OB=4，OC=5，求AO的长．
3．如图，E点是正方形ABCD中CD边上任意一点，EF⊥AE于E点并交BC边于F点，以点A为中心，把△ADE顺时针旋转90°得到△ABE′．试说明：EE′平分∠AEF．
方法总结
旋转法
1．如图，在直角坐标系中，已知点A（4，0），点B为y轴正半轴上一动点，连接AB，以AB为一边向下作等边△ABC，连接OC，则OC的最小值为 _____．
2．在平行四边形ABCD中，AB=12，AD=10，对角线BD=10，点P在AB上运动，连接DP，CP，将DP，CP绕点P顺时针旋转90°，点C，D的对应点分别为C′，D′，连接BC′，BD′，C′D′，当△BC′D′为直角三角形时，AP=_____．
对称法
3．如图，点E，F在正方形ABCD的边AB，CD上，请用尺规作图法，在AD，BC上分别取点M，N，使得MN⊥EF且平分正方形ABCD的面积．（保留作图痕迹，不写作法）
4．.综合与实践：如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别为DC，BC边上的点，且满足，连接EF，求证：．
李伟同学是这样解决的：
将绕点A顺时针旋转90°得到，此时AB与AD重合，再证明，可得结论．
(1)如图2，在四边形ABCD中，，，，且，，求BE的长；
(2)类比（1）证明思想完成下列问题：在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起，A为公共顶点，，若固定不动，绕点A旋转，AF、AG与边BC的交点分别为D、E（点D不与点B重合，点E不与点C重合），在旋转过程中，等式始终成立，请说明理由．
数学思想
数形结合思想
1．如图，在直角坐标平面内，横坐标与纵坐标都是整数的点叫做格点，顶点都是格点的三角形叫做格点三角形．已知格点A（-2，1）与点B关于y轴对称，点C与点B关于原点对称．
（1）写出点B的坐标，点C的坐标，并在图中描出点B、C；
（2）求△ABC的面积；
（3）平面内有一格点D，若格点△ACD与△ABC全等，写出所有点D的坐标．
2．如图，在直角坐标平面内，已知点A的坐标（-2，0），
（1）图中点B的坐标是_____；
（2）点B关于原点对称的点C的坐标是_____；点A关于y轴对称的点D的坐标是_____；
（3）四边形ABDC的面积是_____；
（4）在直角坐标平面上找一点E，能满足S△ADE=S△ABC的点E有_____个；
（5）在y轴上找一点F，使S△ADF=S△ABC，那么点F的所有可能位置是_____．
转化思想
3．如图，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC+∠EAD=180°，△ABC不动，△ADE绕点A旋转，连接BE、CD，F为BE的中点，连接AF．
（1）如图①，当∠BAE=90°时，求证：CD=2AF；
（2）当∠BAE≠90°时，（1）的结论是否成立？请结合图②说明理由．
4．如图，已知△ABC中，AB=AC，把△ABC绕A点沿顺时针方向旋转得到△ADE，连接BD，CE交于点F．
（1）求证：△AEC≌△ADB；
（2）若AB=2，∠BAC=45°，当四边形ADFC是菱形时，求BF的长．
九年级数学上点拨与精练
第23章 旋转复习与小结
一、知识体系构建
知识点梳理
知识点1 旋转的性质及应用
旋转的定义：把一个图形绕某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转，其中O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角
旋转的性质：
（1）对应点到旋转中心的距离相等．
（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．
【典例剖析】
例1-1．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，如果将该三角形绕点A按顺时针方向旋转到△AB′C′的位置，点B′恰好落在边BC的中点处，求旋转角的大小．
【解析】如图，证明AB′=BB′；证明AB′=A B，得到△ABB′是等边三角形，故∠BAB′=60°．
解：如图，∵在Rt△ABC中，点B′为BC的中点，
∴AB′=BB′；
又由旋转的性质可得，AB′=A B，
∴AB′=AB=BB′，△ABB′是等边三角形，
∴旋转角∠BAB′=60°．
【针对训练】
1．如图，D是△ABC的边BC延长线上一点，连接AD，把△ACD绕点A顺时针旋转60°恰好得到△ABE，其中D，E是对应点，若∠CAD=18°，求∠EAC的度数．
【解析】由旋转的性质可得∠DAE=60°，即可求解．
解：∵把△ACD绕点A顺时针旋转60°恰好得到△ABE，
∴∠DAE=60°，
∴∠EAC=∠EAD-∠CAD=42°．
2．如图所示，△ABC的∠BAC=120°，以BC为边向形外作等边△BCD，把△ABD绕着D点按顺时针方向旋转60°到△ECD的位置，若AB=3，AC=2，求∠BAD的度数和线段AD的长．
【解析】根据∠BAC+∠BDC=180°得出A、B、D、C四点共圆，根据四点共圆的性质得出∠BAD=∠BCD=60°．推出A，C，E共线；由于∠ADE=60°，根据旋转得出AB=CE=3，求出AE即可．
解：法1：∵△ABC的∠BAC=120°，以BC为边向形外作等边△BCD，
∴∠BAC+∠BDC=120°+60°=180°，
∴A，B，D，C四点共圆，
∴∠BAD=∠BCD=60°，∠ACD+∠ABD=180°，
又∵∠ABD=∠ECD，
∴∠ACD+∠ECD=180°，
∴∠ACE=180°，
即A、C、E共线，
∵把△ABD绕着D点按顺时针方向旋转60°到△ECD的位置，AB=3，
∴AB=CE=3，
∴AD=AE=AC+AB=3+2=5；
3．如图，在Rt△MBC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D为AB边上的一点，将△BCD绕点C逆时针旋转90°得到△ACE，点B，D的对应点分别为点A，E，连结BE．
（1）求证：∠BCE+∠ACD=180°．
（2）当BC=3，BD=时，求BE的长．
【解析】（1）利用角的和差定义求解即可；
（2）利用旋转的性质，可得AE=BD=，∠CAE=∠CBD=45°，勾股定理求解即可．
（1）证明：∵∠DCE=∠ACB=90°，
∴∠DCE+∠ACB=180°，
∴∠ACE+∠ACD+∠ACD+∠DCB=180°，
∴∠BCE+∠ACD=180°；
（2）解：∵AC=CB=3，∠ACB=90°，
∴AB=3，∠CAB=∠ABC=45°，
∵将△BCD绕点C逆时针旋转90°得到△ACE，
∴△BCD≌△ACE，
∴AE=BD=，∠CAE=∠CBD=45°，
∴∠BAE=90°，
∴BE===2．
4．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（2，-1）．B（1，-2），C（3，-3）．
（1）将△ABC向上平移4个单位，再向右平移1个单位，得到△A1B1C1，请画出△A1BC1；
（2）请画出△ABC关于y轴对称的△A2B2C2；
（3）将△A2B2C2绕着原点O顺时针旋转90°，得到△A3B3C3，求线段A2C2在旋转过程中扫过的面积（结果保留π）．
【解析】（1）根据平移的性质得出对应点的位置，画出平移后的图形即可；
（2）利用轴对称的性质得出对应点的位置，画出图形即可；
（3）根据题意画出旋转后的图形，先求得：OA2==，OB2==，OC2==3，再利用线段A2C2在旋转过程中扫过的面积=S-S扇形DOE，即可求得答案．
解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；
（2）如图所示，△A2B2C2即为所求；
（3）将△A2B2C2绕着原点O顺时针旋转90°，得到△A3B3C3，如图，连接OC3交于D，连接OC2交于E，
∵A2（-2，-1），B2（-1，-2），C2（-3，-3），
∴OA2==，OB2==，OC2==3，
∴OA2=OB2=OD=OE=，
由旋转得：OA2=OA3，OB2=OB3，OC2=OC3，A2C2=A3C3，∠C2OC3=DOE=90°，
∴△OA2C2≌△OA3C3（SSS），
∴=，
∴线段A2C2在旋转过程中扫过的面积=S-S扇形DOE=-=．
知识点2 中心对称及中心对称图形
中心对称的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
中心对称的性质：
（1）关于中心对称的两个图形是全等形．
（2）关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分．
（3）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等．
中心对称的判定：如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称．
中心对称图形的定义：把一个图形绕某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
中心对称与中心对称图形区别与联系：
（1）中心对称与中心对称图形的区别：中心对称是两个图形的位置关系，必须涉及两个图形，中心对称图形是指一个图形；中心对称是指其中一个图形沿对称中心旋转180°后，两个图形重合；中心对称图形是指该图形绕对称中心旋转180°，与原图形重合．
（2）中心对称与中心对称图形的联系：如果把两个成中心对称的图形拼在一起，看成一个整体，那么它就是中心对称图形；如果把中心对称图形看成以对称中心为分点的两个图形，那么这两个图形成中心对称．
中心对称与轴对称的区别与联系：
（1）中心对称与轴对称的区别：中心对称有一个对称中心——点；图形绕中心旋转180°，旋转后与另一个图形重合．轴对称有一条对称轴——直线．图形沿直线翻折180°，翻折后与另一个图形重合．
（2）中心对称与轴对称的联系：如果一个轴对称图形有两条互相垂直的对称轴，那么它必是中心对称图形，这两条对称轴的交点就是它的对称中心，但中心对称图形不一定是轴对称图形．
【典例剖析】
例2-1．下列卫视台标图案是中心对称图形的有（　　）
A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
【答案】B
【解析】根据中心对称图形的概念求解．
解：第一个是中心对称图形，故本选项正确；
第二个是中心对称图形，故本选项正确；
第三个不是中心对称图形，故本选项错误；
第四个不是中心对称图形，故本选项错误．
故选：B．
【针对训练】
1．阅读与思考
请阅读下列材料，并完成相应的任务．
旋转对称图形观察如图中的正六边形，点O是它的内角平分线的交点，将这个正六边形绕着点O旋转60°，旋转后的图形与旋转前的图形重合．一般地，如果把一个图形绕着某一点旋转一定角度（小于360°）后，能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做旋转对称图形，这个点叫它的对称中心．
任务：
（1）中心对称图形 _____旋转对称图形．（填“是”或“不是”）
（2）下列图形中不是旋转对称图形的有 _____，既是旋转对称图形又是中心对称图形的有 _____，旋转72°能够完全重合的图形有 _____．
【答案】(1)是;(2)E;(3)A、C;(4)B、D;
【解析】（1）根据旋转对称图形和中心对称图形的定义判断即可；
（2）根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
解：（1）中心对称图形是旋转对称图形，
故答案为：是；
（2）不是旋转对称图形的有E，既是旋转对称图形又是中心对称图形的有A、C，旋转72°能够完全重合的图形有B、D．
故答案为：E；A、C；B、D．
2．如图，在等腰直角△ABC中，∠C=90°，BC=2cm,如果以AC的中点O为旋转中心，将这个三角形旋转180°，点B落在点B'处，求BB'的长度．
【解析】在Rt△OBC中利用勾股定理即可求得OB的长度，BB′=2OB，据此即可求解．
解：如图在直角△OBC中，OC=AC=BC=1cm,则OB=
则BB′=2OB=2cm.
3．如图，在△ABC中，点D是AB边上的中点，已知AC=4，BC=6，
（1）画出△BCD关于点D的中心对称图形；
（2）根据图形说明线段CD长的取值范围．
【解析】（1）根据中心对称图形的性质找出各顶点的对应点，然后顺次连接即可；
（2）根据三角形的三边关系求解即可．
解：（1）所画图形如下所示：
△ADE就是所作的图形．
（2）由（1）知：△ADE≌△BDC，
则CD=DE，AE=BC，
∴AE-AC＜2CD＜AE+AC，即BC-AC＜2CD＜BC+AC，
∴2＜2CD＜10，
解得：1＜CD＜5．
4．如图，正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求解答下列问题：
（1）△A1B1C1与△ABC关于坐标原点O成中心对称，则B1的坐标为 _____；
（2）△A1B1C1的面积为 _____．
【答案】(1)（2，2）;(2)2.5;
【解析】（1）根据中心对称的性质得出B1的坐标即可；
（2）根据格子图得出△A1B1C1是等腰直角三角形，得出三角形的底和高然后计算出面积即可．
解：（1）∵△A1B1C1与△ABC关于坐标原点O成中心对称，B（-2，-2），
∴B1的坐标（2，2），
故答案为：（2，2）；
（2）由网格图知，△ABC的各边上分别为，，，
即△ABC是等腰直角三角形，
∴△A1B1C1的面积=△ABC的面积=，
故答案为：2.5．
知识点3 利用旋转进行证明和计算
综合利用旋转的性质，（1）对应点到旋转中心的距离相等．（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．结合图形进行证明和计算。
【典例剖析】
例3-1．菱形ABCD中，∠ABC=60°，△BEF为等边三角形，将△BEF绕点B顺时针旋转，G为线段DF的中点，连接AG、EG．
（1）如图1，E为边AB上一点（点A、E不重合），则EG、AG的关系是 _____，请说明理由．
（2）将△BEF旋转至如图2所示位置，（1）中的结论是否仍成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
【答案】EG⊥AG
【解析】（1）延长EG交AD于N，证明△NDG≌△EFG，进一步得出结论；
（2）延长AG至Q，使MQ=AG，连接FQ，交AB于R，△AGD≌△QGF，进而证明△QFE≌△ABE，进一步得出结论．
解：（1）如图1，
延长EG交AD于N，
∵△BEF是等边三角形，
∴∠BEF=60°，EF=BE，
∴∠AEF=180°-∠BEF=120°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，AB=AD，
∴∠BAD=180°-∠ABC=120°，
∴∠BAD=∠AEF，
∴AD∥EF，
∴∠NDG=∠GFE，
在△NDG和△EFG中，
，
∴△NDG≌△EFG（ASA），
∴DN=EF，EG=GN，
∴DN=BE，
∵AD=AB，
∴AD-DN=AB-BE，
即AE=AN，
∴AG平分∠EAD，EG⊥AG，
∴∠EAG=，
∴EG=AG，
故答案为：EG⊥AG，EM=AG；
（2）如图2，
（1）中的结论仍然成立，理由如下：
延长AG=至Q，使GQ=AG，连接FQ，交AB于R，
在△AGD和△QGF中，
，
∴△AGD≌△QGF（SAS），
∴FQ=AD，∠AG=GQ，∠ADG=∠QFG，
∴AD∥FQ，
∴∠ARQ=180°-∠BAD=60°，
∴∠FRB=∠ARQ=60°，
∵△BEF是等边三角形，
∴EF=BE，∠BEF=60°，
∴∠ARB=∠BEF，
∴∠QFE=∠ABE，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB，
∴FQ=AB，
在△QFE和△ABE中，
，
∴△QFE≌△ABE（SAS），
∴EQ=AE，∠QEF=∠AEB，
∴∠QFE-∠AEF=∠AEB-∠AEF，
∴∠AEQ=∠BEF=60°，
∴△AEQ是等边三角形，
∴EG⊥AQ，∠AEG=，
∴EG=．
【针对训练】
1．如图，在四边形ABCD中，AC，BD是对角线，△ABC是等边三角形．线段CD绕点C顺时针旋转60°得到线段CE，连接AE，DE．
（1）求证：∠CBD=∠CAE；
（2）若∠ADC=30°，AD=3，BD=5，求DE的长．

【解析】（1）结合旋转的性质和等边三角形的性质可知∠ACB=∠DCE=60°，AC=BC，由“SAS”可证△BCD≌△ACE，可得结论；
（2）由全等三角形的性质可得AE=BD=5，再结合等边三角形的性质可推导∠ADE=90°，在Rt△ADE中由勾股定理即可获得答案．
（1）证明：由旋转可知∠DCE=60°，CD=CE，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，AC=BC，
∴∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD，
∴∠BCD=∠ACE，
在△BCD和△ACE中，
，
∴△BCD≌△ACE（SAS），
∴∠CBD=∠CAE；
（2）∵△BCD≌△ACE，
∴AE=BD=5，
∵∠DCE=60°，CD=CE，
∴△CDE是等边三角形，
∴∠CDE=60°，
又∵∠ADC=30°，
∴∠ADE=∠ADC+∠CDE=90°，
在Rt△ADE中，DE===4．
2．如图，点O是等边三角形ABC内的一点，∠BOC=150°，将△BOC绕点C按顺时针旋转得到△ADC，连接OD，OA．
（1）求∠ODC的度数；
（2）若OB=4，OC=5，求AO的长．
【解析】（1）根据旋转的性质即可求解；
（2）根据旋转的性质和勾股定理即可求解．
解：（1）由旋转的性质得，CD=CO，∠ACD=∠BCO，
∵∠ACB=∠ACO+∠OCB=60°，
∴∠DCO=∠ACO+∠ACD=∠ACO+∠OCB=60°．
∴△OCD为等边三角形．
∴∠ODC=60°．
答：∠ODC的度数为60°．
（2）由旋转的性质得，AD=OB=4．∠ADC=∠BOC=150°
∵△OCD为等边三角形，
∴OD=OC=5．
∵∠BOC=150°，∠ODC=60°，
∴∠ADO=90°．
在Rt△AOD中，由勾股定理得：AO===．
答：AO的长为．
3．如图，E点是正方形ABCD中CD边上任意一点，EF⊥AE于E点并交BC边于F点，以点A为中心，把△ADE顺时针旋转90°得到△ABE′．试说明：EE′平分∠AEF．
【解析】由把△ADE顺时针旋转90°得到△ABE′可知△ADE≌△ABE′，则AE=AE′，即可求出∠AEE′以及∠E′EC．
证明：∵△ADE顺时针旋转90°，得到△ABE′，
∴△ADE≌△ABE′，
∴AE=AE′，
∵∠EAE′=90°．
∴∠AEE′=45°，
∴∠FEE′=90°-45°=45°=∠AEE′．
即EE′平分∠AEF．
方法总结
旋转法
1．如图，在直角坐标系中，已知点A（4，0），点B为y轴正半轴上一动点，连接AB，以AB为一边向下作等边△ABC，连接OC，则OC的最小值为 _____．
【答案】2
【解析】以OA为对称轴作等边△AMN，由“SAS”可证△ANC≌△AMB，可得∠AMB=∠ANC=60°，由直角三角形的性质可求∠AEN=30°，EO=ON=6，则点C在EN上移动，当OC'⊥EN时，OC'有最小值，即可求解．
解：如图，以OA为对称轴作等边△AMN，延长CN交x轴于E，
∵△ABC是等边三角形，△AMN是等边三角形，
∴AM=AN，AB=AC，∠MAN=∠BAC，∠AMN=60°=∠ANM，
∴∠BAM=∠CAN，
∴△ANC≌△AMB（SAS），
∴∠AMB=∠ANC=60°，
∴∠ENO=60°，
∵AO=4，∠AMB=60°，AO⊥BO，
∴MO=NO=，
∵∠ENO=60°，∠EON=90°，
∴∠AEN=30°，EO=ON=4，
∴点C在EN上移动，
∴当OC'⊥EN时，OC'有最小值，
此时，OC'=EO=2．
故答案为：2．
2．在平行四边形ABCD中，AB=12，AD=10，对角线BD=10，点P在AB上运动，连接DP，CP，将DP，CP绕点P顺时针旋转90°，点C，D的对应点分别为C′，D′，连接BC′，BD′，C′D′，当△BC′D′为直角三角形时，AP=_____．
【答案】6或8±
【解析】当△BC′D′为直角三角形时，有三种可能①∠BD'C=90°，②∠C'BD'=90°，③∠BC'D'=90°，分类求AP．
解：延长AB交C'D'于点M．
将DP，CP绕点P顺时针旋转90°，点C，D的对应点分别为C′，D′，
∴PD=PD'，PC=PC'，∠DPD'=∠CPC'，
∴∠DPC=∠D'PC'
∴△DCP≌△D'C'P（SAS），
∴CD=C'D'=12，∠PDC=∠PD'C'，
∵AB∥CD，
∴∠PDC=∠DPA，
∴∠PD'C'=∠APD．
∵∠DPD'=90°，
∴∠APD+∠D'PM=90°，
∴∠D'PM+∠PD'M=90°，
∴∠PMD'=90°
∴AB⊥C'D'．
当△BC′D′为直角三角形时，
①∠BD'C=90°，
∴BD'⊥C'D'，
∵AB⊥C'D'，
∴A，B，D'在同一直线上．
∵∠DPD'=90°，
∴DP⊥AB，
∵AD=DB=10，
∴AP=AB=6．
②∠C'BD'=90°．
作DN⊥AB于N，延长AB交C'D'于M，
∵AD=BD=10，AB=12，DN⊥AB，
∴AN=BN=6，
Rt△ADN中，AD=10，
∴DN==8，
∵AB⊥C'D'，
∴∠DNP=∠PMD'，
∵∠DPD'=90°，
∴∠DPN+∠D'PM=90°，
∵∠DPN+∠PDN=90°
∴∠PDN=∠D'PM，
∵PD=PD'，
∴△PDN≌△D'PM（AAS），
∴DN=PM=8，PN=D'M，
Rt△BC'D'中BM⊥C'D'，
∴△BMD'∽△C'MB，
∴，
∴BM2=C′M D'M．
设AP=x,BP=12-x,
∴NP=D'M=x-6，
∴BM=PM-BP=8-（12-x）=x-4，
∴C'M=C'D'-D'M=CD-D'M=12-（x-6）=18-x,
∴（x-4）2=（x-6）（18-x）．
解得x1=8+，x2=8-．
③∠BC'D'=90°不合题意 舍去．
故答案为：6或8±．
对称法
3．如图，点E，F在正方形ABCD的边AB，CD上，请用尺规作图法，在AD，BC上分别取点M，N，使得MN⊥EF且平分正方形ABCD的面积．（保留作图痕迹，不写作法）
【解析】根据平分正方形面积的直线经过正方形的中心，再过此中心作EF的垂线即可解决问题．
解：因为平分正方形面积的直线经过正方形的中心，
连接AC和BD相交于点O，过点O作EF的垂线，分别交AD和BC于点M和N，
如图所示，MN即为所求出的直线．
4．.综合与实践：如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别为DC，BC边上的点，且满足，连接EF，求证：．
李伟同学是这样解决的：
将绕点A顺时针旋转90°得到，此时AB与AD重合，再证明，可得结论．
(1)如图2，在四边形ABCD中，，，，且，，求BE的长；
(2)类比（1）证明思想完成下列问题：在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起，A为公共顶点，，若固定不动，绕点A旋转，AF、AG与边BC的交点分别为D、E（点D不与点B重合，点E不与点C重合），在旋转过程中，等式始终成立，请说明理由．
【思路点拨】
（1）过A作AG⊥BC，交BC延长线于G，由正方形的性质得出CG＝AD＝10，再运用勾股定理和方程求出BE的长；
（2）运用旋转性质和勾股定理判断说明等式成立．
【解题过程】
解：（1）如图2，过点作，交延长线于点．
四边形中，，，
∴四边形是正方形．
∴．
已知，根据已知材料可得：．
设，则，
∴．
在中，，
∴，
解得．
∴．
（2）如图3，将绕点顺时针旋转90°至位置，
则，，，旋转角．
连接，在和中，
，
∴．
∴．
又，
∴，
∴．
数学思想
数形结合思想
1．如图，在直角坐标平面内，横坐标与纵坐标都是整数的点叫做格点，顶点都是格点的三角形叫做格点三角形．已知格点A（-2，1）与点B关于y轴对称，点C与点B关于原点对称．
（1）写出点B的坐标，点C的坐标，并在图中描出点B、C；
（2）求△ABC的面积；
（3）平面内有一格点D，若格点△ACD与△ABC全等，写出所有点D的坐标．
【解析】（1）根据轴对称、中心对称的点坐标特征进行判断即可；
（2）根据三角形的面积的计算方法进行计算即可；
（3）根据对称和全等三角形的判定方法进行判断即可．
解：（1）∵点A（-2，1）与点B关于y轴对称，
∴点B的坐标为（2，1），
又∵点C与点B关于原点对称，
∴点C的坐标为（-2，-1），
在平面直角坐标系中描出的点如图所示：
（2）S△ABC=AB AC=×4×2=4，
答：△ABC的面积为4；
（3）点D的坐标为（2，-1）或（-6，1）或（-6，-1）或（2，1）．
2．如图，在直角坐标平面内，已知点A的坐标（-2，0），
（1）图中点B的坐标是_____；
（2）点B关于原点对称的点C的坐标是_____；点A关于y轴对称的点D的坐标是_____；
（3）四边形ABDC的面积是_____；
（4）在直角坐标平面上找一点E，能满足S△ADE=S△ABC的点E有_____个；
（5）在y轴上找一点F，使S△ADF=S△ABC，那么点F的所有可能位置是_____．
【答案】(1)（-3，4）;(2)（3，-4）;(3)（2，0）;(4)16;(5)无数;(6)（0，4）或（0，-4）;
【解析】（1）根据图示直接写出答案；
（2）关于原点对称的点的横纵坐标与原来的互为相反数；关于y轴对称的点的坐标，纵坐标不变，横坐标互为相反数；
（3）根据四边形ABDC的面积=S△ABD+S△ADC即可解答；
（4）求出△ADE的高为4，即可解答；
（5）根据三角形的面积公式求得OF的长度即可．
解：（1）根据图示知，点B的坐标为（-3，4）；
（2）由（1）知，B（-3，4），
∴点B关于原点对称的点C的坐标是（3，-4）；
∵点A的坐标（-2，0），
∴点A关于y轴对称的点D的坐标是（2，0）；
（3）如图，
四边形ABDC的面积=S△ABD+S△ADC=4×4×+4×4×=16．
（4）S△ABC=S△ABO+S△ACO==8，
∵S△ADE=S△ABC，
∴4 h =8，
∴h=4，
∵AD在x轴上，
∴直角坐标平面上找一点E，只要点E的纵坐标的绝对值为4即可，
∴直角坐标平面内点E有无数个．
（5）∵S△ADF=S△ABC，AD=4，S△ABC=8
∴OF=4
∴那么点F的所有可能位置是（0，4）或（0，-4）．
故答案为：（1）（-3，4）；（2）（3，-4），（2，0）；（3）16；（4）无数；（5）（0，4）或（0，-4）．
转化思想
3．如图，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC+∠EAD=180°，△ABC不动，△ADE绕点A旋转，连接BE、CD，F为BE的中点，连接AF．
（1）如图①，当∠BAE=90°时，求证：CD=2AF；
（2）当∠BAE≠90°时，（1）的结论是否成立？请结合图②说明理由．
【解析】（1）因为AF是直角三角形ABE的中线，所以BE=2AF，然后通过△ABE≌△ACD即可求得．
（2）延长EA交BC于G，在AG上截取AH=AD，证出△ABH≌△ACD从而证得BH=CD，然后根据三角形的中位线等于底边的一半，求得BH=2AF，即可求得．
（1）证明：如图①，
∵∠BAC+∠EAD=180°，∠BAE=90°，
∴∠DAC=90°，
在△ABE与△ACD中
∴△ABE≌△ACD（SAS），
∴CD=BE，
∵在Rt△ABE中，F为BE的中点，
∴BE=2AF，
∴CD=2AF．
（2）成立，
证明：如图②，延长EA交BC于G，在AG上截取AH=AD，
∵∠BAC+∠EAD=180°，
∴∠EAB+∠DAC=180°，
∵∠EAB+∠BAH=180°，
∴∠DAC=∠BAH，
在△ABH与△ACD中，
∴△ABH≌△ACD（SAS）
∴BH=DC，
∵AD=AE，AH=AD，
∴AE=AH，
∵EF=FB，
∴BH=2AF，
∴CD=2AF．
4．如图，已知△ABC中，AB=AC，把△ABC绕A点沿顺时针方向旋转得到△ADE，连接BD，CE交于点F．
（1）求证：△AEC≌△ADB；
（2）若AB=2，∠BAC=45°，当四边形ADFC是菱形时，求BF的长．
【解析】（1）由旋转的性质得到三角形ABC与三角形ADE全等，以及AB=AC，利用全等三角形对应边相等，对应角相等得到两对边相等，一对角相等，利用SAS得到三角形AEC与三角形ADB全等即可；
（2）根据∠BAC=45°，四边形ADFC是菱形，得到∠DBA=∠BAC=45°，再由AB=AD，得到三角形ABD为等腰直角三角形，求出BD的长，由BD-DF求出BF的长即可．
解：（1）由旋转的性质得：△ABC≌△ADE，且AB=AC，
∴AE=AD，AC=AB，∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC+∠BAE=∠DAE+∠BAE，即∠CAE=∠DAB，
在△AEC和△ADB中，
，
∴△AEC≌△ADB（SAS）；
（2）∵四边形ADFC是菱形，且∠BAC=45°，
∴∠DBA=∠BAC=45°，
由（1）得：AB=AD，
∴∠DBA=∠BDA=45°，
∴△ABD为直角边为2的等腰直角三角形，
∴BD2=2AB2，即BD=2，
∴AD=DF=FC=AC=AB=2，
∴BF=BD-DF=2-2．
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